Ciriotti Paola
SIS 2003/04
Lab. Nodi Fondamentali
Marzo ‘04
LE RETTE TANGENTI AD UNA CIRCONFERENZA
Contesto:
2° superiore (liceo o istituto tecnico)
Obiettivi:
Tracciare le tangenti ad una circonferenza e conoscere e saper applicare le loro
proprietà.
Pre-requisiti e pre-conoscenze:
Segmento e asse del segmento (come luogo geometrico dei punti equidistanti
dagli estremi del segmento).
Definizioni e caratteristiche dei triangoli equilateri, rettangoli e isosceli.
Costruzione del triangolo equilatero (dato un lato, determinare il vertice
opposto come intersezione delle due circonferenze aventi come raggio il lato e
come centri gli estremi di esso).
Teorema di Pitagora.
Criteri di uguaglianza dei triangoli.
Caratteristiche fondamentali dei quadrilateri regolari (quadrato, rombo,
trapezio) e loro assi di simmetria.
Nozione di poligoni inscritti e circoscritti ad un cerchio.
Per tre punti non allineati passa sempre una circonferenza.
Definizione di angolo al centro e angolo alla circonferenza.
Un angolo alla circonferenza ha ampiezza pari alla metà di quella del
corrispondente angolo al centro; un angolo alla circonferenza che insiste su
mezza circonferenza è un angolo retto.
Utilizzo di base del software Cabri.
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Luogo e strumenti utilizzati:
Per come è stata strutturata questa unità didattica, essa si dovrebbe svolgere
in aula informatizzata perché le schede di lavoro devono essere svolte con l’uso
di Cabri.
L’ideale sarebbe far lavorare singolarmente i ragazzi, ognuno con un PC, per
consentire loro di ‘scoprire’ la figura e da questa fare delle congetture per poi
arrivare, in modo guidato con la scheda, alla formalizzazione della teoria
(controllo ascendente). Il software Cabri, grazie al puntatore, permette di
variare la figura trascinando gli oggetti liberi della costruzione; cosa
impossibile in classe con foglio e matita.
Nelle attività e negli esercizi, invece, si potrebbero far lavorare gli studenti a
gruppetti di 2 o 3, per velocizzare il lavoro.
Traccia dell’unità didattica:
Nelle pagine seguenti viene esposta in maniera sequenziale e dettagliata
l’articolazione dell’unità didattica.
Le schede servono per far ‘scoprire’ in maniera guidata i nodi fondamentali di
questo lavoro.
Con l’attività, invece, si vuole far lavorare i ragazzi con metodi euristici,
lasciandoli liberi di giungere a qualsiasi soluzione, che sarà poi spunto per
discussioni in classe.
Gli esercizi presentati sono solo alcuni, fra quelli più significativi, che sarebbe
interessante poter assegnare, tempo permettendo, per vedere quali proprietà
vengono utilizzate ed in che modo per giungere alla conclusione (sono esercizi
che volendo possono essere assegnati come compito a casa, risolvendoli con
carta e matita).
Con la scheda I si vogliono far acquisire i concetti fondamentali delle possibili
posizioni reciproche tra circonferenza e retta.
La scheda II è più articolata, richiede un tempo maggiore di svolgimento, ed è il
fulcro di tutta l’unità didattica, perché con essa i ragazzi imparano sia la
costruzione delle tangenti alla circonferenza sia le loro proprietà fondamentali
che gli serviranno per svolgere le successive attività. Inoltre la figura offre
svariati spunti di riflessione, come la costruzione del triangolo equilatero, il
riconoscimento di quadrilateri regolari.
La spiegazione di come si costruisce una macro richiede poco tempo ed in
questo caso sarà molto utile ai ragazzi nei successivi disegni per tracciare le
tangenti ad una circonferenza da un punto esterno.
Il concetto di asse radicale lo lascerei come approfondimento da fare in un
liceo scientifico PNI dove, avendo a disposizione più ore settimanali, si
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potrebbe affrontare come nozione aggiuntiva. Per questo argomento fornisco
anche una assiomatica locale (vedi pag. 17).
Periodo durante l’anno:
Indicativamente inizio secondo quadrimestre.
Tempi indicativi e modo di valutazione:
Per la prima parte:
quattro/sei ore (dipende se si decide di svolgere in laboratorio o a casa gli
esercizi);
inoltre due ore per la verifica scritta (fatta sempre con l’utilizzo del PC).
Per l’approfondimento:
quattro ore di laboratorio, senza verifica scritta, lo scopo è quello di far
confrontare i ragazzi con problemi di difficoltà più elevata e meno intuitivi dei
precedenti.
Nodi fondamentali:
Sono esposti dopo ogni scheda o attività come ‘formalizzazione’.
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SCHEDA I
Che cosa imparerai:
data una circonferenza ed un punto P non appartenente ad essa, imparerai a
distinguere fra le rette appartenenti al fascio passante per P, quelle esterne, secanti
e tangenti alla circonferenza data.
Considera una circonferenza c di centro O.
Sia P un punto esterno ad essa.
Traccia la circonferenza c’ di centro O e raggio OP.
Sia Q un punto su tale circonferenza.
Traccia la retta passante per P e Q.
Chiama A e B i punti di intersezione della retta con la circonferenza c.
Con il puntatore muovi il punto Q sulla circonferenza.
I punti A e B di intersezione esistono sempre?
……………………………………………….
Traccia la retta perpendicolare alla retta per P.
Sia R il punto di intersezione delle due rette.
Cosa rappresenta il segmento OR? ……………………………
Con il puntatore muovi il punto Q sulla circonferenza.
La lunghezza massima del segmento OR si ottiene quando …………..
La lunghezza minima del segmento OR si ottiene quando ………….
Il punto R può appartenere alla circonferenza c? Se sì, quando?
………………………………………………
Sposta ora il punto P all’interno della circonferenza c e fai variare nuovamente
il punto Q sulla circonferenza c’.
I punti A e B di intersezione esistono sempre?
……………………………………………….
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FORMALIZZAZIONE DELLA SCHEDA I
Ogni circonferenza divide il piano in due sottoinsiemi disgiunti di cui essa è la
frontiera:
l’insieme dei punti interni alla circonferenza (la cui distanza dal centro è minore
del raggio) e quello dei punti esterni (la cui distanza dal centro è maggiore del
raggio).
Una retta ed una circonferenza hanno al più due punti in comune.
Date una retta ed una circonferenza nel piano, si possono presentare tre casi:
I)
La retta e la circonferenza hanno due punti A e B in comune: AB è una
corda del cerchio (tutti i punti che stanno tra A e B sono interni), la
retta si dice secante alla circonferenza.
II)
La retta e la circonferenza hanno un punto in comune; gli altri punti della
retta non possono essere tutti interni alla circonferenza (perché la
distanza tra due punti di una retta può essere un numero reale grande
quanto si vuole, mentre la distanza di due punti di una circonferenza è al
massimo uguale al diametro); neppure possono essere in parte interni ed
in parte esterni, perché allora la retta avrebbe due punti di intersezione
con essa. Tutti gli altri punti della retta sono allora esterni alla
circonferenza. La retta è tangente alla circonferenza.
III) La retta e la circonferenza non hanno punti in comune. La retta non può
avere tutti i punti interni alla circonferenza né alcuni interni ed altri
esterni. La retta è esterna alla circonferenza.
Da un punto interno alla circonferenza non si possono condurre tangenti.
Da un punto esterno alla circonferenza si possono condurre due tangenti
distinte.
La tangente ad una circonferenza è perpendicolare al raggio condotto nel punto
di tangenza, infatti esso è il punto di minima distanza dal centro della
circonferenza.
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DISEGNI CON CABRI DELLA SCHEDA I
E DELLA SUA FORMALIZZAZIONE
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SCHEDA II
Che cosa imparerai:
scoprirai come costruire le rette tangenti ad una circonferenza passanti per un punto
del piano e alcune proprietà che derivano dalla costruzione.
Considera una circonferenza c di centro O.
Sia P un punto esterno ad essa.
Sia M il punto medio del segmento OP.
Traccia la circonferenza di centro M e passante per O.
Siano Q ed R i punti di intersezione delle due circonferenze.
Traccia le due rette per P passanti rispettivamente per Q (retta q ) ed R (retta
r ).
Puoi affermare che le rette q ed r sono le rette tangenti cercate? ……….
Prova a spostare alcuni punti od oggetti della figura per verificare se la
costruzione è corretta.
Quali oggetti hai spostato? ……………
Cosa accade quando P si avvicina alla circonferenza iniziale? ………………….
Quando P appartiene ad essa ……………
Quando P è interno alla circonferenza ………………
Traccia i segmenti OQ e OR. Essi sono …………………… perché i punti Q ed R
appartengono ………………………… .
Considera il quadrilatero OQPR;
può essere un rombo? …….. perché?
può essere un quadrato? …….. perché?
può essere un triangolo? ……… perché?
(per rispondere alle domande traccia la retta per Q ed M e quella per Q ed R)
Considera il quadrilatero OQMR;
può essere un rombo? …….. perché?
può essere un quadrato? …….. perché?
può essere un triangolo? ……… perché?
PO è il diametro della circonferenza di centro …. , che tipo di angolo è OQP ?
……………….. perché ……………
I triangoli OQP e ORP sono triangoli uguali, perché?
Quale criterio hai applicato? ………………
Che tipo di triangolo è PQR? ……………..
Che relazioni esistono tra la semiretta PO e l’angolo QPR, e tra PO e QR?
…………………………………
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SPUNTI DI DISCUSSIONE DELLA SCHEDA II
La scheda è articolata in modo da stimolare alcune congetture costruttive della
dimostrazione e potrebbe essere spezzata in varie attività separate per non
suggerire ai ragazzi la soluzione.
Infatti si inizia facendo tracciare le due rette tangenti q ed r e si chiede di
motivare la tangenza senza però aver tracciato i raggi OQ e OR i quali consentono
di affermare che gli angoli OQP e ORP sono retti (poiché inscritti in una semicirconferenza).
La richiesta di analizzare il quadrilatero OQMR al variare del punto P (unico punto
libero della costruzione), e di giustificare le risposte fornite, proviene dal
desiderio di far notare che quando M appartiene alla circonferenza c allora il
rombo OQMR è formato da 2 triangoli equilateri (OQM e ORM) e per questo
stesso motivo non può essere un quadrato.
Analogamente il quadrilatero OQPR può essere un quadrato quando le rette QM e
QR si sovrappongono determinando 4 triangoli rettangoli OQP, QPR, PRO e ROQ
(perché inscritti ciascuno in una semi-circonferenza); dunque il quadrilatero OQPR
risulta avere 4 angoli retti ed essere inscritto in una circonferenza, quindi è un
quadrato.
Quest’ultimo caso comprende anche quello in cui il quadrilatero OQMR si
trasforma in un triangolo ed, in particolare, in un triangolo rettangolo.
Solo alla fine della scheda, quando i ragazzi hanno analizzato tutti i particolari
della costruzione, si arrivano a determinare le proprietà caratteristiche delle
tangenti q ed r, cioè che i segmenti PQ e PR sono uguali e che PO è la bisettrice
dell’angolo QPR.
FORMALIZZAZIONE DELLA SCHEDA II
I segmenti tangenti condotti da un punto P esterno ad una circonferenza sono
uguali.
Il centro della circonferenza si trova sulla bisettrice dell’angolo formato da due
tangenti.
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DISEGNI CON CABRI DELLA SCHEDA II
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COSTRUZIONE DI UNA MACRO CON CABRI
La costruzione della scheda II per determinare le rette tangenti ad una
circonferenza potrebbe essere utilizzata per spiegare il funzionamento del menu
Macrocostruzioni di Cabri.
Apri la figura di Cabri costruita con la scheda II.
Clicca sul menu Macrocostruzioni (ha il simbolo simile ad una X) e seleziona
‘Oggetti iniziali’.
Indica la circonferenza c e il punto P.
Seleziona ‘Oggetti finali’ e indica le due tangenti q e r.
Scegli ‘Definizione della macro’; appare una finestra di dialogo:
- occorre dare un nome alla macro (ad es. Tangenti2)
- dare un nome all’oggetto finale (ad es. rette tangenti)
- disegnare, facoltativamente, un’icona che caratterizza la macro
- salvare la costruzione (è IMPORTANTE ricordarsi di selezionare la
casella a sinistra ‘Salva come file’; se non lo si fa la macro sarà
utilizzabile solo in questa sessione di lavoro e non verrà salvata su disco).
Prova a controllare il funzionamento della nuova macro creata:
Apri un nuovo foglio di lavoro di Cabri.
Traccia una circonferenza e un punto esterno.
Seleziona il comando Tangenti2 ed indica il punto e la circonferenza.
Cosa hai ottenuto? ……………
Scegli un punto sulla circonferenza.
Utilizza nuovamente il comando Tangenti2 indicando il nuovo punto e la
circonferenza.
Cosa hai ottenuto? ……………
Traccia un punto interno alla circonferenza e ripeti la procedura precedente.
Hai ottenuto le rette tangenti? ………
Sposta quest’ultimo punto verso l’esterno della circonferenza.
Cosa accade? ……………………….
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ATTIVITA’ I
Disegnando un triangolo qualsiasi, si riesce sempre a disegnare un cerchio inscritto
nel triangolo? O solo in certi casi? Quali?
Questo problema è volutamente aperto perché vuole verificare se i ragazzi hanno
fatto propri i concetti appena appresi con la scheda II.
Infatti per determinare il centro e il raggio della circonferenza inscritta in un
triangolo ABC occorre effettuare il seguente ragionamento:
la circonferenza deve essere tangente alle due rette AB e AC, perciò il suo
centro O si deve trovare sulla bisettrice b dell’angolo BAC;
la circonferenza deve essere tangente anche alle due rette AB e BC, perciò il suo
centro O si deve trovare sulla bisettrice b’ dell’angolo ABC;
il raggio della circonferenza sarà la distanza di O da uno dei lati del triangolo (ad
es. OH).
Si potrebbe chiedere ai ragazzi di verificare che le distanze del punto O dai tre lati
del triangolo ABC sono uguali al raggio della circonferenza inscritta.
FORMALIZZAZIONE DELL’ATTIVITA’ I
Dato un triangolo ABC si può sempre inscrivere nel triangolo un cerchio cha ha:
- il punto di incontro di due bisettrici come centro O;
- la distanza di O da un qualunque lato come raggio.
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ESERCIZIO I
Dimostra che date due circonferenze concentriche, l’una di raggio doppio dell’altra,
se da un punto A della circonferenza di raggio maggiore si tracciano le due
tangenti alla circonferenza di raggio minore, allora indicati con B e C gli altri punti
in cui queste due tangenti intersecano la circonferenza di raggio maggiore, il
triangolo ABC è equilatero.
Inoltre indicati con D ed E i punti di tangenza, spiega perché anche il triangolo
ADE è equilatero.
La soluzione è immediata se si riconosce l’analogia con il disegno costruito nella scheda
II nel caso in cui il quadrilatero OQMR diviene un rombo (quando M appartiene alla
circonferenza e quindi OP = 2 OM; applicando il teorema di Pitagora al triangolo
equilatero OQM si ottiene la lunghezza del lato QR del triangolo PQR di cui si conosce
l’altezza = 3/2 OM ; a questo punto con il teorema di Pitagora si può verificare che
anche gli altri due lati sono uguali ad QR).
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ESERCIZIO II
Disegna due circonferenze che hanno lo stesso centro O; da un punto P esterno ad
entrambe conduci le seguenti tre rette:
- la retta PO;
- le tangenti PA e PB alla circonferenza più grande;
- le tangenti PC e PD alla circonferenza più piccola (chiamando A e C i due punti
dalla stessa parte di PO).
Risolvi i seguenti quesiti:
a. spiega perché sono uguali i due angoli APC e BPD;
b. spiega perché PO è asse di simmetria di ABDC;
c. spiega perché il quadrilatero ABDC è un trapezio isoscele.
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ESERCIZIO III
E’ dato un triangolo ABC rettangolo in A. Risolvere i seguenti quesiti:
a. spiegare come si deve procedere per tracciare la circonferenza che ha il centro
in A ed è tangente all’ipotenusa BC in H;
b. da B tracciare l’altra tangente alla circonferenza indicando con M il punto di
contatto e, analogamente, condurre da C l’altra tangente alla circonferenza
indicando con N il punto di contatto; spiegare perché MN è sempre un diametro
della circonferenza;
c. spiegare perché il quadrilatero MNBC è un trapezio rettangolo.
Entrambi gli esercizi II e III richiedono l’applicazione delle proprietà delle tangenti
alla circonferenza.
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APPROFONDIMENTO
L’ASSE RADICALE
Fra i pre-requisiti è stata inserita la seguente proprietà dei triangoli:
si può sempre trovare la circonferenza circoscritta ad un triangolo (il cui centro si
trova nell’intersezione degli assi dei lati);
proprietà che può anche essere enunciata nel seguente modo:
per tre punti non allineati passa sempre una circonferenza.
Ma se i punti sono solo due?
Con l’utilizzo di una scheda guidata si vuole far determinare e disegnare il fascio di
circonferenze passanti per questi due punti e la proprietà dell’asse radicale.
SCHEDA III
Che cosa imparerai:
dati due punti del piano determinare le circonferenze passanti per essi, concetto di
asse radicale.
Siano A e B due punti qualsiasi del piano, quante circonferenze passano per i
due punti? …………………..
Traccia la retta AB e il suo asse.
I centri delle possibili circonferenze passanti per A e B devono essere ………..
Dunque per due punti del piano passano ………. circonferenze.
FORMALIZZAZIONE DELLA SCHEDA III
Per due punti del piano A e B passano infinite circonferenze, esse costituiscono
un fascio e i punti A e B si chiamano punti base di tale fascio.
La retta AB si chiama asse radicale, l’asse di AB si chiama asse centrale perché
è l’asse a cui appartengono i centri delle circonferenze del fascio.
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ASSIOMATICA LOCALE NECESSARIA
PER AFFRONTARE LE SCHEDE SUCCESSIVE
Data una circonferenza di centro O e raggio r ed un punto Q ad essa esterno, si
considerino una tangente ed una secante condotte da Q (siano A e B i punti di
intersezione della secante con la circonferenza);
allora per il teorema della secante e della tangente il prodotto QA · QB è
sempre uguale a QT2, ed è quindi indipendente dalla particolare secante
considerata.
Il prodotto QA · QB = QT2 = p si chiama potenza del punto Q rispetto alla
circonferenza.
Date due circonferenze non concentriche, ogni punto Q del piano ha una
potenza rispetto ai due cerchi e il luogo dei punti che hanno la stessa potenza è
una retta detta asse radicale dei due circoli.
L’asse radicale delle due circonferenze è perpendicolare alla congiungente i
centri e, se le due circonferenze hanno due punti in comune, è la retta che
passa per questi due punti.
Nel caso di cerchi concentrici l’asse radicale non è definito.
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SCHEDA IV
Che cosa imparerai: scoprirai come tracciare le rette tangenti a due circonferenze.
Disegna due circonferenze di centro C e C’ (disegnale esterne).
Traccia un diametro PQ della circonferenza di centro C.
Traccia un diametro P’Q’ della circonferenza di centro C’ parallelo a PQ.
Considera le rette PP’ e QQ’, chiama O il loro punto di intersezione.
Disegna le rette per O tangenti ad una delle circonferenze iniziali.
Tali rette sono tangenti anche all’altra circonferenza? ……….
Considera le rette PQ’ e QP’, chiama O’ il punto di intersezione.
Traccia le rette per O’ tangenti ad una delle circonferenze iniziali.
Tali rette sono tangenti anche all’altra circonferenza? ……….
Muovi il punto P e descrivi che cosa accade …………………………
Muovi ora il centro C della circonferenza e descrivi cosa accade
quando le due circonferenze sono esterne ……………
sono tangenti esternamente …………………
hanno due punti in comune ……………
sono tangenti internamente …………….
sono una interna all’altra …………..
Riporta le due circonferenze esterne e modifica una delle due in modo che
abbiano lo stesso raggio; che cosa accade? …………………………
Come sono i punti O, O’, C, C’?
Che relazione esiste tra i triangoli PQO e P’Q’O, e tra i triangoli PQO’ e P’Q’O’?
Prova a spiegare perché le tangenti ad una circonferenza sono tangenti anche
all’altra
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DISEGNI SCHEDA IV
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SCHEDA V
Che cosa imparerai:
date due circonferenze scoprirai come tracciare il loro asse radicale, ovvero il luogo
dei punti che hanno la stessa potenza rispetto alle due circonferenze.
Riutilizza la figura della scheda IV, lasciando le due circonferenze di centro C e
C’ (esterne), il punto O (oppure O’) e una tangente comune passante per O;
nascondi tutti gli altri elementi perché superflui.
Indica con T e T’ i due punti di tangenza.
Traccia il punto M medio del segmento TT’.
Traccia la retta CC’.
Traccia la retta perpendicolare a quest’ultima passante per M.
L’asse radicale è la retta …………..
Muovi il punto C e descrivi la posizione dell’asse radicale nei seguenti casi:
le due circonferenze sono esterne ………………….
sono tangenti esternamente ………………….
sono secanti …………………..
sono tangenti internamente ……………..
sono una interna all’altra ………………..
Se le due circonferenze hanno lo stesso diametro e sono esterne allora l’asse
radicale ……………..
Spiega perché M ha la stessa potenza rispetto alle due circonferenze, perché
appartiene all’asse radicale e perché la retta per M è proprio l’asse radicale.
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