Esercizi con soluzioni Funzioni

Esercizi con soluzioni
Funzioni
SECONDA PARTE
1. Sia f : N ⇥ N ! Z definita da f (n, m) = n m. Determinare se la funzione è iniettiva o suriettiva
dando una dimostrazione della proprietà o trovando un controesempio.
SOLUZIONE.
La funzione non è iniettiva perché, ad esempio, i due elementi del dominio a = (1, 0) e b = (2, 1)
sono diversi ma hanno la stessa immagine: f (1, 0) = f (2, 1) = 1.
La funzione è suriettiva: preso un elemento qualsiasi z 2 Z, possiamo trovare un elemento (a, b)
del dominio tale che f (a, b) = z: se z 0, basta considerare a = z e b = 0, mentre se z < 0 basta
prendere a = 0 e b = z.
La funzione non è biunivoca perché non è suriettiva.
2. Sia N l’insieme dei numeri naturali, Z l’insieme dei numeri interi,
f : N ! Z la funzione definita da f (n) = 3n + 1 e g : Z ! N la funzione definita da g(z) = z 2 .
Determinare la funzione f g e stabilire se tale funzione è iniettiva o suriettiva, dando una
dimostrazione della proprietà o trovando un controesempio.
SOLUZIONE.
Abbiamo f
g:Z!Zef
g(z) = f (g(z)) = f (z 2 ) = 3z 2 + 1.
La funzione f g non è suriettiva perché, ad esempio, 1 non appartiene all’immagine di f , cioè,
non esiste alcun z 2 Z con f (z) = 1 (altrimenti si avrebbe 3z 2 + 1 = 1 e 1 sarebbe uguale al
numero positivo 3z 2 + 1).
f
g non è iniettiva perchè, ad esempio, f (1) = f ( 1).
Non essendo né iniettiva né suriettiva, la funzione non è biunivoca.
3. Sia N l’insieme dei numeri naturali ed f la funzione da N a N definita da
(
n + 1, se n è pari;
f (n) =
n 1, se n è dispari.
Possono esistere due numeri n, m con n pari e m dispari e f (n) = f (m)?
Determinare se la funzione è iniettiva o suriettiva.
SOLUZIONE.
Non possono esistere due numeri n, m con n pari e m dispari e f (n) = f (m), perché dalla definizione
di f si avrebbe: n + 1 = m 1, ma questo non è possibile perché n + 1 è dispari e m 1 è pari.
La funzione è iniettiva. Supponiamo infatti che f (n) = f (m). Da quanto appena dimostrato
sappiamo che n, m sono entrambi pari oppure sono entrambi dispari.
Dividiamo allora la dimostrazione in questi due casi.
Nel primo caso, in cui n, m sono pari, f (n) = f (m) significa n + 1 = m + 1 e quindi n = m;
nel secondo caso in cui n, m sono dispari, f (n) = f (m) significa n
1=m
1 e quindi n = m;
Abbiamo quindi dimostrato che, qualsiasi siano n ed m, se f (n) = f (m) allora n = m e quindi f è
iniettiva.
f è anche suriettiva: dato m 2 N, se m è dispari, allora posto n = m 1 si ha n pari e f (n) =
n + 1 = m. Se invece m è pari, allora posto n = m + 1 si ha n dispari e f (n) = n 1 = m.
La funzione è anche biunivoca, essendo iniettiva e suriettiva.
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4. Sia f : R ⇥ R ! R la funzione
f (x, y) = (x + y, x
y).
Determinare se f è iniettiva o suriettiva.
SOLUZIONE.
Dimostriamo che f è iniettiva, Presi due elementi (x, y) e (x0 , y 0 ) del dominio, dobbiamo mostrare
che, se f (x, y) = f (x0 , y 0 ) allora (x, y) = (x0 , y 0 ).
Dall’ipotesi f (x, y) = f (x0 , y 0 ) e dalla definizione di f segue (x + y, x y) = (x0 + y 0 , x0 y 0 ). Ne
segue x + y = x0 + y 0 e x y = x0 y 0 . Sommando le due equazioni membro a membro otteniamo
2x = 2x0 e quindi x = x0 . Sostituendo x con x0 nell’equazione x+y = x0 +y 0 si ottiene x0 +y = x0 +y 0
e quindi y = y 0 . Abbiamo quindi dimostrato che, se f (x, y) = f (x0 , y 0 ), allora x = x0 e y = y 0 e
quindi che (x, y) = (x0 , y 0 ).
La funzione f è anche suriettiva: preso un qualsiasi elemento del codominio (u, v), dobbiamo trovare
un elemento (x, y) del dominio tale che f (x, y) = (u, v), cioè (x + y, x y) = (u, v).
Quindi, dati u, v 2 R, stiamo cercando x, y con x + y = u, x y = v. Sommando membro a
membro otteniamo 2x = u + v, da cui x = (u + v)/2, e sostituendo nella prima equazione si ottiene
y = u (u + v)/2. Tali x y sono numeri reali e f (x, y) = (u, v). Questo prova che f è anche
suriettiva.
Siccome f è iniettiva e suriettiva, è anche biunivoca.
5. Siano A, A0 due insiemi disgiunti (cioè: A \ A0 = ;) e f : A ! B, f 0 : A0 ! C due funzioni iniettive.
Se g : A [ A0 ! C è definita da
(
f (x), se x 2 A;
g(x) =
f 0 (x), se x 2 A0
possiamo dimostrare che anche g sarà iniettiva? In caso a↵ermativo, fornire la dimostrazione di
iniettività, altrimenti indicare un controesempio.
SOLUZIONE.
In generale, non si può a↵ermare che g sarà iniettiva, anche se f e f 0 lo sono.
Basta considerare A = {0}B = {2} ed f : A ! B definita da f (0) = 2; A0 = {1} e f 0 : A0 ! B
definita da f 0 (1) = 2. Dalla definizione di g si ha g(0) = g(1) = 2. e g non è iniettiva.
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Funzioni suriettive e iniettive
PRIMO FOGLIO RECUPERO MD10 - FUNZIONI
INIETTIVE E SURIETTIVE
Sia N l’insieme dei numeri naturali, Z l’insieme dei numeri interi, Q l’insieme dei numeri razionali, R l’insieme dei numeri reali, C l’insieme dei numeri
complessi.
(1) Determinare iniettività, suriettività e biunivocità delle seguenti funzioni. Nel caso la funzione risulti biunivoca, determinare l’inversa
della funzione.
(a) f : N ! Z, f (n) = 2n 4 (iniettiva, non suriettiva, non
biunivoca).
(b) f : Q \ {0} ! Q, f (q) = 1/q (iniettiva, non suriettiva)
(c)
(d) f : Q \ {0} ! Q \ {0},
f (q) = 1/q (iniettiva, suriettiva,
biunivoca, f 1 (u) = 1/u, quindi f 1 = f ).
n
(e) f : N ! Q,
f (n) = n+1
. (iniettiva, non suriettiva, non
biunivoca).
(f) f : Z ! Z, f (z) = z 5 (iniettiva, suriettiva, biunivoca,
f 1 (u) = u + 5).
(g) f : R ! Z, dove f (r) è la parte intera del numero reale r
(non iniettiva, suriettiva, non biunivoca).
(h) f : C ! R,
f (a + ib) = a (non iniettiva, suriettiva, non
biunivoca).
(i) f : C ! C,
f (a + ib) = a + i2b (iniettiva, suriettiva,
1
biunivoca, f (c + id) = c + id/2).
(2) Sia f : N ⇥ N ! N la funzione definita da
f (n, m) = nm.
Determinare se la funzione è iniettiva, suriettiva, biunivoca (non
iniettiva, suriettiva, non biunivoca).
(3) Considerare la funzione f : Q ⇥ Q ! Q ⇥ Q, definita da
f (n, m) = (n
m, n + m).
Determinare se la funzione f è iniettiva, suriettiva, biunivoca (iniettiva, suriettiva, biunivoca, f 1 (u, v) = ((u + v)/2, (v u)/2)).
(4) Sia Q 0 quello dei numeri razionali non negativi; sia f : N⇥N ! Q 0
la funzione definita da
n
f (n, m) =
.
m+1
Stabilire se la funzione f è iniettiva, suriettiva o biunivoca. (non
iniettiva, suriettiva, non biunivoca).
Determina gli insiemi f ({(n, m) : n = 0}), f ({(n, m) : m = 0}),
f 1 ({0, 1}).
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