Rappresentazione e risoluzione grafica e analitica dei quadrilateri divisi in triangoli rettangoli È necessario sapere e saper operare con: • Le proporzioni • Primo principio di equivalenza • Rappresentazione e risoluzione grafica del triangolo rettangolo • Risoluzione analitica del triangolo rettangolo Obiettivi di apprendimento: • Rappresentazione e risoluzione grafica dei quadrilateri divisi in triangoli rettangoli • Risoluzione analitica dei quadrilateri divisi in triangoli rettangoli Per la rappresentazione e risoluzione grafica e analitica dei seguenti quadrilateri si utilizzano nozioni riguardanti i triangoli rettangoli. A D C Esercizio A D DATI 135 128 147 68° 71° C SOLUZIONI ? ? ? Rappresentazione e risoluzione grafica A D DATI 135 128 147 68° 71° C SOLUZIONI ? ? ? Svolgimento 1. Disegnare l’angolo D 2. Disegnare il lato A D 3. Disegnare l’angolo A D C1 4. Disegnare il lato A D B1 C1 5. Puntando in , disegnare un arco di raggio uguale al lato B1 A D C1 6. Disegnare la parallela al lato ottenendo così il lato A D che intersechi l’arco precedentemente tracciato, B B1 C C1 7. Unire i vertici e A B D B1 C 8. Si ottiene il quadrilatero finito A D B C C1 9. Misurare il lato e gli angoli A e B D C Si ottiene DATI 135 128 147 68° 71° SOLUZIONI 226,73 112,88° 108,12° Risoluzione analitica A D DATI 135 128 147 68° 71° C SOLUZIONI ? ? ? Svolgimento La risoluzione analitica del quadrilatero studiato richiede la risoluzione dei singoli triangoli in cui esso è scomposto, come mostrato di seguito. A D N K M C 1. Studiare il triangolo A1 D N a. Impostare e risolvere la seguente proporzione A1 D A1 N sin D 1 sin D̂ cos D̂ N 1 sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene 135 sin 71° 1 da cui 135 # sin 71° 1 135 # sin 71° 135 # 0,9455186 b. Impostare e risolvere la seguente proporzione 127,65 A1 D A1 N D cos 1 sin D̂ cos D̂ N 1 sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene 135 cos 71° 1 da cui 135 # cos 71° 1 135 # cos 71° 135 # 0,3255682 43,95 c. Ricavare l’angolo sapendo che la somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo rettangolo è 180°, si ottiene ' ' ( 180° sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene 90° ' 71° ' ( 180° applicando il primo principio di equivalenza, si trasportano i termini noti al secondo membro cambiandoli di segno ( 180° ) 90° ) 71° da cui ( 19° 2. Studiare il triangolo * 1 M C a. Impostare e risolvere la seguente proporzione 1 1 1 sin Cˆ M (+ C ( sin M cos Cˆ C 1 sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene (+ 147 sin 68° 1 da cui (+ 147 # sin 68° 1 147 # sin 68° 147 # 0,9271839 b. Impostare e risolvere la seguente proporzione 136,3 1 1 1 sin Cˆ M + C cos ( M cos Cˆ C 1 sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene + 147 cos 68° 1 da cui 147 # cos 68° 1 + 147 # cos 68° 147 # 0,3746066 55,07 c. Ricavare l’angolo sapendo che la somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo rettangolo è 180°, si ottiene +' ' ( 180° sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene 90° ' 68° ' ( 180° applicando il primo principio di equivalenza, si trasportano i termini noti al secondo membro cambiandoli di segno ( 180° ) 90° ) 68° da cui ( 22° 3. Studiare il triangolo , ,- B2 K A2 a. Ricavare il lato ,- Osservando il quadrilatero A è possibile notare che . +) B K sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene 136,3 ) 127,65 . da cui . 8,65 b. Impostare e risolvere la seguente proporzione B2 A2 K /. / / sin A2 1 cos Aˆ 2 B2 sin Aˆ 2 K 1 / sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene 8,65 128 sin 1 / da cui sin / 8,65 # 1 128 8,65 128 0,0675861 0 sin1( / 0 3,88° c. Impostare e risolvere la seguente proporzione B2 A2 K /. / / cos / A2 1 sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene /. da cui 128 cos 3,88° 1 1 cos Aˆ 2 B2 sin  2 K 128 # cos 3,88° 1 /. d. Ricavare l’angolo 128 # 0,9977134 127,71 , sapendo che la somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo è 180°, si ottiene .' / ' / 180° Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene 90° ' 3,88° ' / 180° Applicando il primo principio di equivalenza, si trasportano i termini noti al secondo membro cambiandoli di segno / 180° ) 90° ) 3,88° da cui / 86,12° 4. Ricavare il lato Osservando il quadrilatero A è possibile notare che ' .'+ sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene 43,95 ' 127,71 ' 55,07 da cui 226,73 B K 5. Ricavare l’angolo Osservando il quadrilatero A Â1 K Â2 è possibile notare che ( ' / ' 2 sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene 19° ' 90° ' 3,88° da cui 112,88° B Â2 6. Ricavare l’angolo Osservando il quadrilatero A B2 B K B̂1 è possibile notare che ( ' / Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene 22° ' 86,12° da cui 108,12° Si ottiene DATI 135 128 147 68° 71° SOLUZIONI 226,73 112,88° 108,12°