Integrali - Server users.dimi.uniud.it

Integrali
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 1/40
Motivazioni
Introduzione
Motivazioni
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
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- p. 2/40
Motivazioni
Introduzione
Motivazioni
Motivazioni principali
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
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Motivazioni
Introduzione
Motivazioni
Motivazioni principali
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
area di regioni del piano
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Metodi di integrazione
- p. 2/40
Motivazioni
Introduzione
Motivazioni
Motivazioni principali
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
area di regioni del piano ←→
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integrale definito
Metodi di integrazione
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Motivazioni
Introduzione
Motivazioni
Motivazioni principali
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
area di regioni del piano ←→
integrale definito
Metodi di integrazione
ricerca delle primitive
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Motivazioni
Introduzione
Motivazioni
Motivazioni principali
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
area di regioni del piano ←→
ricerca delle primitive
integrale definito
Metodi di integrazione
←→ integrale indefinito
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Motivazioni
Introduzione
Motivazioni
Motivazioni principali
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
area di regioni del piano ←→
ricerca delle primitive
integrale definito
Metodi di integrazione
←→ integrale indefinito
Per certi aspetti, l’operazione di ricerca delle
primitive può essere considerata come
l’operazione inversa della derivazione
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Introduzione
Integrale indefinito
Primitive di una funzione
Esempi
Integrale indefinito
Integrale indefinito
Tabelle di derivate e primitive
Tabelle di primitive 1
Tabelle di primitive 2
Proprietà delle primitive
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
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Primitive di una funzione
Sia f : I → R una funzione, con I intervallo
Introduzione
Integrale indefinito
Primitive di una funzione
Esempi
Si dice che F : I → R è una primitiva di f
su I, se F è derivabile su I e
′
F (x) = f (x) per ogni x ∈ I
Integrale indefinito
Tabelle di derivate e primitive
Tabelle di primitive 1
Tabelle di primitive 2
Proprietà delle primitive
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
Osservazione: le primitive non sono uniche!
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Esempi
1 Per f (x) = 1, una primitiva su R è
Introduzione
Integrale indefinito
Primitive di una funzione
F (x) = x
Esempi
Integrale indefinito
Tabelle di derivate e primitive
Tabelle di primitive 1
Tabelle di primitive 2
Proprietà delle primitive
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
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Esempi
1 Per f (x) = 1, una primitiva su R è
Introduzione
Integrale indefinito
Primitive di una funzione
F (x) = x
infatti F ′ (x) = 1 = f (x)
Esempi
Integrale indefinito
Tabelle di derivate e primitive
Tabelle di primitive 1
Tabelle di primitive 2
Proprietà delle primitive
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
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Esempi
1 Per f (x) = 1, una primitiva su R è
Introduzione
Integrale indefinito
Primitive di una funzione
F (x) = x
infatti F ′ (x) = 1 = f (x)
Esempi
Integrale indefinito
Tabelle di derivate e primitive
Tabelle di primitive 1
ma è anche primitiva
Tabelle di primitive 2
Proprietà delle primitive
Integrale definito
F2 (x) = x + 2
infatti
F2′ (x)
= 1 = f (x)
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
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Esempi
1 Per f (x) = 1, una primitiva su R è
Introduzione
Integrale indefinito
Primitive di una funzione
F (x) = x
infatti F ′ (x) = 1 = f (x)
Esempi
Integrale indefinito
Tabelle di derivate e primitive
Tabelle di primitive 1
ma è anche primitiva
Tabelle di primitive 2
Proprietà delle primitive
Integrale definito
F2 (x) = x + 2
infatti
F2′ (x)
= 1 = f (x)
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
e in generale sono primitive le funzioni
Fc (x) = x + c
Metodi di integrazione
infatti Fc′ (x) = 1 = f (x)
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Esempi
1 Per f (x) = 1, una primitiva su R è
Introduzione
Integrale indefinito
Primitive di una funzione
F (x) = x
infatti F ′ (x) = 1 = f (x)
Esempi
Integrale indefinito
Tabelle di derivate e primitive
Tabelle di primitive 1
ma è anche primitiva
Tabelle di primitive 2
Proprietà delle primitive
Integrale definito
F2 (x) = x + 2
infatti
F2′ (x)
= 1 = f (x)
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
e in generale sono primitive le funzioni
Fc (x) = x + c
Metodi di integrazione
infatti Fc′ (x) = 1 = f (x)
Ogni primitiva si ottiene da F (x) addizionando un
generico numero reale c
Al variare di c si ottengono infinite primitive!
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Introduzione
2 una primitiva di f (x) = x è
2
F (x) = x /2
Integrale indefinito
2x
infatti F (x) =
= f (x)
2
′
Primitive di una funzione
Esempi
Integrale indefinito
Tabelle di derivate e primitive
Tabelle di primitive 1
Tabelle di primitive 2
Proprietà delle primitive
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
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Introduzione
2 una primitiva di f (x) = x è
Integrale indefinito
2x
infatti F (x) =
= f (x)
2
2
′
F (x) = x /2
Primitive di una funzione
Esempi
Integrale indefinito
Tabelle di derivate e primitive
Tabelle di primitive 1
Tabelle di primitive 2
ma anche Fc (x) =
x2
2
+ c con c ∈ R è ancora primitiva
Proprietà delle primitive
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
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Introduzione
2 una primitiva di f (x) = x è
Integrale indefinito
2x
infatti F (x) =
= f (x)
2
2
′
F (x) = x /2
Primitive di una funzione
Esempi
Integrale indefinito
Tabelle di derivate e primitive
Tabelle di primitive 1
Tabelle di primitive 2
ma anche Fc (x) =
x2
2
+ c con c ∈ R è ancora primitiva
Proprietà delle primitive
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
3 una primitiva di f (x) = ex è
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
F (x) = ex
infatti F ′ (x) = ex = f (x)
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Introduzione
2 una primitiva di f (x) = x è
Integrale indefinito
2x
infatti F (x) =
= f (x)
2
2
′
F (x) = x /2
Primitive di una funzione
Esempi
Integrale indefinito
Tabelle di derivate e primitive
Tabelle di primitive 1
Tabelle di primitive 2
ma anche Fc (x) =
x2
2
+ c con c ∈ R è ancora primitiva
Proprietà delle primitive
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
3 una primitiva di f (x) = ex è
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
F (x) = ex
infatti F ′ (x) = ex = f (x)
ma anche Fc (x) = ex + c con c ∈ R è ancora primitiva
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- p. 6/40
Integrale indefinito
Data f : I → R indichiamo con
Z
f dx
l’insieme, eventualmente vuoto, di tutte le
primitive di f , detto integrale indefinito di f
Introduzione
Integrale indefinito
Primitive di una funzione
Esempi
Integrale indefinito
Tabelle di derivate e primitive
Tabelle di primitive 1
Tabelle di primitive 2
Proprietà delle primitive
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
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- p. 7/40
Integrale indefinito
Data f : I → R indichiamo con
Z
f dx
l’insieme, eventualmente vuoto, di tutte le
primitive di f , detto integrale indefinito di f
Introduzione
Integrale indefinito
Primitive di una funzione
Esempi
Integrale indefinito
Tabelle di derivate e primitive
Tabelle di primitive 1
Tabelle di primitive 2
Proprietà delle primitive
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
Teorema. Sia f : [a, b] → R una funzione.
Se F, G sono primitive di f allora ∃ c ∈ R:
F (x) − G(x) = c,
per ogni x ∈ [a, b]
Quindi, due primitive di f su un intervallo
differiscono per una costante
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- p. 7/40
Teorema. Se F è una primitiva di f su I
intervallo, allora tutte le altre primitive di
f si ottengono aggiungendo una costante:
Z
f dx = {F + c : c ∈ R}
Introduzione
Integrale indefinito
Primitive di una funzione
Esempi
Integrale indefinito
Tabelle di derivate e primitive
Tabelle di primitive 1
Tabelle di primitive 2
Proprietà delle primitive
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
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- p. 8/40
Teorema. Se F è una primitiva di f su I
intervallo, allora tutte le altre primitive di
f si ottengono aggiungendo una costante:
Z
f dx = {F + c : c ∈ R}
Introduzione
Integrale indefinito
Primitive di una funzione
Esempi
Integrale indefinito
Tabelle di derivate e primitive
Tabelle di primitive 1
Tabelle di primitive 2
Proprietà delle primitive
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
Problema: come si calcolano le primitive?
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- p. 8/40
Teorema. Se F è una primitiva di f su I
intervallo, allora tutte le altre primitive di
f si ottengono aggiungendo una costante:
Z
f dx = {F + c : c ∈ R}
Introduzione
Integrale indefinito
Primitive di una funzione
Esempi
Integrale indefinito
Tabelle di derivate e primitive
Tabelle di primitive 1
Tabelle di primitive 2
Proprietà delle primitive
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
Problema: come si calcolano le primitive?
Generalmente, una tabella di derivate letta al
contrario fornisce una tabella di primitive
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- p. 8/40
Tabelle di derivate e primitive
Funzione
Derivata
kx
k
xβ
βxβ−1
log |x|
x−1
cos x
− sen x
sen x
cos x
ax
ax log a
arctg x
tg x
cotg x
arcsen x
1
x2 + 1
1
cos2 x
1
−
sen2 x
1
√
1 − x2
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- p. 9/40
Tabelle di derivate e primitive
Funzione
Derivata
Funzione
Primitiva
kx
k
k (cost.)
kx
xβ
βxβ−1
βxβ−1
xβ
log |x|
x−1
x−1
log |x|
cos x
− sen x
− sen x
cos x
sen x
cos x
cos x
sen x
ax
ax log a
ax log a
ax
1
x2 + 1
1
cos2 x
1
−
sen2 x
1
√
1 − x2
1
x2 + 1
1
cos2 x
1
−
sen2 x
1
√
1 − x2
arctg x
tg x
cotg x
arcsen x
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arctg x
tg x
cotg x
arcsen x
- p. 9/40
Tabelle di derivate e primitive
Funzione
Derivata
Funzione
Primitiva
Funzione
Primitiva
kx
k
k (cost.)
kx
k (cost.)
kx
β
x
β−1
βx
β−1
βx
β
α
x
x , α 6= −1
xα+1
α+1
log |x|
log |x|
x−1
x−1
log |x|
x−1
cos x
− sen x
− sen x
cos x
sen x
− cos x
sen x
cos x
cos x
sen x
cos x
sen x
x
x
x
a
arctg x
tg x
cotg x
arcsen x
a log a
a log a
1
x2 + 1
1
cos2 x
1
−
sen2 x
1
√
1 − x2
1
x2 + 1
1
cos2 x
1
−
sen2 x
1
√
1 − x2
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x
x
a
a
arctg x
1
x2 + 1
1
cos2 x
1
sen2 x
1
√
1 − x2
tg x
cotg x
arcsen x
ax
log a
arctg x
tg x
− cotg x
arcsen x
- p. 9/40
Tabelle di primitive 1
Funzione
k (cost.)
α
x , α 6= −1
x−1
kx
xα+1
α+1
log |x|
sen x
− cos x
cos x
sen x
senh x
ax
log a
cosh x
cosh x
senh x
x
a
Funzione
Primitiva
x
x2 + k
1
, k 6= 0
x2 + k 2
1
, k 6= 0
x2 − k 2
1
2
=
1
+
tg
x
cos2 x
1
2
=
1
+
cotg
x
sen2 x
1
2
=
1
−
tgh
x
2
cosh x
1
√
, k 6= 0
2
k+x
1
√
, k>0
2
2
k −x
1
log |x2 + k|
2
x
1
arctg
k k 1
x − k
log 2k
x+k
Primitiva
tg x
− cotg x
tgh x
p
log |x + x2 + k|
x
arcsen( )
k
Tabella 1
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- p. 10/40
Tabelle di primitive 2
Se f è una funzione derivabile con derivata continua:
Funzione
α
′
f (x) f (x), α 6= −1
f ′ (x)
f (x)
′
f (x) cos f (x)
′
f (x) sen f (x)
Primitiva
Funzione
f (x)α+1
α+1
′
f (x)
f (x)a
Primitiva
af (x)
log a
log |f (x)|
f ′ (x)
p
1 − f (x)2
arcsen f (x)
sen f (x)
f ′ (x)
1 + f (x)2
arctg f (x)
− cos f (x)
f ′ (x)
p
1 + f (x)2
p
log |f (x) +
1 + f (x)2 |
Tabella 2
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- p. 11/40
Proprietà delle primitive
Siano F e G primitive di f e g su I intervallo, α, β ∈ R,
allora
Introduzione
Integrale indefinito
Primitive di una funzione
Esempi
Integrale indefinito
Tabelle di derivate e primitive
(i) αF è una primitiva di αf
(ii) F + G è una primitiva di f + g
Tabelle di primitive 1
Tabelle di primitive 2
Proprietà delle primitive
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
(iii) F (x + β) è una primitiva di f (x + β)
F (αx)
è una primitiva di f (αx)
(iv) se α 6= 0 allora
α
F (αx + β)
(v) se α 6= 0 allora
è primitiva di f (αx + β)
α
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Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
- p. 12/40
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Sottografico di una funzione
Area del sottografico
Integrale definito
Somma inferiore
Somma superiore
Interpretazione geometrica
Esempio
Integrale superiore e inferiore
Integrale definito di Riemann
Osservazione
Esistenza di funzioni integrabili
Funzioni di segno variabile
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
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- p. 13/40
Sottografico di una funzione
Sia f : [a, b] → [0, +∞[ una funzione limitata
Il sottografico (o rettangoloide o trapezoide)
di f è l’insieme
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Sottografico di una funzione
Area del sottografico
Somma inferiore
Somma superiore
Interpretazione geometrica
2
SG(f ) = (x, y) ∈ R : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)
Esempio
Integrale superiore e inferiore
Integrale definito di Riemann
Osservazione
Esistenza di funzioni integrabili
Funzioni di segno variabile
y
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
a
b
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x
- p. 14/40
Area del sottografico
Problema: vogliamo “definire” e
calcolare l’area del sottografico
SG(f ) di f
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Sottografico di una funzione
Area del sottografico
Somma inferiore
Somma superiore
Interpretazione geometrica
Esempio
Integrale superiore e inferiore
Integrale definito di Riemann
Osservazione
Esistenza di funzioni integrabili
Funzioni di segno variabile
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
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- p. 15/40
Area del sottografico
Problema: vogliamo “definire” e
calcolare l’area del sottografico
SG(f ) di f
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Sottografico di una funzione
Area del sottografico
Somma inferiore
Somma superiore
Interpretazione geometrica
Esempio
Idea fondamentale
Si inscrive e circoscrive il sottografico in
regioni (rettangoli) la cui area sia calcolabile
elementarmente ottenendo delle
approssimazioni per difetto e per eccesso
Integrale superiore e inferiore
Integrale definito di Riemann
Osservazione
Esistenza di funzioni integrabili
Funzioni di segno variabile
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
L’area sarà l’elemento separatore tra le due
classi d’approssimazioni
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- p. 15/40
Sia f una funzione limitata in [a, b]
Introduzione
Prendiamo una partizione P di [a, b] cioè un
insieme finito di punti
Integrale definito
Integrale indefinito
Sottografico di una funzione
Area del sottografico
Somma inferiore
Somma superiore
Interpretazione geometrica
P = {x0 , x1 , x2 , . . . , xn }
Esempio
Integrale superiore e inferiore
Integrale definito di Riemann
Osservazione
tali che
Esistenza di funzioni integrabili
Funzioni di segno variabile
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
x0 = a
x1
x2
x3 x4 = b
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- p. 16/40
Somma inferiore
y
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Sottografico di una funzione
Area del sottografico
Somma inferiore
Somma superiore
Interpretazione geometrica
Esempio
Integrale superiore e inferiore
Integrale definito di Riemann
x0 x1
xi−1 xi x4
x
Osservazione
Esistenza di funzioni integrabili
Funzioni di segno variabile
Proprietà dell’integrale
somma delle aree
s(f, P) =
dei rettangoli in figura
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Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
- p. 17/40
Somma superiore
y
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Sottografico di una funzione
Area del sottografico
Somma inferiore
Somma superiore
Interpretazione geometrica
Esempio
Integrale superiore e inferiore
Integrale definito di Riemann
x0 x1
xi−1 xi x4
x
Osservazione
Esistenza di funzioni integrabili
Funzioni di segno variabile
Proprietà dell’integrale
somma delle aree
S(f, P) =
dei rettangoli in figura
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Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
- p. 18/40
Interpretazione geometrica
Introduzione
Integrale indefinito
Quindi s(f, P) e S(f, P) hanno l’evidente significato geometrico di somma delle aree di rettangoli inscritti e circoscritti,
rispettivamente, al sottografico di f
Integrale definito
Sottografico di una funzione
Area del sottografico
Somma inferiore
Somma superiore
Interpretazione geometrica
Esempio
Integrale superiore e inferiore
Integrale definito di Riemann
Osservazione
Esistenza di funzioni integrabili
Funzioni di segno variabile
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
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- p. 19/40
Interpretazione geometrica
Introduzione
Integrale indefinito
Quindi s(f, P) e S(f, P) hanno l’evidente significato geometrico di somma delle aree di rettangoli inscritti e circoscritti,
rispettivamente, al sottografico di f
Integrale definito
Sottografico di una funzione
Area del sottografico
Somma inferiore
Somma superiore
Interpretazione geometrica
Esempio
Integrale superiore e inferiore
Integrale definito di Riemann
Osservazione
Esistenza di funzioni integrabili
Funzioni di segno variabile
Problema: come variano le somme superiori e
inferiori al variare della partizione P?
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
- p. 19/40
Interpretazione geometrica
Introduzione
Integrale indefinito
Quindi s(f, P) e S(f, P) hanno l’evidente significato geometrico di somma delle aree di rettangoli inscritti e circoscritti,
rispettivamente, al sottografico di f
Integrale definito
Sottografico di una funzione
Area del sottografico
Somma inferiore
Somma superiore
Interpretazione geometrica
Esempio
Integrale superiore e inferiore
Integrale definito di Riemann
Osservazione
Esistenza di funzioni integrabili
Funzioni di segno variabile
Problema: come variano le somme superiori e
inferiori al variare della partizione P?
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
Anzitutto si osserva che
s(f, P) ≤ S(f, Q)
per ogni coppia di partizioni P e Q di [a, b]
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 19/40
Esempio
Consideriamo la funzione
Introduzione
Integrale indefinito
f (x) = x2 − 5x + 7,
x ∈ [0, 2]
Integrale definito
Sottografico di una funzione
Area del sottografico
Compariamo s(f, n) e S(f, n) per partizioni in
n intervallini di uguale ampiezza
Somma inferiore
Somma superiore
Interpretazione geometrica
Esempio
Integrale superiore e inferiore
Integrale definito di Riemann
Osservazione
Esistenza di funzioni integrabili
Funzioni di segno variabile
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 20/40
Esempio
Consideriamo la funzione
Introduzione
Integrale indefinito
f (x) = x2 − 5x + 7,
x ∈ [0, 2]
Integrale definito
Sottografico di una funzione
Area del sottografico
Compariamo s(f, n) e S(f, n) per partizioni in
n intervallini di uguale ampiezza
Somma inferiore
Somma superiore
Interpretazione geometrica
Esempio
Integrale superiore e inferiore
Integrale definito di Riemann
Osservazione
Esistenza di funzioni integrabili
Funzioni di segno variabile
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
s(f, 2) = 4.0000
3.0000
S(f, 2) = 10.0000
7.0000
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 20/40
Esempio
Consideriamo la funzione
Introduzione
Integrale indefinito
f (x) = x2 − 5x + 7,
x ∈ [0, 2]
Integrale definito
Sottografico di una funzione
Area del sottografico
Compariamo s(f, n) e S(f, n) per partizioni in
n intervallini di uguale ampiezza
Somma inferiore
Somma superiore
Interpretazione geometrica
Esempio
Integrale superiore e inferiore
Integrale definito di Riemann
Osservazione
Esistenza di funzioni integrabili
Funzioni di segno variabile
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
s(f, 3) = 4.8148
2.7407
4.1481
S(f, 3) = 8.8148
4.6667
7.4074
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 20/40
Esempio
Consideriamo la funzione
Introduzione
Integrale indefinito
f (x) = x2 − 5x + 7,
x ∈ [0, 2]
Integrale definito
Sottografico di una funzione
Area del sottografico
Compariamo s(f, n) e S(f, n) per partizioni in
n intervallini di uguale ampiezza
Somma inferiore
Somma superiore
Interpretazione geometrica
Esempio
Integrale superiore e inferiore
Integrale definito di Riemann
Osservazione
Esistenza di funzioni integrabili
Funzioni di segno variabile
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
s(f, 4) = 5.2500
2.3750
3.8750
4.7500
S(f, 4) = 8.2500
3.5000
5.8750
7.3750
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 20/40
Esempio
Consideriamo la funzione
Introduzione
Integrale indefinito
f (x) = x2 − 5x + 7,
x ∈ [0, 2]
Integrale definito
Sottografico di una funzione
Area del sottografico
Compariamo s(f, n) e S(f, n) per partizioni in
n intervallini di uguale ampiezza
Somma inferiore
Somma superiore
Interpretazione geometrica
Esempio
Integrale superiore e inferiore
Integrale definito di Riemann
Osservazione
Esistenza di funzioni integrabili
Funzioni di segno variabile
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
s(f, 5) = 5.5200
2.0640
3.5200
4.4960
5.1200
S(f, 5) = 7.9200
2.8000
4.8640
6.3200
7.2960
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 20/40
Esempio
Consideriamo la funzione
Introduzione
Integrale indefinito
f (x) = x2 − 5x + 7,
x ∈ [0, 2]
Integrale definito
Sottografico di una funzione
Area del sottografico
Compariamo s(f, n) e S(f, n) per partizioni in
n intervallini di uguale ampiezza
Somma inferiore
Somma superiore
Interpretazione geometrica
Esempio
Integrale superiore e inferiore
Integrale definito di Riemann
Osservazione
Esistenza di funzioni integrabili
Funzioni di segno variabile
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
s(f, 6) = 5.7037
1.8148
3.1852
4.1852
4.8889
5.3704
S(f, 6) = 7.7037
2.3333
4.1481
5.5185
6.5185
7.2222
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 20/40
Esempio
Consideriamo la funzione
Introduzione
Integrale indefinito
f (x) = x2 − 5x + 7,
x ∈ [0, 2]
Integrale definito
Sottografico di una funzione
Area del sottografico
Compariamo s(f, n) e S(f, n) per partizioni in
n intervallini di uguale ampiezza
Somma inferiore
Somma superiore
Interpretazione geometrica
Esempio
Integrale superiore e inferiore
Integrale definito di Riemann
Osservazione
Esistenza di funzioni integrabili
Funzioni di segno variabile
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
s(f, 7) = 5.8367
1.6152
2.8921
3.8776
4.6181
5.1603
5.5510
S(f, 7) = 7.5510
2.0000
3.6152
4.8921
5.8776
6.6181
7.1603
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 20/40
Esempio
Consideriamo la funzione
Introduzione
Integrale indefinito
f (x) = x2 − 5x + 7,
x ∈ [0, 2]
Integrale definito
Sottografico di una funzione
Area del sottografico
Compariamo s(f, n) e S(f, n) per partizioni in
n intervallini di uguale ampiezza
Somma inferiore
Somma superiore
Interpretazione geometrica
Esempio
Integrale superiore e inferiore
Integrale definito di Riemann
Osservazione
Esistenza di funzioni integrabili
Funzioni di segno variabile
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
s(f, 8) = 5.9375
1.4531
2.6406
3.5938
4.3438
4.9219
5.3594
5.6875
S(f, 8) = 7.4375
1.7500
3.2031
4.3906
5.3438
6.0938
6.6719
7.1094
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 20/40
Esempio
Consideriamo la funzione
Introduzione
Integrale indefinito
f (x) = x2 − 5x + 7,
x ∈ [0, 2]
Integrale definito
Sottografico di una funzione
Area del sottografico
Compariamo s(f, n) e S(f, n) per partizioni in
n intervallini di uguale ampiezza
Somma inferiore
Somma superiore
Interpretazione geometrica
Esempio
Integrale superiore e inferiore
Integrale definito di Riemann
Osservazione
Esistenza di funzioni integrabili
Funzioni di segno variabile
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
s(f, 9) = 6.0165
1.3196
2.4252
3.3388
4.0823
4.6776
5.1468
5.5117
5.7942
S(f, 9) = 7.3498
1.5556
2.8752
3.9808
4.8944
5.6379
6.2332
6.7023
7.0672
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 20/40
Esempio
Consideriamo la funzione
Introduzione
Integrale indefinito
f (x) = x2 − 5x + 7,
x ∈ [0, 2]
Integrale definito
Sottografico di una funzione
Area del sottografico
Compariamo s(f, n) e S(f, n) per partizioni in
n intervallini di uguale ampiezza
Somma inferiore
Somma superiore
Interpretazione geometrica
Esempio
Integrale superiore e inferiore
Integrale definito di Riemann
Osservazione
Esistenza di funzioni integrabili
Funzioni di segno variabile
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
s(f, 10) = 6.0800
1.2080
2.2400
3.1120
3.8400
4.4400
4.9280
5.3200
5.6320
5.8800
S(f, 10) = 7.2800
1.4000
2.6080
3.6400
4.5120
5.2400
5.8400
6.3280
6.7200
7.0320
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 20/40
Esempio
Consideriamo la funzione
Introduzione
Integrale indefinito
f (x) = x2 − 5x + 7,
x ∈ [0, 2]
Integrale definito
Sottografico di una funzione
Area del sottografico
Compariamo s(f, n) e S(f, n) per partizioni in
n intervallini di uguale ampiezza
Somma inferiore
Somma superiore
Interpretazione geometrica
Esempio
Integrale superiore e inferiore
Integrale definito di Riemann
Osservazione
Esistenza di funzioni integrabili
Funzioni di segno variabile
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
s(f, 11) = 6.1322
1.1134
2.0796
2.9106
3.6183
4.2149
4.7122
5.1225
5.4576
5.7295
5.9504
S(f, 11) = 7.2231
1.2727
2.3862
3.3524
4.1833
4.8911
5.4876
5.9850
6.3952
6.7303
7.0023
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 20/40
In tabella sono riportati i valori delle somme inferiori e superiori per varie partizioni in n intervallini di
uguale ampiezza
n
s(f, n)
S(f, n)
Introduzione
Integrale indefinito
5
10
100
1000
10000
100000
5.54
6.08
6.6068
6.6606
6.6660
6.6666
7.92
7.28
6.7268
6.6726
6.6672
6.6667
Integrale definito
Sottografico di una funzione
Area del sottografico
Somma inferiore
Somma superiore
Interpretazione geometrica
Esempio
Integrale superiore e inferiore
Integrale definito di Riemann
Osservazione
Esistenza di funzioni integrabili
Funzioni di segno variabile
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 21/40
In tabella sono riportati i valori delle somme inferiori e superiori per varie partizioni in n intervallini di
uguale ampiezza
n
s(f, n)
S(f, n)
Introduzione
Integrale indefinito
5
10
100
1000
10000
100000
5.54
6.08
6.6068
6.6606
6.6660
6.6666
7.92
7.28
6.7268
6.6726
6.6672
6.6667
Integrale definito
Sottografico di una funzione
Area del sottografico
Somma inferiore
Somma superiore
Interpretazione geometrica
Esempio
Integrale superiore e inferiore
Integrale definito di Riemann
Osservazione
Esistenza di funzioni integrabili
Dalla tabella si vede che la differenza tra le
aree S(f, n) e s(f, n) diventa sempre più
piccola
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
Funzioni di segno variabile
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
- p. 21/40
In tabella sono riportati i valori delle somme inferiori e superiori per varie partizioni in n intervallini di
uguale ampiezza
n
s(f, n)
S(f, n)
Introduzione
Integrale indefinito
5
10
100
1000
10000
100000
5.54
6.08
6.6068
6.6606
6.6660
6.6666
7.92
7.28
6.7268
6.6726
6.6672
6.6667
Integrale definito
Sottografico di una funzione
Area del sottografico
Somma inferiore
Somma superiore
Interpretazione geometrica
Esempio
Integrale superiore e inferiore
Integrale definito di Riemann
Osservazione
Esistenza di funzioni integrabili
Dalla tabella si vede che la differenza tra le
aree S(f, n) e s(f, n) diventa sempre più
piccola
In effetti, calcolando l’integrale si troverà che
Z 2
20
2
= 6.6666...
x − 5x + 7 dx =
3
0
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
Funzioni di segno variabile
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
- p. 21/40
Integrale superiore e inferiore
Rappresentiamo tutte le possibili somme
superiori ed inferiori sull’asse reale.
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Sottografico di una funzione
Area del sottografico
Somma inferiore
Somma superiore
Interpretazione geometrica
Esempio
Integrale superiore e inferiore
Integrale definito di Riemann
Osservazione
Esistenza di funzioni integrabili
Funzioni di segno variabile
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 22/40
Integrale superiore e inferiore
Rappresentiamo tutte le possibili somme
superiori ed inferiori sull’asse reale.
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Sottografico di una funzione
Area del sottografico
Somma inferiore
Somma superiore
Interpretazione geometrica
Esempio
Integrale superiore e inferiore
insieme delle
somme inferiori
insieme delle
somme superiori
Integrale definito di Riemann
Osservazione
Esistenza di funzioni integrabili
Funzioni di segno variabile
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 22/40
Integrale superiore e inferiore
Rappresentiamo tutte le possibili somme
superiori ed inferiori sull’asse reale.
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Sottografico di una funzione
Area del sottografico
Somma inferiore
Somma superiore
Interpretazione geometrica
Esempio
Integrale superiore e inferiore
insieme delle
somme inferiori
insieme delle
somme superiori
Integrale definito di Riemann
Osservazione
Esistenza di funzioni integrabili
Funzioni di segno variabile
Proprietà dell’integrale
integrale
inferiore
Z b
f
a
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
integrale
superiore
Z b
f
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
a
- p. 22/40
Integrale superiore e inferiore
Rappresentiamo tutte le possibili somme
superiori ed inferiori sull’asse reale.
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Sottografico di una funzione
Area del sottografico
Somma inferiore
Somma superiore
Interpretazione geometrica
Esempio
Integrale superiore e inferiore
insieme delle
somme inferiori
insieme delle
somme superiori
Integrale definito di Riemann
Osservazione
Esistenza di funzioni integrabili
Funzioni di segno variabile
Proprietà dell’integrale
integrale
inferiore
Z b
f
a
integrale
superiore
Z b
f
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
a
In generale questi due numeri sono diversi
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 22/40
Integrale definito di Riemann
Introduzione
Rb
Rb
Se risulta a f = a f allora si dice che f è
integrabile secondo Riemann in [a, b]
Integrale indefinito
Integrale definito
Sottografico di una funzione
Area del sottografico
Somma inferiore
Somma superiore
Interpretazione geometrica
Il valore comune
Z b
Z b
Z b
f=
f
f (x) dx :=
a
a
a
si chiama integrale (definito) di f in [a, b]
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
Esempio
Integrale superiore e inferiore
Integrale definito di Riemann
Osservazione
Esistenza di funzioni integrabili
Funzioni di segno variabile
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
- p. 23/40
Integrale definito di Riemann
Introduzione
Rb
Rb
Se risulta a f = a f allora si dice che f è
integrabile secondo Riemann in [a, b]
Integrale indefinito
Integrale definito
Sottografico di una funzione
Area del sottografico
Somma inferiore
Somma superiore
Interpretazione geometrica
Il valore comune
Z b
Z b
Z b
f=
f
f (x) dx :=
a
a
a
si chiama integrale (definito) di f in [a, b]
Esempio
Integrale superiore e inferiore
Integrale definito di Riemann
Osservazione
Esistenza di funzioni integrabili
Funzioni di segno variabile
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
Geometricamente, l’integrale di Riemann
rappresenta l’area del sottografico di f in [a, b]
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 23/40
Osservazione
La x che compare nel simbolo d’integrale è
una variabile “muta”. Ad esempio
Z b
Z b
f (t) dt,
f (u) du,
a
a
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Sottografico di una funzione
Area del sottografico
Somma inferiore
Somma superiore
Interpretazione geometrica
Esempio
Integrale superiore e inferiore
Integrale definito di Riemann
rappresentano ancora l’integrale di f su [a, b]
Osservazione
Esistenza di funzioni integrabili
Funzioni di segno variabile
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 24/40
Esistenza di funzioni integrabili
Esempio. La funzione di Dirichlet
1 se x ∈ [0, 1] ∩ Q
D(x) =
0 se x ∈ [0, 1] \ Q
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Sottografico di una funzione
Area del sottografico
Somma inferiore
Somma superiore
Interpretazione geometrica
Esempio
non è integrabile in [0, 1]. Infatti
Z 1
Z 1
D=0
D=1
0
Integrale superiore e inferiore
Integrale definito di Riemann
Osservazione
Esistenza di funzioni integrabili
Funzioni di segno variabile
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
0
Metodi di integrazione
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 25/40
Esistenza di funzioni integrabili
Esempio. La funzione di Dirichlet
1 se x ∈ [0, 1] ∩ Q
D(x) =
0 se x ∈ [0, 1] \ Q
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Sottografico di una funzione
Area del sottografico
Somma inferiore
Somma superiore
Interpretazione geometrica
Esempio
non è integrabile in [0, 1]. Infatti
Z 1
Z 1
D=0
D=1
0
Integrale superiore e inferiore
Integrale definito di Riemann
Osservazione
Esistenza di funzioni integrabili
Funzioni di segno variabile
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
0
Metodi di integrazione
Ma
Teorema. Se f : [a, b] → R è continua
allora f è integrabile
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 25/40
Funzioni di segno variabile
Se f cambia segno
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
y
Sottografico di una funzione
Area del sottografico
Somma inferiore
Somma superiore
Interpretazione geometrica
Esempio
a
b
x
Integrale superiore e inferiore
Integrale definito di Riemann
Osservazione
Esistenza di funzioni integrabili
Funzioni di segno variabile
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 26/40
Funzioni di segno variabile
Se f cambia segno
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
y
Sottografico di una funzione
Area del sottografico
Somma inferiore
Somma superiore
Interpretazione geometrica
Esempio
a
b
x
Integrale superiore e inferiore
Integrale definito di Riemann
Osservazione
Esistenza di funzioni integrabili
Funzioni di segno variabile
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
l’integrale rappresenta l’area “con segno”
Z b
f (x) dx
a
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 26/40
Funzioni di segno variabile
Se f cambia segno
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
y
Sottografico di una funzione
Area del sottografico
Somma inferiore
Somma superiore
A1
Interpretazione geometrica
Esempio
a
b
x
Integrale superiore e inferiore
Integrale definito di Riemann
Osservazione
Esistenza di funzioni integrabili
Funzioni di segno variabile
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
l’integrale rappresenta l’area “con segno”
Z b
f (x) dx = A1
a
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 26/40
Funzioni di segno variabile
Se f cambia segno
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
y
Sottografico di una funzione
Area del sottografico
Somma inferiore
Somma superiore
A1
Interpretazione geometrica
Esempio
a A2
b
x
Integrale superiore e inferiore
Integrale definito di Riemann
Osservazione
Esistenza di funzioni integrabili
Funzioni di segno variabile
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
l’integrale rappresenta l’area “con segno”
Z b
f (x) dx = A1 −A2
a
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 26/40
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Proprietà dell’integrale
Proprietà fondamentali
Altre proprietà
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 27/40
Proprietà fondamentali
Convenzione: se f è integrabile in [a, b], si pone
Z a
Z b
f (x) dx := −
f (x) dx
b
a
e
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Proprietà fondamentali
Altre proprietà
Il teorema fondamentale
Z
a
f (x) dx := 0
Metodi di integrazione
a
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 28/40
Proprietà fondamentali
Convenzione: se f è integrabile in [a, b], si pone
Z a
Z b
f (x) dx := −
f (x) dx
b
a
e
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Proprietà fondamentali
Altre proprietà
Il teorema fondamentale
Z
a
Metodi di integrazione
f (x) dx := 0
a
Linearità: se f, g : [a, b] → R sono integrabili e
α, β ∈ R allora anche αf + βg è integrabile e si ha
Z b
Z b
Z b
αf (x) + βg(x) dx = α
f (x) dx + β
g(x) dx
a
a
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
a
- p. 28/40
Additività: se a, b, c sono tre punti di un intervallo in cui
f è integrabile allora si ha
Z b
Z c
Z b
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx
a
a
c
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Proprietà fondamentali
Altre proprietà
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 29/40
Additività: se a, b, c sono tre punti di un intervallo in cui
f è integrabile allora si ha
Z b
Z c
Z b
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx
a
a
c
y
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Proprietà fondamentali
Altre proprietà
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
a
c
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
b
x
- p. 29/40
Additività: se a, b, c sono tre punti di un intervallo in cui
f è integrabile allora si ha
Z c
Z b
Z b
f (x) dx +
f (x) dx
f (x) dx =
a
a
c
y
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Proprietà fondamentali
Altre proprietà
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
a
c
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
b
x
- p. 29/40
Additività: se a, b, c sono tre punti di un intervallo in cui
f è integrabile allora si ha
Z b
Z b
Z c
f (x) dx
f (x) dx =
f (x) dx +
a
c
a
y
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Proprietà fondamentali
Altre proprietà
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
a
c
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
b
x
- p. 29/40
Additività: se a, b, c sono tre punti di un intervallo in cui
f è integrabile allora si ha
Z b
Z c
Z b
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx
a
a
c
y
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Proprietà fondamentali
Altre proprietà
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
a
c
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
b
x
- p. 29/40
Additività: se a, b, c sono tre punti di un intervallo in cui
f è integrabile allora si ha
Z b
Z c
Z b
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx
a
a
c
y
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Proprietà fondamentali
Altre proprietà
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
a
c
b
x
Monotonia: se f, g : [a, b] → R sono integrabili e se
f (x) ≤ g(x) per ogni x ∈ [a, b] allora
Z b
Z b
f (x) dx ≤
g(x) dx
a
a
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 29/40
Altre proprietà
Media integrale: sia f : [a, b] → R è continua, esiste
c ∈ [a, b] tale che
Z b
1
f (x) dx = f (c)
b−a a
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Proprietà fondamentali
Altre proprietà
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 30/40
Altre proprietà
Media integrale: sia f : [a, b] → R è continua, esiste
c ∈ [a, b] tale che
Z b
1
f (x) dx = f (c)
b−a a
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Proprietà fondamentali
Altre proprietà
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
o anche
Z
b
f (x) dx = f (c)(b − a)
a
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 30/40
Altre proprietà
Media integrale: sia f : [a, b] → R è continua, esiste
c ∈ [a, b] tale che
Z b
1
f (x) dx = f (c)
b−a a
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Proprietà fondamentali
Altre proprietà
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
o anche
Z
b
f (x) dx = f (c)(b − a)
a
y
a
b
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
x
- p. 30/40
Altre proprietà
Media integrale: sia f : [a, b] → R è continua, esiste
c ∈ [a, b] tale che
Z b
1
f (x) dx = f (c)
b−a a
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Proprietà fondamentali
Altre proprietà
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
o anche
Z
b
f (x) dx = f (c)(b − a)
a
y
f (c)
a
c
b
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
x
- p. 30/40
Altre proprietà
Media integrale: sia f : [a, b] → R è continua, esiste
c ∈ [a, b] tale che
Z b
1
f (x) dx = f (c)
b−a a
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Proprietà fondamentali
Altre proprietà
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
o anche
Z
b
f (x) dx = f (c)(b − a)
a
y
f (c)
a
c
b
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
x
- p. 30/40
Altre proprietà
Media integrale: sia f : [a, b] → R è continua, esiste
c ∈ [a, b] tale che
Z b
1
f (x) dx = f (c)
b−a a
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Proprietà fondamentali
Altre proprietà
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
o anche
Z
b
f (x) dx = f (c)(b − a)
a
y
f (c)
a
c
b
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
x
- p. 30/40
Altre proprietà
Media integrale: sia f : [a, b] → R è continua, esiste
c ∈ [a, b] tale che
Z b
1
f (x) dx = f (c)
b−a a
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Proprietà fondamentali
Altre proprietà
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
o anche
Z
b
f (x) dx = f (c)(b − a)
a
y
f (c)
a
c
b
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
x
- p. 30/40
Altre proprietà
Media integrale: sia f : [a, b] → R è continua, esiste
c ∈ [a, b] tale che
Z b
1
f (x) dx = f (c)
b−a a
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Proprietà fondamentali
Altre proprietà
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
o anche
Z
b
f (x) dx = f (c)(b − a)
a
y
f (c)
a
c
b
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
x
- p. 30/40
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
del calcolo integrale
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
Il teorema fondamentale
Il teorema fondamentale
Conseguenza
La formula fondamentale
Metodi di integrazione
- p. 31/40
Il teorema fondamentale
Data una funzione continua, fornisce una sua
primitiva in forma integrale
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Teorema. Sia f : I → R una funzione
continua su I e sia x0 ∈ I. La cosiddetta
funzione integrale
Z x
f (t) dt
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Il teorema fondamentale
Conseguenza
La formula fondamentale
Metodi di integrazione
x0
è una primitiva di f , ovvero è derivabile
per ogni x ∈ I e si ha
Z x
d
f (t) dt = f (x)
dx x0
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 32/40
Conseguenza
Dal Teorema fondamentale si ottiene che se f
è continua sull’intervallo I allora tutte le sue
primitive sono del tipo
Z x
f (t) dt + c,
F (x) =
x0
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Il teorema fondamentale
Conseguenza
La formula fondamentale
Metodi di integrazione
al variare di c ∈ R
Precisamente F è quella primitiva di f che nel
punto x0 assume il valore c
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 33/40
La formula fondamentale
Stabilisce una relazione gli integrali definiti e
indefiniti
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Il teorema fondamentale
Conseguenza
La formula fondamentale
Metodi di integrazione
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 34/40
La formula fondamentale
Stabilisce una relazione gli integrali definiti e
indefiniti
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Se f è una funzione continua su [a, b] si ha la
formula fondamentale del calcolo integrale
Z b
h
ib
f (x) dx = F (b) − F (a) =: F (x)
a
Il teorema fondamentale
Il teorema fondamentale
Conseguenza
La formula fondamentale
Metodi di integrazione
a
dove F è una qualsiasi primitiva di f su [a, b]
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 34/40
La formula fondamentale
Stabilisce una relazione gli integrali definiti e
indefiniti
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Se f è una funzione continua su [a, b] si ha la
formula fondamentale del calcolo integrale
Z b
h
ib
f (x) dx = F (b) − F (a) =: F (x)
a
Il teorema fondamentale
Il teorema fondamentale
Conseguenza
La formula fondamentale
Metodi di integrazione
a
dove F è una qualsiasi primitiva di f su [a, b]
Conclusione: per calcolare un integrale
definito di f , è sufficiente conoscerne una
primitiva F
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 34/40
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Metodi di integrazione
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
Integrazione per parti
Integrazione per sostituzione
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 35/40
Integrazione per parti
Se f e g sono due funzioni derivabili allora
Introduzione
Integrale indefinito
(f g)′ (x) = f ′ (x)g(x) + f (x)g ′ (x)
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
Integrazione per parti
Integrazione per sostituzione
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 36/40
Integrazione per parti
Se f e g sono due funzioni derivabili allora
Introduzione
Integrale indefinito
(f g)′ (x) = f ′ (x)g(x) + f (x)g ′ (x)
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Se f ′ e g ′ sono funzioni continue, integrando si ha
Z
Z
f (x)g(x) = f ′ (x)g(x) dx + f (x)g ′ (x) dx
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
Integrazione per parti
Integrazione per sostituzione
- p. 36/40
Integrazione per parti
Se f e g sono due funzioni derivabili allora
Introduzione
Integrale indefinito
(f g)′ (x) = f ′ (x)g(x) + f (x)g ′ (x)
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Se f ′ e g ′ sono funzioni continue, integrando si ha
Z
Z
f (x)g(x) = f ′ (x)g(x) dx + f (x)g ′ (x) dx
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
Integrazione per parti
Integrazione per sostituzione
Riordinando i termini si ottiene la formula di
integrazione per parti
Z
Z
f (x)g ′ (x) dx = f (x)g(x) − f ′ (x)g(x) dx
che sposta la ricerca di una primitiva del prodotto f g ′
alla ricerca di una primitiva del prodotto f ′ g
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 36/40
Di questa formula vale anche la versione per l’integrale
definito: se f e g sono derivabili su [a, b] con derivate
continue allora
Z b
h
ib Z b
f (x)g ′ (x) dx = f (x)g(x) −
f ′ (x)g(x) dx
a
a
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
Integrazione per parti
Integrazione per sostituzione
a
- p. 37/40
Di questa formula vale anche la versione per l’integrale
definito: se f e g sono derivabili su [a, b] con derivate
continue allora
Z b
h
ib Z b
f (x)g ′ (x) dx = f (x)g(x) −
f ′ (x)g(x) dx
a
a
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Metodi di integrazione
Integrazione per parti
Integrazione per sostituzione
a
L’integrazione per parti è molto utile per calcolare
integrali delle seguenti classi di funzioni:
xn eαx ,
xn sen βx,
xn cos βx,
eαx sen βx,
eαx cos βx,
xn arctg x,
xn arcsen x,
xα log x,
dove n ∈ N e α, β ∈ R
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 37/40
Integrazione per sostituzione
Sia g : [c, d] → [a, b] invertibile e derivabile con derivata
continua. Se F è primitiva di f , per la formula di
derivazione delle funzioni composte si ottiene
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
′
d
F (g(x)) = f g(x) g (x)
dx
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
(1)
Metodi di integrazione
Integrazione per parti
Integrazione per sostituzione
- p. 38/40
Integrazione per sostituzione
Sia g : [c, d] → [a, b] invertibile e derivabile con derivata
continua. Se F è primitiva di f , per la formula di
derivazione delle funzioni composte si ottiene
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
′
d
F (g(x)) = f g(x) g (x)
dx
(1)
Metodi di integrazione
Integrazione per parti
Integrazione per sostituzione
Integrando a primo membro in [g −1 (a), g −1 (b)] si ha
Z g−1 (b)
h
ig−1 (b)
d
F (g(x)) dx = F (g(x)) −1 = F (b)−F (a)
g (a)
g −1 (a) dx
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 38/40
Integrazione per sostituzione
Sia g : [c, d] → [a, b] invertibile e derivabile con derivata
continua. Se F è primitiva di f , per la formula di
derivazione delle funzioni composte si ottiene
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
′
d
F (g(x)) = f g(x) g (x)
dx
(1)
Metodi di integrazione
Integrazione per parti
Integrazione per sostituzione
Integrando a primo membro in [g −1 (a), g −1 (b)] si ha
Z g−1 (b)
h
ig−1 (b)
d
F (g(x)) dx = F (g(x)) −1 = F (b)−F (a)
g (a)
g −1 (a) dx
e, se f è continua in [a, b], si ha
Z b
F (b) − F (a) =
f (t) dt
a
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 38/40
Integrando in [g −1 (a), g −1 (b)] ambo i membri della (1) e
utilizzando le due uguaglianze precedenti si ha la
formula di integrazione per sostituzione
Z
b
f (t) dt =
a
Z
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
g −1 (b)
′
f g(x) g (x) dx
g −1 (a)
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
Metodi di integrazione
Integrazione per parti
Integrazione per sostituzione
- p. 39/40
Integrando in [g −1 (a), g −1 (b)] ambo i membri della (1) e
utilizzando le due uguaglianze precedenti si ha la
formula di integrazione per sostituzione
Z
b
f (t) dt =
a
Z
Introduzione
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
g −1 (b)
′
f g(x) g (x) dx
g −1 (a)
Metodi di integrazione
Integrazione per parti
Integrazione per sostituzione
La stessa si può applicare al calcolo degli integrali
indefiniti: se f è una funzione continua e g una funzione
invertibile e derivabile con derivata continua, allora
Z
ix=g−1 (t)
hZ
′
f g(x) g (x) dx
f (t) dt =
dove le parentesi quadre significano che la funzione
entro parentesi va calcolata in x = g −1 (t)
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 39/40
Regola mnemonica
Come regola mnemonica per il calcolo di
Z b
f (t) dt
Introduzione
mediante un cambiamento di variabile t = g(x) si può
tenere a mente questo schema:
Metodi di integrazione
a
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Integrazione per parti
Integrazione per sostituzione
- p. 40/40
Regola mnemonica
Come regola mnemonica per il calcolo di
Z b
Z
f (t) dt =
f
Introduzione
mediante un cambiamento di variabile t = g(x) si può
tenere a mente questo schema:
Metodi di integrazione
a
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Integrazione per parti
Integrazione per sostituzione
- p. 40/40
Regola mnemonica
Come regola mnemonica per il calcolo di
Z b
Z
f g(x)
f (t) dt =
Introduzione
mediante un cambiamento di variabile t = g(x) si può
tenere a mente questo schema:
■ t viene sostituito da g(x)
Metodi di integrazione
a
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Integrazione per parti
Integrazione per sostituzione
- p. 40/40
Regola mnemonica
Come regola mnemonica per il calcolo di
Z b
Z
′
f g(x) g (x) dx
f (t) dt =
Introduzione
mediante un cambiamento di variabile t = g(x) si può
tenere a mente questo schema:
■ t viene sostituito da g(x)
Metodi di integrazione
a
■
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Integrazione per parti
Integrazione per sostituzione
dt viene sostituito da g ′ (x)dx
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
- p. 40/40
Regola mnemonica
Come regola mnemonica per il calcolo di
Z b
Z g−1 (b)
′
f (t) dt =
f g(x) g (x) dx
Introduzione
mediante un cambiamento di variabile t = g(x) si può
tenere a mente questo schema:
■ t viene sostituito da g(x)
Metodi di integrazione
a
g −1 (a)
■
dt viene sostituito da g ′ (x)dx
■
gli estremi di integrazione a e b vengono sostituiti da
numeri reali u, v tali che g(u) = a, g(v) = b (infatti
essendo g invertibile si ha u = g −1 (a) e v = g −1 (b))
Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Integrali
Integrale indefinito
Integrale definito
Proprietà dell’integrale
Il teorema fondamentale
Integrazione per parti
Integrazione per sostituzione
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