ESPONENZIALI – LOGARITMI
Prerequisiti:
- Conoscere e saper operare con potenze con esponente naturale e razionale.
- Conoscere e saper applicare le proprietà delle potenze.
- Saper risolvere equazioni e disequazioni.
- Saper risolvere sistemi di equazioni e disequazioni.
- Conoscere le funzioni e le loro proprietà.
- Saper disegnare grafici sul piano cartesiano.
Obiettivi:
- Conoscere la funzione esponenziale e saper disegnare grafici di funzioni esponenziali.
- Risolvere equazioni e disequazioni esponenziali.
- Conoscere il significato di logaritmo e le proprietà dei logaritmi.
- Conoscere la funzione logaritmica e saper disegnare grafici di funzioni logaritmiche.
- Risolvere equazioni e disequazioni logaritmiche.
CONTENUTI – ESERCIZI
Ricorda:
La potenza ax è definita :
- se a > 0
per ogni x ∈ R
- se a = 0
solo per x ∈ R+
- se a < 0
solo per x ∈ Z
( 00 è privo di significato )
( interi relativi )
Le potenze a esponente razionale di numeri negativi non si possono definire.
Le potenze ax con esponente reale si possono definire solo per a > 0 e a ≠ 1 e si scrive ax=b.
N.B. Poiché la base a è sempre positiva il valore della potenza è sempre positivo anche quando
2
1
l’esponente x assume valori negativi. ( Es. 3 = > 0 )
3
Anche per le potenze ad esponente reale valgono tutte le proprietà delle potenze ad esponente
razionale.
- a x ⋅ a y = a x+ y
- a x : a y = a x− y
−2
y
-
(a )
-
a x ⋅ bx = ( a ⋅ b)
x
= a xy
x
x
- ax : bx = (a : b)
Esercizi:
Applicando le proprietà delle potenze semplifica le seguenti espressioni trasformandole in potenze
di un’unica base.
a)
a ⋅ a 3x =
b)
5
9 x +1
=
34 x
Ricorda:
Si chiama funzione esponenziale
y = ax
con a >0 ( a∈
∈ R+ )
Il grafico che rappresenta la funzione si dice curva esponenziale.
a>1
0<a<1
y
y
1
1
0
Dominio : R
lim a x = +∞
x → +∞
x
Codominio : R+
lim a x = 0
x → −∞
Funzione sempre crescente
0
Dominio : R
lim a x = 0
x → +∞
x
Codominio : R+
lim a x = +∞
x → −∞
Funzione sempre decrescente
Qualunque sia la base a > 0 il grafico passa sempre per il punto ( 0 ; 1 ) poiché a0 = 1.
Se a = 1 la funzione y = 1x ha valore 1 per qualunque valore della x .
Il grafico è una retta parallela all’asse delle ascisse e passante per il punto ( 0 ; 1 ).
In sintesi : qualunque sia il valore della base il grafico della funzione esponenziale :
- Sta tutto “ sopra” l’asse delle ascisse
- Non interseca mai l’asse delle ascisse
- Interseca sempre l’asse delle ordinate nel punto ( 0 ; 1 )
Esercizi:
Rappresenta sul piano cartesiano le seguenti funzioni :
a) y = 3x
1
b) y =
5
x
Ricorda:
Il logaritmo in base a di un numero b è l’ esponente c da dare alla base a per ottenere
l’argomento b .
log a b = c
-
⇒
ac = b
a >0 ,
a≠1, b >0
Se la base del logaritmo è 10 il logaritmo si dice decimale e si scrive Log b
Se la base del logaritmo è il numero trascendente e il logaritmo si dice “naturale” e si
scrive ln b (log b )
Esercizi :
Completa applicando la definizione di logaritmo
a) log 2 32 = x
b) log x 81 = 4
c) log 5 x = 3
x=
x=
x=
Proprietà dei logaritmi :
log a ( b ⋅ c ⋅ d ) = log a b + log a c + log a d
b
= log a b − log a c
c
log a b c = c log a b
log a
n
m
n
m
log b = log a b =
m
log a b
n
log c b
( Formula del cambiamento di base )
log c a
Esercizi :
log a b =
a) Applica le proprietà dei logaritmi in modo da ottenere una somma algebrica
x3b c
Log 2 3 =
y 5
b) Applica le proprietà dei logaritmi in modo da ottenere il logaritmo di un’unica espressione
Log ( x − 3) +
1
Log ( x − 2 ) − Log ( x + 3) =
2
Ricorda:
Si chiama Funzione logaritmica
y = logax
con a>0 ; a ≠ 1
L’argomento del logaritmo deve essere sempre positivo
Il grafico che rappresenta la funzione logaritmica si dice curva logaritmica
y
a>1
0
Dominio : R+
lim log a x = +∞
x → +∞
y
1
0
1
Dominio : R+
Codominio : R
lim log a x = −∞
lim log a x = −∞
x→0 +
x → +∞
Funzione sempre crescente
x
Codominio : R
lim log a x = +∞
x→0 +
Funzione sempre decrescente
Esercizi :
Rappresenta sul piano cartesiano le seguenti funzioni :
a) y = log3 x
0<a<1
b) y = log 1 x
3
EQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE
Ricorda:
Una equazione esponenziale è una equazione in cui l’incognita compare all’esponente.
Esercizi :
1) Risolvi le seguenti equazioni esponenziali elementari i cui membri sono riconducibili a due
potenze con la stessa base.
a) 22 x −3 =
1
32
b) 7 x + 2 = 49 ⋅ 7 2 x −3
c) 3x = −2
d)
1
5
x
=39
81
2) Risolvi le seguenti equazioni esponenziali elementari in cui compaiono somme algebriche e che
sono riconducibili ad una equazione esponenziale elementare mediante fattorizzazione.
a) 2 x +1 + 2 x + 2 − 2 x −1 = 11
b) 3x +12 ⋅ 3x −1 + 3x + 2 = 34
c) 22 x +1 − 4 x +1 + 3 ⋅ 8
2 x +1
3
=1
3) Risolvi le seguenti equazioni esponenziali elementari i cui membri sono riconducibili a due
potenze con basi diverse utilizzando le proprietà dei logaritmi.
a) 8 ⋅ 32 x −1 = 22 x + 3
b) 2 x + 5 = 16 ⋅ 3x −1
4) Risolvi le seguenti equazioni esponenziali non elementari riconducibili a una equazione di
secondo grado con una sostituzione del tipo ax = y.
2x
a) 2 − 2 ⋅ 2 x − 8 = 0
b) 9 x − 12 ⋅ 3x + 27 = 0
c) 5 ⋅ 25 x − 26 ⋅ 5 x + 5 = 0
Ricorda:
Una equazione logaritmica è una equazione in cui l’incognita compare nell’argomento di un
logaritmo.
N.B. Un logaritmo esiste se e solo se il suo argomento è maggiore di zero.
Esercizi :
1) Calcola il C.E. delle seguenti espressioni imponendo che gli argomenti di tutti i logaritmi siano
contemporaneamente positivi.
a) L og 2 x + L og ( 2 − x ) + L og ( 2 x + 1)
b) ln ( x 2 − 1) + ln ( 4 − x 2 )
2) Risolvi le seguenti equazioni logaritmiche elementari riconducibili all’uguaglianza tra due
logaritmi nella stessa base.
a) 3Logx = Log (11x 2 − 10 x )
b) ln 4 + ln x = 2 ln ( x + 1)
c) 2 Log ( x + 1) − Log ( x + 2 ) = 0
Ricorda :
log a f ( x ) = m
⇒
f ( x ) = am
Esercizi :
Risolvi le seguenti equazioni logaritmiche tenendo conto della relazione precedente
a) log 3 ( x + 5 ) = 0
b) Log ( 7 x − 9 ) + Log ( 3x − 4 ) = 1
DISEQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE
Ricorda :
-
Si dice disequazione esponenziale una disequazione un cui l’incognita compare
all’esponente.
Si dice disequazione logaritmica una disequazione in cui l’incognita compare
nell’argomento di un logaritmo.
-
- a A( x ) > a B( x )
- ax > b
- ax < b
Per a > 1
→ A( x) > B ( x)
Per 0 < a < 1
→ A ( x ) < B ( x ) inverto il segno di disuguaglianza
Per b > 0
→x>
Per b ≤ 0
→ indeterminata
Per b > 0
→x<
Per b ≤ 0
→ impossibile
- log a A ( x ) > log a B ( x )
log b
log a
A( x) > 0
→ B ( x ) > 0
A( x) > B ( x)
Per a > 1
A( x) > 0
→ B ( x ) > 0
A( x) < B ( x)
Inverto il segno di disuguaglianza
Per 0 < a < 1
- log a A ( x ) > m
log b
log a
Per a > 1
→ A ( x ) > am
Per 0 < a < 1
→ A ( x ) < a m inverto il segno di disuguaglianza
Esercizi :
a) 22 x +1 > 4 x
1
b)
3
e) 5 x < 0
x−2
> 27
(
)
f) log 1 x 2 − 2 x > log 1 ( x + 4 )
2
2
c) 2 < 3
g) Log ( x − x + 98 ) > 2
d) 3x > −2
h) log 2 ( x 2 − 2 x ) > 0
x
2
