risposte

Cos’è una definizione?
RISPOSTE
1. Un numero naturale maggiore di 1 si dice
 abbondante se è minore della somma dei suoi divisori propri (ad esempio:
12 è abbondante perché 12 < 1+2+3+4+6 = 16);
 deficiente se è maggiore della somma dei suoi divisori propri (ad esempio:
4 è deficiente perché 4 > 1+2 = 3);
 perfetto se è uguale alla somma dei suoi divisori propri (ad esempio: 6 è
perfetto perché 6 = 1+2+3).
Dire quali dei seguenti numeri sono abbondanti, deficienti, perfetti:
5, 10, 14, 16, 24, 28, 100.
Sono abbondanti:
24 < 1+2+3+4+6+8+12 = 36
100 < 1+2+4+5+10+20+25+50 = 117
Sono deficienti:
5>1
10 > 1+2+5 = 8
14 > 1+2+7 = 10
16 > 1+2+4+8 = 15
L’unico numero perfetto dell’elenco è
28 = 1+2+4+7+14
* 2. Un numero naturale p maggiore di 1 si dice primo se i suoi unici divisori
sono 1 e p.
Se p è un numero primo maggiore di 7, quali delle seguenti affermazioni sono
false?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
p>8
p è dispari
p non è divisibile per 7
p21
p può essere divisibile per 11
p può essere un quadrato perfetto
L’unica affermazione falsa è la f): in base alla definizione, un intero maggiore di 1 è
primo se ha come unici divisori 1 e se stesso; dato un quadrato perfetto n2>1, questo
è sempre divisibile per n, che è diverso da 1 e n2. Quindi n2 non è un numero primo.
Dalla definizione discende anche quanto segue.
 21 non è primo, perché è divisibile per 3, per cui la d) è vera.
 Se p è diverso da 2, p non può essere divisibile per 2. Pertanto la b) è vera.
 In particolare, p non può essere 8. Quindi, se, come abbiamo supposto
nell’enunciato, p è maggiore di 7, necessariamente è anche maggiore di 8. Dunque
è vera la a).
 Essendo p>7, segue anche che p non è divisibile per 7, quindi la c) è vera.
 Tuttavia, potendo essere p = 11, è vera anche la e).