I FONDAMENTI CONCETTuAlI DEllA MATEMATICA

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matemati
con
L. Tonolini F. Tonolini G. Tonolini A. Manenti Calvi
I FONDAMENTI CONCETTUALI DELLA MATEMATICA
Volume 2 - ALGEBRA GEOMETRIA probabilità
Con
Ricchissimi apparati didattici: Prove d’ingresso; Esercitazioni di base; Esercitazioni di riepilogo e potenziamento; Autoverifiche; Attività di recupero
n Prove INValSI
n Rubriche dedicate al linguaggio matematico
n Riflessioni sulle applicazioni e sulla storia della matematica
L. Tonolini F. Tonolini
G. Tonolini A. Manenti Calvi
Questo volume, sprovvisto di talloncino a fronte (o opportunamente punzonato o altrimenti contrassegnato), è da considerarsi copia di saggio-campione gratuito, fuori commercio (vendita e altri atti di disposizione vietati art.17, c.2 L.633/1941). Esente da IVA (D.P.R. 26.10.1972, n. 633, art.2, lett.d).
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I fondamenti concettuali
della matematica
Volume 2 Algebra • geometria • probabilità
I FONDAMENTI CONCETTuali della MATEMATICA
@pprendiscienza
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di apprendimento
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VIII
Indice
7 Risoluzione di problemi nel piano cartesiano
Sezione
Matematica perché Che cosa consente di fare
la geometria analitica
Prova d’ingresso
Unità 15 Equazioni di rette e loro
rappresentazione grafica
1. Luogo geometrico piano e sua equazione
2. Misura di grandezze geometriche mediante
le coordinate cartesiane
Distanza tra due punti di un piano cartesiano
Coordinate del punto medio di un segmento
705 A
707 A
708 A
708 A
709 A
709 A
710 A
IL FILO DELLA STORIA: Coordinate e sistemi
di riferimento
3. Equazione della retta
Equazione di una retta parallela a un asse
cartesiano
Equazione di una retta passante per l’origine
delle coordinate cartesiane.
Coefficiente angolare. Bisettrici dei quadranti
Equazione generica di una retta in
forma esplicita
Equazione generica di una retta
in forma implicita ax þ by þ c ¼ 0
4. Soluzioni algebriche di problemi
relativi alla retta
Condizione di parallelismo e di
perpendicolarità tra rette
Retta, di noto coefficiente angolare,
passante per un dato punto
Equazione di una retta passante per due
punti dati
Equazione della retta asse di un segmento
Determinazione delle coordinate
del punto d’intersezione tra due rette
Distanza di un punto da una retta
711 A
712 A
712 A
1. Premessa
2. I vettori e la loro scomposizione
nel piano cartesiano
3. Le equazioni delle trasformazioni isometriche
Le equazioni della traslazione
Le equazioni di una simmetria assiale
Le equazioni di una simmetria centrale
Le equazioni di una rotazione
4. Le equazioni delle trasformazioni
non isometriche. Un caso particolare: l’omotetia
5. Le equazioni generali di una
trasformazione lineare
programma di Erlangen
713 A
714 A
715 A
717 A
718 A
718 A
719 A
720 A
720 A
721 A
Amplia il tuo linguaggio (Improve your Glossary)
722 A
723 A
ESERCITAZIONI
Attività di base
Attività di riepilogo e potenziamento
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
ATTIVITÀ DI RECUPERO
724 A
724 A
740 A
741 A
742 A
744 A
745 A
746 A
746 A
747 A
748 A
750 A
752 A
754 A
IL FILO DELLA STORIA: Felix Klein e il
Amplia il tuo linguaggio (Improve your Glossary)
IL FILO DELLA STORIA: La rivoluzione del metodo
della geometria analitica
Unità 16 Le equazioni delle trasformazioni
geometriche lineari nel piano
744 A
ESERCITAZIONI
Attività di base
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
ATTIVITÀ DI RECUPERO
Uno sguardo alle applicazioni
Le trasformazioni geometriche nella natura e
nelle arti ornamentali
Unità 17 Introduzione alla geometria
analitica delle coniche
1. Le linee di intersezione di un piano
con una superficie conica a due falde
2. La parabola come luogo geometrico
Definizione ed elementi caratteristici
della parabola
Parabola avente come asse di simmetria
uno degli assi cartesiani
Parabola con asse parallelo a
uno dei due assi coordinati
Parabole particolari aventi asse di simmetria
parallelo all’asse delle ordinate: condizioni
sui coefficienti
3. Equazione della circonferenza
Descrizione della circonferenza e sua
equazione
754 A
754 A
755 A
755 A
763 A
764 A
766 A
767 A
767 A
768 A
768 A
768 A
771 A
773 A
775 A
775 A
Indice
Determinazione delle coordinate del centro
e della misura del raggio
4. L’ellisse e la sua equazione
5. L’iperbole e la sua equazione
777 A
778 A
781 A
IL FILO DELLA STORIA: Breve storia delle coniche
e loro applicazioni: da Apollonio e Keplero alla
struttura atomica
Sezione
IX
Amplia il tuo linguaggio (Improve your Glossary)
785 A
ESERCITAZIONI
Attività di base
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
ATTIVITÀ DI RECUPERO
786 A
786 A
799 A
800 A
783 A
8 Sistemi lineari di equazioni e disequazioni
Matematica perché Che cosa consente di fare
l’algebra dei sistemi lineari di equazioni e
disequazioni
Prova d’ingresso
802 A
804 A
Unità 18 Sistemi di equazioni di 1 grado 805 A
1. Equazioni a piu incognite
2. Generalità sui sistemi di equazioni
3. Sistemi equivalenti e principi di equivalenza
Primo principio
Secondo principio (o di sostituzione)
Terzo principio (o di somma o di riduzione)
4. Discussione di un sistema di 1 grado
di due equazioni in due incognite
5. Metodi di risoluzione di un sistema di 1 grado
di due equazioni in due incognite
Metodo di sostituzione
Metodo di somma o di riduzione
6. Sistemi numerici fratti e sistemi letterali
7. Rappresentazione grafica di un’equazione
di 1 grado
8. Interpretazione grafica della soluzione
di un sistema di 1 grado in due incognite
Rette coincidenti. Sistema indeterminato
Rette parallele. Sistema impossibile
Rette incidenti. Sistema determinato
9. Sistemi lineari di n equazioni in n incognite
(con n > 2)
Metodo di sostituzione
Metodo di eliminazione di Gauss
IL FILO DELLA STORIA: Karl Friedrich Gauss
10. Matrici, determinanti di matrici quadrate
Matrici
Determinanti di matrici quadrate
Sezione
Matematica perché
Che cosa puoi apprendere
nello studio di questa Sezione
Prova d’ingresso
805 A
805 A
808 A
808 A
808 A
808 A
11. Risoluzione di sistemi lineari mediante
la regola di Cramer
Sistemi lineari a due incognite
IL FILO DELLA STORIA: Gabriel Cramer
Sistemi lineari a tre incognite
12. Calcolo del determinante di una matrice
quadrata di ordine n (con n qualunque)
13. Proprietà del determinante
14. Risoluzione di un sistema lineare di n equazioni
in n incognite con il metodo di Cramer
15. Problemi di 1 grado a più incognite
825 A
825 A
826 A
827 A
828 A
831 A
833 A
835 A
IL FILO DELLA STORIA: Alcune curiosità sull’uso
809 A
Amplia il tuo linguaggio (Improve your Glossary)
837 A
837 A
811 A
811 A
812 A
815 A
ESERCITAZIONI
Attività di base
Attività di riepilogo e potenziamento
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
ATTIVITÀ DI RECUPERO
838 A
838 A
873 A
883 A
885 A
del simbolismo algebrico presso i popoli orientali
815 A
Unità 19 Sistemi di disequazioni
di 1 grado in due incognite
816 A
817 A
817 A
817 A
819 A
819 A
820 A
821 A
822 A
822 A
823 A
888 A
888 A
1. Disequazioni di 1 grado in due incognite
2. Sistemi di disequazioni di 1 grado
in due incognite
889 A
3. Impostazione e risoluzione di problemi mediante
disequazioni di 1 grado in due incognite
890 A
Amplia il tuo linguaggio (Improve your Glossary)
891 A
ESERCITAZIONI
Attività di base
Attività di riepilogo e potenziamento
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
ATTIVITÀ DI RECUPERO
892 A
892 A
898 A
900 A
901 A
9 Equazioni, disequazioni
e sistemi non lineari
902 A
904 A
Unità 20 I radicali
906 A
1. Premessa
Richiami sull’insieme R dei numeri reali
906 A
906 A
X
Indice
Corrispondenza tra l’insieme dei punti
di una retta e l’insieme R
907 A
2. Radice ennesima aritmetica di un numero
non negativo
907 A
3. Proprietà invariantiva dei radicali aritmetici
e loro semplificazione
908 A
Proprietà invariantiva dei radicali
909 A
Semplificazione di radicali. Radicali irriducibili
910 A
4. Riduzione di radicali aritmetici allo stesso indice.
Confronto di radicali aritmetici
912 A
5. Prodotto e quoziente di radicali aritmetici
913 A
Prodotto di radicali aritmetici
913 A
Quoziente di radicali aritmetici
914 A
6. Trasporto di un fattore positivo fuori dal segno
915 A
di radice e sotto il segno di radice
Trasporto di un fattore fuori dal segno di radice 915 A
Trasporto di un fattore sotto il segno di radice
916 A
7. Potenza e radice di radicali aritmetici
918 A
Potenza di un radicale aritmetico
918 A
Radice di un radicale aritmetico
918 A
8. Radicali simili. Espressioni con i radicali
919 A
9. Razionalizzazione del denominatore
di una frazione
921 A
10. Radicali doppi
923 A
11. Potenze a esponente frazionario
924 A
Interpretazione grafica degli andamenti
delle potenze
925 A
12. Radice algebrica ennesima di un numero relativo 926 A
La necessità di una estensione dell’insieme
dei numeri reali relativi. L’insieme dei
numeri complessi
928 A
L’unità immaginaria e i numeri immaginari
929 A
I numeri complessi
930 A
ORGANIZZA LE TUE IDEE
932 A
Amplia il tuo linguaggio (Improve your Glossary)
932 A
ESERCITAZIONI
Attività di base
Attività di riepilogo e potenziamento
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
Prova 1 Radicali aritmetici. Operazioni con i radicali
Prova 2 Espressioni con radicali aritmetici e potenze
a esponente razionale. Equazioni. Problemi.
Radicali algebrici
ATTIVITÀ DI RECUPERO
933 A
933 A
972 A
980 A
980 A
Forma tipica dell’equazione di 2o grado
Risoluzione di equazioni di 2o grado incomplete
Risoluzione di equazioni di 2o grado complete
Equazioni letterali. Equazioni fratte
Risoluzione grafica di un’equazione di 2o grado
981 A
981 A
983 A
984 A
986 A
990 A
991 A
IL FILO DELLA STORIA: I grandi algebristi
del Cinquecento
IL FILO DELLA STORIA: La risoluzione di equazioni
di grado superiore al 2o
ORGANIZZA LE TUE IDEE
Amplia il tuo linguaggio (Improve your Glossary)
993 A
993 A
996 A
998 A
1000 A
1003 A
1006 A
1007 A
1009 A
1012 A
1013 A
1013 A
ESERCITAZIONI
1014 A
Attività di base
1014 A
Attività di riepilogo e potenziamento
1065 A
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
1074 A
Prova 1 Risoluzione di equazioni di 2o grado
1074 A
Prova 2 Relazioni tra coefficienti e radici di un’equazione
di 2o grado. Equazioni binomie e trinomie
1075 A
ATTIVITÀ DI RECUPERO
1076 A
1076 A
Esercitazione 1 Risoluzione di equazioni di 2o grado
Esercitazione 2 Relazioni tra coefficienti e radici
di un’equazione di 2o grado.
Equazioni binomie e trinomie
1078 A
Unità 22 Disequazioni di grado
superiore al 1o
1080 A
o
1. Disequazioni di 2 grado a una incognita
o ad esse riconducibili
Regola del segno di un trinomio di 2 grado
2. Risoluzione grafica di una disequazione
di 2o grado
3. Disequazioni letterali
4. Alcune applicazioni delle disequazioni
di 2o grado a una incognita
1080 A
1082 A
1085 A
1088 A
Amplia il tuo linguaggio (Improve your Glossary)
1089 A
1092 A
1092 A
ESERCITAZIONI
Attività di base
Attività di riepilogo e potenziamento
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
ATTIVITÀ DI RECUPERO
1093 A
1093 A
1115 A
1126 A
1127 A
Unità 23 Equazioni irrazionali
1129 A
1. Generalità sulle equazioni irrazionali
2. Equazioni irrazionali intere contenenti
un solo radicale
Discussione di un’equazione irrazionale
1129 A
ORGANIZZA LE TUE IDEE
Unità 21 Equazioni di grado superiore al 1o 983 A
1.
2.
3.
4.
5.
6. Relazioni che intercorrono tra le radici
di un’equazione di 2o grado e i suoi coefficienti
7. La regola di Cartesio
8. Scomposizione in fattori di un trinomio
di 2 grado
9. Le equazioni parametriche: determinazione
dei valori di un parametro per assegnate
condizioni
10. Equazioni binomie, trinomie, biquadratiche
11. Altri tipi di equazioni razionali
12. Problemi risolvibili mediante l’uso di equazioni
di grado superiore al 1o
Generalità sulle equazioni algebriche
1131 A
1133 A
Indice
3. Equazioni irrazionali intere contenenti
due o più radicali quadratici
4. Equazioni irrazionali intere contenenti
due o tre radicali cubici
5. Altri tipi di equazioni irrazionali
1135 A
Amplia il tuo linguaggio (Improve your Glossary)
1136 A
1138 A
1140 A
1140 A
ESERCITAZIONI
Attività di base
Attività di riepilogo e potenziamento
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
ATTIVITÀ DI RECUPERO
1141 A
1141 A
1149 A
1157 A
1158 A
Unità 24 Sistemi di equazioni di grado
superiore al 1o
1160 A
1. Sistemi aventi una sola equazione
di grado superiore al 1o
1160 A
ORGANIZZA LE TUE IDEE
Sezione
2. Sistemi simmetrici
Sistema simmetrico fondamentale
1162 A
1163 A
3. Sistemi che si risolvono con particolari artifici
1165 A
4. Interpretazione grafica delle soluzioni
di un sistema di grado superiore al 1o
di due equazioni in due incognite
Amplia il tuo linguaggio (Improve your Glossary)
1168 A
1171 A
ESERCITAZIONI
Attività di base
Attività di riepilogo e potenziamento
1172 A
1172 A
1200 A
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
ATTIVITÀ DI RECUPERO
1205 A
1206 A
Uno sguardo alle applicazioni
1. Il rapporto aureo
2. Un problema sulla resistenza
in un circuito elettrico
1210 A
1210 A
1211 A
10 Dall’algebra classica all’algebra moderna
Matematica perché Un processo di astrazione
1212 A
Unità 25 Le strutture algebriche
1214 A
1214 A
1214 A
1215 A
1215 A
1216 A
1217 A
1217 A
1218 A
1218 A
1218 A
1219 A
1219 A
1. Le leggi di composizione e le loro proprietà
Legge di composizione
Proprietà commutativa
Proprietà associativa
Proprietà di idempotenza
Elemento regolare
Elemento neutro
Elementi simmetrici
Proprietà distributiva
2. Il concetto di struttura algebrica
Monoide
Gruppo
Sezione
XI
Anello
Campo
Un esempio di aritmetica finita: l’aritmetica
modulare
1222 A
1222 A
1223 A
3. Gli isomorfismi
1226 A
ORGANIZZA LE TUE IDEE
Amplia il tuo linguaggio (Improve your Glossary)
1228 A
1228 A
ESERCITAZIONI
Attività di base
1229 A
1229 A
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
Un nuovo punto di vista
L’ampliamento dell’insieme n dei numeri naturali
alla luce del concetto di isomorfismo
1238 A
1239 A
1239
11 La logica delle proposizioni e dei predicati
Matematica perché Che cosa consente di fare
la logica delle proposizioni e dei predicati
1240 A
Prova d’ingresso
1242 A
Unità 26 La logica delle proposizioni
1243 A
1. Matematica come linguaggio
Sintassi di un linguaggio
1243 A
1243 A
IL FILO DELLA STORIA: Lo sviluppo storico
della logica
2. La logica delle proposizioni
1245 A
1245 A
La proposizione grammaticale
1245 A
Le proposizioni della logica formale.
I principi fondamentali
1246 A
Proposizioni atomiche e proposizioni molecolari 1246 A
3. Operazioni elementari nell’insieme
delle proposizioni
La congiunzione
La disgiunzione inclusiva
La disgiunzione esclusiva
La negazione
1247 A
1247 A
1247 A
1248 A
1249 A
XII
Indice
L’implicazione materiale
La coimplicazione (o doppia implicazione)
materiale
1249 A
1251 A
IL FILO DELLA STORIA: L’incontro tra la logica e la
matematica: l’opera di Leibniz
4. Funzioni proposizionali
Funzioni proposizionali ed espressioni
proposizionali
Espressioni equiveridiche
Operazioni fondamentali e operazioni derivate
5. Tautologie e contraddizioni
Le tautologie
Le contraddizioni
6. Logica inferenziale:
regole di inferenza o deduzione
7. La deduzione logica e il teorema
La deduzione logica
La doppia deduzione logica
1252 A
1252 A
1252 A
1254 A
1255 A
1255 A
1255 A
1256 A
Amplia il tuo linguaggio (Improve your Glossary)
1257 A
1258 A
1258 A
1260 A
1262 A
1262 A
ESERCITAZIONI
Attività di base
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
ATTIVITÀ DI RECUPERO
1263 A
1263 A
1275 A
1276 A
IL FILO DELLA STORIA: L’algebra di Boole
Sezione
Unità 27 La logica dei predicati
1277 A
1. Gli enunciati aperti
Gruppo nominale e gruppo verbale
I quantificatori
Predicato e insieme soluzione
1277 A
1277 A
1278 A
1278 A
2. Analogia tra operazioni tra enunciati
e operazioni tra insiemi
Congiunzione e intersezione tra insiemi
Disgiunzione e unione tra insiemi
Negazione e complementare di insiemi
1279 A
1279 A
1279 A
1280 A
3. Gli enunciati doppiamente aperti
1280 A
4. I sillogismi
1282 A
IL FILO DELLA STORIA: I sillogismi e i diagrammi
di Eulero-Venn
Amplia il tuo linguaggio (Improve your Glossary)
ESERCITAZIONI
Attività di base
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
ATTIVITÀ DI RECUPERO
Uno sguardo alle applicazioni
La logica delle proposizioni e i circuiti elettrici
Logiche non bivalenti: la logica fuzzy
1283 A
1283 A
1284 A
1284 A
1288 A
1288 A
1289 A
1291 A
12 La probabilità
Matematica perché Che cosa consente
di fare la teoria della probabilità
Prova d’ingresso
Unità 28 Il calcolo delle probabilità
1. Il concetto di probabilità
Definizione di probabilità
Probabilità condizionata
1292 A
1294 A
1295 A
1295 A
1295 A
IL FILO DELLA STORIA: Le origini del calcolo
delle probabilità
Evento contrario
Spazio degli eventi e sua visualizzazione
2. Probabilità totale e probabilità composta
Eventi incompatibili
Principi della probabilità totale
e della probabilità composta
Evento totale
Evento composto
Principio della probabilità totale
Probabilità totale per eventi non incompatibili
3. Correlazione tra eventi
Eventi indipendenti
IL FILO DELLA STORIA: Il pensiero deterministico
1301 A
1303 A
Probabilità composta per eventi non
indipendenti
Probabilità composta e diagrammi ad albero
1303 A
1303 A
IL FILO DELLA STORIA: I piselli di Mendel
e le leggi della genetica
1304 A
1296 A
1297 A
1297 A
1299 A
1299 A
4. Probabilità e frequenza: la legge
dei grandi numeri
5. I giochi di sorte
Speranza matematica
Gioco equo
Amplia il tuo linguaggio (Improve your Glossary)
1299 A
1299 A
1299 A
1300 A
1300 A
1301 A
1301 A
ESERCITAZIONI
Attività di base
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
ATTIVITÀ DI RECUPERO
Uno sguardo alle applicazioni
Modelli matematici deterministici e probabilistici.
Un esempio di modello lineare
1305 A
1306 A
1306 A
1307 A
1308 A
1309 A
1309 A
1320 A
1322 A
1325 A
Indice
Sezione
XIII
2 Equivalenza tra figure piane.
Grandezze geometriche
Matematica perché
Prova d’ingresso
129 G
130 G
Unità 5 La circonferenza e il cerchio
131 G
131 G
131 G
1. Nozioni fondamentali
Circonferenza e cerchio
Teorema sul numero di punti
che individuano una circonferenza
2. Le corde e le loro proprietà
Corda e diametro di una circonferenza
Teorema relativo alle proprietà delle corde
3. Parti della circonferenza e del cerchio
Arco. Settore circolare. Segmento circolare
Angoli al centro
Teorema relativo agli angoli al centro
4. Posizioni reciproche di circonferenze
e rette e di circonferenze tra loro
Posizioni reciproche di circonferenze e rette
Posizioni reciproche di circonferenze
5. Angoli al centro e angoli alla circonferenza
Angoli alla circonferenza
Teorema relativo alle proprietà degli angoli
alla circonferenza
6. Tangenti a una circonferenza passanti
per un punto
7. Poligoni inscritti e circoscritti a una
circonferenza
Condizioni di inscrivibilità e circoscrivibilità
di poligoni
Inscrivibilità e circoscrivibilità di triangoli
e poligoni regolari
Inscrivibilità e circoscrivibilità di quadrilateri
Attività di riepilogo e potenziamento
151 G
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
ATTIVITÀ DI RECUPERO
Uno sguardo alle applicazioni
1. Poligoni regolari e ricopertura di una
superficie piana
2. Giochi matematici: i pentamini
153 G
154 G
157 G
Unità 6 Equivalenza tra figure piane
158 G
158 G
157 G
157 G
131 G
132 G
132 G
132 G
133 G
133 G
134 G
134 G
1. Superfici piane e loro estensione
Superfici equivalenti. Superficie prevalente
o suvvalente
Somma e differenza di superfici
Assiomi che caratterizzano il concetto
di estensione di superfici piane
134 G
134 G
135 G
136 G
136 G
2. Poligoni equivalenti
Equivalenza tra parallelogrammi
Equivalenza tra triangolo e parallelogrammo
Equivalenza tra trapezio e triangolo
Equivalenza tra poligono circoscrivibile e
triangolo
159 G
160 G
160 G
161 G
3. I teoremi di Euclide e di Pitagora
Primo teorema di Euclide
Teorema di Pitagora
Secondo teorema di Euclide
162 G
162 G
163 G
164 G
136 G
138 G
158 G
159 G
159 G
162 G
IL FILO DELLA STORIA: Come riuscı` Pitagora
139 G
a dimostrare il suo famoso teorema?
165 G
139 G
Amplia il tuo linguaggio (Improve your Glossary)
166 G
166 G
Amplia il tuo linguaggio (Improve your Glossary)
139 G
140 G
142 G
142 G
ESERCITAZIONI
Attività di base
143 G
143 G
ESERCITAZIONI
Attività di base
Attività di riepilogo e potenziamento
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
ATTIVITÀ DI RECUPERO
167 G
167 G
175 G
178 G
179 G
IL FILO DELLA STORIA: Due aneddoti su Euclide
Sezione
ORGANIZZA LE TUE IDEE
3 Grandezze geometriche. Similitudine nel piano.
Applicazione dell’algebra alla geometria
Matematica perché
182 G
Prova d’ingresso
184 G
2. Grandezze commensurabili
e grandezze incommensurabili
186 G
Unità 7 Le grandezze e la loro misura
185 G
1. Le classi di grandezze
Assiomi relativi alle classi di grandezze
185 G
185 G
3. La misura in una classe di grandezze
Misura nella classe dei segmenti
187 G
187 G
Multipli e sottomultipli di una grandezza
4. Corrispondenza tra l’insieme dei segmenti
186 G
XIV Indice
5.
6.
7.
8.
e l’insieme dei numeri reali non negativi
Rapporto tra grandezze omogenee
Area di alcuni poligoni
Lunghezza della circonferenza
Area del cerchio
190 G
190 G
191 G
192 G
193 G
IL FILO DELLA STORIA: La quadratura del cerchio
Amplia il tuo linguaggio (Improve your Glossary)
194 G
194 G
195 G
195 G
196 G
196 G
197 G
197 G
ESERCITAZIONI
Attività di base
Attività di riepilogo e potenziamento
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
ATTIVITÀ DI RECUPERO
198 G
198 G
203 G
204 G
205 G
Unità 8 La similitudine nel piano
208 G
208 G
208 G
210 G
Il calcolo di 9. Classi di grandezze direttamente proporzionali
Costante di proporzionalità
Criterio di proporzionalità
10. La corrispondenza di Talete
Il teorema di Talete
ORGANIZZA LE TUE IDEE
1. Triangoli simili
I criteri di similitudine dei triangoli
2. Alcune proprietà dei triangoli simili
3. I teoremi di Euclide come conseguenza
Sezione
della similitudine tra triangoli
212 G
4. Poligoni simili
214 G
5. Concetto di similitudine in generale
214 G
ESERCITAZIONI
Attività di base
Attività di riepilogo e potenziamento
215 G
215 G
222 G
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
ATTIVITÀ DI RECUPERO
224 G
225 G
Unità 9 Applicazione dell’algebra
alla geometria
227 G
1. Espressione metrica di alcuni teoremi
227 G
2. Esempi di applicazione dell’algebra
alla risoluzione di problemi di geometria
del piano
230 G
ESERCITAZIONI
Attività di base
Attività di riepilogo e potenziamento
232 G
232 G
249 G
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
ATTIVITÀ DI RECUPERO
Uno sguardo alle applicazioni
1. Le figure quali forme espressive nell’arte
2. La sezione aurea
253 G
254 G
256 G
256 G
257 G
4 Le trasformazioni del piano in sé
Matematica perché
Prova d’ingresso
258 G
260 G
Unità 10 Trasformazioni geometriche.
Le isometrie
261 G
1. Generalità sulle trasformazioni geometriche
del piano
Trasformazione del piano in sé.
Immagine di un punto
Punto unito. Identità
Gli invarianti
2. Le isometrie e le loro proprietà
Teorema relativo alla trasformazione di rette,
semirette, segmenti
Retta unita
Teorema relativo alla trasformazione di rette
parallele
Teorema relativo alla trasformazione di rette
incidenti
Teorema relativo alla trasformazione di angoli
3. La traslazione
Vettori
261 G
261 G
262 G
262 G
262 G
4.
5.
6.
7.
8.
263 G
263 G
264 G
264 G
264 G
265 G
265 G
9.
Vettori opposti. Vettori equipollenti
Somma di vettori
Traslazione
La rotazione
La simmetria centrale
La simmetria assiale
Simmetrie nelle figure piane
Composizione di isometrie
Composizione di due traslazioni
Composizione di due rotazioni
aventi lo stesso centro
Composizione di una simmetria con se stessa.
Isometrie involutorie
Composizione di due simmetrie centrali
Composizione di due simmetrie assiali ad assi
paralleli
Composizione di due simmetrie assiali ad assi
incidenti
Composizione di trasformazioni di tipo diverso
Gruppi di isometrie
Trasformazioni inverse
Gruppi di isometrie
266 G
266 G
267 G
268 G
269 G
270 G
271 G
272 G
272 G
272 G
273 G
273 G
273 G
274 G
275 G
275 G
275 G
276 G
Indice
ESERCITAZIONI
Attività di base
Attività di riepilogo e potenziamento
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
Unità 11 Trasformazioni piane
non isometriche
277 G
277 G
288 G
292 G
Amplia il tuo linguaggio (Improve your Glossary)
294 G
294 G
295 G
295 G
297 G
298 G
298 G
299 G
299 G
300 G
300 G
ESERCITAZIONI
Attività di base
Attività di riepilogo e potenziamento
301 G
301 G
304 G
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
Uno sguardo alle applicazioni
1. Le trasformazioni geometriche nell’arte e
nella natura
306 G
307 G
1. Trasformazioni geometriche e loro invarianti
2. L’omotetia e la similitudine
Omotetia
Similitudine
3. L’affinità e la proiettività
Affinità
Proiettività
Le trasformazioni topologiche
ORGANIZZA LE TUE IDEE
APPENDICE 1 Richiami di geometria
euclidea nello spazio
Il concetto di spazio
Posizioni reciproche di piani e rette nello spazio.
Angolo di due rette. Perpendicolarità tra rette
e piani
Distanza di un punto da un piano.
Angolo di una retta con un piano
Angolo diedro. Piani perpendicolari. Angoloidi
Solidi notevoli
‘‘Fermati e prova’’ - Risposte
‘‘Verifica il tuo apprendimento’’ - Risposte
Tavola dei simboli
307 G
308 G
308 G
308 G
312 G
313 G
315 G
I poliedri
Poliedri particolari. Prisma, piramide,
tronco di piramide
I solidi di rotazione
Problemi di algebra applicata alla geometria
relativi a poliedri
Problemi di algebra applicata alla geometria
relativi a solidi di rotazione
Applicazioni pratiche della geometria
delle figure solide
Approfondimenti
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
Matematica verso l’informatica
Le funzioni computabili
e la complessità computazionale
I primi dispositivi di calcolo meccanico
Il concetto di computabilità
La macchina di Turing
La macchina universale
Funzioni computabili e macchina di Turing
Matematica computazionale e complessità
Grado di complessità di un problema
Problemi tipici sulla complessità computazionale
XV
315 G
318 G
322 G
327 G
330 G
333 G
334 G
335 G
17 S
17 S
18 S
18 S
21 S
21 S
21 S
21 S
22 S
Matematica e storia
L’evoluzione storica dell’algebra
e il concetto di modello matematico
23 S
La nascita dell’algebra: l’alba dei modelli matematici 23 S
L’algebra nel Rinascimento
25 S
Cartesio e il metodo della geometria analitica
27 S
Galilei e la matematizzazione della natura
28 S
Gli sviluppi dell’algebra nei secoli XVIII e XIX
30 S
La teoria della probabilità e la meccanica statistica 30 S
La nascita degli odierni modelli matematici
31 S
XVII
Indice dei nomi
XXV
XX
Indice analitico
XXVI
XXIV
XVI Indice
CONTENUTI MULTIMEDIALI
13 lezioni multimediali interattive in italiano e in inglese, con centinaia di animazioni, attività e simulazioni accompagnate da attività di verifica con feedback. Sulla base dei risultati il percorso viene personalizzato con attività di recupero e di approfondimento. Anche in versione
per LIM nel CD-ROM allegato alla Guida per il docente.
Per la classe virtuale
Math VIVA
Animazioni, simulazioni e attività con GeoGebra
Math STORIA
L’evoluzione del pensiero matematico
Per esercitarsi
Quick TEST
I Fermati e prova in modalità interattiva
E-TRAINER
Per allenarsi online prima della verifica. Al termine di tutte le Unità
RECUPERO
Attività ulteriori per conseguire gli obiettivi minimi di apprendimento. Al termine
di tutte le Unità
Attività con Excel, Derive e Cabri
n
n
n
La matematica nel laboratorio di informatica
Filmati dimostrativi dell’uso di Excel, Derive e Cabri
Esercitazioni svolte con Excel, Derive e Cabri
www.libropiuweb.it
Sezione
7 Risoluzione
di problemi nel piano
cartesiano
Matematica perché
Che cosa consente di fare la geometria analitica
Il metodo della geometria analitica viene proposto dal filosofo e
scienziato Cartesio nella sua opera La Geometria del 1637 e successivamente sviluppato e potenziato da illustri matematici.
Tale metodo consente di associare, in una corrispondenza biunivoca, numeri a enti geometrici. È possibile cosı̀ descrivere le
caratteristiche di una figura geometrica mediante espressioni
algebriche e, viceversa, rappresentare graficamente funzioni
algebriche.
Si tratta dunque di un metodo rivoluzionario che permette un
mirabile connubio tra algebra e geometria e al tempo stesso
rappresenta un efficace strumento di studio della matematica
e di analisi di numerose applicazioni.
Basti pensare, sul versante matematico, all’interpretazione
grafica delle soluzioni di equazioni e disequazioni algebriche
e alla possibilità di determinare con precisione i valori di grandezze e proprietà di figure geometriche.
Sul versante applicativo, il metodo esprime straordinarie potenzialità nel descrivere, mediante rappresentazione grafica,
processi fisici, biologici, economici e statistici.
L’applicazione, poi, delle equazioni delle trasformazioni geometriche lineari nel piano consente l’esame di numerose manifestazioni di ogni tipo di simmetria presente nella natura: ci
riferiamo alla configurazione dei cristalli, alla struttura anatomica degli esseri viventi espressa dalla ricca biodiversità del
mondo animale e vegetale.
E pensiamo, infine, a quali e quante applicazioni delle simmetrie troviamo nelle attività creative dell’uomo: nelle arti grafiche e ornamentali, nelle opere architettoniche, nei disegni di
tessuti e tappeti.
Figura 1. Cartesio ritratto con un libro su
cui è leggibile la scritta ‘‘mundus est fabula’’ (il mondo è racconto).
Figura 2. Un francobollo della serie di due
francobolli commemorativi di Cartesio
emessi dalla Repubblica francese nel 1937.
Che cosa puoi apprendere nello studio di questa Sezione
Prima di iniziare lo studio di questa Sezione è necessario che tu richiami alcuni argomenti trattati nel primo Volume. Infatti in esso viene introdotto il sistema di coordinate cartesiane ortogonali nel piano. Sempre nel primo Volume trovi come sia possibile, mediante la retta tracciata nel piano cartesiano, dare un’interpretazione geometrica delle soluzioni (mediante gli zeri di funzione) di semplici equazioni di 1 grado
ed effettuare lo studio (mediante immagini geometriche) delle soluzioni di una disequazione di 1 grado.
In questa Sezione acquisirai i principi fondanti della geometria analitica. La trattazione completa e approfondita della geometria analitica è oggetto di studio nei trienni. Tuttavia i programmi scolastici vigenti del biennio prevedono l’introduzione dei fondamenti di questa disciplina allo scopo di:
– consentire l’interpretazione, mediante la rappresentazione grafica, di soluzioni di equazioni e disequazioni di 1 e 2 grado;
– sviluppare un metodo alternativo alla geometria razionale (basato essenzialmente su teoremi, dimostrazioni e costruzioni geometriche) con il fine di poter determinare con precisione i valori di grandezze di figure geometriche e le coordinate cartesiane di punti notevoli;
– presentare un primo approccio allo studio delle coniche.
n
La geometria analitica trattata in questa Sezione riguarda:
u
y
L’equazione della retta espressa nelle forme esplicita e implicita.
n La soluzione di problemi relativi a punti e rette nel piano
cartesiano
n Il calcolo di valori di grandezze di figure geometriche (lunghezze di lati, perimetri e aree di superfici di poligoni), lunghezze di mediane, altezze, coordinate cartesiane di punti
notevoli di triangoli (baricentro, ortocentro, incentro).
n
–
x
+
y
–
3
=
0
y–3=0
P (0; 3)
O
x
Figura 3. Rappresentazione grafica di alcune
rette del fascio con sostegno in P ð0; 3Þ.
Le equazioni delle trasformazioni geometriche del piano
cartesiano; le trasformazioni isometriche (traslazione, simmetria assiale e centrale, rotazione) e non isometriche
(omotetia, affinità).
n Le equazioni e le caratteristiche delle coniche nel piano
cartesiano (parabola, circonferenza, ellisse, iperbole).
n
Figura 4. Un gioco di simmetrie, di traslazioni, di rotazioni in un’opera del famoso grafico
M.C. Escher (Sistema triangolare, 1948).
Obiettivi della Sezione
CONOSCENZE
Equazioni delle rette nel piano cartesiano e problemi ad esse connessi
n Problemi di geometria classica risolvibili mediante la geometria analitica
n Equazioni di trasformazioni geometriche lineari
nel piano
n Primi elementi di geometria analitica delle coniche
n
COMPETENZE
Saper determinare le equazioni di rette e saperle tracciare in un piano cartesiano
n Saper risolvere problemi relativi a figure geometriche mediante calcoli basati sulle coordinate
cartesiane
n Saper determinare e applicare equazioni di trasformazioni isometriche e non isometriche
n Saper determinare gli elementi caratteristici delle coniche mediante la loro equazione
n
Sezione 7 Risoluzione di problemi nel piano cartesiano A 707
Prova d’ingresso della Sezione
Lo studio di questa Sezione richiede conoscenze e competenze circa la rappresentazione di punti e di funzioni nel sistema di coordinate ortogonali cartesiane nel piano e relativamente ad alcune definizioni e
proprietà di particolari figure geometriche e teoremi (Euclide, Pitagora, Talete).
1
Sulla retta r è fissato un sistema di ascisse
(sono cioè dati un orientamento, un punto
fisso O, detto origine, e un segmento u, detto unità di misura). Indica nell’unità u le
ascisse dei punti A, B, C, D, O della retta r.
E
F
D
O
A B
u
C
r
2
Poni su una retta orientata su cui è fissato un
sistema di ascisse i punti P, Q, R di ascisse ri3
spettivamente uguali a þ ; þ3; 5; 2; 0; 5.
2
3
In un piano è fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale. Sono cioè considerate due rette orientate ortogonali x e y
ed è fissato un segmento u quale unità di
misura comune alle due rette (vedi figura).
d) di ascissa e ordinata negative appartengono al ..........
5
Disegna in un sistema di coordinate cartesiane ortogonali i seguenti punti:
3
1
;
Að2; 1Þ; Bð2; 2Þ; C ð1; 1Þ; D
2
2
6
In un triangolo ABC, rettangolo in A, la misura della lunghezza del cateto minore AB è
di 10 cm, quella della sua proiezione BH sull’ipotenusa è di 6 cm.
AB ? AC
A
AH ? BC
AB ¼ 10 cm
BH ¼ 6 cm
B
y
P (a; b)
b
O
7
1
a
Completa le seguenti frasi:
4
Completa le seguenti frasi.
In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale xOy tutti e solo i punti:
a) di ascissa nulla appartengono ..........;
b) di ordinata nulla appartengono ..........;
c) aventi ascissa e ordinata uguali appartengono ..........;
Completa le seguenti frasi:
a) La distanza di un punto P da una retta r è
la misura del segmento di .......... condotta dal punto P alla retta r.
b) Due triangoli rettangoli aventi una coppia
di angoli acuti congruenti sono ..........
c) In due triangoli rettangoli aventi una coppia di angoli acuti congruenti il rapporto
tra le ipotenuse e il rapporto tra i cateti
opposti ad angoli congruenti sono ..........
d) In un fascio di rette parallele, tagliate da
due trasversali t e t0 i segmenti staccati su
t sono .......... ai segmenti corrispondenti
staccati su t0 .
x
a) L’asse x è detto asse delle ..........
b) L’asse y è detto asse delle ..........
c) Il punto O di intersezione delle rette x e y
è detto .......... del sistema di riferimento.
d) Tra l’insieme dei punti del piano e le coppie .......... di numeri reali è possibile fissare una corrispondenza ..........
e) Con la scrittura Pða; bÞ si indica un punto
P di .......... a e .......... b; a e b si dicono
.......... di P.
C
Applicando i teoremi di Pitagora e di Euclide
indica le misure (in cm) dei segmenti BC, AH,
HC, AC, scegliendole tra i seguenti numeri:
50
40
32
12; 8;
;
; 20;
; 15:
3
3
3
u
1
H
8
Completa.
a) La funzione y ¼ kx, con k costante, rappresenta una ..........
k
b) La funzione y ¼ , con k costante diverx
so da zero, rappresenta una ..........
c) La funzione y ¼ ax þ c con a e c costanti
rappresenta una ..........
Sezione
2 La circonferenza
e il cerchio.
Equivalenza
tra figure piane
Matematica perché
Continuiamo in questa sezione lo studio della geometria come sistema ipotetico-deduttivo.
Nell’Unità 6 ci proponiamo di esaminare le proprietà di nuove figure, in particolare della circonferenza e
del cerchio. Vedremo come le proprietà della circonferenza, e di altre figure ad essa legate, possono essere dedotte dagli assiomi finora considerati, dai criteri di congruenza dei triangoli, dai teoremi su parallelismo e perpendicolarità, dal concetto di luogo.
Nella successiva unità viene invece introdotto un nuovo concetto primitivo, il concetto di estensione di
una superficie piana; vengono anche presentati nuovi assiomi, necessari per descrivere con il metodo
della geometria razionale la nozione di equivalenza tra figure, certamente già nota intuitivamente.
Esamineremo l’equivalenza limitatamente al caso di figure poligonali; in tal caso l’equivalenza va intesa
come equiscomponibilità, cioè consideremo ‘‘equivalenti’’ le figure che siano la somma di figure congruenti.
Dai teoremi relativi all’equivalenza, dedurremo delle importanti proprietà che riguardano il triangolo rettangolo, note come teoremi di Euclide e teorema di Pitagora. Dimostriamo il teorema di Pitagora deducendolo da 1º teorema di
Euclide; come riportiamo nella lettura alla fine dell’unità, esistono molte altre possibili dimostrazioni, ma non abbiamo documenti che ci dicano quale fosse la dimostrazione originale.
Sappiamo però che questo teorema ha segnato una tappa molto
importante nella storia della matematica e non è esagerato dire
che ha sconvolto lo stesso Pitagora e gli allievi della sua scuola,
perché ha portato alla necessità di introdurre oltre ai numeri razionali, cioè gli interi e i frazionari (unici tipi di numeri noti fino
Francobollo delle poste greche
ad allora e fondamento di tutta la filosofia pitagorica ), anche alemesso per celebrare Pitagora.
tri ‘‘strani’’ oggetti, che oggi chiamiamo numeri irrazionali.
Obiettivi della Sezione
CONOSCENZE
Nozioni fondamentali sulla circonferenza e sul
cerchio
n Equivalenza tra superfici piane poligonali
n
COMPETENZE
Rafforzare la capacità di cogliere il significato
dei procedimenti deduttivi
n
G 130
Sezione 2 La circonferenza e il cerchio. Equivalenza tra figure piane
Prova d’ingresso della Sezione
Lo studio di questa sezione richiede conoscenze sui concetti di assioma e teorema, su definizioni e proprietà di figure piane, in particolare triangoli e quadrilateri. Richiede inoltre la capacità di disegnare figure rispondenti a proprietà date e di saper condurre una dimostrazione.
QUESITI
1
Enuncia due assiomi e due teoremi.
2
Dai la definizione di triangolo:
a) acutangolo;
3
b) rettangolo;
bB e ABbC sono ...
c) DA
bC e AO
bB sono ...
d) DO
bC e C O
bB sono ...
e) DO
f) DO e OB sono ...
c) isoscele.
Giustifica le risposte.
Disegna un triangolo:
a) acutangolo e gli assi dei suoi tre lati;
b) ottusangolo e le sue tre altezze.
4
Definisci che cos’è un parallelogrammo ed
elenca le sue proprietà.
5
Completa inserendo correttamente uno dei
termini: congruenti, supplementari.
Se ABCD è un parallelogrammo tale che
AB==CD e AD==BC allora si ha che:
D
6
Se dal punto O di intersezione delle due diagonali di un rettangolo ABCD si conduce
una retta r, il rettangolo rimane diviso in
due parti. Di che natura sono i poligoni in
cui il rettangolo risulta suddiviso dalla retta
r? (Distingui tutte le diverse situazioni che
si possono presentare).
7
Dato il triangolo ABC isoscele sulla base AB,
prolunga AB di un segmento BD ¼ BC. Di1 b
C.
mostra che BCbD ¼ BA
2
8
Per il vertice A di un triangolo rettangolo in
A e isoscele conduci una retta r esterna al
triangolo. Siano D ed E le proiezioni su r degli estremi B e C della base.
bB e ECbA sono congruenti.
Dimostra che DA
C
O
A
B
a) AB e CD sono ...
bB e BCbD sono ...
b) DA
ESERCIZI
9
Disegna un triangolo ABC e sul suo lato AC
considera il punto P che suddivida tale lato
in due parti AP e PC in modo che la prima
risulti doppia della seconda. Da P conduci
poi le parallele PR al lato AB e PS al lato CB.
Quale relazione intercorre tra i tre triangoli
ABC, ASP, PRC? Dimostralo.
10 Disegna un quadrilatero ABCD avente le due
diagonali AC e BD tra loro perpendicolari,
ma non congruenti. Se congiungi i punti medi dei lati consecutivi del quadrilatero ABCD
che figura ottieni? Perché? Dimostralo.
11 Disegna un quadrilatero ABCD avente le due
diagonali AC e BD tra loro congruenti, ma
non perpendicolari. Se congiungi i punti medi dei lati consecutivi del quadrilatero ABCD
che figura ottieni? Perché? Dimostralo.