I sistemi formali

I sistemi formali
Un sistema formale S è definito dai seguenti ingredienti:
1. Un alfabeto finito, , formato da un numero finito di segni. Per ogni
segno possediamo un qualsiasi numero d’esemplari e sappiamo
distinguere un esemplare da un altro esemplare. Ogni sequenza finita
di segni si chiama espressione.
2. Si privilegia un certo insieme di espressioni che si chiamano
formule ben formate o semplicemente formule. Tale insieme viene
indicato con F e deve essere decidibile, cioè deve esistere un metodo
di decisione che consenta di stabilire se un’espressione è o non è una
formula.
3. Si privilegiano particolari formule che si chiamano assiomi. Se
l’insieme Ax degli assiomi è decidibile, nel senso che si possa stabilire
se una formula è o non è un assioma, il sistema si dice assiomatico.
4. È assegnato un numero finito di relazioni tra formule, dette regole
di inferenza o di deduzione primitiva. Generalmente si richiede che
tali regole siano effettive.
La coppia L = (, F) si dice linguaggio del sistema formale ed il suo
studio si dice morfologia.
Ad ogni sistema formale si associa una struttura deduttiva mediante
la seguente definizione di teoremi logici o semplicemente teoremi.
Definizione: 1. Ogni assioma è un teorema.
2. Applicando le regole di inferenza a teoremi si ottengono
teoremi.
3. Nient’altro è un teorema.
Una sequenza A1, A2 , ... , An di formule si dice dimostrazione se
ogni formula o è un assioma oppure è ottenuta da
formule
precedenti con l’applicazione delle regole di inferenza.
Una formula si dice dimostrabile se esiste una dimostrazione di cui è
la formula finale.
Ogni teorema è la formula finale di una dimostrazione, è cioè una
formula dimostrabile.
Segue che i teoremi sono tutte e sole le formule dimostrabili.
S’introduce l’operazione D di derivazione nel modo seguente:
Se  è un insieme generalmente finito di formule, dette ipotesi o
premesse, una derivazione da  è una sequenza di formule, ognuna
delle quali o è un assioma, o è una formula di , oppure è ottenuta
dalle precedenti con l’uso delle regole di inferenza. S’indica con D ()
l’insieme delle formule derivabili da , ottenibili cioè come formula
finale di una derivazione da .
Ovviamente, in assenza di premesse una derivazione è una
dimostrazione.
La coppia (L, D) si dice calcolo logico ed il suo studio si dice
sintassi.
Il calcolo logico si dice consistente o non contraddittorio se esiste
almeno una formula che non è un teorema; si dice decidibile se
l’insieme dei suoi teoremi logici è decidibile nel senso che si possa
decidere se una formula è o non è un teorema; si dice completo se,
comunque si consideri una formula A che non sia un teorema, il
calcolo allargato che si ottiene aggiungendo A agli assiomi è
contraddittorio.
Esempi di sistemi formali sono:
Il Calcolo Proposizionale o Logica degli Enunciati
Il Calcolo Predicativo puro
Le Teorie del primo ordine, tra le quali: il sistema formale per
l’aritmetica elementare, le teorie assiomatiche degli insiemi ZF
e NBG.