CAPITOLO 2
La similitudine
1. LA SIMILITUDINE CON GEOGEBRA
Esercitazione 1. La definzione di similitudine
Applichiamo la definizione di similitudine e, dato un
triangolo ABC costruiamo il suo corrispondente in
una similitudine di rapporto uguale a 2.
Per risolvere questo problema usiamo una omotetia
di dato centro P e rapporto 2 e al triangolo ottenuto
applichiamo una simmetria di asse r assegnato.
La procedura eÁ la seguente:
l
l
l
disegniamo un triangolo ABC e prendiamo un
punto P fuori di esso
costruiamo il suo corrispondente A 0 B 0 C 0 nell'omotetia di centro P e rapporto 2: lo strumento eÁ
9-Dilata l'oggetto da un punto, dato un fattore, il
fattore da indicare eÁ 2
disegniamo una retta r
troviamo il corrispondente del triangolo A 0 B 0 C 0 nella simmetria di asse r.
Il triangolo A 00 B 00 C 00 , per la definizione di similitudine, eÁ simile al triangolo ABC dato.
l
Esercitazione 2. La similitudine e la circonferenza
Disegniamo una circonferenza e da un punto esterno P tracciamo una secante e una tangente. Verifichiamo che il segmento di tangente eÁ medio proporzionale tra l'intera secante e la sua parte esterna.
Dopo aver costruito quanto richiesto, il disegno appare come nella figura a lato, dove abbiamo tracciato anche i segmenti DB e DA e definito i triangoli
DPB e DPA.
Per verificare la proporzionalitaÁ, vediamo se i due
triangoli sono simili; osserviamo che l'angolo di vertice P eÁ in comune ai due triangoli, quindi essi hanno
almeno un angolo congruente.
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Tema 5 - Cap. 2: LA SIMILITUDINE
1
d e ADP
d e osserviamo che le loro misure sono uguali; in effetti essi sono congruenti
Definiamo poi i due angoli PBD
perche insistono sullo stesso arco AD (evidenziato in rosso nella figura). Il primo criterio di similitudine garantisce
la similitudine dei triangoli DPB e DPA. Di conseguenza vale anche la proporzione AP : DP DP : PB.
2. LA SIMILITUDINE CON CABRI
La sezione aurea
L'individuazione della sezione aurea di un segmento
AB puoÁ essere fatta con Cabri seguendo la procedura spiegata nell'approfondimento; ti diamo le indicazioni principali della costruzione:
l
l
dopo aver disegnato il segmento AB, trova il suo
punto medio P e disegna la circonferenza di centro B e raggio BP (questa circonferenza serve solo
per determinare successivamente il segmento
1
BC AB e conviene nasconderla al termine del2
la costruzione)
traccia la retta per B perpendicolare ad AB e determina le sue intersezioni con la circonferenza;
sia C una di queste intersezioni
l
traccia la circonferenza di centro C e raggio CB, la semiretta AC e trova i loro punti di intersezione R e Q
l
da ultimo traccia la circonferenza di centro A e raggio AR che interseca AB in D.
Il segmento AD eÁ la sezione aurea di AB.
Conviene adesso memorizzare questa costruzione in una macro indicando il segmento AB come oggetto iniziale
e il segmento AD come oggetto finale.
Utilizzando questa macro possiamo anche costruire un rettangolo aureo (cioeÁ il rettangolo i cui lati sono uno la
sezione aurea dell'altro) e la spirale aurea in esso inscritta; osserva le figure al termine dell'esercitazione per comprendere meglio la procedura.
Per costruire il primo rettangolo aureo:
l
disegna un segmento AB e trova la sua sezione aurea AD con la macro corrispondente
l
traccia dagli estremi del segmento le rette ad esso perpendicolari
l
costruisci la circonferenza di centro A e raggio AD e determina i punti di intersezione con la perpendicolare
tracciata al punto precedente
l
da uno di questi punti traccia la parallela ad AB
l
disegna il rettangolo individuato da AB e dalle altre tre rette
l
nascondi gli oggetti inutili.
Il rettangolo aureo successivo si costruisce tracciando il segmento per D perpendicolare ad AB (in pratica eÁ il
rettangolo che rimane se non consideriamo il quadrato sulla sinistra nella prima figura).
La costruzione dei rettangoli aurei successivi eÁ semplice: basta trovare la sezione aurea dei segmenti di suddivisione (quello in verde nella prima figura), tracciare le parallele ai lati del rettangolo precedente (o le perpendicolari
a seconda dello strumento che si vuole usare) e costruire il nuovo rettangolo.
Al termine della costruzione conviene nascondere le linee superflue che complicano il disegno.
Per costruire la spirale si devono adesso tracciare le circonferenze che hanno centro in un vertice dei quadrati
residui (osserva la seconda figura). La spirale eÁ composta dagli archi di queste circonferenze che giacciono all'interno dei quadrati; con lo strumento Arco di circonferenza traccia dunque questi archi (in ogni quadrato e su
2
Tema 5 - Cap. 2: LA SIMILITUDINE
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
ogni circonferenza, seleziona un estremo dell'arco, un punto intermedio e il secondo estremo dell'arco).
Conviene poi nascondere le circonferenze e tutte le linee superflue.
ESERCIZI
1. Disegna una circonferenza, traccia due corde che si intersecano, determina il loro punto di intersezione, cal-
cola le misure di ciascuna delle parti in cui le corde rimangono divise dal punto di intersezione e, calcolando
gli opportuni rapporti, verifica il teorema delle corde.
2. Disegna una circonferenza, prendi un punto P esterno e traccia da P due semirette secanti; individua i punti
di intersezione con la circonferenza e verifica, calcolando gli opportuni rapporti, il teorema delle secanti.
3. Disegna una circonferenza, traccia una retta tangente per un suo punto, scegli un punto P su tale tangente
e traccia da P una secante. Dopo aver individuato i punti che secondo te sono necessari, verifica, calcolando gli opportuni rapporti, il teorema della secante e della tangente.
4. Disegna un triangolo ABC rettangolo in A e indica con M il punto medio dell'ipotenusa. Costruisci il corri-
1
; detti B 0 , C 0 e M 0 i corrispondenti dei punti
2
B, C e M verifica che il quadrilatero AB 0 MC 0 eÁ un rettangolo e stabilisci come deve essere disegnato il triangolo ABC affinche il medesimo quadrilatero diventi un quadrato.
spondente di tale triangolo nell'omotetia di centro A e rapporto
5. Disegna un triangolo ABC e prendi un punto D e un punto E esterni al triangolo. Costruisci il corrispondente
A 0 B 0 C 0 di ABC nell'omotetia di centro D e rapporto k 2; costruisci il corrispondente A 00 B 00 C 00 di A 0 B 0 C 0
1
nell'omotetia di centro E e rapporto h . Verifica che ABC e A 00 B 00 C 00 si corrispondono in una traslazione
2
!
di vettore uguale alla metaÁ del segmento orientato DE .
6. Disegna un triangolo ABC; dal vertice A traccia la perpendicolare al lato AC, dal vertice B la perpendicolare
al lato AB e infine dal vertice C la perpendicolare al lato BC. I punti di intersezione di queste tre rette definiscono un nuovo triangolo DEF; verifica che ABC e DEF sono simili e dai una giustificazione di cioÁ.
7. Trova una procedura per inscrivere un quadrato in una semicirconferenza in modo che abbia un lato sul
diametro.
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Tema 5 - Cap. 2: LA SIMILITUDINE
3
Approfondimento
I frattali
Nella geometria classica da noi studiata siamo
portati a dire che le rette hanno una dimensione,
le superfici ne hanno due e i corpi solidi ne hanno
tre. Diciamo poi che anche una curva ha una sola
dimensione percheÂ, mediante il processo di rettificazione, possiamo sempre ridurla ad una retta o
ad una sua parte.
Ma eÁ sempre cosõÁ? Qualunque linea si puoÁ rettificare ed ha quindi dimensione uno? Per dare una
riposta a questa domanda consideriamo la linea
che costruiamo in questo modo.
Prendiamo un quadrato, dividiamolo in nove parti
uguali e costruiamo una spezzata come in figura
1a; otteniamo cosõÁ una prima approssimazione
della curva che vogliamo costruire. Dividiamo poi
ciascuno dei nove quadratini precedenti in altre
nove parti e, in ognuno di essi, sostituiamo la linea
disegnata con una spezzata della stessa forma di
quella della prima approssimazione (figura 1b).
Procedendo con lo stesso metodo otteniamo curve
di lunghezza sempre maggiore, perche ogni tratto
di linea viene sostituito con uno di lunghezza maggiore nell'approssimazione successiva (figura 1c).
Se il numero delle approssimazioni cresce sempre
piuÁ e tende all'infinito, la lunghezza della linea ottenuta diventa infinita e arriva a riempire tutto il
quadrato di partenza.
Questa curva, riempiendo un quadrato, ha allora
dimensione due e non puoÁ quindi essere rettificata.
Essa viene detta curva di Peano (Giuseppe Peano,
1858-1932). Esistono quindi linee che hanno due
dimensioni.
Ma, siamo tentati di dire, se questo ha senso dal
punto di vista teorico, che riscontro hanno nella
realtaÁ linee di questo tipo? Per rispondere a questa
domanda poniamo un altro quesito.
"Quanto eÁ lunga la linea costiera della Gran Bretagna?"
Con questo titolo comparve nel 1967 sulla rivista
Science un articolo di Benoit Mandelbrot, un brillante matematico francese che lavorava in un centro di ricerca dell'IBM nello stato di New York. Il titolo, di per se innocuo e apparentemente di scarso
valore scientifico, suscitoÁ invece grande interesse
per le implicazioni che comportava.
Le considerazioni di Mandelbrot, che cercheremo
di esporre fra breve nel modo piuÁ semplice possibile, diedero luogo ad una serie di studi su curve e
superfici particolari che sono in grado di rappresentare molti fenomeni fisici e biologici.
La teoria dei frattali, cosõÁ eÁ stata chiamata la teoria
nata da questi studi, ha potuto svilupparsi anche
grazie alla potenza dei moderni computer e puoÁ
per questo ben ritenersi "figlia" dell'era dei calcolatori. Oggi le superfici frattali, di cui puoi vedere
un esempio in figura 2 di pagina seguente, vengono studiate negli ambienti universitari e trovano applicazioni nei campi piuÁ svariati: da quello delle
arti grafiche per produrre immagini, a quello cinematografico per produrre effetti speciali soprattutto
per i film di fantascienza.
Ma vediamo da che ragionamento era partito
Mandelbrot nel suo articolo. Se vogliamo misurare
quanto eÁ lunga la costa della Gran Bretagna, non
Figura 1
a.
4
Tema 5 - Cap. 2: LA SIMILITUDINE
b.
c.
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Figura 2
potendola "tirare" in modo da renderla rettilinea,
dobbiamo usare qualche artificio. Per esempio
prendere un aereo e, mantenendo costante la quota, scattare tante fotografie che, accostate, ci consentano di misurare la linea costiera. Il valore trovato non eÁ peroÁ molto preciso; si puoÁ allora trovare
un valore migliore volando ad una quota piuÁ bassa
e scattando molte piuÁ fotografie.
Se poi decidiamo di percorrere a piedi la costa,
possiamo usare un bastone di lunghezza fissata,
per esempio un metro, appoggiarlo in un punto
A (punto iniziale della misurazione) e ruotarlo attorno ad A fino a che l'altro estremo tocca un punto
B della costa; segnata la posizione di B, riportiamo
il primo estremo del bastone in B e tocchiamo con
l'altro estremo un terzo punto C. Supponendo di
avere la pazienza di ripetere questa procedura fino a descrivere l'intero percorso, abbiamo trovato
una misura sicuramente piuÁ precisa della linea costiera. Se poi il nostro bastone fosse uno spago lungo 10 centimetri, troveremmo un valore ancora piuÁ
preciso.
In sostanza, la lunghezza trovata con questi procedimenti dipende dal passo scelto: piuÁ il passo p eÁ
piccolo, piuÁ il valore trovato L eÁ preciso. Se nella
mente di un uomo comune ci si puoÁ fermare ad
un bastone della lunghezza di un metro, per un fisico p puoÁ scendere alle dimensioni atomiche; ma
per un matematico il processo di suddivisione di un
segmento non ha termine e quindi p puoÁ diventare
sempre piuÁ piccolo.
Ci sono poi situazioni reali in cui il processo di misurazione di una linea porta a trovare valori di L
che aumentano sempre al diminuire di p senza dare segni di avvicinarsi ad un valore preciso; e questo significa che tali linee hanno lunghezza infinita
pur racchiudendo una superficie limitata.
E' il caso della curva di Koch, (Helge von Koch,
1870-1924) che viene cosõÁ costruita. Consideriamo un triangolo equilatero e dividiamo ciascuno
dei suoi lati in tre parti congruenti (figura 3a); sul
segmento centrale di ogni lato costruiamo, esternamente ad esso, un altro triangolo equilatero cancellando poi il segmento centrale (figura 3b). Lavoriamo adesso allo stesso modo su ognuno dei triangoli equilateri piuÁ piccoli; iterando il procedimento otteniamo una curva sempre piuÁ elaborata (figura
3c) e, poiche il processo di suddivisione di un segmento non ha termine, anche in questo caso il numero di iterazioni eÁ infinito.
Cerchiamo di capire che cosa succede alla lunghezza di questa linea; se indichiamo con a il lato
del triangolo iniziale, il suo perimetro eÁ 3a; alla
prima iterazione ciascun nuovo "lato" diventa
4
1
a, cioeÁ aumenta di a. L'aumento si verifica
3
3
ad ogni nuova iterazione per cui, anche in questo
caso, troviamo una linea di lunghezza infinita che
tuttavia racchiude una superficie limitata.
Osserviamo che, fino a quando ci manteniamo in
Figura 3
a.
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
b.
c.
Tema 5 - Cap. 2: LA SIMILITUDINE
5
un numero finito di iterazioni, il problema della lunghezza infinita non si pone perche si arriva comunque a determinare una lunghezza precisa; per
esempio, dopo 100 iterazioni, L vale
100
4
9,35 1012 a
3a 3
e si puoÁ dire che la linea ottenuta eÁ rettificabile ed
ha dimensione uno. Il problema nasce quando il
numero di iterazioni diventa infinito e si raggiunge
la curva limite, perche non ci troviamo piuÁ in un
ambiente conosciuto dalla nostra esperienza.
Non ha piuÁ senso quindi parlare di "dimensione"
con la concezione che abbiamo usualmente di questo termine.
I matematici hanno introdotto allora un nuovo concetto di dimensione che prevede che ne possano
esistere anche di frazionarie; con questa nuova
concezione, che non spieghiamo in questa sede
perche comporta conoscenze matematiche piuÁ elevate, la curva di Koch ha dimensione pari a circa
1,2618 con una approssimazione di quattro cifre
decimali.
Le figure con dimensione frazionaria sono state
chiamate frattali da Mandelbrot nel 1987 con la
pubblicazione del libro Gli oggetti frattali: forma,
caso e dimensione dove egli dimostra come molti
fenomeni fisici e biologici diano origine a figure
di questo tipo.
Oggi gli studi sulla geometria frattale tentano di
descrivere le forme della Natura e di studiare i
comportamenti dei piuÁ svariati fenomeni come
per esempio lo sviluppo dei cicloni. In biologia,
fra le altre cose, la teoria frattale eÁ applicata allo
studio dei tumori; pare infatti, e recenti studi lo dimostrerebbero, che i vasi sanguigni che nutrono le
cellule tumorali abbiano uno sviluppo che puoÁ essere misurato con l'applicazione della geometria
frattale. Impedire il nutrimento di tali cellule potrebbe voler dire sconfiggere la malattia.
Anche il mondo del teatro si interessa ai frattali; da
un progetto della Bottega dell'Attore-Autore di
Campoteatrale nasce (eÁ)stran(eÁ)a un lavoro di Lilli
Fragneto che l'autrice-attrice porta in giro per le
scuole con molto successo. Lo spettacolo inizia
con queste parole:
Stamattina assisterete ad una lezione di matematica, o meglio, ad una lezione di geometria. Vedremo insieme che eÁ possibile misurare il mondo, fare
6
Tema 5 - Cap. 2: LA SIMILITUDINE
geometria, usando
forme diverse dalle
rette, quadrati, cerchi... da quelle forme ereditate dalla
geometria euclidea.
Esiste una nuova
geometria che fa
uso di forme che si
trovano in natura...
eÁ la geometria frattale, eÁ una teoria che
non crea modelli o
griglie, ma semplicemente descrive il mondo intorno a noi, e lo traduce
in matematica tenendo conto degli infiniti particolari.
La protagonista descrive come fino da bambina la
sua passione fosse rivolta ai cavoli piuttosto che alle bambole, perche i cavoli sono delle fantastiche
figure frattali della natura (in figura 4 l'albero di Pitagora che somiglia proprio a un ciuffo di cavolfiore la cui costruzione eÁ spiegata negli esercizi a pagina 180).
Figura 4
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
1 In un triangolo isoscele ABC con AC BC 6 AB, si fissi un punto P sulla base AB. Quante posizioni
puoÁ assumere nel piano un punto Q se vogliamo che i punti A, P e Q, presi in ordine qualsiasi, siano
i vertici di un triangolo simile ad ABC?
a. 0
b. 2
c. 3
d. 4
e. 6
e:
2 Sia dato un triangolo rettangolo i cui cateti misurano 21 e 28 cm e un semicerchio in esso inscritto come nella figura a fianco. Quanto misura in cm2 l'area del semicerchio?
441
c. 98
a. 50
b.
8
121
d:
d. 72
e.
2
3 Osserva la figura. Vi eÁ rappresentato un rettangolo in cui sono tracciate
le diagonali e il segmento che unisce un vertice al punto medio di uno
dei lati che non vi confluiscono. Quanto vale il rapporto fra la lunghezza delle diagonali e la lunghezza del segmento PQ?
a. non eÁ possibile rispondere perche dipende dalle misure del rettangolo
13
b:
d. 4
e. 3
b. 6
c.
3
4 Consideriamo un triangolo rettangolo avente i lati di lunghezza 5, 12 e
13. Un cerchio di raggio 1 si muove all'interno del triangolo in modo da
toccare sempre almeno uno dei suoi lati. Quanto eÁ lungo il percorso descritto dal centro del cerchio dopo essere tornato alla posizione di partenza?
a. 12
b. 13
c. 14
d. 15
d:
e. 16
5 Sia ABC un triangolo e sia A 0 il simmetrico di A rispetto a BC; sia poi DAA 0 simile ad ABC e sia D 0 il
simmetrico di D rispetto a AA 0 . Sapendo che il prodotto delle aree dei quadrilateri ABA 0 C e ADA 0 D 0
eÁ 16, si puoÁ dire che AA 0 ........
p
p
c. eÁ 2
d. eÁ 2 2
a. eÁ 1
b. eÁ 2 4 2>
e. non eÁ univocamente determinato dai dati
(Nota: la similitudine tra DAA 0 e ABC va intesa in modo ordinato:
DA
AA 0
A 0D
)
AB
CA
BC
d:
6 In un trapezio isoscele ABCD di base maggiore AB, le diagonali vengono divise dal loro punto d'incontro O in parti proporzionali ai numeri 1
e 3. Sapendo che l'area del triangolo BOC eÁ 15, quanto misura l'area
dell'intero trapezio?
a. 60
b. 75
c. 80
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
d. 90
e. 105
c:
Tema 5 - Cap. 2: LA SIMILITUDINE
7
7 Si costruisca una circonferenza inscritta in un triangolo ABC e siano L, M, N i
punti di tangenza dei lati AB, BC, CA. Quale delle seguenti affermazioni eÁ
sbagliata?
a. I triangoli ALN, BML, CNM sono isosceli.
b. Il triangolo LMN eÁ acutangolo.
c. Se il triangolo ABC ha un angolo di 60 , allora anche il triangolo LMN ha
un angolo di 60 .
d. Almeno due tra i triangoli LMN, ALN, BML, CNM sono simili.
e. Le circonferenze circoscritte ai triangoli ALN, BML, CNM passano per uno
d:
stesso punto.
8 Nella figura a fianco il segmento DE eÁ parallelo ad AB. Sapendo che l'area di
DEC eÁ uguale ai 3 di quella di ABC e che AC misura 1m, quanto misura DC?
4
p
p
p
p
3
3
2
3
3
e.
m
d. m
m
m
b. 2
3 m
c.
a.
e:
4
3
2
2
9 Nel rettangolo ABCD (vertici indicati in senso antiorario), E ed F sono i punti
medi dei lati maggiori AD e BC rispettivamente. Sapendo che ABFE eÁ simile
AD
?
ad ABCD, quanto vale
AB
p
p
7
3
b.
c. 3
d. 2 2
a.
5
2
e. le precedenti risposte sono tutte sbagliate
e:
Dalla cantina al ristorante: storia di una ristrutturazione
Un geometra deve lavorare su un progetto di ristrutturazione di un vecchio edificio che una volta era una cantina in tufo e che oggi deve diventare un elegante ristorante. Egli ha rilevato le dimensioni della cantina e le ha
annotate sul suo blocco degli appunti; sinteticamente possiamo dire che:
l
la forma della pianta eÁ rettangolare con i lati interni che misurano 25,40m per 12,80m
l
lo spessore dei muri eÁ di 0,40m
l
il soffitto della cantina ha una forma triangolare con il punto piuÁ alto nella linea centrale della stanza che misura 4,80m e il punto piuÁ basso che misura 2,10m su un lato e 2,80m sull'altro lato, posto di fronte al primo; i
due lati del tetto appoggiano sui lati piuÁ corti della stanza.
Sul lato piuÁ lungo della stanza, il lato che volge a Ovest, si trova un'apertura che fa da porta di accesso al locale;
guardando la parete, essa si trova a 10m dallo spigolo di sinistra ed eÁ larga 3m e alta 2,60m. La stanza possiede
due finestre, entrambe poste sulla parete di fronte alla porta d'ingresso; si trovano in posizione simmetrica rispetto alla linea centrale della parete e ciascuna dista 5m dallo spigolo; sono larghe 2m e alte 3m.
8
Tema 5 - Cap. 2: LA SIMILITUDINE
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Il progetto di ristrutturazione, deve prevedere la realizzazione di:
l
una grande cucina di almeno 25m2
l
servizi igienici attrezzati, distinti per uomini e donne
l
tre sale ristorante cosõÁ organizzate:
- una sala comune dove sistemare tavoli rotondi: 4 tavoli del diametro di 3m, 10 tavoli del diametro di 2m, 8
tavoli piuÁ piccoli del diametro di 1,5m
- una sala con separe movibili per cene riservate: deve essere prevista una superficie minima di 48m2
- una sala con divani, poltrone e piccoli tavoli per il dopo cena e la degustazione di liquori e caffeÁ.
E' poi importante che la cucina abbia una grande finestra che puoÁ eventualmente essere realizzata mediante
ulteriori aperture nei muri perimetrali.
Per costruire il progetto e realizzare dei disegni eÁ necessario rispettare le proporzioni esatte delle misurazioni
effettuate e tenere in debito conto l'ingombro dei tavoli una volta che verranno disposti nel locale.
Saresti in grado di proporre una possibile soluzione?
1 Considerando un rapporto di scala 1 : 100, quali sono le dimensioni del perimetro esterno dell'edificio?
Quali quelle del perimetro interno?
2 Se il rapporto di scala eÁ di 1 : 80, come si modificano sul disegno le lunghezze dei lati e quelle del perimetro interno ed esterno?
3 Supponendo che le dimensioni della cucina siano di 6m per 5m, che quelle dei bagni siano di 2m per
3m ciascuno e che i due bagni siano affiancati, trova una possibile sistemazione dei locali e dimensiona
correttamente il disegno del progetto, non dimenticando di posizionare e dimensionare la finestra della
cucina.
4 Dai una rappresentazione grafica in scala 1 : 120 della facciata Ovest e della facciata Est del ristorante
posizionando correttamente la porta d'ingresso e le due finestre.
5 Revisionando con piuÁ attenzione l'edificio, si scopre che il tetto deve
essere rifatto. Supponendo che si vogliano degli spioventi che escono
dalla linea delle pareti per 1,5m (misurati lungo il tetto) e se il costo di
rifacimento eÁ di E 400 al metro quadro, qual eÁ la spesa complessiva
che si deve affrontare?
1 76,4cm; 79,6cm
2 95,5cm; 99,5cm
5 E 196743 circa
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Tema 5 - Cap. 2: LA SIMILITUDINE
9
