Esempi di primo esercizio

Analisi Matematica 1 (canale 2) – Settore Industriale
Esempi di primo esercizio
1. Esercizio.
• Risolvere l’equazione cos x = cos 2.
• Dimostrare che la funzione 5ex è una traslata lungo le ascisse della funzione ex . In che verso?
• Dimostrare che 0, 41 =
41
99 .
2. Esercizio. Scrivere la funzione 2 cos 2t − sin 2t nella forma:
a cos(2t + φ)
determinando esplicitamente a e φ. Disegnare poi il grafico di tale funzione.
3. Esercizio. Sia f (x) = log(1 − x). Disegnare accuratamente i grafici delle seguenti funzioni:
f (x),
f (x − 2),
|f (x)|,
f (|x|),
2 + f (5x + 1)
4. Esercizio. Scrivere un polinomio di terzo grado con un punto di minimo locale e un punto di
massimo locale. Disegnarne il grafico.
Un polinomio di terzo grado può avere due punti di minimo locale?
5. Esercizio. Una stella pulsante è una stella la cui luminosità varia nel tempo. Per Delta Cephei
il periodo di pulsazione è di 5.4 giorni e la sua magnitudine media è di 4.0. La magnitudine oscilla
di ±0.35. Trovare una funzione trigonometrica che esprima la magnitudine di Delta Cephei in funzione
del tempo. Disegnarne il grafico.
6. Esercizio. Il carbonio radioattivo ha un periodo di dimezzamento di 5700 anni e nelle piante
appena tagliate decade al ritmo di 15.3 dpm per ogni grammo di carbonio complessivo. Determinare
l’età di un trono ligneo villanoviano ritrovato in una tomba principesca di Verucchio, con 10.96 dpm.
7. Esercizio. Trovare l’espressione per le inverse delle seguenti funzioni, specificando il dominio e
l’immagine di tali inverse:
√
10 − 3x
4x−1
2x+3
1+ex
1−ex
log(x +
√
x2 − 1)
8. Esercizio.
• Utilizzando le formule di prostaferesi, dimostrare l’identità:
(
)
(
)
1
1
1
2 sin x cos kx = sin k +
x − sin k −
x,
2
2
2
k = 1, 2, . . .
• Sommando le identità del punto precedente per k = 1, 2, . . . , n determinare la formula:
)
(
n
∑
sin n + 12 x − sin 12 x
sin 12 nx cos 12 (n + 1)x
=
cos kx =
1
2 sin 2 x
sin 12 x
k=1
quando x non è multiplo intero di 2π.
• Analogamente dimostrare la formula
n
∑
sin kx =
k=1
quando x non è multiplo intero di 2π.
sin 12 nx sin 12 (n + 1)x
sin 12 x
9. Esercizio. Un triangolo equilatero di vertici A, B, C ha il lato di lunghezza nota l. Al variare di
un punto P scelto sul lato BC, esprimere la lunghezza del segmento AP in funzione dell’ampiezza in
b .
radianti dell’angolo B AP
10. Esercizio. Quando si scatta una fotografia con il flash, le batterie ricominciano immediatamente
a caricare il condensatore del flash con una carica elettrica che è data dalla formula:
)
(
t
Q(t) = Q0 1 − e− a
ove Q0 è la massima capacità di carica, t è espresso in secondi e a è una costante positiva.
• Trovare la funzione inversa e spiegarne il significato.
• Se a = 2, quanto tempo è necessario per ricaricare l’80% della capacità? E per ricaricare il 90%?
• Disegnare il grafico della funzione Q(t), se si vuole aiutandosi con le derivate.
11. Esercizio. Sia f (x) = 2x e g(x) =
x2 +3
x .
Trovare le funzioni f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f , g ◦ g e i loro domini.
12. Esercizio. Trovare il dominio delle seguenti funzioni e disegnarne il grafico:
f (x) = 3x+|x|
x
{
x+2
se x ≤ −1
f (x) =
(x + 4)3 se x > −1
f (x) = |2x + 1| − x
{
2x + 3 se x < −1
f (x) =
3 − x se x ≥ −1
13. Esercizio. Se il tasso di crescita della popolazione di un paese è del 5% annuo, di quanto aumenterà
ogni 7 anni? Quale tasso annuo raddoppierebbe la popolazione ogni 7 anni? Qual è il tasso continuo
di crescita? Scrivere la funzione che descrive in modo continuo l’andamento della crescita.
14. Esercizio. Disegnare a confronto i grafici delle seguenti funzioni, definite per r > 0:
√
4 + 2r
4+2 r
√
f (r) =
g(r) =
1−r
1− r
Trovare poi le espressioni per le loro inverse specificandone il dominio.
15. Esercizio. Una palla che cade da un’altezza h ha la proprietà di rimbalzare esattamente a
un’altezza rh, dove 0 < r < 1. La palla cade inizialmente da un’altezza di H metri, rimbalzando
indefinitamente. Calcolare la distanza totale percorsa e il tempo totale del moto.
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