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Calcolo differenziale 1:
Derivata di una Funzione
(M.S.Bernabei & H. Thaler)
Applicazioni del calcolo differenziale.
1.
La retta tangente
2.
Velocità ed accelerazione
3.
Minimo e massimo di una funzione
Problema della retta tangente
retta secante
∆𝒇
𝒚=𝒇 𝒄 +
(𝒙 − 𝒄)
∆𝒙
c  x, f (c  x)
f  f (c  x)  f (c)
(c, f(c))
x
(c, f(c)) e
c  x, f (c  x)
sono due punti del grafico di f.
Il rapporto incrementale é la pendenza della retta
secante passanti per questi due punti
msec
f
f (c  x)  f (c)


x
c  x  c
f (c  x)  f (c)

x
Definizione di retta tangente con coefficiente angolare m
o derivata di una funzione nel punto c
f (c  x)  f (c)
lim
 m  f ' (c )
x 0
x
Definizione alternativa di derivata
La derivata di f nel punto x = c é data da
f ( x )  f (c )
f ' (c)  lim
x c
xc
(x, f(x))
f ( x)  f (c)
(c, f(c))
x  x  c
c
x
Derivata destra e sinistra.
f ( x )  f (c )
lim
x c
xc
f ( x )  f (c )
lim
x c
xc
Funzione derivata
• La derivata di una funzione é il limite del
rapporto incrementale, quando l’ incremento
della variabile x tende a 0. Se il limite esiste,
allora si dice che f(x) é differenziabile in x.
dy
y
 lim
dx x0 x
Notazioni di derivata
dy
• Notazione di Leibniz
dx
• Notazione di Lagrange
• 𝑓′
y
Derivata di una funzione
algebrica
• La funzione costante 𝑓 𝑥 = 𝑎, dove a é un
numero reale
f (c  x)  f (c)
aa
0
lim
 lim
 lim
0
x 0
x 0 x
x 0 x
x
• Quindi se 𝑓 𝑥 = 𝑎 ⇒ 𝑓 ′ 𝑥 = 0 per ogni
𝑥.
Funzioni Lineari
• Data la funzione lineare 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞, la sua
derivata é costante. Infatti:
f (c  x)  f (c)
m(c  x)  q  mc  q
lim
 lim

x 0
x 0
x
x
mx
 lim
 m  f ' (c )
x 0 x
Esempio: modulo di una funzione
c  x  c
lim
 1
x 0
x
 c  x  c
lim
 1
x 0
x
La derivata non esiste! Non si può definire la retta
tangente in 0.
Regola della Somma
• Date due funzioni f e g differenziabili nel
punto x, allora
𝑓 + 𝑔 ′ 𝑥 = 𝑓 ′ 𝑥 + 𝑔′(𝑥)
𝑓 − 𝑔 ′ 𝑥 = 𝑓 ′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥)
Regola di Leibnitz: derivata di un
prodotto
• Date due funzioni f e g che ammettono
derivata, allora la derivata del prodotto è:
• 𝑓𝑔 ′ = 𝑓 ′ 𝑔 + 𝑓𝑔′
• In particolare:
• 𝑐𝑔 ′ = 𝑐𝑔′
• dove c è una costante reale.
Derivata della funzione
2
𝑦 = 𝑎𝑥 con 𝑎 reale
f ( x  x)  f ( x)
lim

x 0
x
2
2
a ( x  x)  ax
 lim

x 0
x
Quindi la pendenza
della retta tangente
in ogni punto (x, f(x))
é dato da m = 2ax
a ( x  2 xx  x   x )
 lim
x 0
x
ax(2 x  x)
 lim

2
ax
x 0
x
2
2
2
Derivata della funzione potenza
𝑛
𝑦 = 𝑥 con n esponente naturale
Analogamente si può
provare che:
d n
n 1
( x )  nx
dx
Derivata di un polinomio di
2
grado 2: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐
• Applicando la regola della somma e del
prodotto si ottiene:
𝑑
2
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 =
𝑑𝑥
𝑑
𝑑
𝑑
2
=
(𝑎𝑥 ) +
(𝑏𝑥) +
(𝑐) =
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
= 2𝑎𝑥 + 𝑏
Derivata di un polinomio
generale: 𝑦 = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 +
⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
• Applicando le proprietà della derivata viste
finora si ottiene:
•
•
𝑑
𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 =
𝑑𝑥
𝑑
𝑑
𝑛
(𝑎𝑛 𝑥 ) + (𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 ) + ⋯ +
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑
𝑑
(𝑎1 𝑥) + (𝑎0 ) =
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑛 𝑎𝑛 𝑥 𝑛−1 + (𝑛 − 1) 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−2 + ⋯ + 𝑎1
Esempio
•
•
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
• −
−𝑥 4 + 2𝑥 2 − 5 =
−𝑥
𝑑
𝑑𝑥
4
𝑥
4
𝑑
+
𝑑𝑥
+
• − 4𝑥 3 + 4𝑥.
2𝑥
𝑑
2
𝑑𝑥
2
+
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2 =
−5 =
Esempio
𝑑
𝑥 − 2 2𝑥 2 − 3𝑥 + 1 =
𝑑𝑥
𝑑
2𝑥 2 − 3𝑥 + 1
𝑥−2
𝑑𝑥
𝑑
+ 𝑥−2
2𝑥 2 − 3𝑥 + 1 =
𝑑𝑥
= 2𝑥 2 − 3𝑥 + 1 + 𝑥 − 2 4𝑥 − 3 =
= 2𝑥 2 − 3𝑥 + 1 + 4𝑥 2 − 3𝑥 − 8𝑥 + 6 =
= 6𝑥 2 − 14𝑥 + 7
Derivata della funzione potenza
𝑎
𝑦 = 𝑥 , 𝑥 > 0 e a reale
𝑑 𝑎
𝑥 = 𝑎𝑥 𝑎−1
𝑑𝑥
• Esempio: trovare la derivata della funzione
𝑦 = 𝑥:
1
1
1
𝑑
𝑑
1
1
−1
−
2
2
2
𝑥 =
𝑥 = 𝑥
= 𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
2
2
1
=
2 𝑥
Trovare la derivata rispetto a x della funzione
2
y .
x


d 2 d
1
11
2
2 x  2(1) x  2 x 
 
dx  x  dx
2
 2
x
Regola del quoziente
• Se 𝑓 e 𝑔 sono due funzioni differenziabili in
𝑥 tali che 𝑔(𝑥) ≠ 0, allora il loro rapporto é
differenziabile e
𝑓
𝑔
′
′
𝑓 𝑔 − 𝑓𝑔
=
2
𝑔
′
Esempio
• Se la velocità di un corpo ha la seguente
espressione 𝑣 𝑡 =
3𝑡 2 +1
2(𝑡−1)
• Calcolare la sua derivata, l’ accelerazione a,
all’ interno del suo dominio (𝑡 ≠ 1):
• 𝑎=
•
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
1 𝑑 3𝑡 2 +1
2 𝑑𝑡 (𝑡−1)
1 6𝑡 2 −6𝑡−3𝑡 2 −1
2
𝑡−1 2
=
=
1 6𝑡 𝑡−1 − 3𝑡 2 +1
2
𝑡−1 2
3𝑡 2 −6𝑡−1
2 𝑡−1 2
=
1
Derivata dell’ inversa
𝑓
• Sia 𝑓 una funzione differenziabile in 𝑥 tale
che 𝑓(𝑥) ≠ 0, allora anche la funzione
reciproca é differenziabile e si ha
•
1 ′
𝑓
=
𝑓′
− 2
𝑓
• Infatti, applicando la regola del rapporto nel
caso particolare in cui il numeratore è 1
•
1 ′
𝑓
𝑥 =
𝑓′ (𝑥)
− 2
𝑓 (𝑥)
Esempio
•
𝑑 1
𝑑𝑥 𝑥 2
=
2𝑥
− 4
𝑥
=
2
− 3
𝑥
Regola della catena
• Siano 𝑦 = 𝑓(𝑥) una funzione
differenziabile nel punto 𝑥, e una funzione
𝑧 = 𝑔(𝑦) una funzione differenziabile nel
punto 𝑦 = 𝑓(𝑥), allora esiste la derivata
della funzione composta ed é della forma
• 𝑔∘𝑓
′
𝑥 = 𝑔′ 𝑓 𝑥 𝑓 ′ (𝑥)
• oppure
•
𝑑𝑧
𝑑𝑥
=
𝑑𝑧 𝑑𝑦
𝑑𝑦 𝑑𝑥
Applicazione: Derivata della
funzione potenza.
• Applicando la regola della funzione
composta, si ottiene
• 𝑓 𝑛 ′ = 𝑛𝑓′𝑓 𝑛−1
• Esempio
•
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2 − 1
2
3 𝑥 −1
3
=
3−1 𝑑
𝑑𝑥
2
• 6 𝑥2 − 1 𝑥
𝑥2 − 1 =
Derivata delle funzioni
logaritmiche
Derivata delle funzioni
esponenziali
•
•
𝑑 𝑥
𝑒
𝑑𝑥
𝑑 𝑥
𝑎
𝑑𝑥
= 𝑒𝑥
= (ln 𝑎) 𝑎 𝑥
Applicazioni
•
𝑑 𝑓(𝑥)
𝑒
=
𝑑𝑥
𝑒𝑓
𝑥
𝑓 ′ (𝑥)
Derivata delle funzioni
trigonometriche
Derivata delle funzioni
trigonometriche inverse
•
•
•
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 =
1
1−𝑥 2
1
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥 = −
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 =
1−𝑥 2
1
1+𝑥 2
Esempi
−2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥
1 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
Esercizi
1. Calcolare la derivata delle seguenti funzioni:
a) 𝑦 = 6𝑥 + 2
[6]
b) 𝑦 = 2𝑥 2 − 12𝑥 + 7
[4𝑥 − 12]
c) 𝑦 = 𝑥 5 − 3𝑥 3 + 12𝑥 [5𝑥 4 − 9𝑥 2 + 12]
d) 𝑦 = 𝑥 + 2 𝑥
e) 𝑦 =
10
𝑥3
f) 𝑦 =
𝑥3
𝑥 2 −1
g) 𝑦 =
𝑥 2 +2𝑥+1
𝑥 2 −2𝑥+1
[1 +
1
]
𝑥
30
[− 4]
𝑥
𝑥 4 −3𝑥 2
[ 2 2]
𝑥 −1
−4(𝑥 +1)
[
]
3
𝑥 −1
2. Calcolare la derivata delle seguenti funzioni:
a) 𝑦 = 2𝑥 + 1
2
3
b) 𝑦 = 3𝑥 4 + 3
c) 𝑦 = 𝑒 4𝑥+1
d) 𝑦 = 10
2𝑥 2 −3
4
3
2𝑥 + 1
6𝑥 3
3𝑥 4 +3
4𝑥+1
4𝑒
4𝑥(ln 10) 10
e) 𝑦 = ln 𝑥 + 1
2𝑥
𝑥 2 +1
f) 𝑦 = 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥
ln 𝑥
2
1
3
−
2𝑥 2 −3
3. Calcolare la derivata delle seguenti funzioni:
a) 𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥
2(𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥)
b) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥
2 cos 2𝑥
c) 𝑦 =
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
d) 𝑦 = tan 𝑥 2
e) 𝑦 = ln cos 𝑥
f) 𝑦 = 𝑥 𝑒 𝑥
𝑥 cos 𝑥−𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥2
2𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 2
− tan 𝑥
[𝑒 𝑥 (1 + 𝑥)]