Esercizio 5
Calcolare l’area ed il perimetro del triangolo scaleno ABC, sapendo che l’angolo in A è di 45° e che
7
̅̅̅̅
̅̅̅̅.
𝐴𝐶 = 6√2𝑐𝑚 e ̅̅̅̅
𝐴𝐵 = 5 𝐵𝐶
Svolgimento
Facciamo la figura con Geogebra:
̅̅̅̅ = 𝑥. Dal vertice C tracciamo la perpendicolare al lato ̅̅̅̅
Poniamo 𝐵𝐶
𝐴𝐵 e indichiamo con H il punto
di intersezione. Consideriamo il triangolo ACH:
È rettangolo il H per costruzione
̂ è di 45°
L’angolo 𝐶𝐴𝐻
̂ è di 45°.
Poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è 180° anche 𝐴𝐶𝐻
Il triangolo ACH ha due angoli congruenti e quindi è isoscele. Pertanto i due cateti sono
congruenti: ̅̅̅̅
𝐴𝐻 ≅ ̅̅̅̅
𝐶𝐻.
Per il teorema di Pitagora applicato al triangolo ACH possiamo scrivere:
̅̅̅̅
𝐴𝐶 = √̅̅̅̅
𝐴𝐻 2 + ̅̅̅̅
𝐶𝐻 2
Ma ̅̅̅̅
𝐴𝐻 ≅ ̅̅̅̅
𝐶𝐻 quindi:
̅̅̅̅ = √2𝐴𝐻
̅̅̅̅2 = √2𝐴𝐻
̅̅̅̅
𝐴𝐶
Sostituendo i valori dati dal testo del problema:
̅̅̅̅
6√2 = √2𝐴𝐻
̅̅̅̅
𝐴𝐻 ≅ ̅̅̅̅
𝐶𝐻 = 6𝑐𝑚
Applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo CHB per trovare ̅̅̅̅
𝐻𝐵:
→
̅̅̅̅2 − ̅̅̅̅
̅̅̅̅
𝐻𝐵 = √𝐶𝐵
𝐶𝐻 2
Sostituendo i valori che conosciamo:
̅̅̅̅
𝐻𝐵 = √𝑥 2 − 62 = √𝑥 2 − 36
Sappiamo che:
̅̅̅̅
𝐴𝐵 = ̅̅̅̅
𝐴𝐻 + ̅̅̅̅
𝐻𝐵
𝑒
7
̅̅̅̅
𝐴𝐵 = 𝑥
5
Sostituiamo i valori che conosciamo:
7
𝑥 = 6 + √𝑥 2 − 36
5
Abbiamo appena scritto un’equazione che ci permette di trovare il valore di x.
1
7
𝑥 − 6 = √𝑥 2 − 36
5
Eleviamo ambo i membri al quadrato:
2
7
( 𝑥 − 6) = 𝑥 2 − 36
5
→
24 2 84
𝑥 − 𝑥 + 72 = 0
25
5
49 2 84
𝑥 −
𝑥 + 36 − 𝑥 2 + 36 = 0
25
5
24𝑥 2 − 420𝑥 + 1800 = 0
→
12(2𝑥 2 − 35𝑥 + 150) = 0
𝑥1−2 =
→
2𝑥 2 − 35𝑥 + 150 = 0
35 ± √352 − 4 ∙ 2 ∙ 150 35 ± √1225 − 1200 35 ± √25 35 ± 5
=
=
=
4
4
4
4
40
30 15
= 10 𝑥2 =
=
4
4
2
Tutte e due le soluzioni sono accettabili. Ci sono due triangoli che soddisfano le condizioni del
problema.
Consideriamo la prima soluzione:
𝑥1 =
7
̅̅̅̅ = 10𝑐𝑚 ̅̅̅̅
𝑥 = 10 𝐵𝐶
𝐴𝐵 = 10 = 14𝑐𝑚
5
𝐴𝑟𝑒𝑎:
1
1
̅̅̅̅
𝐴𝐵 ∙ ̅̅̅̅
𝐶𝐻 = 14 ∙ 6𝑐𝑚2 = 42𝑐𝑚2
2
2
̅̅̅̅ + ̅̅̅̅
𝑃𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜: ̅̅̅̅
𝐴𝐵 + 𝐵𝐶
𝐴𝐶 = (14 + 10 + 6√2)𝑐𝑚 = (24 + 6√2)𝑐𝑚 = 6(4 + √2)𝑐𝑚
Consideriamo la seconda soluzione:
𝑥=
𝐴𝑟𝑒𝑎:
15
2
̅̅̅̅ =
𝐵𝐶
15
7 15 21
̅̅̅̅ =
𝑐𝑚 𝐴𝐵
=
𝑐𝑚
2
5 2
2
1
1 21
21
63 2
̅̅̅̅ ∙ 𝐶𝐻
̅̅̅̅ =
𝐴𝐵
∙ 6𝑐𝑚2 =
∙ 6𝑐𝑚2 =
𝑐𝑚
2
2 2
4
2
21 15
36 + 12√2
̅̅̅̅ + 𝐵𝐶
̅̅̅̅ + 𝐴𝐶
̅̅̅̅ = ( +
𝑃𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜: 𝐴𝐵
+ 6√2) 𝑐𝑚 = (
) 𝑐𝑚 = 6(3 + √2)𝑐𝑚
2
2
2
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Matilde Consales
2
