ESERCIZI SU FUNZIONI.
1) Disegnare il grafico della funzione f : R → R così definita
|x +1| se x ≥ 0
y = f(x)=
-x2 +1 se x < 0 .
La funzione f è una corrispondenza biunivoca ? La funzione f è continua e derivabile in
x=0?(motivare le risposte) .
Soluzione :
Ogni numero reale ha una e una sola controimmagine (ogni retta parallela all’asse x interseca la
curva in un solo punto) , quindi f è biunivoca . La funzione è continua in x = 0 poichè i due limiti
laterali coincidono con f(0)=1 , ma non è derivabile : infatti f’d(x) = 1 , f’s(x) = -2x e quindi la
funzione non ammette derivata nell’origine ( si osserva anche graficamente che la retta tangente
cambia a destra e a sinistra del punto (0,1).
2) Disegnare il grafico della funzione f : R → R così definita
|x +1| se x < 0
y = f(x) =
x2 +1 se x ≥ 0 .
La funzione f è una corrispondenza biunivoca ? La funzione f è continua e derivabile in
x=0?(motivare le risposte) .
Soluzione :
La funzione non è suriettiva (i numeri negativi non hanno controimmagine) e questo basta per
escluderne la biunivocità . La funzione è continua in x = 0 , ma non è derivabile , in quanto f’d(x) =
2x , mentre f’s(x) = 1 . Il grafico è il seguente :
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3) Disegnare il grafico della funzione f : R → R così definita
|x +1| se x < - 1
y = f(x) =
x2 – 1 se x ≥ - 1 .
Trovare le controimmagini di 0 e di – 2 . La funzione f è iniettiva? è suriettiva ? è una
corrispondenza biunivoca ? (motivare le risposte) .
Soluzione :
Le controimmagini di 0 sono 1 e –1 ,da cui si deduce che la funzione non è iniettiva . Il numero
-2 non ha controimmagini ( il valore assoluto di x + 1 è sempre positivo e l’equazione x2 – 1 = -2
non ha soluzioni reali ) . Quindi la funzione non è una corrispondenza biunivoca .
4) Dire se la funzione f di R in R così definita
2x + 1
x≥0
y = f(x) =
x2
x<0
2
è continua in x = 0 . Disegnarne il grafico .
Soluzione : lim 2x + 1 = 1 , lim x2 = 0 , quindi f non è continua in x = 0 .
x→0+
x→0-
Questo fatto è evidenziato anche dal grafico :
5) Date le funzioni f : R → R , f(x) = x3 e g : R → R , g(x) = x -1 , determinare g ° f e disegnarne
approssimativamente il grafico .Dire,motivando la risposte, se g ° f è iniettiva e suriettiva
Soluzione : Si ha g ° f (x) = g(x3) = x3 – 1 , il cui grafico è
La funzione è sia iniettiva che suriettiva : ogni numero reale r ha controimmagine la radice cubica
di r+1
(equivalentemente ogni retta parallela all’asse x taglia il grafico in uno ed un solo punto) .
6) Date le funzioni f : R → R , f(x) = 2x e g : R → R , g(x) = ex , determinare g ° f e disegnarne
approssimativamente il grafico .Dire,motivando la risposte, se g ° f è iniettiva e suriettiva .
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Soluzione . Si ha g ° f(x) = g(2x) = e2x il cui grafico è
La funzione è iniettiva (ogni numero reale positivo r ha una sola controimmagine che si ottiene
risolvendol’equazione esponenziale e2x = r ) , ma non è suriettiva ( i numeri reali negativi e lo zero
non hanno controimmagine ) .
7) Date le funzioni di R in R f e g così definite : f(x) = x3 e g(x) = 1 – x , disegnarne i grafici e dire
se si tratta di corrispondenze biunivoche ( motivando le risposte ) . Determinare g°f e trovare le
controimmagini di 0 e di 2 mediante tale funzione .
Soluzione : f e g sono corrispondenze biunivoche , come si vede bene dai loro grafici
gof(x) = g(x3) = 1-x3 . La controimmagine di 0 è 1 e di 2 è –1 ( infatti 1-x3 = 0 e 1-x3 = -1
hanno soluzione reale 1 e 0 rispettivamente) .
8) Disegnare il grafico della funzione f : R → R così definita
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|x| se x < 0
f(x) =
√x se x ≥ 0 .
Trovare le controimmagini di 1 e di – 1 . La funzione f è iniettiva? è suriettiva ? è una
corrispondenza biunivoca ? (motivare le risposte)
Soluzione : il grafico richiesto è il seguente :
Le controimmagini di 1 sono 1 e –1 . Questo basta per concludere che la funzione non è iniettiva.
I numeri negativi (e quindi –1) non hanno controimmagini (il grafico è interamente contenuto nei
primi due quadranti) ,quindi la funzione non è suriettiva . f non è biunivoca .
9) Date le funzioni di R in R f e g così definite : f(x) = ex e g(x) = 2 + x , disegnarne i grafici e dire
se si tratta di corrispondenze biunivoche ( motivando le risposte ) .Determinare g°f e trovare le
controimmagini di 0 e di 3 mediante tale funzione .
Soluzione :
g°f(x) = g(ex) = ex + 2 . Le controimmagini di 0 e di 3 sono le soluzioni delle equazioni
esponenziali ex + 2 = 0 e ex + 2 = 3 rispettivamente . La prima non ha soluzione (ex assume solo
valori positivi) , la seconda ha soluzione x = 0 . Quanto detto si può ricavare anche dal grafico
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