A cura dell’alunno Carlo Federico della classe IV sez. A
Indirizzo Informatica Sperimentazione ABACUS
Dell’Istituto Tecnico Industriale Statele A. Monaco di Cosenza
Anno scolastico 2009-2010
Supervisore Prof. Giancarlo Fionda
Insegnante di Elettronica
VERIFICA DEL PRINCIPIO DEL GENERATORE EQUIVALENTE E DEI TEOREMI DI
THÈVENIN E DI NORTON E DELLA LORO EQUIVALENZA.
VERIFICA DELLA VALIDITÀ DEL GENERATORE EQUIVALENTE DI TENSIONE.
Obiettivi
− Verificare sperimentalmente la validità del principio del generatore equivalente e dei teoremi di
Thévenin e di Norton.
− Verificare che il principio del generatore equivalente e i teoremi di Thèvenin e di Norton sono
tra loro equivalenti. In particolare che i valori della resistenza equivalente Ro misurata secondo il
principio del generatore equivalente e misurata secondo i teoremi di Thévenin e di Norton
coincidono.
PRIMO CIRCUITO
Schema del circuito
E = 12 ; R1 = R2 = 2,2 KΩ ; RL = 4,7 KΩ
R3 = R5 = 3,3 KΩ ; R4 = 1 KΩ
Valori e sigle dei componenti
R1 = R2 = 2,2 KΩ ; RL = 4,7 KΩ ; R3 = R5 = 3,3 KΩ ; R4 = 1 KΩ
Apparecchiature e strumenti utilizzati
Alimentatore tensione fissa E = 12V ; Multimetro digitale 4½ digit.
Risoluzione del circuito
− Calcolo della tensione a vuoto Eo tra punti A e B:
1
Eo =
R3 + R4 + R5
⋅E =
R1 + R 2 + R 3 + R 4 + R 5
3,3 ⋅ 10 3 + 1 ⋅ 10 3 + 3,3 ⋅ 10 3
=
⋅ 12 =
2,2 ⋅ 10 3 + 2,2 ⋅ 10 3 + 3,3 ⋅ 10 3 + 1 ⋅ 10 3 + 3,3 ⋅ 10 3
= 7,6V
− Calcolo della corrente di corto circuito Io tra i punti A e B:
Io =
E
12
=
= 2,72 mA
3
R 1 + R 2 2,2 ⋅ 10 + 2,2 ⋅ 10 3
− Calcolo della resistenza equivalente Ro :
Ro =
Eo
7 ,6
=
= 2,78 KΩ
Io
2,72 ⋅ 10 −3
− Calcolo della resistenza equivalente Ro secondo Thèvenin e Norton:
Ro =
=
(R 1 + R 2 ) ⋅ (R 3 + R 4 + R 5 )
=
R1 + R 2 + R 3 + R 4 + R 5
(2,2 ⋅ 10 3 + 2,2 ⋅ 10 3 ) ⋅ (3,3 ⋅ 10 3 + 1 ⋅ 10 3 + 3,3 ⋅ 10 3 )
=
2,2 ⋅ 10 3 + 2,2 ⋅ 10 3 + 3,3 ⋅ 10 3 + 1 ⋅ 10 3 + 3,3 ⋅ 10 3
= 2,78kΩ
− Calcolo della tensione VAB e della corrente IAB dai circuiti equivalenti:
Circuito equivalente secondo Thèvenin
I AB =
Eo
7 ,6
=
= 1,016 mA
3
R o + R L 2,78 ⋅ 10 + 4,7 ⋅ 10 3
VAB = R L ⋅ I AB = 4,7 ⋅ 10 3 ⋅ 1,016 ⋅ 10 −3 = 4,775 V
2
Circuito equivalente secondo Norton
I AB =
Ro
2,78 ⋅ 10 3
⋅ Io =
⋅ 2,72 ⋅ 10 −3 = 1,014 mA
3
3
Ro + RL
2,78 ⋅ 10 + 2,2 ⋅ 10
VAB = R L ⋅ I AB = 4,7 ⋅10 3 ⋅1,014 ⋅10 −3 = 4,76 V
− Calcolo della tensione VAB e della corrente IAB dal circuito originale:
R 35 = R 3 + R 4 + R 5 = 3,3 ⋅ 10 3 + 1 ⋅ 10 3 + 3,3 ⋅ 10 3 = 7,6 KΩ
R L5 =
VAB =
R L ⋅ R 35
4,7 ⋅ 10 3 ⋅ 7,6 ⋅ 10 3
=
= 2,9 kΩ
R L + R 35 4,7 ⋅ 10 3 + 7,6 ⋅ 10 3
R L5
2,9 ⋅ 10 3
⋅E =
⋅ 12 = 4,756 V
R 1 + R L5 + R 2
2,2 ⋅ 10 3 + 2,9 ⋅ 10 3 + 2,2 ⋅ 10 3
I AB =
VAB
4,756
=
= 1,012 mA
R5
4,7 ⋅ 10 3
Procedimento di verifica e misura
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Si misurano i valori delle resistenze.
Si monta il circuito e si collega il generatore.
Si toglie RL e si misura la tensione a vuoto Eo tra i punti A e B.
Si cortocircuitano i punti A e B e si misura la corrente di corto circuito Io che circola tra A e B.
Si calcola il valore della resistenza equivalente Ro come rapporto tra Eo e Io.
Si cortocircuita il generatore E (si toglie il generatore e lo si sostituisce con un filo di
collegamento) e si misura la resistenza a vuoto tra i punti A e B, ossia si misura la resistenza
equivalente Ro secondo Thévenin e Norton.
7. Si ricollegano il generatore e la resistenza RL e si misura la tensione VAB e la corrente IAB di RL.
8. Si calcolano i valori VAB e IAB utilizzando i valori sperimentali del generatore di tensione
equivalente.
9. Si verifica sperimentalmente che VAB e IAB non cambiano se si sostituisce al posto del circuito
visto dall’utilizzatore RL un generatore con forza elettromotrice Eo con in serie una resistenza
3
Ro, si calibra l’alimentatore variabile al valore Eo. Si utilizza un trimmer (o un potenziometro)
con il piedino centrale collegato ad un piedino laterale e lo si calibra al valore di Ro. Al
generatore con in serie il trimmer (o il potenziometro) si collega RL e si misurano VAB e IAB.
10. Si tabulano i dati.
Esecuzione delle misure e circuiti di misura
− Valore misurato delle resistenze:
R 1 = 2,2kΩ ; R 2 = 2,2kΩ ; R 3 = 3,29kΩ ; R 4 = 0,99kΩ ; R 5 = 3,31kΩ ; R L = 4,67 kΩ
− Misura della tensione a vuoto Eo tra i punti A e B.
Valore misurato Eo = 7,50V
•
Misura della corrente di corto circuito tra i punti A e B
Valore misurato Io = 2,67mA
− Calcolo del valore sperimentale di Ro:
Ro =
Eo
7,50
=
= 2,81kΩ
Io
2,67 ⋅ 10 −3
− Misura della resistenza equivalente R0 secondo Thévenin e Norton:
Valore misurato Ro = 2,80kΩ
4
− Calcolo dei valori sperimentali di VAB e IAB dal circuito equivalente di Thévenin:
I AB =
E0
7,5
=
= 1 mA
3
R 0 + R L 2,81 ⋅ 10 + 4,67 ⋅ 10 3
VAB = R L ⋅I AB = 4,67 ⋅ 10 3 ⋅ 1 ⋅ 10 −3 = 4,67 V
− Misura della corrente IAB e della tensione VAB dal circuito originale:
Valore misurato VAB = 4,69V
Valore misurato IAB = 1mA
− Verifica sostituendo al circuito visto tra i punti A e B il generatore di tensione equivalente. Si
regola l’alimentatore variabile a 7,6V e si calibra un potenziometro, con il piedino centrale
collegato ad uno dei piedini laterali, a 2,78kΩ (si utilizza un potenziometro da 4,7V). il circuito
che si ottiene è quello di figura.
Eo = 7,6V
;
Ro = 2,78kΩ
Valori misurati VAB = 4,67V ; IAB = 1mA
5
Tabella
dei
valori
Valori
Calc
Valori
speriment
Volt
E
RL
Volt
Eo
mA
Io
R1
R2
R3
R4
R5
12
2,2
2,2
3,3
1
3,3
4,7
7,6
11,90
2,24
2,20
3,29
0,99
3,31
4,67
7,50
kΩ
kΩ
Circuito
mA
Volt
IAB
VAB
Circ. equiv.
mA
Volt
IAB
VAB
2,73
Ro=
Eo / Io
2,78
Ro
Thèv
2,78
1,012
4,756
1,016
4,775
2,67
2,81
2,80
1,00
4,69
1,00
4,67
I valori misurati sono in ottimo accordo con quelli calcolati.
SECONDO CIRCUITO
Schema del circuito
E = 12
;
R1 = R3 = 2,2 KΩ ;
R2 = R4 = 4,7 KΩ ; R5 = R6 = 3,3 KΩ
Valori e sigle dei componenti
R1 = R3 = 2,2 KΩ ; R2 = R4 = 4,7 KΩ ; R5 = R6 = 3,3 KΩ
Apparecchiature e strumenti utilizzati
Alimentatore tensione fissa E = 12V ; Multimetro digitale 4½ digit.
Risoluzione del circuito
− Calcolo delle correnti e delle differenze di potenziale
6
R 13 =
(R 1 + R 2 )R 3 (2,2 ⋅ 10 3 + 4,7 ⋅ 10 3 ) ⋅ 2,2 ⋅ 10 3
=
= 1,67 kΩ
R 1 + R 2 + R 3 2,2 ⋅ 10 3 + 4,7 ⋅ 10 3 + 2,2 ⋅ 10 3
R 45 =
R4 ⋅ R5
4,7 ⋅ 10 3 ⋅ 3,3 ⋅ 10 3
= 1,94kΩ
=
R 4 + R 5 4,7 ⋅ 10 3 + 3,3 ⋅ 10 3
R eq = R 13 + R 45 + R 6 = 1,67 ⋅ 10 3 + 1,94 ⋅ 10 3 + 3,3 ⋅ 10 3 = 6,91kΩ
I6 =
E
12
=
= 1,74mA
R eq 6,91 ⋅ 10 3
;
V13 = V12 = V3 = R 13 ⋅ I 6 = 1,67 ⋅ 10 3 ⋅ 1,74 ⋅ 10 −3 = 2,905V
V45 = V4 = V5 = R 45 ⋅ I 6 = 1,94 ⋅ 10 3 ⋅ 1,74 ⋅ 10 −3 = 3,375V
V6 = R 6 ⋅ I 6 = 3,3 ⋅ 10 3 ⋅ 1,74 ⋅ 10 −3 = 5,75V
;
V1 = R 1 ⋅ I1 = 2,2 ⋅ 10 3 ⋅ 0,42 ⋅ 10 −3 = 0,924V
I3 =
I1 = I 2 =
V12
2,905
=
= 0,42mA
R 1 + R 2 2,2 ⋅ 10 3 + 4,7 ⋅ 10 3
V2 = R 2 ⋅ I1 = 4,7 ⋅ 10 3 ⋅ 0,42 ⋅ 10 −3 = 1,974V
;
V3
V
V
2,905
3,375
3,375
=
= 1,32 mA ; I 4 = 4 =
= 0,718 mA ; I 5 = 5 =
= 1,022 mA
3
3
R 3 2,2 ⋅ 10
R 4 4,7 ⋅ 10
R 5 3,3 ⋅ 10 3
− Calcolo della tensione a vuoto Eo tra punti A e B:
Eo =
R4
E=
R 13 + R 4 + R 6
=
4,7 ⋅ 10 3
⋅ 12 =
1,67 ⋅ 10 3 + 4,7 ⋅ 10 3 + 3,3 ⋅ 10 3
= 5,832V
− Calcolo della corrente di corto circuito Io tra i punti A e B:
Io =
7
E
12
=
= 2,41mA
3
R 13 + R 6 1,67 ⋅ 10 + 3,3 ⋅ 10 3
− Calcolo della resistenza equivalente Ro :
Ro =
Eo
5,832
=
= 2,42kΩ
Io
2,41 ⋅ 10 −3
− Calcolo della resistenza equivalente Ro secondo Thèvenin e Norton:
Ro =
(R 13 + R 6 )R 4
E=
R 13 + R 6 + R 4
(1,67 ⋅ 10 3 + 3,3 ⋅ 10 3 ) ⋅ 4,7 ⋅ 10 3
=
=
1,67 ⋅ 10 3 + 3,3 ⋅ 10 3 + 4,7 ⋅ 10 3
= 2,416 KΩ
Al fine di verificare la validità e l’utilità del generatore equivalente ottenuto, si calcolano,
utilizzando il circuito equivalente di Thévenin, la tensione V5 e la corrente I5 per alcuni valori di R5.
Se il generatore equivalente schematizza effettivamente il circuito visto dai capi della resistenza R5
(tra i punti A e B), allora i valori calcolati da esso per I5 e V5 dovranno coincidere con quelli
misurati direttamente dal circuito con i valori di R5 che verranno utilizzati.
− Calcolo di V5 e I5 dal circuito equivalente sperimentale di Thévenin per diversi valori della
resistenza R5.
Eo = 5,832V
;
Ro = 2,2,42kΩ
R5 = 3,3kΩ:
I5 =
Eo
5,832
=
= 1,02 mA
R o + R 5 2,42 ⋅ 10 3 + 3,3 ⋅ 10 3
;
V5 = R 5 ⋅ I 5 = 3,3 ⋅ 10 3 ⋅ 1,02 ⋅ 10 −3 = 3,37 V
;
V5 = R 5 ⋅ I 5 = 1,2 ⋅ 10 3 ⋅ 1,61 ⋅ 10 −3 = 1,93V
R5 = 1,2kΩ:
I5 =
Eo
5,832
=
= 1,61 mA
R o + R 5 2,42 ⋅ 10 3 + 1,2 ⋅ 10 3
8
R5 = 2,2kΩ:
I5 =
Eo
5,832
=
= 1,26 mA
R o + R 5 2,42 ⋅ 10 3 + 2,2 ⋅ 10 3
;
V5 = R 5 ⋅ I 5 = 2,2 ⋅ 10 3 ⋅ 1,26 ⋅ 10 −3 = 2,78V
;
V5 = R 5 ⋅ I 5 = 4,7 ⋅ 10 3 ⋅ 0,82 ⋅ 10 −3 = 3,85V
;
V5 = R 5 ⋅ I 5 = 5,6 ⋅ 10 3 ⋅ 0,73 ⋅ 10 −3 = 4,07V
R5 = 4,7kΩ:
I5 =
Eo
5,832
=
= 0,82 mA
R o + R 5 2,42 ⋅ 10 3 + 4,7 ⋅ 10 3
R5 = 5,6kΩ:
I5 =
Eo
5,832
=
= 0,73 mA
R o + R 5 2,42 ⋅ 10 3 + 5,6 ⋅ 10 3
Procedimento di verifica e misura
1. Si montano le resistenze sulla piastra di bread-board senza collegare il generatore.
2. Si misura la resistenza Req vista tra i punti ai quali sarà collegato il generatore.
3. Si collega l’alimentatore regolato a 12V e si misurano le differenze di potenziale ai capi di ogni
resistenza.
4. Si calcolano le correnti utilizzando i valori misurati delle differenze di potenziale, applicando la
legge di Ohm ai capi di ogni resistenza:
I1 =
V1
R1
;
I2 =
V2
R2
; I3 =
V3
R3
; I4 =
V4
R4
; I5 =
V5
R5
; I6 =
V6
R6
5. Si tabulano i dati.
6. Si toglie la resistenza R5 e si misura la differenza di potenziale a vuoto Eo e la corrente di corto
circuito Io tra i unti A e B.
Circuito di misura di Io
Circuito di misura di Eo
7. Si scollega il generatore e si cortocircuitano i punti a cui era collegato (si sostituisce il
generatore con un filo di collegamento).
8. Si misura la resistenza tra i punti A e B a vuoto.
9
Circuito di misura di Ro
9. Si calcola Ro come rapporto tra Eo e Io:
10. Si tabulano i dati.
11. Si ricollega l’alimentatore e si inserisce una resistenza R5 di 1,2 KΩ.
12. Si misura la differenza di potenziale ai capi di R5 e si calcola I5 (I5 = V5/R5).
13. Si ripete il punto 12. utilizzando per R5 i valori 2,2 KΩ ; 4,7 KΩ ; 5,6 KΩ.
14. Si tabulano i dati.
Tabulazione di dati
Valori
speriment
Valori
calcol
kΩ
Req
6,87
E
12
V1
0,951
V2
1,986
Volt
V3
2,939
V4
3,380
V5
3,380
V6
5,729
I1
0,432
I2
0,422
mA
I3
I4
1,336 0,719
I5
1,024
I6
1,736
6,91
12
0,924
1,974
2,905
3,375
3,375
5,74
0,42
0,42
1,32
1,022
1,74
Valori sperimentali
Valori calcolati
kΩ
R5
1,2
2,2
3,3
4,7
5,6
E
12
12
12
12
12
Volt
Eo
5,852
5,832
mA
Io
2,432
2,41
Valori sperimentali
Volt
mA
V5
I5 = V5/R5
1,92
1,6
2,77
1,259
3,380
1,024
3,86
0,821
4,07
0,727
kΩ
Ro = Eo/ Io
2,406
2,42
Valori calcolati
Volt
mA
V5
I5
1,93
1,61
2,78
1,26
3,37
1,02
3,85
0,82
4,07
0,73
I valori misurati sono in ottimo accordo con quelli calcolati.
10
Ro
2,400
2,416
0,718
