ESERCIZI CIRCUITI MAGNETICI
Circuiti magnetici
1
Esercizio n. 1
l
i1
l
N1
N2
i2
l
m
S
Determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due avvolgimenti.
Risultati
4μSN12
L1 =
15l
L2 =
2μSN 22
5l
M =−
μSN1 N 2
5l
Esercizio n. 2
l
l
l
i1
l
N1
m
i2
S
N2
Determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due avvolgimenti.
Risultati
15μSN12
2μSN 22
L1 =
L2 =
56l
7l
M=
μSN1 N 2
14l
Esercizio n. 3
l
i1
N1
2l
N2
i2
i3
N3
l
m
S
Determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei tre avvolgimenti.
Risultati
4μSN 32
6μSN12
8μSN 22
L1 =
L2 =
L3 =
23l
23l
23l
μSN1 N 3
5μSN1 N 2
M 12 =
M 13 = −
23l
23l
M 23 =
3μSN 2 N 3
23l
Versione del 17-3-2007
2
Circuiti magnetici
Esercizio n. 4
i1 N1
d
d
m0
i2 N2
d
m
S
Assumendo che la permeabilità μ del materiale ferromagnetico sia praticamente infinita,
determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due avvolgimenti.
Risultati
2 N 12
L1 =
3R 0
L2 =
2 N 22
3R 0
M=
⎛
δ ⎞
⎜⎜ R 0 =
⎟⎟
μ
S
0 ⎠
⎝
N1 N 2
3R 0
Esercizio n. 5
2d
2d
S
i1
N1 N2
i2
m
m0
d
d
Assumendo che la permeabilità μ del materiale ferromagnetico sia praticamente infinita,
determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due avvolgimenti.
Risultati
N2
L1 = 1
3R 0
L2 =
2 N 22
3R 0
M =−
⎛
δ ⎞
⎟
⎜⎜ R 0 =
μ 0 S ⎟⎠
⎝
N1 N 2
3R 0
Esercizio n. 6
d
i
N1
N2
m0
N3
m
S
Assumendo che la permeabilità μ del materiale ferromagnetico sia praticamente infinita,
determinare l’induttanza dell’avvolgimento.
Risultato
2( N12 + N 22 + N 32 + N1 N 2 + N1 N 3 − N 2 N 3 )
L=
3R 0
⎛
δ ⎞
⎟⎟
⎜⎜ R 0 =
μ
S
0 ⎠
⎝
Versione del 17-3-2007
Circuiti magnetici
3
Esercizio n. 7
m0 m
2d
i2
i1
N2
N1
d
d
d
S
Assumendo che la permeabilità μ del materiale ferromagnetico sia praticamente infinita,
determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due avvolgimenti.
Risultati
6 N12
L1 =
L2 =
7R 0
6 N 22
M =
7R 0
N1 N 2
7R 0
⎛
δ ⎞
⎟
⎜⎜ R 0 =
μ 0 S ⎟⎠
⎝
Esercizio n. 8
i1
N1
i2
N2
Assumendo che tutti i traferri abbiano riluttanza uguale a R0 e che le riluttanze dei tratti in materiale
ferromagnetico siano trascurabili, determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due
avvolgimenti.
Risultati
3N12
L1 =
5R 0
L2 =
2 N 22
5R 0
M =−
N1 N 2
5R 0
Esercizio n. 9
i1
i2
N1 N2
Assumendo che tutti i traferri abbiano riluttanza uguale a R0 e che le riluttanze dei tratti in materiale
ferromagnetico siano trascurabili, determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due
avvolgimenti.
Risultati
3N12
L1 =
2R 0
L2 =
3N 22
2R 0
M=
N1 N 2
R0
Versione del 17-3-2007
4
Circuiti magnetici
Esercizio n. 10
i1
i2
N
N
2N
Assumendo che tutti i traferri abbiano riluttanza uguale a R0 e che le riluttanze dei tratti in materiale
ferromagnetico siano trascurabili, determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due
avvolgimenti.
Risultati
2N 2
L1 =
3R 0
L2 =
14 N 2
3R 0
M=
N2
3R 0
Esercizio n. 11
i1
i2
i1
N1
N2
N1
Assumendo che tutti i traferri abbiano riluttanza uguale a R0 e che le riluttanze dei tratti in materiale
ferromagnetico siano trascurabili, determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due
avvolgimenti.
Risultati
N2
L1 = 1
R0
L2 =
N 22
R0
M=
N1 N 2
R0
Esercizio n. 12
i2
N1/2
N1/2
N2
i1
Assumendo che tutti i traferri abbiano riluttanza uguale a R0 e che le riluttanze dei tratti in materiale
ferromagnetico siano trascurabili, determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due
avvolgimenti.
Risultati
5 N12
L1 =
4R 0
L2 =
N 22
R0
M =−
N1 N 2
2R 0
Versione del 17-3-2007
Esercizi sui circuiti magnetici
Esercizio 1. Nel circuito magnetico illustrato calcolare, trascurando la riluttanza del ferro, i
coefficienti di auto induzione degli avvolgimenti 1 e 2 e il coefficiente di mutua induzione tra i due
avvolgimenti (la sezione del circuito magnetico è 8 cm2, δ = 0.3 mm, N1 = 200, N2 = 100).
δ
i2
N2
N1
2δ
i1
δ
Soluzione
Il circuito equivalente “elettrico” si deduce
immediatamente dalle linee d’asse dei
gioghi e delle colonne del circuito
magnetico. La riluttanza R del traferro di
spessore δ è calcolabile come:
δ
R =
= 2.984 × 10 5 H −1
µ 0S
N2
ϕ2
R
100 i2
2R
200 i1
B
A
Le forze magnetomotrici si deducono, per
quanto riguarda il modulo, dal prodotto del
numero di spire nell’avvolgimento per la
corrente che le attraversa e, per quanto
riguarda il verso, con la regola della vite
destrogira, tenuto conto dei versi assegnati
per le correnti.
Il circuito è costituito da N = 2 nodi e R= 3 rami
in parallelo. La tensione “magnetica” tra i due
nodi del circuito è calcolabile direttamente
utilizzando il Teorema di Millman:
ϕ1
100 i2
ϕ3
ψ AB
R
100i 2 200i1 100i 2
+
+
R
2R
R
=
= 40i1 + 80i 2
1
1
1
+
+
R 2R R
Dalle caratteristiche dei tre rami si ψ AB = 100i 2 − R ϕ 2
ϕ1 = (80i1 − 40i 2 ) / R
deducono quindi direttamente i flussi su
ψ AB = 200i1 − 2R ϕ1 ⇒
ogni ramo:
ϕ 2 = ϕ 3 = (− 40i1 + 20i 2 ) / R
I flussi concatenati ai due avvolgimenti, ψ AB = 100i 2 − R ϕ 3
con i versi di riferimento scelti, sono
dati da:
Φc,1 = 200 ϕ1 ,
Φc,2 = 100 ϕ2 + 100 ϕ3
I coefficienti di auto e mutua induzione si calcolano quindi direttamente dalle definizioni:
Φ
Φ
Φ
L1 = c,1
= 53.6 mH
M = c,1
= −26.8 mH
L 2 = c, 2
= 13.4 mH
i 2 i =0
i1 i =0
i 2 i =0
2
2
1
Esercizio 2. Trascurando la riluttanza del ferro nel circuito magnetico illustrato, calcolare i
coefficienti di auto induzione degli avvolgimenti 1 e 2 e il coefficiente di mutua induzione tra i due
avvolgimenti (la sezione del circuito magnetico è 6 cm2, δ = 1 mm, N1 = 100, N2 = 200)
δ
δ
φ
i1
N1
i2
2δ
N2
δ
L1 = 3.77 mH
L2 = 22.6 mH
δ
M12 = 7.54 mH
Esercizio 3. Per lo stesso circuito magnetico dell’esercizio precedente, calcolare il valore del
flusso di induzione magnetica φ con il verso di riferimento indicato in figura supponendo che gli
avvolgimenti siano percorsi dalle correnti i1 = −2 A e i2 = 4 A.
φ = − 0.15 mWb
Esercizio 4. Determinare il coefficiente di autoinduzione L dell’avvolgimento illustrato (la sezione
del circuito magnetico è 16 cm2, N1 = N3 = 30, N2 = 10).
1 mm
1 mm
N2
N1
3 mm
1 mm
L = 0.2 mH
1 mm
N3
Esercizio 5. Trascurando la riluttanza dei tratti in ferro, calcolare il flusso sul ramo AB del circuito
magnetico assegnato (sezione 10 cm2)
0.5 mm
0.5 mm
A
2A
N1 = 30
φAB
1 mm
3A
0.1 mm
0.5 mm
N2 = 40
0.5 mm
B
φAB = 0.19 mWb
Esercizio 6. Trascurando la riluttanza del ferro nel circuito magnetico illustrato in sezione calcolare
il coefficiente di auto induzione dell’avvolgimento (la lunghezza assiale è 20 cm, il raggio del
cilindro interno è R = 50 mm, l’apertura angolare di ogni polo 60°, δ0 = 1 mm, δ1 = 0.1 mm, t =10
mm, N = 100)
i
N
δ0
t
R
δ1
δ1
δ0
N
L = 233 mH
Esercizio 7. Per lo stesso circuito magnetico dell’esercizio precedente, calcolare il valore del
campo di induzione magnetica nei traferri δ0 supponendo che l’avvolgimento sia percorso dalla
corrente i = 2 A .
Β = 0.22 T
