Come ricavare l'espressione matematica dell'accelerazione centripeta Data un moto circolare uniforme di raggio r e di velocità costante v dedurremo la legge che descrive l'accelerazione centripeta, e di conseguenza della forza centrifuga. Abbiamo quindi un moto circolare (come nel disegno). Vediamo, nella figura, il segmento P 1 P 2 che è lo spazio percorso dal punto materiale con velocità tangenziale v nel tempo t . Possiamo mettere in relazione i segmenti con il teorema di Pitagora. Quindi: Dalla relazione [F1], se sviluppiamo il binomio e r h2=v⋅t 2r 2 [F1] eleviamo alla seconda potenza troviamo [F2], 2 2 2 2 2 semplificando r 2 e raccogliendo h troviamo r 2⋅h⋅rh =v ⋅t r [F2] [F3]. 2 2 Adesso possiamo osservare che, se t 0 (t h 2r h=v t [F3] tende a 0) allora h≪ r (h sarà molto minore di r) e di conseguenza 2r h≈2r , quindi 2 2 possiamo ottenere [F4]. Da quest'ultima relazione 2rh≈v t [F4] troviamo h [F5]. Se si osserva bene si nota che se confrontiamo 1 v2 h≈ t 2 [F5] [F5] con l'equazione oraria di un moto 2 r uniformemente accelerato possiamo dedurre l'accelerazione [F6]. v2 [F6] ac= r Conseguenze Da questa relazione possiamo dedurne altre due; quella della forza centripeta (o centrifuga) e quella dell'accelerazione espressa con la velocità angolare. 1. Forza Centripeta { =m F a [F7] v2 ac = r Se mettiamo a sistema le due relazioni (accelerazione centripeta e secondo principio di Newton) otteniamo la forza centripeta [F8]. 2 =m v [F8] F r 2. Forza e accelerazione centripeta in funzione della velocità angolare { ⋅ r =v [F9] v2 ac = r 2⋅r [F10] ac = Se mettiamo a sistema l'accelerazione centripeta con la definizione di velocità in un moto circolare uniforme troviamo [F10]. Se vogliamo la forza centripeta basta seguire lo stesso procedimento del punto precedente e quindi ottenere [F11]. 2⋅r [F11] F c =m⋅ Bibliografia Invito alla fisica vol.1 Paul A. Tipler Zanichelli 1990