Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica
Programma di Teoria dei Segnali - a.a. 2002-2003
Prof. Antonia Tulino
Elementi di Teoria della Probabilità
Spazi di probabilità Assiomi di Kolmogorov. Corollari. Eventi indipendenti. Esperimenti combinati e
spazi di probabilità prodotto. Probabilità condizionata. Teorema della probabilit`a totale. Teorema di
Bayes. Indipendenza statistica. Regola della catena. Canale binario senza memoria.
Variabili aleatorie. Funzione di distribuzione cumulativa (CDF) e sue proprietà. Variabili aleatorie continue,
discrete e miste. Funzione densità di probabilità (pdf) e sue proprietà. Funzione distribuzione di probabilità
(DF). Densità di probabilità uniforme, Gaussiana, di Rayleigh, di Rice, esponenziale monolatera e bilatera,
binomiale, di Cauchy. CDF e pdf condizionate ad eventi. Teorema della probabilità totale per CDF e pdf.
Teorema di Bayes per le pdf. Trasformazioni di variabili aleatorie. Teorema fondamentale sulle
trasformazioni di variabili aleatorie. Media statistica. Teorema fondamentale per il calcolo della media di
una funzione di variabile aleatoria. Varianza e deviazione standard. Momenti. Disuguaglianze di Markov e
Chebishev. Funzione caratteristica. Funzione generatrice dei momenti. Media condizionata.
Caratterizzazione statistica congiunta di variabili aleatorie. Coppie di variabili aleatorie. CDF e pdf
congiunte. Variabili aleatorie indipendenti. Trasformazioni di due variabili aleatorie. Somma, prodotto,
rapporto, minimo e massimo di due variabili aleatorie. Vettori aleatori e loro caratterizzazione statistica.
Proprietà delle CDF e pdf congiunte di N-ple di variabili aleatorie. Trasformazioni di vettori aleatori.
Teorema fondamentale per la trasformazione di vettori aleatori. Metodo delle variabili ausiliarie.
Trasformazioni affini. Vettori gaussiani. Trasformazioni affini di vettori Gaussiani. Medie. Indipendenza
statistica. Indipendenza condizionata. Teorema fondamentale per il calcolo della media di una funzione di
N variabili aleatorie. Proprietà della media. Momenti. Ortogonalità, Covarianza, Coefficiente di
correlazione. Matrici di correlazione e covarianza e loro proprietà. Incorrelazione. Implicazioni esistenti tra
indipendenza statistica ed incorrelazione. CDF e pdf condizionate a variabili aleatorie. Regola della catena
per le pdf. Spazio vettoriale delle variabili aleatorie. Correlazione e prodotto scalare. Teoremi di Bayes e
della probabilità totale nel continuo. Teoremi di Bayes e della probabilità totale per le pdf e le CDF. Media
condizionata e teorema della media condizionata. Coordinate polari. Generazione di osservazionidi variabili
aleatorie. Generazione di una coppia di variabili aleatorie congiuntamente Gaussiane. Generazione di una
variabile aleatoria contaminata normale. Stima a minimo errore quadratico medio. Principio di
ortogonalit`a. Variabili aleatorie complesse. Convergenza stocastica di sequenze di variabili aleatorie. Legge
debole dei grandi numeri. Teorema centrale del limite.
Segnali nel Dominio del Tempo
Generalità sui segnali a tempo continuo ed a tempo discreto. Classificazione dei segnali. Segnali
deterministici elementari. Delta di Dirac. Caratterizzazione statistica dei segnali aleatori. Caratterizzazione
in senso stretto. Caratterizzazione in senso lato. Autocorrelazione ed autocovarianza. Processi aleatori
stazionari. Stazionarietà in senso stretto ed in senso lato. Implicazioni tra i diversi tipi di stazionarietà
Caratterizzazione congiunta di processi aleatori. Stazionarietà congiunta. Processi aleatori complessi.
Processi ad incrementi indipendenti. Processi ad incrementi stazionari. Processo di Bernoulli. Processo di
conteggio dei successi. Processi di conteggi di arrivi. Processo di Poisson. Processi di Markov. Regola della
catena. Catene di Markov. Catene omogenee. Evoluzione temporale della distribuzione di probabilità degli
stati. Probabilità di transizione in uno e più passi. Distribuzione stazionaria degli stati. Determinazione della
distribuzione stazionaria. Distribuzione limite degli stati. Relazioni esistenti tra distribuzione limite e
stazionaria. Processi aleatori gaussiani. Medie temporali di segnali deterministici. Segnali di energia e
potenza finita. Medie temporali di segnali aleatori. Ergodicità per la componente continua di processi non
stazionari. Particolarizzazione al caso di segnali stazionari. Polarizzazione e consistenza degli stimatori.
Teorema ergodico. Funzioni di correlazione e loro proprietà. Incoerenza, ortogonalità incorrelazione.
Stima a minimo errore quadratico medio.
Sistemi nel Dominio del Tempo
Generalità sui sistemi a tempo continuo ed a tempo discreto. Classificazione dei sistemi. Sistemi lineari:
funzione di risposta impulsiva, somma ed integrale di sovrapposizione. Proprietà di causalità e stabilità
BIBO. Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI): somma ed integrale di convoluzione. Proprietà della
convoluzione e connessioni tra sistemi LTI. Sistemi ARMA. Filtro adattato. Relazioni ingresso/uscita per
sistemi LTI in termini di funzioni di correlazione. Relazioni ingresso/uscita per sistemi lineari tempo
varianti in termini di correlazioni statistiche. Studio della stazionariet`a. Trasformazioni lineari di processi
gaussiani. Identificazione di sistemi LTI con tecniche di correlazione. Trasformazioni non lineari senza
memoria di processi aleatori. Cimatore. Simulazione Monte Carlo.
Segnali e Sistemi nel Dominio della Frequenza
Autofunzioni dei sistemi LTI. Funzione di trasferimento di un sistema LTI. Risposta in frequenza di un
sistema LTI. Trasformata di Fourier per segnali a tempo continuo ed a tempo discreto. Proprietà della
trasformata di Fourier. Esempi di trasformate. Convoluzione nel tempo ed in frequenza. Spettro di segnali
periodici a tempo continuo. Serie di Fourier. Convoluzione periodica. Segnali periodici a tempo discreto.
Serie discreta di Fourier (DFS). DFS della convoluzione periodica. Analisi dei sistemi nel dominio della
frequenza. Proprietà dei sistemi LTI nel dominio della frequenza. Stabilit`a BIBO. Causalit`a. Condizione
di Paley-Wiener. Distorsione. Distorsione dovuta a sistemi LTI. Caratterizzazione energetica dei segnali nel
dominio della frequenza. Spettro di energia. Teorema di Wiener-Kintchine per segnali di energia.
Caratterizzazione dei segnali aleatori nel dominio della frequenza. Propriet`a dei segnali stazionari in senso
lato nel dominio della frequenza. Densità spettrale di potenza per segnali aleatori e per segnali
deterministici. Teorema di Wiener-Kintchine per segnali di potenza. Spettri di potenza di segnali periodici a
tempo continuo ed a tempo discreto. Autocorrelazione e spettro mutuo di due segnali periodici. Segnali
ciclostazionari. Segnali PAM: media, componente continua, autocorrelazione statistica, funzione di
autocorrelazione media e spettro di potenza. Relazioni ingresso/uscita per sistemi LTI in termini di spettri
di potenza e spettri di energia.
Il campionamento dei segnali
Introduzione. Campionamento ideale. Serie di Shannon. Treno campionatore non ideale, filtro di
ricostruzione non ideale. Aliasing. Quantizzazione e codifica. Conversione analogico/numerica e
numerico/analogica. Elaborazione numerica dei segnali. Teorema di simulazione di sistemi LTI.
Campionamento di segnali a tempo discreto..
Riferimenti Bibliografici
[1] A. Papoulis, “Probability, Random Variables, and Stochastic Processes”, McGraw-Hill.
[2] E. Conte, G. Galdi, “Lezioni di Teoria dei Fenomeni Aleatori”, Dispense on line.
[3] E. Conte, “Lezioni di Teoria dei Segnali”, Liguori.
