dispensa di matematica

GONIOMETRIA
NOZIONI DI BASE:
A qualcuno sembrò una magia quando Guglielmo Marconi effettuò la prima radiotrasmissione di un segnale,
ma non era magia: alla base di quell’invenzione, e non solo di quella, c’è la goniometria.
Sempre in fisica, quando si è trattato il moto circolare uniforme, subito si è arrivati a parlare di frequenze,
periodi, velocità angolari, ed è uscito subito fuori il grafico della curva seno per definire il comportamento
del moto armonico. Ogni applicazione della fisica che parla di Hertz (computer, forni a micro onde, impianti
stereo, telecomunicazioni, e persino chimica, astronomia, sismologia..) si avvale dei semplici assunti di cui
stiamo per avere completa esposizione.
La misura degli angoli
Dal greco, γονον μετρεω = misuro gli angoli, e τριγονον μετρεω = misuro i triangoli.
Per cominciare, è necessario chiarirsi quindi sulla misura di un angolo: il coefficiente angolare “m” finora
sembrava raccontare solo un rapporto ordinate/ascisse. Sarà essenziale, ma non misura ancora l’angolo.
Esistono due modi per raccontare un angolo: la più comune è dividere un cerchio in 360 gradi col sistema
sessagesimale, ma altrettanto è possibile esprimerlo come “arco sotteso dall’angolo”. In tal caso la misura è
in radianti (qualcosa che ricorda bene la pulsazione o velocità angolare in meccanica: rad/sec).
-
sistema sessagesimale
Siamo comunemente abituati a definire il tempo con le parole: sono le 12:30 e 20 secondi del giorno, mese..
E siamo abituati che 60 secondi fanno 1 minuto, che 60 minuti fanno un’ora, da cui, a seconda del fenomeno,
si determina un range (giorno terrestre: 24 ore) oltre le quali scatta un giorno (un giro completo).
Forse alle medie qualcuno ha studiato il sistema decimale (ogni 10) ed il sessagesimale (ogni 60).
In tal senso, mezzogiorno e mezza e 20 secondi si scrive: 12° 30’ 20“.
In goniometria raramente capiterà di usare primi e secondi, concentrandoci per lo più sui gradi. Ora, mentre
il fenomeno periodico del giorno viene diviso in 24° (ore), la circonferenza in generale si divide in 360°.
Da un punto di vista grafico, tale convenzione riporta almeno tre nomenclature fondamentali:
1) 90° angolo retto
2) 180° angolo piatto
3) 360° angolo giro
ma è inoltre importante visualizzare la divisione in 2 a 45° (in blu), e le
divisioni in 3, quindi 30° - 60° (in verde) dell’angolo 90°. Ad esse
corrispondono negli altri quadranti gli stessi valori opposti per simmetria.
Ad esempio 120° = 90° + 30° e risponde in maniera opposta ai 60°.
-
utilizzare i radianti
meno intuitivo, ma semplice: il radiante non misura l’apertura dell’angolo, bensì
la porzione di circonferenza sottesa a tale angolo.
In particolare, si cerca un arco l che abbia la stessa lunghezza del raggio R:
la misura della circonferenza è 2πR, vista da un angolo sessagesimale di 360°.
In radianti, basta dividere la circonferenza per il raggio:
2πR = 360 ° → 2π = 360° ;
l (=R)
Trasformazioni:
π = 180° ;
da gradi a radianti:
270° .
π = 3π
180°
2
π = 90° ; π = 45° …
2
4
da radianti a gradi:
3 π . 180 = 135°
4
π
La circonferenza goniometrica
Nel piano cartesiano è possibile individuare il luogo geometrico dei punti P equidistanti da un unico punto
detto centro O della circonferenza, che, in maniera analitica per il riferimento cartesiano x;y, si traduce in:
X2 + Y2 = R2
Questa sarebbe l’equazione di una circonferenza con centro all’origine. Se noi considerassimo una simile
circonferenza con raggio unitario, avremmo subito degli enormi vantaggi:
X2 + Y2 = 1
Essa costituisce l’equazione della circonferenza goniometrica.
Osservate la figura al lato: alla misura dell’angolo α corrisponde
lungo la circonferenza un punto P, traguardato dall’origine O.
Questo punto ha un valore in ascisse (OH) e in ordinate (PH).
Ebbene, chiamando:
seno di α
= PH
(=Yp)
coseno di α = OH
(=Xp)
la nostra equazione della circonferenza goniometrica diventa:
sen2α + cos2α = 1
Questa è la relazione base fondamentale della trigonometria.
Ora possiamo trattare gli angoli come misure riportate sugli assi.
Si deve considerare che lo studio di queste funzioni, seno e coseno, sono antichissime. Ogni calcolatrice
scientifica ha un pulsante apposta per le funzioni trigonometriche e persino sul proprio computer, anche
senza dover accedere ad excel (eccezionale programma), la calcolatrice di serie ha l’opzione per visualizzare
i tasti scientifici. In simili strumenti, è richiesto specificamente di stabilire se si utilizzano i gradi o i radianti.
Dall’assunto precedente, escono subito fuori due importanti relazioni tra seno e coseno:
cos2α = 1 – sen2α
sen2α = 1 – cos2α
Analizziamo il comportamento delle due curve:
1) quando α = 0° → cos α = 1 ; sen α = 0
2) quando α = 90° → cos α = 0 ; sen α = 1
La stessa cosa si verifica negli altri quadranti. In pratica le due funzioni hanno ciò che si chiama uno
sfasamento, in tal caso esattamente di 90°. Da questa considerazione emergono nuovi assunti:
cos α = sen ( 90° – α )
sen α = cos ( 90° – α )
Se infatti proviamo a graficizzare le due curve, appare chiaro l’effetto dello sfasamento di π/2 :
Valori notevoli di seno e coseno
Al valore preciso, decimale, di seno e coseno, si preferisce un risultato numerico notevole per tali angoli: il
procedimento di base è sempre il teorema di Pitagora, pertanto alcuni valori resteranno sotto radice.
Angolo a 45° ( π/4 )
Stiamo ragionando sulla circonferenza goniometrica, pertanto il raggio, ovvero
l’ipotenusa del triangolo in esame, è unitario, il valore in ordinata e ascissa è
rispettivamente riportato con seno e coseno di 45°. In geometria, la diagonale d
(ipotenusa = raggio) di un quadrato di lato ℓ, rispetto ad esso: d = ℓ√2 .
Ovviamente, il lato, rispetto la diagonale unitaria del cerchio: ℓ = 1 / √2 .
Per noi, ℓ = sen 45 = cos 45. Per il teorema di Pitagora:
→
I2 = C2 + c2
1 = sen2 45 + cos2 45
Sappiamo che in tale configurazione seno e coseno sono uguali, quindi potremmo scrivere:
1 = 2 sen2 45
da cui
sen2 45 = 1 →
2
sen 45 = 1 . √2 = √2
√2 √2
2
Nell’ultimo passaggio si è semplicemente razionalizzato il denominatore. Ovviamente, cos(45°) = √2/2
Angolo a 30° ( π/6 ) e 60° ( π/3 )
Si parte dalle considerazioni sul triangolo equilatero, avente tre angoli di 60° e tre lati
uguali di misura ℓ . La bisettrice è anche mediana, dunque il triangolo (ruotato)
che contiene le informazioni che cerchiamo ha un’altezza h = ℓ / 2 ed una
base b = ( √3 / 2 ) ℓ. Nel nostro caso, ℓ=1, h = sen 30 ; b = cos 30.
Si intuisce subito:
sen 30 = ½
Per il coseno, basta applicare Pitagora:
I2 = C2 + c2 → 1 = sen2 30 + cos2 30 → cos2 30 = 1 – ½ 2 = ¾ → cos 30 = √3 / 2
Nel caso dei 60°, la situazione si ribalta:
cos 60 = ½
;
sen 60 = √3/2
Nei vari quadranti ritroveremo per simmetria gli stessi valori, alternati di segno a seconda del quadrante.
gradi – rad
0/360 – 0/2 π
30 - π/6
45 - π/4
60 - π/3
90 - π/2
120 - π 2/3
135 - π 3/4
150 - π 5/6
180 - π
210 - π 7/6
225 - π 5/4
240 - π 4/3
270 - π 3/2
300 - π 5/3
315 - π 7/4
330 - π 11/6
Seno
0
½
√2/2
√3/2
1
√3/2
√2/2
½
0
–½
– √2/2
– √3/2
–1
– √3/2
– √2/2
–½
Coseno
1
√3/2
√2/2
½
0
– ½
– √2/2
– √3/2
–1
– √3/2
– √3/2
–½
0
½
√2/2
√3/2
TANGENTE, COTANGENTE, COSECANTE, SECANTE
NOZIONI DI BASE:
Seguono quattro funzioni, tutte derivanti da rapporti tra seno e coseno, fondamentali per la goniometria:
tangente:
cotangente:
cosecante:
secante:
è un valore preso esternamente al cerchio, esprime il vecchio coefficiente angolare m
è l’inverso della tangente
è l’inverso del seno
è l’inverso del coseno
diversamente da seno e coseno, i cui valori oscillano tra + 1 e – 1 queste funzioni presentano valori infiniti,
pur restando periodiche. Molte In fisica si ricorre spesso a tali funzioni, e saranno determinanti per la
trigonometria.
Tangente
Disponiamo una retta di equazione X=1 in modo tangente alla
circonferenza goniometrica come indicato in figura. Notiamo che su
tale riferimento, l’angolo α stacca un segmento relativamente allo zero,
indicato in figura con il tratto rosso. Tale valore è detto essere la
tangente dell’angolo α , indicata indistintamente con Tan α o Tg α .
Come si può osservare, per valori di α pari a 90° e 270° la tangente
perde di definizione, procedendo in parallelo con l’asse delle ordinate.
A differenza di seno e coseno, la tangente, e la cotangente, non sono
costrette nella circonferenza, pertanto possono assumere valori
infinitamente grandi. Non essendoci due tangenti, qualora l’angolo α
eccedesse i 90° si ricerca il valore associato nel tratto inferiore,
negativo.
La tangente è un rapporto tra seno e coseno:
Tg α = Sen α
Cos α
similmente
m=Y
X
Difatti, la tangente rappresenta perfettamente il
coefficiente angolare delle rette. Per ottenere i valori
basta procedere come segue:
Tg 0° = 0 / 1 = 0
Tg 30° = Sen 30° = 1/2 = 1 . √3 = √3
Cos 30° √3/2
√3 √3
3
Tg 45° = Sen 45° = √2/2 = 1
Cos 45° √2/2
Tg 60° = Sen 60° = √3/2 = √3
Cos 60° 1/2
Tg 90° = 1 / 0 = ∞
Cotangente
Il costrutto geometrico è davvero simile a
quanto visto per la tangente, con la sola
differenza che stavolta si usa una retta di
equazione Y=1 , parallela quindi all’asse
delle ascisse e perpendicolare alla
tangente, per questo ne è l’inverso.
I valori notevoli sono gli stessi, ma la
formula della cotangente è l’inverso di
quella della tangente:
Cotg α =
1 =
Tg α
Cos α
Sen α
Nella tabella qui a fianco sono riportati i
valori di entrambe le funzioni,
sottolineando in rosso i valori negativi.
Per la resa grafica si deve tener conto del comportamento
asintotico(1) delle curve: ad esempio a 90° il seno ha il valore
massimo, positivo, ma il coseno è nullo, pertanto il rapporto che
da luogo alla tangente di 90° ha la forma 1/ 0 , quindi infinito.
Riparte da meno infinito, ha un flesso a 180°, dove il seno è
nullo, per poi risalire verso valori infiniti e positivi.
Sia la tangente che la cotangente hanno un periodo di 180°:
TANGENTE
COTANGENTE
gradi – rad
0 - 0π
30 - π/6
45 - π/4
60 - π/3
90 - π/2
120 - π 2/3
135 - π ¾
150 - π 5/6
180 - π
210 - π 7/6
225 - π 5/4
240 - π 4/3
270 - π 3/2
300 - π 5/3
315 - π 7/4
330 - π 11/6
360 - 2π
Tangente Cotangente
0
∞
√3/3
√3
1
1
√3
√3/3
∞
0
– √3
– √3/3
–1
–1
– √3/3
– √3
0
∞
√3/3
√3
1
1
√3
√3/3
∞
0
– √3
– √3/3
–1
–1
– √3/3
– √3
0
∞
NOTA: rispetto al valore 3,14 (π)
entrambe le curve ripropongono il
medesimo comportamento; inoltre
sono positive o negative assieme.
La tangente è sempre crescente,
mentre la cotangente è decrescente.
Gli asintoti sono sfalsati di 90°
(1)
Un asintoto è una retta cui una curva tenderà ad avvicinarsi senza mai raggiungere una vera intersezione se non
all’infinito. Dal greco: α = privativo: senza , συμ = insieme τιθημι = pongo, = senza che mai si incontrino.
Secante e cosecante
Rappresentano l’inverso algebrico delle funzioni coseno e seno:
Sec α
=
1
Cos α
Cosec α
=
1 _
Sen α
La dimostrazione geometrica considera una retta tangente
alla circonferenza goniometrica nel punto P, il quale è
ovviamente traguardato rispetto all’origine O da un
angolo α. Tale retta interseca gli assi in due punti,
in figura indicati con S ed S’ .
La secante dell’angolo è il segmento staccato dalla
retta tangente in P sull’asse delle ascisse x rispetto l’origine;
La cosecante è l’altro segmento, staccato sulle ordinate y.
Il segmento OP ha il valore del raggio, pari ad uno, è perpendicolare al segmento SS’, diviso in due porzioni
PS – PS’. Il primo dei due tratti è pari alla tangente dell’angolo, l’altro, alla cotangente.
Se applicassimo Pitagora, ad esempio per trovare la secante:
Sec α = √ 12 + Tg2 α = √ Cos2 α + Sen2 α =
√1 =
√ Cos2 α
√Cos2 α
1 _
Cos α
Appare chiaro come, al variare dell’angolo, la secante può arrivare a valori infinitamente grandi o
infinitamente piccoli, negativi. Per ricercare i valori basta invertire quelli di seno e coseno:
gradi – rad
0 - 0π
30 - π/6
45 - π/4
60 - π/3
90 - π/2
120 - π 2/3
135 - π ¾
150 - π 5/6
180 - π
210 - π 7/6
225 - π 5/4
240 - π 4/3
270 - π 3/2
300 - π 5/3
315 - π 7/4
330 - π 11/6
360 - 2π
SECANTE
Secante
1
2/√3
√2
2
∞
–2
– √2
– 2/√3
–1
– 2/√3
– √2
–2
∞
2
√2
2/√3
1
Cosecante
∞
2
√2
2/√3
1
2/√3
√2
2
∞
–2
– √2
– 2/√3
–1
– 2/√3
– √2
–2
∞
COSECANTE