Primo appello di Analisi Matematica 1
Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2015/2016. Prof. M. Bramanti
Tema n 1
Es.
Punti
1
2
3
4
5
6
7
Tot.
Cognome e nome (in stampatello)_______________________________
codice persona (o n di matricola)_______________________________
n d’ordine (v. elenco)______________________________________
1. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica e dicendo esplicitamente
quante sono:
2z 4 = iz 2 jzj :
2. Limiti di funzioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi
in modo chiaro e giusti…candoli brevemente:
!
p
4
x4 + 3x 5 x
lim
:
x2 +3
x!+1
e x2 1 e
3. Derivata di funzione inversa. Sia
f (x) = x log log2 1 + 3x2
a. Calcolare f 0 (x) e dimostrare che f (x) è strettamente monotona su
(1; +1) e quindi invertibile in tale intervallo.
b. Detta g la funzione inversa di f su tale intervallo, calcolare g (log 2) e
g 0 (log 2).
4. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il gra…co.
E’richiesto in particolare: insieme di de…nizione, limiti alla frontiera dell’insieme
di de…nizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non
derivabilità. Non è richiesto lo studio della derivata seconda, determinare in
altro modo la concavità plausibile.
f (x) = (5 jxj
1
1
4) e x+1 :
5. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giusti…cando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati.
1
X
n e
1
n2
n=1
cos2
1
n
6. Calcolare il seguente integrale de…nito:
Z 3
e x jx 2j dx:
0
7. Calcolare il seguente integrale inde…nito:
Z
cos3 x
2 dx:
(sin x + 2)
2
Primo appello di Analisi Matematica 1
Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2015/2016. Prof. M. Bramanti
Tema n 2
Es.
Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Cognome e nome (in stampatello)_______________________________
codice persona (o n di matricola)_______________________________
n d’ordine (v. elenco)______________________________________
1. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica o trigonometrica e dicendo
esplicitamente quante sono:
3z 4 + 8
p
=
4 3 + iz 4
2i:
2. Stima all’in…nito e asintoto obliquo. Dare una stima asintotica di
f (x) per x ! 1; stabilire quindi se f possiede un asintoto obliquo, in caso
a¤ermativo determinandolo.
f (x) = x log
3x + 5
2x 1
:
3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in
modo chiaro e giusti…candoli brevemente:
arctan x3
2
:
1
x!+1
arctan x1
x
lim
4. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il gra…co.
E’richiesto in particolare: insieme di de…nizione, limiti alla frontiera dell’insieme
di de…nizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non
derivabilità. Non è richiesto lo studio della derivata seconda, determinare in
altro modo la concavità plausibile.
f (x) = ex log
3
2
jxj
:
5. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giusti…cando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati.
1
X
3n + n10
p
n!
n=1
6. Calcolare il seguente integrale de…nito:
Z 2 p 2
x
2
dx:
p
x
2
7. Discutere la convergenza o meno del seguente integrale generalizzato, giusti…cando le proprie a¤ermazioni in base ai criteri studiati.
a:
Z
0
f (x) =
1
f (x) dx; b:
Z
+1
f (x) dx, dove (in entrambi i casi)
1
log (1 + x)
sin x:
x5=2
4
Primo appello di Analisi Matematica 1
Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2015/2016. Prof. M. Bramanti
Svolgimento Tema n 1
Es.
Punti
1
2
3
4
5
6
7
Tot.
1. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica e dicendo esplicitamente
quante sono:
2z 4 = iz 2 jzj :
Poniamo z = ei# e riscriviamo l’equazione nella forma
2
2 4 ei4# = ei 2
2 4 ei4# =
e
3 i( 2
e
2i#
2#)
da cui
2 4=
4# = 2
3
2# + 2k
= 0; = 12
# = 12 + k3 ; k = 0; 1; 2; 3; 4; 5:
Perciò le soluzioni sono 7 in tutto:
k
1
zk = ei( 12 + 3 ) ; con k = 0; 1; 2; 3; 4; 5
2
z6 = 0:
2. Limiti di funzioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi
in modo chiaro e giusti…candoli brevemente:
!
p
4
x4 + 3x 5 x
lim
:
x2 +3
x!+1
e x2 1 e
!
r
p
3
5
4
4
x4 + 3x 5 x = x
1+ 3
1
x
x4
poiché per x ! +1
x2 +3
1
e x2
3
x3
5
x4
! 0;
x
1
4
3
x3
x2 +3
1
e = e e x2
5
x4
1
1
5
x
1 3
3
= 2:
4 x3
4x
x2 +3
x2 1
poiché per x ! +1
1 ! 0;
x2 + 3
x2 1
e
1
4
=e
x2
1
4e
;
x2
quindi
3
4x2
4e
x2
f (x)
=
3
;
16e
e questo è il limite cercato.
3. Derivata di funzione inversa. Sia
f (x) = x log log2 1 + 3x2
a. Calcolare f 0 (x) e dimostrare che f (x) è strettamente monotona su
(1; +1) e quindi invertibile in tale intervallo.
b. Detta g la funzione inversa di f su tale intervallo, calcolare g (log 2) e
g 0 (log 2).
f 0 (x) = log log2 1 + 3x2
= log log2 1 + 3x2
x
6x
2
log2 (1 + 3x ) log 2 (1 + 3x2 )
6x2
+
>0
(log 2) (1 + 3x2 ) log2 (1 + 3x2 )
+
per ogni x > 1 perché:
log log2 1 + 3x2
log2 1 + 3x
> 0 perché
2
> 1 perché
2
1 + 3x > 2 perché
3x2 > 3
inoltre 6x2 > 0; (log 2) 1 + 3x2 > 0 e log2 1 + 3x2 > 0 perché è > 1:
f (1) = log (log2 (4)) = log (2) ;
quindi
g (log 2) = 1
g 0 (log 2) =
f0
1
1
=
6
(1)
log (log2 (4)) + (log 2)(4)
log
2 (4)
1
4 log 2
=
=
:
3
2
log 2 + 4 log 2
4 (log 2) + 3
4. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il gra…co.
E’richiesto in particolare: insieme di de…nizione, limiti alla frontiera dell’insieme
6
di de…nizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non
derivabilità. Non è richiesto lo studio della derivata seconda, determinare in
altro modo la concavità plausibile.
1
4) e x+1 :
f (x) = (5 jxj
De…nita per x 6=
Per x ! 1 ;
1:
+1
0+
1
f (x)
e x+1 !
x = 1 asintoto verticale da destra, punto d’arresto a tangente orizzontale
(perché f si annulla con velocità esponenziale) da sinistra.
Per x ! 1;
f (x) 5 jxj ! +1
con crescita lineare. Cerchiamo eventuali asintoti obliqui.
f (x)
1
5 jxj = (5 jxj
1
4e x+1 !
1
1
5 jxj e x+1
Quindi per x !
1
4) e x+1
5 jxj = 5 jxj e x+1
4 per x ! 1
1
1
5 jxj
5 jxj =
x+1
x
1
5 per x !
1
4e x+1 :
1
1
f (x)
5 jxj !
5
1
9
4=
e la funzione ha gli asintoti obliqui:
y = 5x + 1 per x ! +1
y=
5x
9 per x !
Calcoliamo, per x 6= 0;
0
f (x) = e
=
=
1
1
x+1
8
<
:
8
<
:
(x + 1)
2
(5 jxj
!
4) + 5 sgn (x)
1
e x+1
(x+1)2
1
e x+1
(x+1)2
5x + 4 + 5 (x + 1)
5x + 4
5 (x + 1)
2
2
1:
1
=
e x+1
(x + 1)
2
per x > 0
per x < 0
1
e x+1
(x+1)2
5x2 + 5x + 9 per x > 0
1
e x+1
(x+1)2
5x2
5x
1 per x < 0
Per x > 0
f 0 (x)
0 per 5x2 + 5x + 9
7
0 sempre.
(5 jxj
2
4) + 5 (x + 1) sgn (x)
La funzione è sempre crescente per x > 0:
Per x < 0
f 0 (x) 0 per 5x2 + 5x + 1
p
p
5
5+ 5
5
<x<
10
10
p
0
p
5
quindi x = 510 5 è punto di minimo relativo, x = 5+
è punto di massimo
10
relativo.
f 0 (0+ ) = 9e;
f 0 (0 ) = e; quindi x = 0 è punto angoloso, e punto di minimo relativo.
f (x) = 0 per jxj = 45 ; x = 54 : Gra…co qualitativo:
5. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giusti…cando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati.
1
X
n e
1
n2
cos2
n=1
1
n2
e
cos
n e
1
n2
1
n
cos2
1
n
2
1
1 1
+
+o
2
n
2 n4
=1
1
n
1
n4
2
1
1
1
+
+o
2n2
4!n4
n4
1
1
2
1
=1
+ 4+
+o
n2
4n
4!n4
n4
1
1 1
1
1
1
2
=n 1
+
+o
1
+ 4+
+o
n2
2 n4
n4
n2
4n
4!n4
1
1 1 1
1
=n 4
+ o (1)
n
2 4 12
6n3
=
1
8
1
n4
quindi la serie è a termini almeno de…nitivamente positivi,
P e1 per confronto asintotico con la serie armonica generalizzata convergente
6n3 , converge.
6. Calcolare il seguente integrale de…nito:
Z 3
e x jx 2j dx:
0
Z
3
x
e
0
Z
Z
e
x
g0
jx
2j dx =
Z
2
x
e
(2
0
(x
2)dx =
x
e
(x
f
x
=e
(1
Z 3
e x (x
x) dx +
2
Z
x
2) + e dx = e
0
x
jx
x
2j dx = e
=e
2
(x
1)
+1
2e
= 1 + 2e
x
(x
2)
e
x
+c
x) + c
3
e
2) dx:
2
2
0
2e
+ e
3
+e
3
x
(1
x)
3
2
2
:
7. Calcolare il seguente integrale inde…nito:
Z
cos3 x
2 dx
(sin x + 2)
Z
cos3 x
(sin x + 2)
2 dx =
Z
1
sin2 x
2 cos xdx =
(sin x + 2)
[sin x = t; cos xdx = dt]
Z
Z
1 t2
4t + 5
=
dt
=
1+ 2
dt
2
t + 4t + 4
(t + 2)
Z
Z
2t + 4
1
= t+2
dt
3
2 dt
t2 + 4t + 4
(t + 2)
3
2
= t + 2 log (t + 2) +
+c
t+2
3
= t + 4 log jt + 2j +
+c
t+2
3
+ c:
= (sin x + 2) + 4 log (sin x + 2) +
sin x + 2
9
Primo appello di Analisi Matematica 1
Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2015/2016. Prof. M. Bramanti
Svolgimento Tema n 2
Es.
Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
1. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica o trigonometrica e dicendo
esplicitamente quante sono:
3z 4 + 8
p
=
4 3 + iz 4
2i:
Risolviamo prima in z 4 :
p
2i 4 3 + iz 4
3z 4 + 8 =
2) =
z4 =
8
da cui
z=
e poiché
8
arg
q
4
p
i8 3
8
p
i8 3 = 16
p
i8 3 = 16
8
1
2
p
8 i8 3
p
i8 3
z 4 (3
1
2
p !
3
4
i
=
2
3
p !
3
i
2
si ha:
z=
p
4
16 cos
= 2 cos
3
+
k
+
3
2
2k
4
+ i sin
+ i sin
10
+
3
k
+
3
2
2k
4
con k = 0; 1; 2; 3; e le soluzioni sono 4 in tutto:
p !
p
1
3
z0 = 2
=1+i 3
+i
2
2
!
p
p
3
1
z1 = 2
+i
=
3+i
2
2
p !
p
3
1
z2 = 2
i
= 1 i 3
2
2
!
p
p
3
1
z3 = 2
i
= 3 i:
2
2
2. Stima all’in…nito e asintoto obliquo. Dare una stima asintotica di
f (x) per x ! 1; stabilire quindi se f possiede un asintoto obliquo, in caso
a¤ermativo determinandolo.
Per x !
1è
f (x) = x log
3x + 5
2x 1
f (x)
3
2
x log
!
:
1
con crescita lineare, perciò cerco eventuale asintoto obliquo.
f (x)
x log
3
2
= x log
= x log
e poiché
h
3x+5
2x 1
2
3
i
x
! 1 per x !
6x + 10
6x 3
3x + 5
log
2x 1
3x + 5 2
2x 1 3
3
2
1;
13
6x 3
1 =x
x
13
13
=
6x
6
perciò esiste l’asintoto obliquo di equazione
y = x log
3
2
+
13
:
6
3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in
modo chiaro e giusti…candoli brevemente:
arctan x3
2
1
1 :
x!+1
arctan
x
x
lim
11
lim
x!+1
arctan x3
2
1
arctan x1
x
=
0
0
Applico De L’Hospital:
3x2
1+x6
1
1
1
x2 + x2 1+ 12
lim
x!+1
=
0
;
0
x
ma:
3x2
3x2
3
= 4
6
6
1+x
x
x
1
1
1
1
1
1
+ 2
=
+ 2
= 2 2
x2
x 1 + x12
x2
x +1
x (x + 1)
1
x4
quindi
3x2
1+x6
1
1
1
x2 + x2 1+ 12
3
x4
1
x4
x
=
3;
e questo è il limite cercato.
4. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il gra…co.
E’richiesto in particolare: insieme di de…nizione, limiti alla frontiera dell’insieme
di de…nizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non
derivabilità. Non è richiesto lo studio della derivata seconda, determinare in
altro modo la concavità plausibile.
f (x) = ex log
2
jxj
:
De…nita per x 6= 0. f (x) > 0 per ogni x.
Per x ! 0; x log2 jxj ! 0 e f (x) ! 1. Quindi f è prolungabile con continuità
ponendo f (0) = 1.
+1 con crescita sopralineare (senza asintoto obliquo)
Per x ! 1; x log2 jxj ! 1 e f (x) !
0+
y = 0 asintoto orizzontale per x ! 1:
Per x 6= 0 calcoliamo
f 0 (x) = ex log
log jxj
jxj
2
jxj
0; log jxj
1; jxj
e
log2 jxj + x2
log jxj
x
= ex log
2
2
perciò:
x = 1 punto di massimo relativo
x = e 2 punto di minimo relativo
x = e 2 punto di massimo relativo
12
2
jxj
log2 jxj + 2 log jxj
0 per
x = 1 punto di minimo relativo.
Per x ! 0 ;
f 0 (x)
log2 jxj + 2 log jxj
log2 jxj ! +1;
quindi x = 0 è punto di ‡esso a tangente verticale, ascendente.
Gra…co qualitativo:
5. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giusti…cando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati.
1
X
3n + n10
p
n!
n=1
Serie a termini positivi,
an =
Studio la convergenza di
3n + n10
p
n!
3n
p
n!
bn :
P1
n=1 bn
col criterio del rapporto.
p
bn+1
3n+1
n!
3
! 0;
=p
=p
n
bn
3
n+1
(n + 1)!
P1
P1
quindi n=1 bn converge per il criterio del rapporto, e n=1 an converge per il
criterio del confronto asintotico.
6. Calcolare il seguente integrale de…nito:
Z 2 p 2
x
2
dx
p
x
2
13
Z
p
2
p
2
x2
x
2
Z
p
2
x2 2
xdx =
dx = p
x2
2
hp
i
x2 2 = t; x2 2 = t2 ; xdx = tdt
Z p2
Z p2
t
2
tdt =
=
1
dt
2
2
2+t
t +2
0
0
2
p arctan
2
= t
p
t
p
2
2
=
p
2 1
0
4
Oppure
Z
2
p
2
p
x2
x
2
dx =
i
h
p
p
x = 2 Ch t; dx = 2 Sh tdt
Z SettChp2 p
2 Sh t p
p
=
2 Sh tdt
2 Ch t
0
p
p Z SettCh 2 Sh2 t
= 2
Ch tdt
1 + Sh2 t
0
= [Sh t = u; Ch tdt = du]
p Z 1 u2
p Z 1
1
= 2
du
=
2
1
2
1
+
u
1
+
u2
0
0
p
p
1
:
= 2 [u arctan u]0 = 2 1
4
du
7. Discutere la convergenza o meno del seguente integrale generalizzato, giusti…cando le proprie a¤ermazioni in base ai criteri studiati.
a:
Z
0
f (x) =
1
f (x) dx; b:
Z
+1
f (x) dx, dove (in entrambi i casi)
1
log (1 + x)
sin x:
x5=2
La funzione f è continua in (0; +1), illimitata in 0, positiva in (0; 1) ma di
segno variabile in (1; +1) :
a. f è integrabile in ["; 1] per ogni " > 0 in quanto continua. Per x ! 0+ è
f (x)
x
x5=2
x=
1
x1=2
;
integrabile in 0 perché 1=2 < 1: Per il criterio del confronto asintotico, l’integrale
in a converge.
14
b. f è integrabile in [1; k] per ogni k > 0 in quanto continua.
jf (x)j
log (1 + x)
x5=2
1
de…nitivamente,
x2
e poiché x12 è integrabile a +1 in quanto 2 > 1, per il criterio del confronto f
è assolutamente integrabile, e quindi integrabile.
15
Recupero 1 compitino di Analisi Matematica 1
Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2015/2016. Prof. M. Bramanti
Tema n 1
Es.
Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Cognome e nome (in stampatello)_______________________________
codice persona (o n di matricola)_______________________________
n d’ordine (v. elenco)______________________________________
1. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso,
scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica e dicendo esplicitamente quante sono:
2z 4 = iz 2 jzj :
16
2. Operazioni sui gra…ci. Tracciare il gra…co della seguente funzione, a partire dal gra…co noto della funzione Sh x, applicando esclusivamente successive operazioni sul
gra…co (traslazione, dilatazione, ri‡essione, valore assoluto). Riportare anche i vari gra…ci
“di passaggio” utilizzati per costruire il gra…co della funzione, mettendo ben in evidenza il
gra…co di f (x). Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione
(ad esempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.)
f (x) = jarcsin (x + 1)j
4
:
3. Limiti di funzioni.Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in modo
chiaro e giusti…candoli brevemente:
lim
x!+1
p
4
x4 + 3x
x2 +3
1
e x2
17
5
e
x
!
:
4. Stima all’in…nito e asintoto obliquo. Dare una stima asintotica di
f (x)per x ! 1; stabilire quindi se f possiede un asintoto obliquo, in caso a¤ermativo
determinandolo.
3x + 5
2x 1
f (x) = x log
:
5. Studio qualitativo di funzione. Tracciare il gra…co qualitativo della seguente
funzione, in base alla conoscenza delle proprietà delle funzioni elementari ed utilizzando opportunamente limiti e stime asintotiche (non calcolare derivate). In particolare, è richiesta
la stima asintotica nei punti in cui f si annulla e alla frontiera dell’insieme di de…nizione, e
la determinazione degli eventuali asintoti. Evidenziare nel gra…co eventuali punti notevoli (a
tangente orizzontale o verticale, angolosi, di asintoto, ecc.), e l’andamento all’in…nito.
f (x) = arctan
x
x3
18
1
log jxj :
6. Derivata di funzione inversa. Sia
f (x) = x log log2 1 + 3x2
a. Calcolare f 0 (x)e dimostrare che
invertibile in tale intervallo.
b. Detta
f (x)è strettamente monotona su (1; +1)e quindi
g la funzione inversa di f su tale intervallo, calcolare g (log 2)e g 0 (log 2).
19
Recupero 1 compitino di Analisi Matematica 1
Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2015/2016. Prof. M. Bramanti
Svolgimento Tema n 1
Es.
Punti
1
2
3
4
5
6
7
Tot.
1. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica e dicendo esplicitamente
quante sono:
2z 4 = iz 2 jzj :
Poniamo z = ei# e riscriviamo l’equazione nella forma
2 4 ei4# = ei 2
2 4 ei4# =
2
e
3 i( 2
e
2i#
2#)
da cui
2 4=
4# = 2
3
2# + 2k
= 0; = 12
# = 12 + k3 ; k = 0; 1; 2; 3; 4; 5:
Perciò le soluzioni sono 7 in tutto:
1 i( 12 + k3 )
; con k = 0; 1; 2; 3; 4; 5
e
2
z6 = 0:
zk =
2. Operazioni sui gra…ci. Tracciare il gra…co della seguente funzione, a
partire dal gra…co noto della funzione Sh x, applicando esclusivamente successive
operazioni sul gra…co (traslazione, dilatazione, ri‡essione, valore assoluto). Riportare anche i vari gra…ci “di passaggio”utilizzati per costruire il gra…co della
funzione, mettendo ben in evidenza il gra…co di f (x). Segnare sugli assi ascissa
o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad esempio di intersezione con
gli assi, di max./min, ecc.)
f (x) = jarcsin (x + 1)j
20
4
:
arcsin x
arcsin (x + 1)
jarcsin (x + 1)j
jarcsin (x + 1)j
jarcsin (x + 1)j
4
4
3. Limiti di funzioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi
in modo chiaro e giusti…candoli brevemente:
!
p
4
x4 + 3x 5 x
lim
:
x2 +3
x!+1
e x2 1 e
!
r
p
3
5
4
4
4
x + 3x 5 x = x
1+ 3
1
x
x4
poiché per x ! +1
x2 +3
1
e x2
3
x3
5
x4
! 0;
x
1
4
3
x3
x2 +3
1
e = e e x2
5
x4
1
21
1
x
1 3
3
= 2:
3
4x
4x
poiché per x ! +1
x2 +3
x2 1
e
1 ! 0;
x2 + 3
x2 1
1
4
=e
x2
4e
;
x2
1
quindi
3
4x2
4e
x2
f (x)
=
3
;
16e
e questo è il limite cercato.
4. Stima all’in…nito e asintoto obliquo. Dare una stima asintotica di
f (x) per x ! 1; stabilire quindi se f possiede un asintoto obliquo, in caso
a¤ermativo determinandolo.
Per x !
1è
f (x) = x log
3x + 5
2x 1
f (x)
3
2
x log
!
:
1
con crescita lineare, perciò cerco eventuale asintoto obliquo.
f (x)
x log
3
2
3x + 5
log
2x 1
3x + 5 2
2x 1 3
= x log
= x log
e poiché
h
3x+5
2x 1
2
3
i
x
! 1 per x !
6x + 10
6x 3
3
2
1;
13
6x 3
1 =x
x
13
13
=
6x
6
perciò esiste l’asintoto obliquo di equazione
y = x log
3
2
+
13
:
6
5. Studio qualitativo di funzione. Tracciare il gra…co qualitativo della seguente
funzione, in base alla conoscenza delle proprietà delle funzioni elementari ed utilizzando opportunamente limiti e stime asintotiche (non calcolare derivate). In particolare, è richiesta
la stima asintotica nei punti in cui f si annulla e alla frontiera dell’insieme di de…nizione, e
la determinazione degli eventuali asintoti. Evidenziare nel gra…co eventuali punti notevoli (a
tangente orizzontale o verticale, angolosi, di asintoto, ecc.), e l’andamento all’in…nito.
f (x) = arctan
x
x3
22
1
log jxj :
De…nita per x 6= 0; x 6= 1:
Per x ! 0 ;
x
f (x)
x3
log jxj
1
x log jxj ! 0 ;
quindi x = 0 è punto di discontinuità eliminabile, f (0) = 0.
D’altro canto la funzione x log jxj tende a zero più lentamente di x, ossia
con tangente verticale:
x = 0 è punto di ‡esso a tangente verticale.
Per x ! 1 ;
f (x)
arctan
x
x3
(x
1
1)
2
(x
quindi x = 1 è punto angoloso e di minimo relativo.
f (x) = 0 per x = 1; 0:
Per x ! 1;
1
f (x) arctan
( x 1) ;
2
che si annulla linearmente (il punto è regolare).
Per x ! 1;
f (x)
x
x3
1
log jxj
y = 0 asintoto orizzontale per x !
Gra…co qualitativo:
1.
23
log jxj
! 0+ :
x2
1) ;
6. Derivata di funzione inversa. Sia
f (x) = x log log2 1 + 3x2
a. Calcolare f 0 (x) e dimostrare che f (x) è strettamente monotona su
(1; +1) e quindi invertibile in tale intervallo.
b. Detta g la funzione inversa di f su tale intervallo, calcolare g (log 2) e
g 0 (log 2).
f 0 (x) = log log2 1 + 3x2
= log log2 1 + 3x2
x
6x
log2 (1 + 3x2 ) log 2 (1 + 3x2 )
6x2
+
>0
(log 2) (1 + 3x2 ) log2 (1 + 3x2 )
+
per ogni x > 1 perché:
log log2 1 + 3x2
log2 1 + 3x
> 0 perché
2
> 1 perché
2
1 + 3x > 2 perché
3x2 > 3
inoltre 6x2 > 0; (log 2) 1 + 3x2 > 0 e log2 1 + 3x2 > 0 perché è > 1:
f (1) = log (log2 (4)) = log (2) ;
quindi
g (log 2) = 1
g 0 (log 2) =
1
1
=
6
f 0 (1)
log (log2 (4)) + (log 2)(4)
log
1
4 log 2
=
=
:
2
3
log 2 + 4 log 2
4 (log 2) + 3
24
2 (4)
Recupero 2 compitino di Analisi Matematica 1
Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2015/2016. Prof. M. Bramanti
Tema n 1
Es.
Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Cognome e nome (in stampatello)_______________________________
codice persona (o n di matricola)_______________________________
n d’ordine (v. elenco)______________________________________
1. Problemi di massimo e minimo. Impostare e risolvere col calcolo di¤erenziale il seguente problema di massimo. Si consideri un parallelepipedo a base quadrata, sia lil
lato della base e hl’altezza. Tra tutti i parallelepipedi di questo tipo aventi diagonale d…ssata,
determinare quello di volume massimo. Ossia: calcolare in funzione di di valori di l; hper cui
tale volume è massimo. Fare una …gura per impostare il problema. [NB. Diagonale del parallelepipedo è ogni segmento che unisce due vertici del parallelepipedo senza essere interamente
contenuto su una sua faccia; il parallelepipedo ha 4 diagonali, tutte di uguale lunghezza].
25
2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il gra…co.
E’richiesto in particolare: insieme di de…nizione, limiti alla frontiera dell’insieme
di de…nizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non
derivabilità. Non è richiesto lo studio della derivata seconda, determinare in
altro modo la concavità plausibile.
f (x) = (5 jxj
26
1
4) e x+1 :
3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in
modo chiaro e giusti…candoli brevemente:
arctan x3
2
1 :
1
x!+1
arctan
x
x
lim
4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giusti…cando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati.
1
X
n e
1
n2
n=1
27
cos2
1
n
5. Calcolare il seguente integrale de…nito:
Z 3
e x jx 2j dx:
0
6. Calcolare il seguente integrale inde…nito:
Z
cos3 x
2 dx
(sin x + 2)
28
Recupero 2 compitino di Analisi Matematica 1
Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2015/2016. Prof. M. Bramanti
Svolgimento Tema n 1
Es.
Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
1. Problemi di massimo e minimo. Impostare e risolvere col calcolo
di¤ erenziale il seguente problema di massimo. Si consideri un parallelepipedo a
base quadrata, sia l il lato della base e h l’altezza. Tra tutti i parallelepipedi di
questo tipo aventi diagonale d …ssata, determinare quello di volume massimo.
Ossia: calcolare in funzione di d i valori di l; h per cui tale volume è massimo.
Fare una …gura per impostare il problema. [NB. Diagonale del parallelepipedo è
ogni segmento che unisce due vertici del parallelepipedo senza essere interamente
contenuto su una sua faccia; il parallelepipedo ha 4 diagonali, tutte di uguale
lunghezza].
Per Pitagora si ha:
h2 + l 2 + l 2 = d2
dove d è la diagonale …ssata. Il volume del parallelepipedo è
V = l2 h
perciò ricaviamo
l2 =
d2
h2
2
così che dobbiamo massimizzare
V (h) =
d2
h2
2
per 0 < h < d.
h=
1 2
d h
2
h3
Calcoliamo
V 0 (h) =
h2
1 2
d
2
d2
;h
3
3h2
0 per
d
p
3
Il volume è massimo per
d
h= p ;
3
r
d2
l=
h2
2
=
s
29
d2
3
d2
2
d
=p :
3
Perciò il volume è massimo quando il parallelepipedo è un cubo.
2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il gra…co.
E’richiesto in particolare: insieme di de…nizione, limiti alla frontiera dell’insieme
di de…nizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non
derivabilità. Non è richiesto lo studio della derivata seconda, determinare in
altro modo la concavità plausibile.
1
4) e x+1 :
f (x) = (5 jxj
De…nita per x 6=
Per x ! 1 ;
1:
+1
0+
1
e x+1 !
f (x)
x = 1 asintoto verticale da destra, punto d’arresto a tangente orizzontale
(perché f si annulla con velocità esponenziale) da sinistra.
Per x ! 1;
f (x) 5 jxj ! +1
con crescita lineare. Cerchiamo eventuali asintoti obliqui.
f (x)
1
4e x+1 !
1
5 jxj e x+1
1
Quindi per x !
1
1
5 jxj = (5 jxj
5 jxj = 5 jxj e x+1
4) e x+1
4 per x ! 1
1
1
5 jxj
5 jxj =
x+1
x
1
5 per x !
1
4e x+1 :
1
1
f (x)
5 jxj !
5
1
9
4=
e la funzione ha gli asintoti obliqui:
y = 5x + 1 per x ! +1
y=
5x
9 per x !
Calcoliamo, per x 6= 0;
0
f (x) = e
=
=
1
1
x+1
8
<
:
8
<
:
(x + 1)
2
(5 jxj
!
4) + 5 sgn (x)
1
e x+1
(x+1)2
1
e x+1
(x+1)2
5x + 4 + 5 (x + 1)
5x + 4
5 (x + 1)
2
2
per x < 0
5x2 + 5x + 9 per x > 0
1
e x+1
(x+1)2
5x2
5x
1 per x < 0
30
1
=
e x+1
(x + 1)
per x > 0
1
e x+1
(x+1)2
1:
2
(5 jxj
2
4) + 5 (x + 1) sgn (x)
Per x > 0
f 0 (x)
0 per 5x2 + 5x + 9
0 sempre.
La funzione è sempre crescente per x > 0:
Per x < 0
f 0 (x) 0 per 5x2 + 5x + 1
p
p
5+ 5
5
5
<x<
10
10
p
0
p
5
quindi x = 510 5 è punto di minimo relativo, x = 5+
è punto di massimo
10
relativo.
f 0 (0+ ) = 9e;
f 0 (0 ) = e; quindi x = 0 è punto angoloso, e punto di minimo relativo.
f (x) = 0 per jxj = 45 ; x = 54 : Gra…co qualitativo:
3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in
modo chiaro e giusti…candoli brevemente:
arctan x3
2
1
1 :
x!+1
arctan
x
x
lim
lim
x!+1
arctan x3
2
1
1
arctan
x
x
=
0
0
Applico De L’Hospital:
lim
x!+1
3x2
1+x6
1
1
1
x2 + x2 1+ 12
x
31
=
0
;
0
ma:
3x2
3
3x2
= 4
1 + x6
x6
x
1
1
1
1
1
1
+ 2
+ 2
= 2 2
=
1
2
2
x
x 1 + x2
x
x +1
x (x + 1)
1
x4
quindi
3x2
1+x6
1
1
1
x2 + x2 1+ 12
x
3
x4
1
x4
=
3;
e questo è il limite cercato.
4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giusti…cando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati.
1
X
n e
1
n2
cos2
n=1
1
n2
e
cos
n e
1
n2
1
n
cos2
1
n
2
1
1 1
+
+o
2
n
2 n4
=1
1
n
1
n4
2
1
1
1
+
+o
2n2
4!n4
n4
1
1
1
2
+ 4+
+o
=1
n2
4n
4!n4
n4
1 1
1
1
2
1
1
+
+o
+ 4+
+o
=n 1
1
n2
2 n4
n4
n2
4n
4!n4
1 1 1
1
1
=n 4
+ o (1)
n
2 4 12
6n3
=
1
quindi la serie è a termini almeno de…nitivamente positivi,
P e1 per confronto asintotico con la serie armonica generalizzata convergente
6n3 , converge.
32
1
n4
5. Calcolare il seguente integrale de…nito:
Z 3
e x jx 2j dx:
0
Z
3
x
e
0
Z
Z
e
x
g0
jx
2j dx =
Z
2
x
e
(2
0
(x
2)dx =
x
e
(x
f
x
=e
(1
Z 3
x) dx +
e x (x
2
Z
x
2) + e dx = e
0
x
jx
x
2j dx = e
=e
2
(x
1)
+1
2e
= 1 + 2e
x
(x
2)
e
x
+c
x) + c
3
e
2) dx:
2
2
0
2e
+ e
3
+e
3
x
(1
x)
3
2
2
:
6. Calcolare il seguente integrale inde…nito:
Z
cos3 x
2 dx
(sin x + 2)
Z
cos3 x
(sin x + 2)
2 dx =
Z
1
sin2 x
2 cos xdx =
(sin x + 2)
[sin x = t; cos xdx = dt]
Z
Z
4t + 5
1 t2
=
dt
=
1+ 2
dt
2
t + 4t + 4
(t + 2)
Z
Z
2t + 4
1
= t+2
dt
3
2 dt
t2 + 4t + 4
(t + 2)
3
2
= t + 2 log (t + 2) +
+c
t+2
3
+c
= t + 4 log jt + 2j +
t+2
3
+ c:
= (sin x + 2) + 4 log (sin x + 2) +
sin x + 2
33
