Progetto Di Filtri Attivi
Dicembre 2009
Modellistica Circuitale A.A 2009/2010
1
Outline
L'amplificatore Operazionale
zFiltri a singolo polo
zSingle Amplifier Biquad (SAB)
zFiltri di Sallen e Key
zCircuito di Antoniou
zConfigurazione ad anello con doppio
integratore
zFiltri a capacità commutate
Massimo Camplani
z
Dicembre 2009
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2
Amplificatore operazionale
Richiami 1/9
Massimo Camplani
L'amplificatore operazionale è un componente fondamentale per
moltissimi circuiti elettronici. Nonostante sia costituito da diversi
transistor viene generalmente trattato come un singolo elemento
circuitale. In questo modo è possibile semplificare il suo utilizzo in
circuiti come amplificatori, filtri, buffer e convertitori.
L’amplificatore differenziale viene quindi realizzato e implementato in
vari modi, ma il suo comportamento può essere descritto attraverso il
modello di amplificatore operazionale ideale.
Dicembre 2009
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3
Amplificatore operazionale
Richiami 2/9
Le
principali
caratteristiche
del
modello
ideale
dell’amplificatore
operazionale sono:
Guadagno in tensione
aperto infinito.
Banda passante infinita.
L’amplificatore non assorbe corrente
Rin = ∞
L’uscita non risente dalla presenza del
carico
Rout = 0
Massimo Camplani
Dicembre 2009
ad
anello
AV (ω) = ∞
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0≤ω≤∞
Amplificatore operazionale
Richiami 3/9
L'amplificatore operazionale viene indicato negli schemi circuitali con il simbolo mostrato
in figura.
Massimo Camplani
Il morsetto di ingresso indicato con il segno
–
è detto morsetto invertente, il morsetto
indicato con il segno + è detto morsetto non invertente. Vcc e –Vcc sono le alimentazioni ,
positiva e negativa, dell’amplificatore.
La relazione ingresso uscita dell’amplificatore operazionale ideale è:
Vout = AV (V2 − V1 ) = AV Vin
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5
Amplificatore operazionale
Richiami 4/9
Massimo Camplani
L’amplificatore operazionale non è mai utilizzato ad anello aperto, ma viene generalmente
inserita una catena di controreazione, che permette di sfruttare tutte le sue proprietà.
In figura è riportato lo schema classico della controreazione
Dove A(s) è la funzione di trasferimento del sistema a ciclo aperto (l’amplificatore
operazionale nel nostro caso) e t(s) la funzione di trasferimento della catena di
controreazione. Le equazioni del sistema a ciclo chiuso sono riportate nella slide
successiva.
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6
Amplificatore operazionale
Richiami 5/9
X o = A(s )X i
X f = t (s )X o
A(s )X i
A(s )
=
X i + t (s )A(s )X i 1 + t (s )A(s )
Massimo Camplani
Xi = Xs − X f
Xo
A(s )X i
A(s )X i
=
=
Xs Xi + X f Xi + X f
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7
Amplificatore operazionale
Richiami 6/9
Massimo Camplani
Le due configurazioni “classiche” dell’operazionale sono la configurazione invertente
(guadagno negativo), e la configurazione non invertente. k è il guadagno a ciclo chiuse del
sistema.
R2
k=−
R1
R2
k = 1+
R1
L’espressione del guadagno a ciclo chiuso può essere facilmente ottenuta con un analisi
delle correnti che scorrono nel circuito. Analizziamo per esempio la configurazione
invertente (lo stesso si può fare per quella non invertente).
Dicembre 2009
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8
Amplificatore operazionale
Richiami 7/9
1.
2.
3.
Massimo Camplani
4.
5.
6.
Dicembre 2009
La differenza di potenziale tra
i
terminali
di
ingresso
all’operazionale è nulla.
v1=0
La corrente che scorre su R1
è pari a v1/R1
L’operazionale non assorbe
corrente
i2=i1
vo = -v1(R2/R1)
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9
Amplificatore operazionale
Richiami 8/9
L’analisi e i risultati ottenuti precedentemente si basano sul concetto di
massa virtuale. Sostanzialmente i due morsetti di ingresso
dell'amplificatore hanno la stessa tensione, nonostante essi non siano
cortocircuitati. Questo è vero solo nell'ipotesi in cui Av sia infinitamente
grande (idealmente infinito).
se AV ≈ ∞
Massimo Camplani
e0
es =
≈0
AV
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10
Amplificatore operazionale
Richiami 8/9
Un altra configurazione molto utilizzata è la configurazione ad
inseguitore di tensione (o buffer) caratterizzata da guadagno unitario. In
uscita dell’operazionale viene riportata la tensione di ingresso.
Vantaggio di questa configurazione dovuto all’elevata resistenza di
ingresso dell’operazionale è quello di minimizzare gli effetti di carico sul
generatore
Massimo Camplani
Vo = Vi
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11
Amplificatore operazionale
Massimo Camplani
Illustreremo ora alcuni dei più significativi effetti dovuti alle non
idealità negli amplificatori operazionali reali. Effetti che modificano
sensibilmente il comportamento dinamico degli amplificatori
operazionali. Talvolta questi possono essere trascurati sotto
talune ipotesi, ma è comunque necessario tenere conto di questi
fenomeni in fase di progetto di circuiti elettronici come filtri etc.
Dicembre 2009
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12
Amplificatore operazionale
Massimo Camplani
Risposta in frequenza 1/6
Il guadagno dell’amplificatore operazionale ha una risposta in frequenza a singolo
polo di tipo passa basso. Questo ovviamente implica che maggiore è la frequenza di
funzionamento del circuito in cui è inserito l’operazionale, minore è il guadagno
dell’operazionale.
f0 è la frequenza di
taglio
ft (frequenza di taglio
unitario) è la frequenza
per la quale il modulo
della
risposta
in
ampiezza vale 0 db,
ovvero l’amplificatore ha
guadagno unitario.
Chiameremo A(s)
l’espressione che
caratterizza il guadagno
finito dell’operazionale
f0
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13
Amplificatore operazionale
Risposta in frequenza 2/6
A0ω0
A( jω) =
ω0 + jω
A0ω0
Se ω >> ω0 A( jω) =
jω
Posto ωt = A0ω0
Massimo Camplani
ft
|A( jω)| ≈
f
Dicembre 2009
Come specifiche,
generalmente vengono
fornite f0e ft.
Se
è
verificata
la
condizione ft>>f0 si può
avere facilmente una stima
del
guadagno
dell'amplificatore.
Chiaramente il valore finito
e di tipo passa basso del
guadagno dell’amplificatore
comporta delle modifiche
del guadagno a ciclo chiuso
degli esempi precedenti
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14
Amplificatore operazionale
Risposta in frequenza 3/6
Analizziamo ora la risposta in frequenza dell’operazionale utilizzato in
configurazione invertente. Nelle slide precedenti era stato calcolato un
guadagno a ciclo chiuso pari a k=-R2/R1 considerando il modello
dell’operazionale ideale.
Sia A(s) il guadagno finito dell’operazionale discusso nelle slide
precedenti:
Massimo Camplani
A0ω0
k0
A( jω) =
=
ω0 + s ω0 + s
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15
Amplificatore operazionale
Risposta in frequenza 4/6
La tensione al nodo 1 può essere scritta così:
Vo ( s)
V1 ( s) = −
A( s)
Ottenendo quindi la tensione che scorre sulla
resistenza R1:
Vi (s) + Vo ( s) / A( s)
I1 ( s) =
R1
Massimo Camplani
Da cui si ottiene l’espressione per V0 e il rapporto Vo/Vi
Vo ( s) = −
Vo ( s)
V ( s) V ( s) + Vo ( s) / A( s)
− I 2 ( s) R2 = − o − i
R2
A( s)
A( s)
R1
Vo ( s)[1 + (1 + R2 / R1 ) / A( s)] = −( R2 / R1 )Vi ( s)
Vo ( s)
− ( R2 / R1 )
=
V1 ( s) [1 + (1 + R2 / R1 ) / A( s)]
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16
Amplificatore operazionale
Risposta in frequenza 5/6
Ora è possibile sostituire nell’equazione precedente il valore di A(s)
Vo (s )
− R2 / R1
− R2 / R1
=
=
s
Vi (s ) 1+ (1+ R2 / R1 ) / A( s) 1+ 1 (1+ R / R ) +
2
1
A0
A0 ω0 / (1+ R2 / R1 )
Massimo Camplani
Per A0 >> (1+ R2 / R1 )
− R2 / R1
Vo (s )
=
s
Vi (s ) 1+
ωt / (1+ R2 / R1 )
La funzione di trasferimento trovata è quella di un
sistema a singolo polo con pulsazione a 3db pari a:
Dicembre 2009
ωt
ω3db =
(1+ R2 / R1 )
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17
Amplificatore operazionale
Risposta in frequenza 6/6
Per il caso non invertente si ottiene invece:
1+ R2 / R1
Vo (s )
=
s
Vi (s ) 1+
ωt / (1+ R2 / R1 )
per ω0 >> (1+ R2 / R1 )
Massimo Camplani
ω
t
La funzione di trasferimento trovata è quella di un ω
=
sistema a singolo polo con pulsazione a 3db pari a: 3db
(1+ R2 / R1 )
Il più semplice filtro passa basso (a singolo polo) può essere
dunque realizzato con l'amplificatore in una delle configurazioni
classiche, scegliendo opportunamente il rapporto R2/R1
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Amplificatore operazionale
Caratteristica non lineare
Massimo Camplani
L'operazionale si comporta come illustrato precedentemente se e solo se si lavora
nella zona lineare della sua caratteristica. Come è possibile vedere in figura essa è
limitata dalle tensioni di alimentazione.
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Amplificatore operazionale
Slew Rate 1/3
Un altro effetto di non idealità che comporta distorsioni non lineari è
il fenomeno dello slew rate SR. Lo SR è definito come la massima
velocità di variazione della tensione di uscita dell’amplificatore.
Massimo Camplani
dvo
SR =
dt
max
Questa specifica è in genere fornita dai costruttori in termini di V/μs.
Come esempio supponiamo di sottoporre ad un amplificatore di
tensione utilizzato come buffer, un gradino di ampiezza V.
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20
Amplificatore operazionale
Slew Rate 2/3
Essendo Vi la tensione di ingresso, un
gradino di ampiezza V:
Vi = δ -1V
Considerata la funzione di trasferimento
del buffer pari a:
Vo
1
=
Vi 1 + s / ω0
Massimo Camplani
Si dovrebbe ottenere in uscita la tensione
Vo
(
Vo = V 1 − e
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−t /τ
)
21
Amplificatore operazionale
Slew Rate 3/3
Massimo Camplani
Dicembre 2009
Quando il segnale di ingresso assume un
valore tale da richiedere una variazione
dell’uscita più rapida di quella indicata
nelle specifiche si verifica Il fenomeno
dello slew rate.
Nell’esempio la risposta desiderata (di
tipo esponenziale) viene distorta e in
uscita si ottiene una retta la cui pendenza
è proprio pari al valore di SR presente
nelle specifiche.
Lo SR è dovuto sostanzialmente ai limiti
imposti dai transistori dello stato di uscita
che erogano la corrente sul carico.
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22
Amplificatore operazionale
Larghezza di banda a piena potenza 1/2
Massimo Camplani
L’effetto dello slew rate può introdurre distorsione non lineare su forme d’onda di
tipo sinusoidali. Nelle specifiche del costruttore viene spesso indicato il
parametro fM, detto larghezzza di banda a piena potenza, legato allo slew rate.
Nel caso di onda sinusoidale lo SR può distorcerla, e trasformarla in un onda
triangolare.
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23
Amplificatore operazionale
Larghezza di banda a piena potenza 2/2
fM è definita come la frequenza per la quale una sinusoide di ampiezza pari
all’ampiezza massima che può fornire l’operazionale Vomax, mostra distorsione
per il fenomeno dello slewrate.
SR
fM =
2πVo max
Massimo Camplani
E possibile ricavare un espressione che lega fM, la frequenza di funzionamento f0
e la tensione di ingresso V0. In questo modo si può avere una stima di quale sia
la massima ampiezza del segnale di ingresso alla frequenza di lavoro f0 (o
viceversa).
Segnale sinusoidale
vi = Vi senωt
'
Velocità variazione del segnale
dvi
= ωVi ' cos ωt
dt
⎛ ωM
Vo = Vo max ⎜⎜
⎝ ωo
⎞
⎟⎟
⎠
Massima ampiezza della sinusoide
di pulsazione ωo.
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24
Amplificatore operazionale
Problemi in continua
Alcuni problemi dovuti alla non idealità dell’amplificatore differenziale, sono
particolarmente rilevanti se si lavora in continua. L’effetto della tensione di offset VOS
dovuta allo sbilanciamento (sempre presente) dei circuiti integrati che compongono lo
stadio differenziale dell’operazionale, può limitare fortemente l’escursione massima del
segnale in ingresso allo stadio di amplificazione.
⎛ R2 ⎞
Vo = VOS ⎜⎜1 + ⎟⎟
⎝ R1 ⎠
Massimo Camplani
Una
possibile
soluzione,
se
l’applicazione non richiede di lavorare
a basse frequenze, è connettere un
condensatore in serie al resistore R1,
in questo modo in uscita la tensione
Vos non verrà amplificata.
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Outline
L'amplificatore Operazionale
zFiltri a Singolo Polo
zSingle Amplifier Biquad (SAB)
zFiltri di Sallen e Key
zCircuito di Antoniou
zConfigurazione ad anello con doppio
integratore
zFiltri a capacità commutate
Massimo Camplani
z
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Massimo Camplani
Filtri Attivi
Circuiti elettronici che implementano azioni filtranti di vario tipo sono
utilizzati
in
moltissime
applicazioni,
nel
campo
delle
telecomunicazioni, in sistemi di acquisizione dati, sistemi di potenza
ecc.
Per applicazioni alle alte frequenze (> 1 MHz) generalmente
vengono utilizzati filtri composti da elementi passivi come induttori,
capacitori e resistori. In un range di frequenza più basso (1KHz –
1MHz) i valori degli induttori diviene troppo grande, rendendo il
componente difficile da rializzare (anche per ragioni economiche) e
difficilmente utilizzabile.
In questi casi si utilizzano circuiti in cui sono presenti amplificatori
operazionali, capacitori e resistori.
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27
Filtri a singolo polo
Massimo Camplani
Analizziamo in questa sezione i circuiti filtranti più semplici che è
possibili realizzare con amplificatori operazionale. Questi circuiti
sono caratterizzati dalla presenza di un unico operazionale e da
una funzione di traferimento a singolo polo.
Dicembre 2009
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Filtri a singolo polo
a0
H LP (s ) =
s + ω0
Massimo Camplani
a1s
H HP (s ) =
s + ω0
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29
Filtri a singolo polo
I filtri a singolo polo si basano sostanzialmente sugli schemi classici con
cui viene utilizzato l’amplificatore operazionale.
La catena di controreazione può essere formata da due impedenze
qualsiasi, non necessariamente due resistenze. In questo modo è
possibile ottenere dei semplici filtri a singolo polo, con un unico stadio di
amplificazione.
Massimo Camplani
Vo (s )
Z 2 (s )
=−
Vi (s )
Z1 (s )
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30
Filtri a singolo polo
Integratore di Miller e LPF 1/2
1
Z1 (s ) = R2 , Z 2 (s ) =
sC
Vo (s )
Z 2 (s )
=−
Vi (s )
Z1 (s )
Massimo Camplani
Vo
1
=−
Vi
sCR
L'integratore di Miller è un integratore puro.
Per frequenze nulle ha un guadagno infinito, e ciò lo rende instabile.
Nella realizzazione pratica l'uscita satura al valore della tensione di
alimentazione Vcc positiva.
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31
Filtri a singolo polo
Integratore di Miller e LPF 2/2
Z1 (s ) = R, Z 2 (s ) =
Massimo Camplani
Vo (s )
Z 2 (s )
=−
Vi (s )
Z1 (s )
sCR f
1 / sC + R f
RF
Vo
R
=−
Vi
1+ sCRF
Con questa soluzione si stabilizza il filtro, ma l'integratore non è ideale.
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32
Filtri a singolo polo
LPF con configurazione non invertente
Si può allo stesso modo ottenere un filtro LP utilizzando la configurazione
non invertente, come mostrato in figura
(
Vin − Vx )
I
, I=
Vx =
sC1
R1
Massimo Camplani
Vin
Vx =
sC1R1 + 1
Vout
⎛ R2 ⎞
⎛ R2 ⎞
Vout
1
⎜⎜1 + ⎟⎟
= Vx ⎜⎜1 + ⎟⎟ ,
=
Vin sC1R1 + 1 ⎝ R3 ⎠
⎝ R3 ⎠
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33
Filtri a singolo polo
Esempio progetto LPF
Si consideri il circuito in figura e si progetti un filtro LPF con guadagno in
tensione pari a 5 (in modulo) e f0=1kHz
a0
H LP (s ) =
s + ω0
gainDC
a0
=
=5
ω0
1
RF
Vo
R = − RC
=−
Vi
1+ sCRF
1/CRF + s
⇒ R = 0.2 R f
ω0 = 2π ⋅10 = 1 / CR f
Massimo Camplani
3
1
⇒ Rf =
2π ⋅103 C
Scelto il valore di C, si possono facilmente determinare i valori di R e Rf in modo
tale da rispettare le specifiche. Per esempio scegliendo C=45nF, si ottiene
Rf=3.38KΩ e R=667Ω.
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34
Filtri a singolo polo
Derivatore e HPF 1/2
1
Z1 (s ) =
, Z 2 (s ) = R
sC
Vo (s )
Z 2 (s )
=−
Vi (s )
Z1 (s )
Massimo Camplani
Vo
= −sCR
Vi
Il circuito mostrato in figura è un derivatore puro, ovvero si comporta
come un filtro passa alto con frequenza di taglio infinita. Anche questo
filtro presenta problemi di stabilità. In generale viene posto in serie al
condensatore un resistore.
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35
Filtri a singolo polo
Derivatore e HPF 2/2
1
Z1 (s ) =
+ R1 , Z 2 (s ) = R2
sC
Vo (s )
Z 2 (s )
=−
Vi (s )
Z1 (s )
Massimo Camplani
Vo
R2
s
=− ⋅
Vi
R1 s +1 / CR1
Filtro passa alto a singolo polo realizzato con un unico stadio di
amplificazione
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36
Filtri a singolo polo
HPF con configurazione non invertente
Si può allo stesso modo ottenere un filtroHP utilizzando la configurazione
non invertente, come mostrato in figura
Vx = I R1 , I = (Vin − Vx )sC1
Massimo Camplani
sC1R1
Vx =
Vin
sC1R1 + 1
Vout
⎛ R2 ⎞
Vout
sC1R1 ⎛ R2 ⎞
⎜⎜1 + ⎟⎟
= Vx ⎜⎜1 + ⎟⎟ ,
=
Vin sC1R1 + 1 ⎝ R3 ⎠
⎝ R3 ⎠
Dicembre 2009
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Outline
L'amplificatore Operazionale
zFiltri a Singolo Polo
zSingle Amplifier Biquad (SAB)
zFiltri di Sallen e Key
zCircuito di Antoniou
zConfigurazione ad anello con doppio
integratore
zFiltri a capacità commutate
Massimo Camplani
z
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38
Filtri del secondo ordine
In letteratura sono presenti numerosi esempi di modelli di filtri del secondo ordine (o
filtri biquadraditici) ottenibili attraverso l'utilizzo di elementi attivi quali gli amplificatori
operazionali.
Un filtro del secondo ordine è caratterizzato dalla seguente funzione di trasferimento:
a2 s 2 + a1 s + a0
H (s ) = 2
2
s + (ω0 / Q )s + ω0
Massimo Camplani
I poli della funzione di trasferimento sono:
(
ω0
p1, p2 = −
m jω0 1 − 1 / 4Q 2
2Q
Dicembre 2009
)
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39
Filtri del secondo ordine
Massimo Camplani
Low Pass Filter
2
H 0ω0
H (s ) = 2
2
s + (ω0 / Q )s + ω0
Dicembre 2009
con a0 = H 0ω0
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2
40
Filtri del secondo ordine
Massimo Camplani
High Pass Filter
2
H0s
H (s ) = 2
con a2 = H 0
2
s + (ω0 / Q )s + ω0
Dicembre 2009
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41
Filtri del secondo ordine
Massimo Camplani
Band Pass Filter
H 0 (ω0 / Q )s
H (s ) = 2
con a1 = H 0 (ω0 / Q )
2
s + (ω0 / Q )s + ω0
Dicembre 2009
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42
Filtri SAB
Intro 1/2
Massimo Camplani
I filtri biquadratici ad amplificatore
singolo SAB sono composti da un
unico stadio di amplificazione.
Dicembre 2009
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43
Filtri SAB
Intro 2/2
I filtri biquadratici ad amplificatore singolo SAB sono composti da un unico stadio di
amplificazione, e quindi sono particolarmente adatti per applicazioni che richiedono
bassi consumi di energia. D'altro canto questi filtri sono notevolmente influenzati dalla
larghezza di banda finita dell'amplificatore e risultano essere molto sensibili alle
tolleranze degli elementi passivi utilizzati nella catena di controreazione.
Questo tipo di filtro viene dunque utilizzato in genere in applicazioni con specifiche poco
stringenti con fattori di merito Q < 10.
La sintesi dei filtri SAB consiste in due passi fondamentali:
Scelta della rete di controreazione per ottenere i poli della funzione di trasferimento in
modo tale da rispettare le specifiche su ω e .Q
0
zScelta dei morsetti di ingresso per determinare gli zeri della funzione di trasferimento
Massimo Camplani
z
Dicembre 2009
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44
Filtri SAB
Catena di controreazione 1/4
X o = A(s )X i
X f = t (s )X o
Massimo Camplani
Xi = Xs − X f
Xo
A(s )X i
A(s )X i
=
=
X s Xi + X f Xi + X f
A(s )X i
A(s )
=
X i + t (s )A(s )X i 1 + t (s )A(s )
Dicembre 2009
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45
Filtri SAB
Catena di controreazione 2/4
E' possibile dimostrare che per valori elevati del guadagno dell'operazionale
(teoricamente infiniti), i poli del sistema a ciclo chiuso sono gli zeri della rete di
controreazione:
Funzione di trasferimento
N (s )
t (s ) =
D(s )
della rete di controreazione
I poli del sistema a ciclo
chiuso si possono ottenere da:
Massimo Camplani
1+ Kt ( s) = 0
Se K = ∞ t (s p )= 0
1
t (s p )= −
K
Le più semplici reti che hanno una coppia di radici complesse coniugate al
numeratore della loro funzione di trasferimento sono le reti bridget-T
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46
Filtri SAB
Massimo Camplani
Catena di controreazione 3/4
Dicembre 2009
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47
Filtri SAB
Catena di controreazione 4/4
Consideriamo la prima delle reti mostrate nella figura precedente, come detto i poli del
sistema a ciclo chiuso sono gli zeri della funzione di trasferimento della catena di
controreazione. E’ possibile quindi trovare due relazioni che legano le specifiche di
progetto (Q e ω0) e i componenti della rete di controreazione.
⎛ 1
1 ⎞ 1
1
s + (ω0 / Q )s + ω0 = s + s⎜⎜ + ⎟⎟ +
⎝ C1 C2 ⎠ R3 C1C2 R3 R4
2
Massimo Camplani
1
ω0 =
C1C2 R3 R4
2
2
⎡ C1C2 R3 R4
Q= ⎢
R3
⎢⎣
⎛ 1 1 ⎞⎤
⎜⎜ + ⎟⎟⎥
⎝ C1 C2 ⎠⎥⎦
−1
Il valore dei componenti può essere facilmente determinato se si sceglie per primo il
valore delle capacità:
1
1
1
=
=
C1 C2 C
posto
Dicembre 2009
si ottiene C R3 =
R3 = R, R4 = R / m, con
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010
2Q
ω0
m = 4Q 2
48
Filtri SAB
Esempi 1/5
Massimo Camplani
Determinati i poli del sistema a ciclo chiuso, dobbiamo stabilire dove applicare
l'ingresso. Infatti modificando il punto su cui applicare l’ingresso si ottengono differenti
zeri nella funzione di trasferimento del sistema a ciclo chiuso. L'ingresso del sistema
può essere collegato a qualunque nodo connesso a massa, in questo modo non
vengono modificati i poli del sistema.
Per esempio un filtro passa banda può essere ottenuto con la rete (a) con il seguente
circuito:
Dicembre 2009
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010
49
Filtri SAB
Esempi 2/5
La funzione di trasferimento di filtri SAB può essere facilmente ottenuta con una analisi
nodale.
Nodo 2 :
∑Y e
j 2
− Y1 E1 − Y4e4 = 0
Massimo Camplani
Nodo 3 : − Y5e4 − Y3e2 = 0
imponendo e4 = V2
si
ottiene :
Y1Y3
V2 (s)
H ( s) =
=−
E1 (s)
Y5 (Y1 + Y2 + Y3 + Y4 ) + Y4Y3
Dicembre 2009
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010
50
Filtri SAB
Esempi 3/5
Applicando la funzione di trasferimento trovata al circuito passa banda mostrato
precedentemente si ottiene infatti:.
Un’altra possibile scelta dei componenti
1
può essere la seguente
s
−
H ( s) =
R1C4
s ⎛ 1
1 ⎞
1 ⎛1 1 ⎞
⎜⎜ + ⎟⎟
s 2 + ⎜⎜ + ⎟⎟ +
R5 ⎝ C3 C4 ⎠ R5C3C4 ⎝ R1 R2 ⎠
H ( s) =
con Q = 1/α fattore di qualità
C3 = C4 = C
Massimo Camplani
R1 =
R1 =
Dicembre 2009
H 0αω0 s
s 2 + αω0 s + ω02
Q
H 0ω0C
Q
,
2
2Q − H 0 ω0C
(
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010
)
R5 =
2Q
ω0C
51
Filtri SAB
Esempi 4/5
Un filtro passa basso invece può essere ottenuto con il seguente circuito:
Un’altra possibile scelta dei componenti
può essere la seguente
H 0ω02
H ( s) = 2
2
s + αω0 s + ω0
con Q = 1/α fattore di qualità
C5 = C, C2 = kC
1
R1R3C2C5
H ( s) =
s ⎛1 1 1 ⎞
1
s 2 + ⎜⎜ + + ⎟⎟ +
C2 ⎝ R1 R3 R4 ⎠ R3 R4C2C5
Massimo Camplani
−
Dicembre 2009
4(H 0 + 1) ⎤
α ⎡
R4 =
⎢1 ± 1 −
⎥
2ω0C ⎣
kα ⎦
1
,
R3 = 2
2
ω0 R4 kC
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010
R4
R1 =
H0
52
Filtri SAB
Esempi 5/5
Un esempio di filtro passa alto può essere il seguente:
Un’altra possibile scelta dei componenti
può essere la seguente
H0s2
H ( s) = 2
s + αω0 s + ω02
C1 2
s
C4
H ( s) =
s ⎛ C
1
1 ⎞
1
s 2 + ⎜⎜ 1 + + ⎟⎟ +
R5 ⎝ C3C4 C3 C4 ⎠ R2 R5C3C4
Massimo Camplani
−
Dicembre 2009
con Q = 1/α fattore di qualità
C1 = C3 , C4 = C/H0
R2 =
R5 =
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010
α
ω0C (2H 0 + 1)
2H 0 + 1
αω0C
53
Outline
L'amplificatore Operazionale
zFiltri a Singolo Polo
zSingle Amplifier Biquad (SAB)
zFiltri di Sallen e Key
z
z
Circuito di Antoniou
Configurazione ad anello a doppio integratore
zFiltri a capacità commutate
Massimo Camplani
z
Dicembre 2009
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010
54
Filtri di Sallen e Key
Intro 1/2
Massimo Camplani
Attraverso un amplificatore operazionale in configurazione non
invertente è possibile realizzare un generatore di tensione
controllato in tensione (VCVS) con guadagno K
Dicembre 2009
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010
55
Filtri di Sallen e Key
Intro 2/2
Massimo Camplani
La struttura dei filtri di Sallen e Key è mostrata in figura:
imponendo e4 = V2
si ottiene :
V2 (s)
KY1Y4
H ( s) =
=−
E1 (s)
Y5 (Y1 + Y2 + Y3 + Y4 ) + Y4 (Y1 + (1 − K )Y2 + Y3 )
Dicembre 2009
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010
56
Filtri di Sallen e Key
Esempio 1/3
Un filtro passa basso invece può essere ottenuto con il seguente circuito:
Per rispettare le specifiche ω0 e Q i
componenti possono essere scelti con
queste equazioni di progetto
H 0ω02
H ( s) = 2
2
s + αω0 s + ω0
Massimo Camplani
con Q = 1/α fattore di qualità
C1 = C2 = C, K = H 0 > 2
H ( s) =
K
R1R2C1C2
R1 =
1
ω0 R2C 2
⎡ 1 ⎛ 1 1 ⎞ 1− K ⎤
K
s + s ⎢ ⎜⎜ + ⎟⎟ +
+
⎥
C
R
R
R
C
R1R2C1C2
2 ⎠
2 2⎦
⎣ 1⎝ 1
R2 =
α ⎡
4(H 0 − 2) ⎤
+
+
1
1
⎢
⎥
α2 ⎦
2ω0C ⎣
2
Dicembre 2009
se imponiamo
R1 = R2 = 1/ω0C, otteniamo K = 3 - α
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010
57
Filtri di Sallen e Key
Esempio 2/3
Un esempio di filtro passa alto può essere il seguente:
Per rispettare le specifiche ω0 e Q i
componenti possono essere scelti con
queste equazioni di progetto
H0s2
H ( s) = 2
s + αω0 s + ω02
Massimo Camplani
con Q = 1/α fattore di qualità
C1 = C2 = C
Ks 2
H ( s) =
⎛ 1
1
1− K ⎞
K
⎟⎟ +
s 2 + s⎜⎜
+
+
⎝ R2C1 R2C2 R1C1 ⎠ R1R2C1C2
α + α 2 + 8(H 0 − 1)
R1 =
2ω0C
R2 =
4
ω0C α 2 + 8(H 0 − 1)
se imponiamo
R1 = R2 = 1/ω0C, otteniamo K = 3 - α
Dicembre 2009
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010
58
Filtri di Sallen e Key
Esempio 3/3
Un esempio di filtro passa banda può essere il seguente:
K
s
C1R!
H ( s) =
⎛ 1
1
1
1
1− K ⎞
K ⎛1 1 ⎞
⎟⎟ +
⎜⎜ + ⎟⎟
+
+
+
+
s 2 + s⎜⎜
R
C
R
C
R
C
R
C
R
C
R
C
C
R2 ⎠
1 2
2 1
1 1
2 2 ⎠
3 1 2 ⎝ R1
⎝ 3 2
Per rispettare le specifiche ω0 e Q i
componenti possono essere scelti con
queste equazioni di progetto
H 0αω0 s
H ( s) = − 2
s + αω0 s + ω02
Massimo Camplani
C1 = C2 = C
R1 = R1 =
1
ω0 C
si ottiene
Dicembre 2009
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010
K=
3Q − 1
2Q − 1
59
Filtri di ordine elevato
Massimo Camplani
E’ possibile realizzare filtri di ordine elevato utilizzando in cascata le
celle elementari studiate. Il grosso vantaggio dei filtri attivi ottenuti con
operazionali è quello di poter essere connessi in cascata senza rilevanti
effetti di carico.
Dicembre 2009
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010
60
Filtri di ordine elevato
V3 ( s )
Z i 2 (s)
= H 2 ( s)
H (s) =
H 1 ( s)
V1 ( s )
Z i 2 ( s ) + Z u1 ( s )
Massimo Camplani
se Z i 2 ( s ) = ∞ o
Z u1 ( s ) = 0
H ( s) = H 2 (s) H 1 ( s)
H(s) è la funzione di trasferimento del sistema complessivo costituito da due celle in
cascata. Questa è data dal prodotto delle due celle se la resistenza di uscita del primo
blocco è pari a 0 o la resistenza di ingresso è pari a ∞ . Essendo comunque questa
una condizione di idealità, se è rispettato Zi2>>Zu1 la funzione di trasferimento totale è
approssimabile come il prodotto delle due funzioni di trasferimento.
Dicembre 2009
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010
61
Outline
L'amplificatore Operazionale
zFiltri a Singolo Polo
zSingle Amplifier Biquad (SAB)
zFiltri di Sallen e Key
zCircuito di Antoniou
zConfigurazione ad anello con doppio
integratore
zFiltri a capacità commutate
Massimo Camplani
z
Dicembre 2009
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010
62
Circuito di Antoniou
Risonatore RLC 1/2
Massimo Camplani
Il risonatore RLC può essere utilizzato per ottenere circuiti che
realizzano funzioni filtranti del secondo ordine. Applicando il segnale di
ingresso nei diversi punti (x,y,z), si ottengono differenti funzioni filtranti,
caratterizzate tutte dagli stessi poli caratteristici del sistema.
Z 2 ( s)
H ( s) =
Z 2 ( s ) + Z1 ( s )
Dicembre 2009
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010
63
Circuito di Antoniou
Risonatore RLC 2/2
H ( s) =
Massimo Camplani
H (s) =
1 / LC
s 2 + s (1 / CR ) + (1 / LC )
s (1 / CR )
s 2 + s (1 / CR ) + (1 / LC )
In tutti i casi si ottiene:
1
ω0 =
LC
ω0
1
=
Q CR
s2
H (s) = 2
s + s (1 / CR ) + (1 / LC )
Dicembre 2009
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010
64
Circuito di Antoniou
Sostituzione induttore
In letteratura sono presenti molti modelli di filtri che basano il loro funzionamento
sulla sostituzione dell’induttore nel classico circuito RLC, con una rete RC e
amplificatori operazionali. Uno dei circuiti che garantisce le migliori prestazioni è il
circuito di Antoniou; il quale risulta poco sensibile alle non idealità degli amplificatori
operazionali.
R2
Massimo Camplani
C4 R1 R3 R5
L=
R2
Dicembre 2009
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010
65
Circuito di Antoniou
Risonatore RLC
Massimo Camplani
Si può dunque utilizzare l’induttore così ottenuto in un classico circuito RLC. E’ possibile
inoltre inserire un blocco di guadagno k ottenuto con un amplificatore operazionale in
configurazione non invertente per evitare qualsiasi effetto di carico.
Dicembre 2009
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010
66
Circuito di Antoniou
Equazioni di progetto
Il Risonatore mostrato precedentemente è caratterizzato da:
ω0 =
1
1
=
LC6
C4C6 R1 R3 R5 / R2
Massimo Camplani
Q = ω0C6 R6 = R6
⎛ C6 R2 ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ C4 R1 R3 R5 ⎠
Una scelta che può essere fatta per rispettare le specifiche del filtro sui parametri ω0 e Q
è la seguente:
si ottiene ω0 = 1 / CR
scelta
C 4 = C6 = C
posto
R1 = R2 = R3 = R5 = R ed R6 = QR
Dicembre 2009
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010
67
Circuito di Antoniou
Massimo Camplani
LPF
Dicembre 2009
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010
68
Circuito di Antoniou
Massimo Camplani
HPF
Dicembre 2009
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010
69
Circuito di Antoniou
Massimo Camplani
BPF
Dicembre 2009
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010
70
Circuito di Antoniou
Massimo Camplani
Tabella riassuntiva
Dicembre 2009
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010
71
Outline
L'amplificatore Operazionale
zFiltri a Singolo Polo
zSingle Amplifier Biquad (SAB)
zFiltri di Sallen e Key
zCircuito di Antoniou
zConfigurazione ad anello con doppio
integratore
zFiltri a capacità commutate
Massimo Camplani
z
Dicembre 2009
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010
72
Configurazione ad anello con doppio integratore
Intro 1/2
In questa sezione verranno illustrati alcuni tipi di filtri attivi basati
sostanzialmente su due integratori connessi in cascata. Prendiamo in
considerazione la funzione di trasferimento di un filtro biquadratico di tipo passa
alto.
Vhp
H0s2
= 2
2
Vi
s + s (ω0 / Q) + ω0
ω0
1 ω0
Vhp = H 0Vi −
Vhp − 2 Vhp
Q s
s
2
⇒
Massimo Camplani
L’espressione trovata per Vhp può essere facilmente descritta dal seguente
schema a blocchi.
Dicembre 2009
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010
73
Configurazione ad anello con doppio integratore
Intro 2/2
E’ possibile verificare facilmente come l’uscita del sommatore, l’uscita del primo
integratore e l’uscita del secondo integratore siano rispettivamente una
funzione passa alto, una funzione passa banda e una funzione passabasso.
Uscita
I° integratore :
Massimo Camplani
-(ω0 / s)Vhp =
Uscita
H 0ω 0 s
s + s(ω0 / s) + ω 0
2
II° integratore :
-(ω0 / s 2 )Vhp =
2
Vi
2
-(ω0 / s 2 )Vhp
H 0ω 0
2
Dicembre 2009
-(ω0 / s)Vhp
2
s + s(ω0 / s) + ω 0
2
Si può concludere che il
circuito biquadratico ad
anello
con
doppio
integratore
può
essere
utilizzato per ottenere le
azioni filtranti di tipo LP, HP
e BP contemporaneamente.
2
Vi
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010
74
Configurazione ad anello con doppio integratore
Filtro KHN 1/2
Massimo Camplani
Una possibile implementazione del filtro ad anello con doppio integratore può
essere ottenuta mediante il filtro biquad Kerwin-Huelsman-Newcomb (biquad
KHN).
Dicembre 2009
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010
75
Configurazione ad anello con doppio integratore
Filtro KHN 2/2
L’analisi diretta del circuito ci porta a scrivere:
ω0
1 ω0
Vhp − 2 Vhp
= H 0Vi −
Q s
s
2
Vhp
R f ω0 2
⎛ Rf ⎞
R2 ⎛ R f ⎞ ω 0
⎟⎟ Vhp −
⎟⎟Vi +
⎜⎜1 +
⎜⎜1 +
Vhp
Vhp
2
R1 s
R1 ⎠
R2 + R3 ⎝
R1 ⎠ s
⎝
da cui si ottengono le semplici equazioni di progetto in
funzione delle specifiche su ω 0 , H 0 e Q :
Massimo Camplani
R3
=
R2 + R3
Rf
R1
=1
R3
= 2Q − 1
R2
H 0 = 2 - (1/Q)
1
= ω0
avendo scelto
CR
Dicembre 2009
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010
76
Configurazione ad anello con doppio integratore
Filtro Tow-Thomas 1/3
Massimo Camplani
Il filtro biquad di Tow-Thomas è un’altra possibile implementazione del filtro a
doppio integratore, in questo caso tutti gli amplificatori sono utilizzati in maniera
single-ended. In questo caso però non è più disponibile l’uscita passa alto del
segnale.
Dicembre 2009
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010
77
Configurazione ad anello con doppio integratore
Filtro Tow-Thomas 2/3
Massimo Camplani
Per ovviare a questo problema, il filtro di Tow-Thomas può essere utilizzato con
schema a feedforward. In questo modo è possibile ottenere tutte le funzioni
filtranti del secondo ordine
1⎛ 1
r ⎞
1
⎛C ⎞
⎟⎟ + 2
s 2 ⎜ 1 ⎟ + s ⎜⎜ −
C ⎝ R1 RR3 ⎠ C RR2
V0
⎝C⎠
=
1
1
Vi
s2 + s
+ 2 2
QCR C R
Dicembre 2009
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010
78
Configurazione ad anello con doppio integratore
Filtro Tow-Thomas 3/3
Massimo Camplani
Le equazioni di progetto sono molto semplici e sono riassunte in tabella, specificati
ω0 e Q i componenti possono essere facilmente scelti come indicato in tabella:
All cases
C,r= arbitrario, R=1/ω0C
LP
C1=0, R1=∞, R3=∞, R2=R/Gdc
Positive BP
C1=0, R1=∞, R2=∞,
R3=Qr/Gcentrobanda
Negative BP
C1=0, R2=∞,
R3=∞,R1=R/Gcentrobanda
HP
C1=CxGhf, R1=∞, R2=∞, R3=∞
Dicembre 2009
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010
79
Outline
L'amplificatore Operazionale
zFiltri a singolo polo
zSingle Amplifier Biquad (SAB)
zFiltri di Sallen e Key
zCircuito di Antoniou
zConfigurazione ad anello con doppio
integratore
zFiltri a capacità commutate
Massimo Camplani
z
Dicembre 2009
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010
80
Filtri a capacità commutate
I principali svantaggi dei circuiti fin qui mostrati sono sostanzialmente dovuti
all’impossibilità che essi possano essere inseriti in un unico circuito integrato
monolitico e alla necessità di precise costanti di tempo RC per rispettare le
specifiche di progetto. Dobbiamo considerare inoltre che i componenti in
commercio assumono solo alcuni valori standard e con ben determinate
tolleranze. Una soluzione a questi problemi è data dai circuiti a capacità
commutata. Essi si basano sul concettoR per cui una capacità a cui è collegato un
interrutore può comportarsi come una resistenza se la velocità di commutazione
dell’interruttore è sufficientemente alta.
Massimo Camplani
2
Dicembre 2009
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010
81
Filtri a capacità commutate
Se la frequenza fc con cui viene azionato l’interruttore è molto maggiore della
frequenza del segnale di ingresso (sul morsetto A), il quale durante il tempo di
commutazione Tc può essere considerato costante allora è possibile scrivere:
quantita di carica spostata :
ΔQ = C(V A-VB )
frequenza di commutazio ne :
f c = 1 / Tc
Massimo Camplani
I = ΔQf c = C(V A-VB )fc
da cui possiamo scrivere R eq = 1 / f c C = Tc / C
C2
τ = Req C 2 = Tc
C1
Il vantaggio principale è dovuto al fatto che la costante di tempo dipende da un
rapporto di capacità. In questo modo l’incertezza sul valore della costante di
tempo è molto minore rispetto a quella che si ottiene con un classico circuito RC.
Dicembre 2009
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010
82
Filtri a capacità commutate
Transistor usati come
interruttori
Massimo Camplani
Segnale di clock che
pilota gli
interruttori
Dicembre 2009
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010
83
