Addizione
Sottrazione
Potenze
Moltiplicazione
Divisione
Multipli e divisori
LE QUATTRO OPERAZIONI
Una operazione aritmetica è quel procedimento che fa corrispondere ad una
coppia ordinata di numeri (termini dell’operazione) un terzo numero (risultato)
ADDIZIONE: E’ l’operazione che associa a una coppia ordinata di numeri un terzo numero
che si ottiene contando dopo il primo numero tante unità quante sono quelle del
secondo numero. I termini dell’addizione si dicono addendi il risultato somma o totale.
Es : 5+6 =11 (5 e 6 addendi ; 11 somma)
L’insieme N è chiuso rispetto all’addizione perché la somma di due numeri naturali è
sempre un numero naturale : a + b = c
con a, b, c appartengono a N
L’ addizione si può rappresentare graficamente : si scrive l’immagine del primo addendo,
si contano a partire da questa tante unità quante sono quelle del secondo addendo; il
punto in cui si arriva è l’immagine della somma data. Es : 1+6 =7
PROPRIETA’ DELL’ADDIZIONE
1. Proprietà commutativa : cambiando l’ordine degli addendi la somma non cambia
Es : 4+6 = 6 +4
2. Proprietà associativa : Se a due o più addendi sostituiamo la loro somma, la somma
finale non cambia.
Es: 3+2 +8 = 3+(2+ 8) = 13
3. Proprietà dissociativa : La somma non cambia se al posto di un addendo se ne
sostituiscono altri aventi per somma l’addendo sostituito.
Es : 45 +35 = 40 + 5 + 5 +30 =80
TUTTE LE PROPRIETA’ DELLE OPERAZONI SERVONO PER RENDERE PIU’ RAPIDI I
CALCOLI, OVVIAMENTE NON CAMBIA MAI IL RISULTATO
LA SOTTRAZIONE
E’ l’operazione che fa corrispondere a una coppia ordinata di numeri la loro differenza.
La differenza è quel numero , se esiste, che addizionato al secondo dà per somma il primo, per
questo motivo la sottrazione è l’operazione inversa dell’addizione
I termini della sottrazione sono : Minuendo , sottraendo , il risultato è la differenza
Es : 45 -14 = 31 (45 minuendo ; 14 sottraendo; 31 differenza)
la prova :31 +14 = 45
La sottrazione si può rappresentare graficamente : si parte dal minuendo e ci si sposta
verso sinistra di tante unità quante sono quelle del sottraendo, il punto incui si arriva ,
se esiste, è l’immagine della differenza. Es (vedi fig.)
9 - 4 =5
L’insieme N non è chiuso rispetto alla sottrazione perché per poterla eseguire in N il
minuendo deve essere maggiore del sottraendo.
PROPRIETA’ DELLA SOTTRAZIONE
Proprietà invariantiva : Aggiungendo o sottraendo, se possibile, sia al
minuendo che al sottraendo uno stesso numero diverso da zero, la
differenza non cambia
Es : 45 – 38 = 7
Applicando la proprietà :
(45 -5) – (38 -5) = 40 -33 = 7
Oppure
(45 + 2) – (38 +2) = 47 – 40 =7
LA MOLTIPLICAZIONE
La moltiplicazione è l’operazione che associa a due numeri (FATTORI) un terzo numero (PRODOTTO)
che si ottiene sommando tanti addendi uguali al primo quante sono le unità del secondo.
ES: 4 x 8= 32 cioè
4+ 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 32
La moltiplicazione è una operazione interna all’insieme N, esso pertanto si dirà chiuso rispetto alla
moltiplicazione.
Il prodotto di tre o più fattori si ottiene moltiplicando al prodotto tra i primi due il terzo fattore e così via.
ES: 3 x 4 x5 = 12 x5 = 60.
La moltiplicazione si può rappresentare sulla retta orientata: si deve individuare il primo fattore ,
successivamente si compiono tanti salti pari al primo fattore quante sono le unità del secondo fattore, il
punto in cui si arriva è l’immagine del prodotto
ES : 2 x 4
PROPRIETA’ DELLA MOLTIPLICAZIONE
PROPRIETA’ COMMUTATIVA : cambiando l’ordine dei fattori il prodotto non cambia
ES : 5 x 6 = 6 x 5
PROPRIETA’ ASSOCIATIVA : Il prodotto di più fattori non cambia se a due o più di essi si
sostituisce il loro prodotto.
ES : 5 x2 x 6 = 10 x6 =60
PROPRIETA’ DISSOCIATIVA : Il prodotto di due o più fattori non cambia se a un fattore se ne
sostituiscono altri aventi per prodotto il fattore sostituito.
ES : 80 x 5 = 8 x 10 x 5 = 400
PROPRIETA’ DISTRIBUTIVA: Per moltiplicare una somma (o una differenza) per un numero si può
moltiplicare ogni singolo termine per quel numero e poi addizionare (o sottrarre) i prodotti ottenuti.
ES : (7 + 3) x 5 = (7 x 5 ) + (3 x 5) = 50
( 8 - 5) x 2 = (8 x2) – (5 x 2) = 6
LA DIVISIONE
La divisione è l’operazione che associa a due numeri (dividendo e divisore) un
terzo numero, se esiste , quoto che moltiplicato al divisore dà come risultato il
dividendo.
Es : 20 : 4 = 5
perché 5 x4 =20
Questa divisione si dice propria. Una divisione si dice impropria se non è esatta,
cioè rimane il resto
Es: 34 : 4 = 8 resto 2
perché 8 x4 = 32 +2 = 34
La divisione non è sempre possibile in N quindi l’insieme N è aperto rispetto alla
divisione e la divisione non è una operazione interna all’insieme N
La divisione si può rappresentare sulla retta numerica: si parte dal dividendo e si
fanno tanti salti fino allo 0 ampi quante sono le unità del divisore. Il numero dei salti
sarà il quoto.
Es : 12 :4 =3
QUOZIENTE APPROSSIMATO
Il risultato di una divisione impropria si dice quoziente. Se non si continua la divisione e
si conclude con un quoziente intero questo sarà approssimato a meno di una unità.
Potrà essere approssimato per difetto, o per eccesso
Es : 43 : 6 = 7…
7 è il quoziente approssimato per difetto a meno di una unità,
8 è il quoziente approssimato per eccesso a meno di una unità
7 < (43 : 6) < 8
Continuando la divisione fino ai decimi, se la divisione continua ad avere resto ci sarà
un quoziente approssimato per difetto a meno di un decimo
Es : 43 : 6 = 7,1…
7,1 è il quoziente approssimato per difetto a meno di un decimo
7,2 è il quoziente approssimato per eccesso a meno di un decimo
7,1< (43 : 6) < 7,2
Maggiore è il numero di cifre decimali più corretto è il quoziente.
Proprietà della divisione
Proprietà invariantiva: Se moltiplichiamo o dividiamo, se possibile, con un
numero diverso da zero, sia il dividendo che il divisore, il quoto non cambia.
Se la divisione è impropria il resto rimane moltiplicato o diviso per quel
numero
Es : 40 :10 = 4
con la p. invariant. (40 x2) : (10 x 2) = moltiplico per 2
80 : 20 =4
43 : 6 = 7 resto 1
con la p. invariant. (43 x10) : (6 x 10) = moltiplico per 10
430 : 60 = 7 resto 10.
Questa proprietà si usa obbligatoriamente quando il divisore è decimale
perché bisogna sempre che sia un numero naturale e quindi si moltiplicano
sia il divisore che il dividendo per 10 o sue potenze.
Proprietà distributiva rispetto alla somma o alla differenza : Questa
proprietà si può applicare solo se la somma o la differenza sono al posto
del dividendo e se entrambi i termini sono divisibili per il divisore dato.
Es: (65 +15) : 5 = (65 : 5) + (15 : 5) = 13 + 3 = 16
(85 - 14) : 7 = non si può applicare perché 85 : 7 non è una divisione
propria
ELEVAMENTO A POTENZA
L’elevamento a potenza è l’operazione che associa a due numeri a (base) n (esponente) un terzo
numero (potenza) che si ottiene moltiplicando la base per se stessa tante volte quante sono le unità
del’esponente
Es : 53 = 5 x 5 x5 = 125
5 = base;
3 = esponente
125 = potenza
Per elevare a potenza un numero decimale, si esegue la potenza considerando la base un numero
intero infine si mette la virgola separando da destra a sinistra tante cifre quante sono le cifre decimali
della base moltiplicate l’esponente
Es: 1,52 = 15 x 15 = 225 quindi 2,25
Es : 2,413= 241 x 241 x 241 = 13997521 quindi 13,997521
Una potenza che ha esponente 2 si dice anche al quadrato, se ha l’esponente tre si dice al cubo.
Es: 162 si può dire 16 al quadrato o 16 alla seconda
163 si può dire 16 al cubo o 16 alla terza.
USO DELLE TAVOLE NUMERICHE
Le tavole numeriche riportano i quadrati, i cubi, la radice quadrata e la radice cubica
dei primi mille numeri.
Sono divise in colonne: nella colonna n sono riportati i numeri, nella colonna n 2, nella
colonna n3 sono riportate rispettivamente la potenza al quadrato e la potenza al cubo
di n.
PROPRIETA’ DELLE POTENZE
Potenze con lo stesso esponente:
a. Prodotto tra potenze che hanno base uguale e esponente diverso:
E’ la potenza che ha per base la stessa base e per esponente la
somma degli esponenti. Es : an x am = an + m Es: 54 x 53= 54+3 = 57
b. Quoto tra potenze che hanno la stessa base e esponente diverso :
E’ la potenza che ha per base la stessa base e per esponente la
differenza degli esponenti. Es : an x am = an - m
Es: 54 x 53= 54-3 = 51
(con n >m)
c. La potenza di una potenza :
E’ una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il
prodotto tra gli esponenti:
[(5) 3]2= a3 x 2= 56
Es : [(a) n]m= an x m
PROPRIETA’ DELLE POTENZE
Potenze con lo stesso esponente:
a. Prodotto tra potenze che hanno base diversa e lo stesso esponente:
E’ la potenza che ha per base il prodotto tra le basi e per esponente lo
stesso esponente
Es : anx bn x cn = (axbxc)n
32 x 42 x 52= (3 x 4 x 5)2= 602
b. Quoto tra potenze che hanno base diversa e lo stesso esponente:
E’ la potenza che ha per base il quoto tra le basi e per esponente lo stesso
esponente:
152 : 52= (15 : 5)2= 32
an : bn = (a : b)n
Proprietà distributiva della potenza rispetto alla moltiplicazione o alla divisione:
Per elevare a potenza un prodotto (o un quoto) si possono elevare a potenza i
singoli termini e fare poi la moltiplicazione o il quoto.
(a x b x c )n= an x bn x cn
(a : b )n= an : bn
CASI PARTICOLARI
Potenze con esponente 1 :
La potenza con esponente 1 è sempre uguale alla base :
Es. con i numeri : 71 = 7
Es : a1 = a
Potenza con esponente 0 :
La potenza con base diversa da 0 e esponente 0 è sempre uguale
a 1 qualunque sia la base:
a0 = 1
Es. con i numeri 780 = 1
00 non ha significato
Potenza con base 1:
E’ sempre uguale a 1 perché 1 moltiplicato per se stesso dà
sempre come prodotto 1
1n = 1 Es. con i numeri 18 = 1
Potenza con base 0 ed esponente diverso da 0:
E’ sempre uguale a 0
Es 0n= 0
Es . con i numeri 056 = 0
Operazioni inverse
La radice:
Estrarre la radice, di indice n di un numero (radicando) significa
determinare il numero (radice) che elevato a n dà il radicando
81
3 27
4 16
81 è il radicando, l’indice è 2 (non si scrive) la radice
quadrata di 81 è 9 perché 92 = 81
27 è il radicando, l’indice è 3, la radice cubica di 27 è 3
perché 33 =27
16 è il radicando, l’indice è 4, la radice quarta di 16 è 2
perché 24 =16
La radice è quindi l’operazione inversa della potenza che ci
permette di calcolare la base conoscendo la potenza
(radicando) e l’esponente (indice)
Il logaritmo:
Calcolare il logaritmo in una determinata base di un
numero (argomento) significa trovare quel numero
(logaritmo) a cui bisogna elevare quella base per
trovare l’argomento
log2 16 = 4 perché 24 =16
log5 625 = 4 perché 54 =625
2 è la base, 16 è l’argomento, 4 è il logaritmo
5 è la base, 625 è l’argomento, 4 è il logaritmo
Il logaritmo è l’operazione inversa della potenza che dati la base e
la potenza (argomento) ci consente di trovare l’esponente
(logaritmo)
NOTAZIONE SCIENTIFICA
Consideriamo le potenze con base 10:
101 = 10
102 = 100
103 = 1 000
104 = 10 000
106 = 1 000 000
Una potenza di base 10 ed esponente positivo è un numero formato da 1 e
da tanti 0 quante sono le unità dell’esponente
Consideriamo le potenze che hanno per base 0,1:
0,11 = 0,1
corrisponde a 10-1
0,12 = 0,01
corrisponde a 10-2
0,13 = 0,001
corrisponde a 10-3
0,14 = 0, 0001
corrisponde a 10-4
0,16 = 0,00 0001
corrisponde a 10-6
Una potenza di base 10 ed esponente negativo è un numero formato da 0 e
da tanti 0 decimali tranne l’ultima cifra che è 1 quante sono le unità
dell’esponente
UTILIZZO DELLE POTENZE DI10
Le potenze di 10 ci permettono di scrivere numeri molto grandi e/o numeri
molto piccoli, sotto forma di un prodotto tra un numero decimale compreso
tra 1 e 10 per una potenza di 10
Per numeri molto grandi :
Es : 5698 = 5,698 x 103
3467432 = 3,467432 x 106
Come si procede : 5698 : 1000 = 5,698 x 103
3467432 : 1 000 000 = 3,467432 x 106
Lo stesso si fa per i numeri molto piccoli utilizzando le potenze di 10 con
esponente negativo
Es: 0,0098 =9,8 x 10-3
0,0000876 = 8,76 x 10-5
Questo modo di scrivere , utilizzando le potenze di 10, numeri molto grandi
o molto piccoli si dice “Notazione scientifica”
ORDINE DI GRANDEZZA
L’ordine di grandezza di un numero è la potenza di 10 più vicina a quel numero
Per individuarla bisogna:
Scrivere il numero in notazione scientifica e considerare a quali potenze di 10 è
vicino
Se l’unità del numero scritto in notazione scientifica è uguale o maggiore di 5 si
sceglie la potenza di 10 maggiore
Se l’unità del numero scritto in notazione scientifica è minore di 5 si sceglie la
potenza di 10 minore
Es : 7897 in notazione scientifica : 7,897 x 103
Quindi 103 < 7,897 x 103 < 104 L’ordine di grandezza è 104
Per i numeri molto piccoli si usano le potenze di 10 con esponente negativo:
all’esponente con il valore numerico maggiore corrisponde il numero decimale
minore
Es : 0,02325 in notazione scientifica : 2,325 x 10-2
Quindi 10-2 < 2,325 < 10-1 L’ordine di grandezza è 10-2
SCRITTURA POLINOMIALE
Il nostro sistema di numerazione è decimale (o in base 10, perché si usano solo
10 simboli o cifre) e posizionale (perché ogni cifra assume valore in base al
posto che occupa.
Ora che conosciamo le potenze possiamo scrivere qualsiasi numero nella forma
polinomiale usando le potenze di 10
Es : 34 543 = 3 x 104 +4 x103+ 5x 102 + 4x101 + 3x 10°
Es: 456,764 = 4 x 102 + 5 x101 + 6 x 10° +7x 10-1 +6 x 10-2 + 4 x 10-3
In un sistema a base 5 le cifre che si possono utilizzare sono 5 e cioè:
0 -1 - 2 - 3 – 4
Utilizzando anche per questo sistema la base polinomiale avremo:
(2314)5 = 2 x 53 +3 x 52 +1x 51 +4 x 50
Eseguendo i calcoli troverò il numero espresso in base 10:
2 x125 +3 x25 +1x5 +4 x1 = 250 +75 +5+4= 334
SISTEMA BINARIO
E’ il sistema di numerazione a base 2. Ha solo due cifre : 0 -1. E’ il linguaggio
utilizzato in elettronica perché convertibile in segnale elettrico.
Per trasformare un numero dal sistema binario a quello decimale si usa la forma
polinomiale:
Es . (10110)2 = 1x 24 + 0 x 23 +1x 22 +1 x 21 + 0 x 20
Calcolando: 16 + 0 +4 +2+ 0 =22
Per passare da un numero in base 10 al corrispondente in base 2 bisogna
effettuare divisioni consecutive:
35 : 2 = 17
17 : 2 = 8
8: 2=4
4;2=2
2 : 2 =1
1:2=0
resto
resto
resto
resto
resto
resto
1
1
0
0
0
1
20
21
22
23
24
25
Il numero in base 2 è (100011)2
MULTIPLI E DIVISORI
Si dice multiplo di un numero “a” diverso da zero, ogni numero
naturale che si ottiene moltiplicando a per ciascun elemento di N.
Poiché N = {0,1,2,3...7....95,..104..}
Zero è multiplo di tutti i numeri quindi non lo si considera, inoltre poiché
l’insieme N è infinito anche i multipli di un numero sono infiniti. L’insieme
dei multipli di un numero si indica
Es : M4= {0,4,8,12,16,20,...44,....100,..220..}
Solo lo zero ha un solo multiplo : 0
Altri esempi : M8 = {0,8,16,24,32,...40,....104,..224..}
M7 = {0,7,14,21,35,...49,....105,..217..}
DIVISORI
Se una divisione è esatta o propria cioè non ha resto, Es : a:b = c il
divisore dato “b” sarà detto anche divisore di a o sottomultiplo di a
a = multiplo di b
a= divisibile per b
b = sottomultiplo di a
b = divisore di a
Se la divisione a : b = c + resto non è esatta si dirà che:
a non è divisibile per b
b non è divisore di a.
I sottomultipli di un numero diverso da zero si dicono fattori di quel numero,
l’insieme dei divisori si indica:
D8= {1,2,4,8}
D10= {1,2,5,10}
D13= {1,13}
OSSERVAZIONI
L’insieme dei divisori di un numero è finito.
1 è divisore di tutti i numeri.
Ogni numero è divisibile per se stesso.
Se un numero a è divisibile per il numero b saranno divisibile per b anche i
sui multipli Es : 21 è divisibile per 3 e per 7, anche 42, 63, 210 …saranno
divisibili per 3 e per 7
CRITERI DI DIVISIBILITA’
PER 2 : Un numero è divisibile per 2 se l’ultima sua cifra a destra è pari o zero
(0 – 2 – 4 - 6 – 8). Es:
Sono divisibili per 2 : 34; 876; 900; 654; 3456….
Non sono divisibili per 2 : 65; 87; 549; 8761,……….
PER 5 : Un numero è divisibile per 5 se l’ultima sua cifra a destra è 5 o zero
(0 – 5). Es:
Sono divisibili per 5 : 35; 875; 900; 170; 34585….
Non sono divisibili per 5 : 643; 887; 2549; 80761,……….
PER 10 -100 -1000 : Un numero è divisibile per 10-100-1000… se l’ultima sua
cifra a destra è uno zero, due zeri, tre zeri…….
(0 – 00 – 000 – 0000…….). Es:
Sono divisibili per 10 : 30; 870; 950; 170; 34580….
Non sono divisibili per 10 : 643; 887; 2549; 80761,……….
Sono divisibili per 100: 400, 5300, 7400, 763 200, …)
Non sono divisibili per 100: 340, 5320, 2189, 43876..)
PER 3 e per 9 : Un numero è divisibile per 3 se sommando tutte le sue cifre si
ottiene un multiplo di 3. Es:
Sono divisibili per 3 : 36 perché 3+6 =9; 876 perché 8+7+6 = 21;
900 perché 9+0+0 =9 ;
654 perché 6+5+4 = 15
Non sono divisibili per 3 : 65 perché 6+5 = 11;
82 perché 8+2 =10;
841 perché 8+4+1=13;
Un numero è divisibile per 9 se sommando tutte le sue cifre si ottiene un
multiplo di 9. Es:
Sono divisibili per 9 : 405 perché 4+0+5 =9 7317 perché 7+3+1+7 = 18
Non sono divisibili per 9: 329 perché 3+2+9 =14
806 perchè 8+0+6 =14
PER 4: Un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono 00 oppure
multipli di 4
(00 – 04 – 20 - 40 – 08 – 80 – 12 – 16 – 32 – 36…) Es :
Sono divisibili per 4 : 340, 520, 7656
Non sono divisibili per 4 : 342, 574, 4321
PER 25: Un numero è divisibile per 25 se le ultime due cifre sono 00
oppure multipli di 25
(00 – 25 – 50 – 75) Es :
Sono divisibili per 25 : 350, 2500, 7675
Non sono divisibili per 25 : 340, 5472, 43205
PER 11: Un numero è divisibile per 11 se la differenza tra la somma delle sue cifre
di posto dispari e quella delle sue cifre di posto pari (o viceversa) è zero, 11 o
multiplo di 11.
Sono divisibili per 11 : 363 perché (3+3) – 6 =0,
3509 perché (5+9) – (3 + 0) =14-3=11,
7656 perché (7+5) – (6+6) = 12 -12 =0
Non sono divisibili per 11 : 342, 574, 4321 perché …..
