Verifiche svolte per esame di stato

I.T.I.S. “V.Volterra”
S.Donà di Piave
A.S.2009/2010
CLASSE 5C
VERIFICHE SVOLTE DI MATEMATICA

Esercizi di integrazione riconducibile ad immediata
7 ottobre 2009

Esercizi di integrazione per parti e delle funzioni razionali fratte
Calcolo di aree
11 novembre 2009

Esercizi di integrazione generalizzata
16 dicembre 2009

Teoria dell’integrazione definita, indefinita, generalizzata
18 dicembre 2009

Simulazione di terza prova: integrazione definita, indefinita, impropria
15 gennaio 2010

Simulazione di terza prova: serie numeriche
29 gennaio 2010

Verifica per il recupero dell’insufficienza del 1° quadrimestre: integrazione
8 marzo 2010

Simulazione di terza prova: serie di funzioni
19 marzo 2010

Esercizi sulle equazioni differenziali del 1° ordine
21 aprile 2010

Simulazione di terza prova: equazioni differenziali del 2° ordine
7 maggio 2010

Simulazione di terza prova: integrazione, serie, equazioni differenziali
4 giugno 2010
Verifica: Esercizi di integrazione riconducibile ad immediata
7 ottobre 2009

x 3  ln x
 2 1
(
x

ln
x
)
3
x

dx




x
4

3

3

4
k
1
2x
1 x2 1
dx  
dx 
 k  x2 1  k
2
2
1
2
2
x 1
x 1
2
x
2x  1
2
 3x  4 dx  3 
4 4 1
5 
1

x  


2
2
3 3 2 dx 
2 dx 
1  6 dx  2  x  5 ln x  4
4
4
4
3
3 
3 
6
3
x
x
x



3
3
3

x
sin x  2
sin x dx 
3
 cos x
x
x
2
3
2
e x dx 
2
3
k 
2
3
sin x 3  k
3
1
1 3
3x 2 e x dx  e x  k

3
3
x3
1
2x  6
1
dx   2
dx  ln x 2  6 x  8  k
2 x  6x  8
2
 6x  8
1
 cos
2
x
e tan x dx  e tan x  k
1
1
 25  9 x 2 dx  25 
3
1 5
1
3 
5
dx 
dx  arctan  x   k
2
2

25 3
15
5 
3 
3 
1  x
1  x
5 
5 
1

  k

1

16  4 x
2
dx 
1
4
1
 x
1  
2
2
dx 
1
2
1
2
4 
 x
1  
2
2
dx 
1
 x
arcsin    k
2
2
1
 x ln x dx  ln ln x  k
Verifica: Esercizi di integrazione per parti e delle funzioni razionali fratte
Calcolo di aree
11 novembre 2009
 2 x  1 e
2
x



2
 
   2 e dx  2 x  1  e   42 x  1 e   8 e
  8 e   k   e 4 x  12 x  13  k
  

 2 x  1  e   42 x  1 e
 2 x  1  e  x  4 2 x  1  e  x
2
x
2
e
2x

dx  2 x  1  e  x   22 x  12  e  x dx 2 x  1  e  x  4 2 x  1e  x dx 
x
2
x
x
2
x
x
x
2
cos xdx  e 2 x sin x   2e 2 x sin xdx e 2 x sin x  2 e 2 x sin xdx 


 e 2 x sin x  2 e 2 x  cos x    2e 2 x  cos x dx  e 2 x sin x  2e 2 x  cos x   4 e 2 x cos xdx
Da cui, portando a primo membro l’ultimo integrale:
5 e 2 x cos xdx  e 2 x sin x  2e 2 x cos x  k '
e 2 x sin x  2e 2 x cos x
k
5
2x
 e cos xdx 
 ln 4 x  1dx  x ln 4 x  1   x 4 x  1 dx x ln 4 x  1  
4
4x  1  1
dx 
4x  1
1 
1

 x ln 4 x  1   1 
dx  x ln 4 x  1  x  ln 4 x  1  k
4
 4x  1 
8 x 2  19 x  9
5
2
 x  1 x  2 dx   x  1 dx   x  1
2
Poiché, si ha
8 x 2  19 x  9
x  12 x  2
2

dx  


3
2
5
3
dx  ln x  1 x  2 
k
x2
x 1
A
B
C
Ax 2  3 Ax  2 A  Bx  2 B  Cx 2  2Cx  C



x  1 x  12 x  2
x  12 x  2
x
dx 
A  C  8

Da cui  3 A  B  2C  19 che risolto dà
2 A  2 B  C  9

A  5

B  2
C  3

2 x 2  11x  23
1
2
 x 2  6 x  10x  3 dx   x  32  1dx   x  3dx   arctan x  3  2 ln x  3  k
Poiché, si ha
2 x 2  11x  23
Ax  B
C
Ax2  3 Ax  Bx  3B  Cx2  6Cx  10C



x 2  6 x  10 x  3 x 2  6 x  10 x  3
x 2  6 x  10 x  3
A  C  2
A  0


Da cui  3 A  B  6C  11 che risolto dà  B  1
 3B  10C  23
C  2






8x  7
8x  4  3
8x  4
3
dx   2
dx   2
dx   2
dx 
 4x  5
4x  4x  5
4x  4x  5
4x  4x  5
3
1
3
 ln 4 x 2  4 x  5  
dx  ln 4 x 2  4 x  5  
dx 
2
4  2 x  1 2
2 x  1  4

 1
 2 
3
1
1
 2x  1 
2
 ln 4 x 2  4 x  5  2
dx  ln 4 x 2  4 x  5  arctan 
k
2
4  2x  1 
2
 2 

 1
 2 
 4x
2
Calcola l’area della regione di piano compresa fra i grafici delle funzioni y 
rette verticali x  1 e x  1.
1
1
e y
e le
2
1  3x
3  x2
1 
 1
Trattandosi di funzioni pari e sempre positive, l’area richiesta è data da 2  

dx .
2
2 
1

3
x
3

x


0
1












1 
1
1
1
1
 1

dx


dx







  1  3x 2 3  x 2   1  3x 2   x  2
 1  3x 2   x  2 dx 




31  
31  
  
  


  3  
  3  


1
1
3
1
1
3
 x 
3

dx  3 
dx 
arctan 3 x 
arctan 
=
k 
2
2

3
3
3 1  3x
3
 3
  x 
1  
 
  3 
 
 

 
3
 x 
 arctan 3 x  arctan 
   k
3 
 3 
 
 
1
 
 3
1 
 x  
 1
2 

dx  2  arctan 3 x  arctan 
  
2
2 
1  3x
3 x 
 3   0
0
 3 
1
 
 3
 3    
3
 1  
 2  arctan 3  arctan 
   0  2     
 3  
 3 
 3  3 6  9
Calcola l’area della regione di piano compresa fra il grafico della funzione y  xe x e le rette verticali
2
x 2 e x 2.
2
Trattandosi di funzione dispari, l’area richiesta è data da 2  xe x dx .
2
0
 xe
x2
2
2  xe
0
dx  


2
1
1 2
 2 xe x dx   e  x  k

2
2
2
 x2
1
1
 1 2
 1
dx  2 e  x   2 e  2    1  e  2  1  2
2
e
 2
0
 2
Verifica: Esercizi di integrazione generalizzata
16 dicembre 2009
Calcola ed usa un criterio di convergenza per ciascuno dei seguenti integrali:
(15 punti per esercizio: 5 integrale indefinito, 5 calcolo limite, 5 criterio)
5
1.

3
x
x2  9
dx

2.
e2x
0 1  e 4 x dx
1
2
3.

0

4.
x
1  16 x 4
 xe
0
2
 x
3
dx
dx


x
1
2x
1
dx  
dx   2 x x 2  9
2
2
2
2
x 9
x 9
x
x  3  si ha
Per
x 9
2


1
2
x


1 x2  9
dx 
1
2
2
1


1
2
 k  x2  9  k
che è una funzione test con integrale
x  3x  3 x  312
convergente
5

3
x
x 9
2
dx  lim
 0
 x  9
 lim  25  9 
 0 

5
2
3
3   2  9   4

 
e2x
1
2e 2 x
1
dx

dx  arctan e 2 x  k
2
 1  e4x

2 1  e2x
2
 
Per x   si ha
e2x
e2x
1
1

 2 x  10 che è una funzione test con integrale convergente
4x
4x
1 e
e
e
x

e2 x
1
1

1
 
arctan e2 x   lim  arctan e2 M  arctan 1 
0 1  e4 x dx  Mlim
  
M


2
2
0
2
 8

Per
 
x
1  16 x 4
x
1
2
dx 
1
8x

8 1  4x 2

si ha
M
 
 
1
dx  arcsin 4 x 2  k
2
8
 
x
1  16 x 2

x

1
1  4 x 1  2 x1  2 x 1  2 x
2
1
2
che è una funzione test con
integrale convergente
1
2

0
 
1
1
2
dx  lim  arcsin 4 x 2 
 0  8
0
1  16 x 4
x

2
1
 
 1
  1

 lim  arcsin 4     arcsin 0 
 2
 0 8
  8

 16

 xe
2
 x
3
dx  x
e
2
 x
3
2

3

2
 x
3
2
 x
3
e
x

e
2
 x
3
 xe
0
2
 x
3
2
3  x
3
dx  x

 k   e 3 x   k
2
2
4
2
2



3
3
9
e
Per x   si ha xe

2
 x
3
2
x
3

e
x
1
 9 che è una funzione test con integrale convergente
10
x
x
M
 3  23 M 
3  3 0
3 
9
dx  lim  e
 M    e  0   
M  
2 2 
2  0
4

 2
Verifica: Teoria dell’integrazione definita, indefinita, generalizzata
18 dicembre 2009
Fornisci la definizione:
b
1.
 f ( x)dx
f (x ) continua in a, b e f ( x)  0
a
(18 punti)
2.
 f ( x)dx
f (x ) continua in a, b
(6 punti)
3. integrale improprio su un intervallo illimitato
(12 punti)
b
4. La conseguenza del teorema di Torricelli
 f ( x)dx  F (b)  F (a)
a
di f (x)
(12 punti)
1
5.
1
x
p
dx converge  p  1
0
(12 punti)
essendo F (x) una primitiva
1. Sia f (x) continua in a, b con f ( x)  0
Si vuole risolvere il problema del calcolo dell’area della regione di piano individuata dal grafico
della funzione, l’asse delle ascisse e le rette verticali x  a e x  b , detta trapezoide.
Si divide l’intervallo a, b in n sottointervalli di ampiezza h 
ba
; in ciascun sottointervallo
n
la funzione è continua e quindi per Weierstrass ammette massimo e minimo assoluti: siano essi
M i ed mi nell’i-esimo sottointervallo.
Il plurirettangolo circoscritto e il plurirettangolo inscritto al trapezoide sono rispettivamente
costituiti dai rettangoli di base h 
ba
e di altezze M i ed mi .
n
n
n
1
1
Si ha Ainscritto  h M i  Atrapezoide  Acir cos critto  h mi e, nelle nostre ipotesi, si dimostra che,
passando al limite per n   , lim Ainscritto  lim Acir cos critto e tale limite comune definisce
n  
n  
b
quindi l’area del trapezoide, simbolicamente indicata da
 f ( x)dx
(si legge integrale definito di
a
f (x ) fra a e b).
2. Sia f (x) continua in a, b
Con la scrittura
 f ( x)dx
(si legge integrale indefinito di f (x) ) si indica la totalità delle
primitive di f (x) , essendo F (x) una primitiva di f (x) in a, b quando F ' ( x)  f x  x  a, b .
Due primitive di f (x) differiscono per una costante, quindi
 f ( x)dx  F x   k .
3. Integrale improprio su un intervallo illimitato
Al punto 1. si è visto come una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato ammetta
integrale definito. Se cade l’ipotesi della limitatezza dell’intervallo (sia esso per esempio
a, ),
M
lim
M 

a
ma si conserva l’ipotesi della continuità di f (x) in a, M  M  a , si calcola il
f x dx e se questo esiste finito si pone lim
M 
M

a
f x dx 

 f xdx .
a
x
4. Per il teorema di Torricelli F x    f (t )dt è una primitiva di f (x) .
a
x
Sia Gx    f (t )dt  k un’altra primitiva di f (x) .
a
a
b
Si ha Ga    f (t )dt  k  k ,
Gb    f (t )dt  k
a
a
b
b
a
a
e quindi Gb   Ga    f (t )dt  k  k   f t dt
ossia, usando F x  come primitiva ed x come incognita,
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a) .
a
1
 x  p 1 
lim 
  lim
 0    p  1 
 0

1
x  p 1
5. se p  1  p dx 
k
 p 1
x
 1
  p 1 
1
1




  p  1  p  1  p  1 1  p
purchè sia positivo l’esponente di  cioè sia p  1 , altrimenti il limite è  
se p  1
1
 x dx  ln x  k
1
Riassumendo, si ha che 
0
lim ln x   lim ln 1  ln    
1
 0

 0 
1
1
dx converge  p  1 e converge al valore
p
1 p
x
Simulazione di terza prova d’Esame di Stato
15 gennaio 2010

1. Calcola dopo aver dimostrato la convergenza con l’uso di un criterio:
x
1 x
4
dx
0
x
x
1
 4  3
4
1 x
x
x
x  
x
1 x
4
dx 
1
2x

2 1 x2
 
2
funzione test con integrale convergente
 
1
dx  arctan x 2  k
2
x

1

1

lim
dx  lim  arctan x 2   lim  arctan M 2  0 
M   1  x 4
M  2
M  2
4

0


0
 
M
M
 
2. Esponi il teorema fondamentale del calcolo integrale (di Torricelli)
x
Sia f (x) una funzione continua in a, b ed F x    f (t )dt la sua funzione integrale in a, b .
a
Si dimostra che la funzione integrale è derivabile in a, b ed inoltre F ' x  f x .
xh

Dim.: lim
x
f t dt   f t dt
a
a
h 0
x
 lim

f t dt 
xh

a
x
h 0
h
xh
x
f t dt   f t dt
a
h
 lim
h 0
 f t dt
x
h
xh
 f t dt
x
Per il teorema della media lim
h 0
h
 lim f c  con c in x, x  h o in x  h, x.
h 0
Per h  0 si ha c  x ed essendo f (x) continua, f c  f x .
xh
Quindi F ' x   lim
h 0
x
 f t dt   f t dt
a
a
h
 f x  .
3. Calcola l’area della regione di piano delimitata dal grafico della funzione di equazione
y ( x) 
x

2
x3
, l’asse delle ascisse e le rette di equazione x  3 e x  4 .
x  4x  5
2

x3
1
2x  6
1  2x  4
2
dx 
dx   2
dx    2

2
 4x  5
2 x  4x  5
2  x  4 x  5  x  2   1 
1
ln x 2  4 x  5  arctan x  2   k
2
x3
1

2
3 x 2  4 x  5dx   2 ln x  4 x  5  arctan x  2 3 
4

4
1
1
1 5

ln 5  arctan 2  ln 2  arctan 1  ln  arctan 2 
2
2
2 2
4
Simulazione di terza prova d’Esame di Stato
29 gennaio 2010

1. Calcola la somma della serie
n
0
2
1
 8n  15
1

 A  2

B   1

2
1  1 1   1 1   1 1 
1   1
1   1
1 
 1
sn              ...  





 
2  3 5   4 6   5 7 
 n  1 n  3   n  2 n  4   n  3 n  5 
1 1 1
1
1 
   

2  3 4 n  4 n  5 
A  B  0
1
A
B
An  5 A  Bn  3B
da
cui
che risolto dà




n  3n  5
n 2  8n  15 n  3 n  5
5 A  3B  1
1 1 1
1
1  1 1 1  7
 





n   2 3
4 n  4 n  5  2  3 4  24

2. Dimostra che la serie armonica diverge
lim

La serie armonica
1
 n è a termini non negativi, quindi non può essere indeterminata.
1
Inoltre, se convergesse, dovrebbe valere Cauchy, ossia:
  0 n  N | n  n , k  N *  an 1  an  2  ...  an  k  
1
1
1
1
1

 ... 
n

n 1 n  2
nn
nn 2
Pertanto la serie armonica non converge e quindi diverge.
ed invece, per k  n , si ha
3. Determina il carattere delle seguenti serie:

2n
2n
2n 1 n!
2
 
lim
 0 lim
 lim
 0 la serie converge per il criterio del
n
n


n


n


n!
n  1! 2
n 1
0 n!
rapporto

 5n  1 
0  n  5 

n
 5n  1 
lim 
    0
n   n  5


n
la serie diverge (è a termini non negativi); in
5n  1
 5n  1 
5

  nlim
  n  5
 n5 
n
alternativa si può usare il criterio della radice: lim
n  



n
n2 1
n2  1
n2  1 n2 1
lim

0


la serie converge per il criterio del
0 n 4  1 n n4  1
n4  1 n4 n2
confronto asintotico

n 4
n 4
 1  0 la serie diverge (è a termini non negativi)
2 n  1 nlim
 
n 1


n100
0 e n
n100
n100 n100
1

0
 200  100 la serie converge per il criterio del confronto
n
n
n   e
e
n
n
lim
Verifica per il recupero dell’insufficienza del 1° quadrimestre
8 marzo 2010
 2 x  3e dx  2 x  3e   2e dx  2 x  3e
x

2

3
2
x
x
x
x
 2e x  k  2 x  3  2e x  k  2 x  1e x  k
1
2x
1 x2  1
dx

 k  x2  1  k

2
2
1
2
2
x 1
x 1
2
2
x
5
dx  x 2  1 3  3 
2
2
2
x 1
x
dx 

2



x
1
2x
1
dx   2
dx  ln x 2  4  k
4
2 x 4
2


2
x
1
1
1
1

2
0 x 2  4 dx   2 ln x  4   2 ln 8  2 ln 4  2 ln 2
0
2
1

8x  1
5
5
3
5
1
 2 x  1 
2
 4 x 2  4 x  5 dx  ln 4 x  4 x  5  4 arctan  2  0  ln 13  4 arctan 2  ln 5  4 arctan 2


ln x 
1
1
 xln x 2 dx   1  k   ln x  k
1

1
1 
 1 
lim 
 lim 

 
M    ln x 
M  
ln M ln 1    

1


 
 
 0
 0
M

1
 xln x  dx
2
1
diverge
e
2x
1
dx   e  2 x  k
2
M
1 1
 1

 1
lim  e  2 x   lim  e  2 M   
M  
2
2 2
 2
 0 M0
 

e
2x
dx 
0

1
2
2
13
1
2 
3
dx 
dx  arcsin  x   k
2

2
32
2
3 
2 
2 
1  x
1  x
3 
3 
1
1
dx  
3
9  4x2
1
3
1
 2  2
lim  arcsin  x 
 0 2
 3  0

3
2

0
1
9  4x
2
dx 

M  

4
 
ex

0 1  e2 x dx  4
1
 1 
 2 3
 1
 lim  arcsin        arcsin 0 

 0 2
 2
 3 2

 22 4

ex
ex
dx

 1  e2 x
 1  ex
lim arctan e x

M
0
 
2
 
 arctan e x  k

 
 
 lim arctan e M  arctan e0 
M  

2


4


4
Simulazione di terza prova d’Esame di Stato
19 marzo 2010
1. Determina l’intervallo di convergenza specificando se la convergenza è assoluta o semplice:

5  2 x n

n  ln n
n 1 n 
 1n 2n

n
5

In forma normale 
 x   ; calcolo del raggio di convergenza
2
n  ln n 
n 1 n 
2n
n  1  n  1  ln n  1
1 n  1  n  1  ln n  1 1

 lim 

n

1
n   n  n  ln n
n   2
2
2
n  n  ln n
R  lim
x

5 1
 2
2 2
1
n  ln n
n
n 1
1
1

n  n  ln n n
5
2
x0 
diverge (armonica)

 1
 1
 1 converge (armonica alternata)
5 1
 3 

2 2
n
n  ln n
n  n  ln n
n 1 n 
Convergenza assoluta in 2,3 ; convergenza semplice in x  3 .
1  2x
16
ln
 4 x  x3
1  2x
3
2. Sviluppa in serie di MacLaurin ln
e quindi calcola il limite lim 1  2 x 5
x

0
1  2x
x
1  2x
ln
 ln 1  2 x   ln 1  2 x  
1  2x
2
3
4
5
2
3
4
5




2 x  2 x  2 x  2 x 
 2 x   2 x   2 x   2 x 
 2x 



 ...   2 x  



 ... 
2
3
4
5
2
3
4
5


16
64
 4 x  x3  x5  ...
3
5
64 5
x  o x5
1
1
64
lim 5

con   x 
5
x 0
2
2
x
5
2 n 1

n x
i
3. Dimostra la formula di Eulero e  cos   i sin  oppure che arctan x    1
2n  1
n 0
n
n
n
x
 
e
i
2
3

i  i 
2 3
 1  i 

 ...  1  i 
 i  ...
2!
cos   1 

2


3!
4
2!
sin    
 ...
3!

3

5
 ...
essendo i 2 k   1
k
e i 2 k 1   1 i
i sin   i  i
k
3
i
5
2! 4!
3! 5!
3!
5!
essendo valide le proprietà degli sviluppi in serie di potenze anche in campo complesso.
 ...
x
x
x 
x
2 n 1



1
1
n
n t
2 n
2n




arctan x  
dt

dt


t
dt


1
t
dt


1




 
0 1   t 2 0 0
0
1 t2
0
0
 2n  1 0
0
x
 
 
x 2 n 1
2n  1
n0
essendo soddisfatte le ipotesi per lo scambio del segno di sommatoria col segno di integrale.

zn
n
Pongo x 2 n 1  z n e calcolo il raggio di convergenza   1
2n  1
n 0
1
R  lim
 2n  3  1 da cui  1  z  1 ed anche  1  x  1
n   2n  1
Agli estremi dell’intervallo (ossia per x  1 ) si ottiene una serie convergente per Leibniz,
quindi si ha convergenza assoluta in  1,1 ; convergenza semplice in x  1 .

   1
n
Verifica: Esercizi sulle equazioni differenziali del 1° ordine
21 aprile 2010
Determina l’integrale generale e gli integrali particolari passanti per i punti a fianco indicati per
ciascuna equazione differenziale a variabili separabili:
 1
Q 0, 
 2
xy2
y ' x
e
1
x
dy  x dx
2
y
e
1
y
2
dy   xe x dx
(per parti il 2° integrale)
Integrale generale:
 1
Q 0, 
 2
2 1  c



Integrale particolare:
 
R 0, 
 2
2
cos y
dy   2 xe x dx
2
1  sin y


1
 x  1e  x  k
y
1
 x  1e x  c
y
c 1
2 x 1  sin 2 y
2
e x cos y
cos y
2x
dy  x 2 dx
2
1  sin y
e
y' 

1
 x  1e  x  1
y
arctan sin y   e x  k
2

Integrale generale: arctan sin y   e x  k
2
 
R 0, 
 2

4
 1  k
k

1
4
Integrale particolare: arctan sin y   e  x 
2

4
1
Data l’ equazione differenziale lineare:
y
x
x
Determina l’integrale generale e gli integrali particolari passanti per A1,1 , B1,0 e
dei quali
traccia i grafici; quanti integrali particolari passano per O0,0 ? Spiega la risposta usando il teorema di
Cauchy.
y '


1
  dx

  1 dx  1

y    xe x dx  k  e x    x  k1  x   dx  k1 x  x  k1 x  x 2  k1 x
se
x




1
  dx

  1 dx 
1

y    xe x dx  k  e x    x
 k2  x     dx  k2  x    x  k2  x   x 2  k2 x se
 x





Integrale generale: y  x 2  cx
È una famiglia di parabole passanti per l’origine: determiniamo gli integrali particolari:
A1,1
1 1  c
c0
Integrale particolare: y  x 2
x0
x0
B1,0
0 1  c
c  1
Integrale particolare: y  x 2  1
1 1  c
c 1
Integrale particolare: y  x 2  1
Per O0,0 passano tutti gli integrali particolari, in quanto sostituendo nell’integrale generale si ottiene:
0  0  0c , risolta da ogni valore della costante.
y
Per il teorema di Cauchy, per ogni punto interno al dominio D di continuità di f  x, y   x  e di
x
f
1
x, y   , come sono i punti A1,1 , B1,0 e
, passa uno ed un solo integrale particolare;
y
x
per un punto della frontiera, come è il punto O0,0 , può passare l’integrale singolare (che ha tutti i
suoi punti sulla frontiera, ma in questo caso la frontiera x  0 non è soluzione dell’equazione
differenziale) oppure possono passare degli integrali particolari che hanno i rimanenti punti all’interno
di D (è così per gli integrali particolari trovati ed anzi possiamo affermare che tutti gli infiniti integrali
dell’equazione differenziale passano per l’origine, punto della frontiera di D).
Data l’ equazione differenziale lineare:
y
1

2
1 x
1  x2
Determina l’integrale generale e gli integrali particolari passanti per S 0,3, T 1,1 e O0,0 .
y '
 1  1 2 dx
   1 2 dx  1 arctan x

1 x
y  
e
dx  k e 1 x   
e
dx  k e arctan x  earctan x  k e arctan x  1  ke arctan x
2
2
 1 x

 1  x



Integrale generale: y  1  ke arctan x
Determiniamo gli integrali particolari:
S 0,3
3 1  k

T 1,1
1  1  ke
O0,0
0 1  k
k 2
Integrale particolare: y  1  2e arctan x
k 0
Integrale particolare: y  1
k  1
Integrale particolare: y  1  e arctan x

4
Simulazione di terza prova d’Esame di Stato
7 maggio 2010
1. Dimostra la formula risolutiva per le equazioni differenziali lineari del 1° ordine.
Data l’equazione differenziale lineare del 1° ordine y ' p( x) y  q( x) , con p (x ) e q(x) funzioni
continue in un intervallo I, supponiamo dapprima che q( x)  0 .
L’equazione è a variabili separabili:
dy
dy
 p( x) y  0
ln y    px dx  k
  p( x)dx
y  e  p  x dx k
y  e  p x dxek
dx
y
Integrale generale: y  ce  p  x dx
Supponiamo che l’integrale nel caso q( x)  0 abbia forma analoga: y  cx e  p  x dx , determiniamo
la derivata e sostituiamo nell’equazione data in modo da imporre che sia effettivamente la soluzione
y'  c' x e  p  x dx  cx e  p  x dx  px 
e quindi, sostituendo nell’equazione di partenza:
c' x e  p  x dx  cx e  p  x dx  px   p( x)cx e  p  x dx  q( x) ,
semplificando c' x e  p  x dx  q( x) , da cui c' x   q( x)e  p  x dx
e quindi cx    q( x)e  p  x dxdx  k ,
pertanto l’integrale generale è dato da:


y x    q( x)e  p  x dx dx  k e  p  x dx
1. Determina l’integrale generale dell’equazione differenziale del 2° ordine lineare a coefficienti
costanti omogenea y ' '12 y '36 y  0 e quindi l’integrale particolare passante per P0,2 ed
avente ivi tangente con coefficiente angolare m  4 .
Equazione caratteristica: 2  12  36  0 da cui 1  2  6
Integrale generale: y  C1  C2 x e6 x


y'  C2e6 x  C1  C2 x   6e6 x  C2  6C1  6C2 x e6 x
 y0  C1
C1  2
C1  2



 y' 0  C2  6C1 C2  6C1  4 C2  8
Integrale particolare: y  2  8x e6 x  21  4 x e6 x con grafico sottostante (compreso di tangente)
2. Determina l’integrale generale dell’equazione differenziale del 2° ordine lineare a coefficienti
costanti non omogenea y' '3 y'2 y  2 x 2  3 .
Equazione caratteristica dell’omogenea associata: 2  3  2  0 da cui 1  2 e 2  1
Integrale generale dell’omogenea associata: yHOM  C1e 2 x  C2e  x
Integrale particolare della non omogenea: y  Ax2  Bx  C

y '  2 Ax  B

y'' 2 A
Sostituendo nell’equazione data: 2 A  32 Ax  B   2 Ax  Bx  C  2 x  3 da cui, per il
principio di identità dei polinomi:
2 A  2

6 A  2 B  0
2 A  3B  2C  3

2
A  1

 B  3
C  2

Integrale generale dell’equazione data: y  C1e2 x  C2e x  x 2  3x  2
2
Simulazione di terza prova d’Esame di Stato
4 giugno 2010
1. Calcola il volume del solido ottenuto dalla rotazione completa del grafico della funzione y  e x
attorno all’asse delle ascisse sull’intervallo 0, dopo aver dimostrato, mediante l’uso di un
criterio di convergenza, che tale integrale converge e successivamente rappresenta graficamente
tale volume di rotazione.
Il volume cercato è dato da
V 


 e  dx    e
x 2
0
2 x
dx
0
La convergenza si dimostra mediante il criterio del confronto:

1
1
1
per x   si ha e  2 x  2 x  2 e l’integrale test  2 dx converge essendo p  2  1 .
e
x
x
1
L’integrale è calcolabile mediante il passaggio al limite:
M
 e 2 x 
 e 2 M
1  1
lim  e dx  lim 

lim



2
M  
M    2
M    2

2




0
0
Quindi il volume richiesto è
M
2x
V

2. Data la serie di potenze
n 2
  1
2
n
n!
n 0

x n , determina l’intervallo di convergenza e la somma della
serie.
Il polo o punto iniziale è x0  0 , il raggio di convergenza si calcola mediante la formula:
2n n  1!
1
 n 1  lim  n  1  
n   n!
n


2
2
R  lim
Non vanno controllati gli estremi, dato che il raggio di convergenza è infinito.
La serie pertanto converge assolutamente su tutto l’asse reale.
Inoltre, poiché

n
n0
n!
n 2
 1

1
 2 x n e ricordando lo sviluppo in serie di McLaurin della
n0 n!
xn  

1 n
x , sostituendo in essa  2x al posto di x , la somma della serie è
n  0 n!
funzione esponenziale e x  
data da:

2n n
 1 x  e 2 x

n!
n 0
n
3. Determina l’integrale generale dell’equazione differenziale del 2° ordine lineare a coefficienti
costanti omogenea y ' '4 y '12 y  0 , successivamente l’integrale particolare passante per P0,1
ed avente ivi tangente con coefficiente angolare m  2 ed infine rappresenta graficamente la
funzione ottenuta.
Equazione caratteristica: 2  4  12  0 da cui 1  2 e 2  6
Integrale generale: y  C1e2 x  C2e6 x
y'  2C1e2 x  6C2e6 x
 y0  C1  C2
C1  C2  1
C1  1



 y' 0  6C2  2C1 6C2  2C1  2 C2  0
Integrale particolare: y  e2 x con grafico sottostante (compreso di tangente)
Simulazione di terza prova d’Esame di Stato
4 giugno 2010
1. Calcola il volume del solido ottenuto dalla rotazione completa del grafico della funzione
y  e x attorno all’asse delle ascisse sull’intervallo 0, dopo aver dimostrato, mediante
l’uso di un criterio di convergenza, che tale integrale converge e successivamente
rappresenta graficamente tale volume di rotazione.

2. Data la serie di potenze
n 2
  1
n 0
n
n!
x n , determina l’intervallo di convergenza e la somma
della serie.
3. Determina l’integrale generale dell’equazione differenziale del 2° ordine lineare a
coefficienti costanti omogenea y ' '4 y '12 y  0 , successivamente l’integrale particolare
passante per P0,1 ed avente ivi tangente con coefficiente angolare m  2 ed infine
rappresenta graficamente la funzione ottenuta.