esercizi circuiti magnetici
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ESERCIZI CIRCUITI MAGNETICI Circuiti magnetici 1 Esercizio n. 1 l i1 l N1 N2 i2 l m S Determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due avvolgimenti. Risultati 4μSN12 L1 = 15l L2 = 2μSN 22 5l M =− μSN1 N 2 5l Esercizio n. 2 l l l i1 l N1 m i2 S N2 Determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due avvolgimenti. Risultati 15μSN12 2μSN 22 L1 = L2 = 56l 7l M= μSN1 N 2 14l Esercizio n. 3 l i1 N1 2l N2 i2 i3 N3 l m S Determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei tre avvolgimenti. Risultati 4μSN 32 6μSN12 8μSN 22 L1 = L2 = L3 = 23l 23l 23l μSN1 N 3 5μSN1 N 2 M 12 = M 13 = − 23l 23l M 23 = 3μSN 2 N 3 23l Versione del 17-3-2007 2 Circuiti magnetici Esercizio n. 4 i1 N1 d d m0 i2 N2 d m S Assumendo che la permeabilità μ del materiale ferromagnetico sia praticamente infinita, determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due avvolgimenti. Risultati 2 N 12 L1 = 3R 0 L2 = 2 N 22 3R 0 M= ⎛ δ ⎞ ⎜⎜ R 0 = ⎟⎟ μ S 0 ⎠ ⎝ N1 N 2 3R 0 Esercizio n. 5 2d 2d S i1 N1 N2 i2 m m0 d d Assumendo che la permeabilità μ del materiale ferromagnetico sia praticamente infinita, determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due avvolgimenti. Risultati N2 L1 = 1 3R 0 L2 = 2 N 22 3R 0 M =− ⎛ δ ⎞ ⎟ ⎜⎜ R 0 = μ 0 S ⎟⎠ ⎝ N1 N 2 3R 0 Esercizio n. 6 d i N1 N2 m0 N3 m S Assumendo che la permeabilità μ del materiale ferromagnetico sia praticamente infinita, determinare l’induttanza dell’avvolgimento. Risultato 2( N12 + N 22 + N 32 + N1 N 2 + N1 N 3 − N 2 N 3 ) L= 3R 0 ⎛ δ ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ R 0 = μ S 0 ⎠ ⎝ Versione del 17-3-2007 Circuiti magnetici 3 Esercizio n. 7 m0 m 2d i2 i1 N2 N1 d d d S Assumendo che la permeabilità μ del materiale ferromagnetico sia praticamente infinita, determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due avvolgimenti. Risultati 6 N12 L1 = L2 = 7R 0 6 N 22 M = 7R 0 N1 N 2 7R 0 ⎛ δ ⎞ ⎟ ⎜⎜ R 0 = μ 0 S ⎟⎠ ⎝ Esercizio n. 8 i1 N1 i2 N2 Assumendo che tutti i traferri abbiano riluttanza uguale a R0 e che le riluttanze dei tratti in materiale ferromagnetico siano trascurabili, determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due avvolgimenti. Risultati 3N12 L1 = 5R 0 L2 = 2 N 22 5R 0 M =− N1 N 2 5R 0 Esercizio n. 9 i1 i2 N1 N2 Assumendo che tutti i traferri abbiano riluttanza uguale a R0 e che le riluttanze dei tratti in materiale ferromagnetico siano trascurabili, determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due avvolgimenti. Risultati 3N12 L1 = 2R 0 L2 = 3N 22 2R 0 M= N1 N 2 R0 Versione del 17-3-2007 4 Circuiti magnetici Esercizio n. 10 i1 i2 N N 2N Assumendo che tutti i traferri abbiano riluttanza uguale a R0 e che le riluttanze dei tratti in materiale ferromagnetico siano trascurabili, determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due avvolgimenti. Risultati 2N 2 L1 = 3R 0 L2 = 14 N 2 3R 0 M= N2 3R 0 Esercizio n. 11 i1 i2 i1 N1 N2 N1 Assumendo che tutti i traferri abbiano riluttanza uguale a R0 e che le riluttanze dei tratti in materiale ferromagnetico siano trascurabili, determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due avvolgimenti. Risultati N2 L1 = 1 R0 L2 = N 22 R0 M= N1 N 2 R0 Esercizio n. 12 i2 N1/2 N1/2 N2 i1 Assumendo che tutti i traferri abbiano riluttanza uguale a R0 e che le riluttanze dei tratti in materiale ferromagnetico siano trascurabili, determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due avvolgimenti. Risultati 5 N12 L1 = 4R 0 L2 = N 22 R0 M =− N1 N 2 2R 0 Versione del 17-3-2007 Esercizi sui circuiti magnetici Esercizio 1. Nel circuito magnetico illustrato calcolare, trascurando la riluttanza del ferro, i coefficienti di auto induzione degli avvolgimenti 1 e 2 e il coefficiente di mutua induzione tra i due avvolgimenti (la sezione del circuito magnetico è 8 cm2, δ = 0.3 mm, N1 = 200, N2 = 100). δ i2 N2 N1 2δ i1 δ Soluzione Il circuito equivalente “elettrico” si deduce immediatamente dalle linee d’asse dei gioghi e delle colonne del circuito magnetico. La riluttanza R del traferro di spessore δ è calcolabile come: δ R = = 2.984 × 10 5 H −1 µ 0S N2 ϕ2 R 100 i2 2R 200 i1 B A Le forze magnetomotrici si deducono, per quanto riguarda il modulo, dal prodotto del numero di spire nell’avvolgimento per la corrente che le attraversa e, per quanto riguarda il verso, con la regola della vite destrogira, tenuto conto dei versi assegnati per le correnti. Il circuito è costituito da N = 2 nodi e R= 3 rami in parallelo. La tensione “magnetica” tra i due nodi del circuito è calcolabile direttamente utilizzando il Teorema di Millman: ϕ1 100 i2 ϕ3 ψ AB R 100i 2 200i1 100i 2 + + R 2R R = = 40i1 + 80i 2 1 1 1 + + R 2R R Dalle caratteristiche dei tre rami si ψ AB = 100i 2 − R ϕ 2 ϕ1 = (80i1 − 40i 2 ) / R deducono quindi direttamente i flussi su ψ AB = 200i1 − 2R ϕ1 ⇒ ogni ramo: ϕ 2 = ϕ 3 = (− 40i1 + 20i 2 ) / R I flussi concatenati ai due avvolgimenti, ψ AB = 100i 2 − R ϕ 3 con i versi di riferimento scelti, sono dati da: Φc,1 = 200 ϕ1 , Φc,2 = 100 ϕ2 + 100 ϕ3 I coefficienti di auto e mutua induzione si calcolano quindi direttamente dalle definizioni: Φ Φ Φ L1 = c,1 = 53.6 mH M = c,1 = −26.8 mH L 2 = c, 2 = 13.4 mH i 2 i =0 i1 i =0 i 2 i =0 2 2 1 Esercizio 2. Trascurando la riluttanza del ferro nel circuito magnetico illustrato, calcolare i coefficienti di auto induzione degli avvolgimenti 1 e 2 e il coefficiente di mutua induzione tra i due avvolgimenti (la sezione del circuito magnetico è 6 cm2, δ = 1 mm, N1 = 100, N2 = 200) δ δ φ i1 N1 i2 2δ N2 δ L1 = 3.77 mH L2 = 22.6 mH δ M12 = 7.54 mH Esercizio 3. Per lo stesso circuito magnetico dell’esercizio precedente, calcolare il valore del flusso di induzione magnetica φ con il verso di riferimento indicato in figura supponendo che gli avvolgimenti siano percorsi dalle correnti i1 = −2 A e i2 = 4 A. φ = − 0.15 mWb Esercizio 4. Determinare il coefficiente di autoinduzione L dell’avvolgimento illustrato (la sezione del circuito magnetico è 16 cm2, N1 = N3 = 30, N2 = 10). 1 mm 1 mm N2 N1 3 mm 1 mm L = 0.2 mH 1 mm N3 Esercizio 5. Trascurando la riluttanza dei tratti in ferro, calcolare il flusso sul ramo AB del circuito magnetico assegnato (sezione 10 cm2) 0.5 mm 0.5 mm A 2A N1 = 30 φAB 1 mm 3A 0.1 mm 0.5 mm N2 = 40 0.5 mm B φAB = 0.19 mWb Esercizio 6. Trascurando la riluttanza del ferro nel circuito magnetico illustrato in sezione calcolare il coefficiente di auto induzione dell’avvolgimento (la lunghezza assiale è 20 cm, il raggio del cilindro interno è R = 50 mm, l’apertura angolare di ogni polo 60°, δ0 = 1 mm, δ1 = 0.1 mm, t =10 mm, N = 100) i N δ0 t R δ1 δ1 δ0 N L = 233 mH Esercizio 7. Per lo stesso circuito magnetico dell’esercizio precedente, calcolare il valore del campo di induzione magnetica nei traferri δ0 supponendo che l’avvolgimento sia percorso dalla corrente i = 2 A . Β = 0.22 T
