esercizi sui vari casi del triangolo rettangolo

Rappresentazione e risoluzione grafica e
analitica dei triangoli rettangoli
È necessario sapere e saper operare con:
• Le proporzioni
• Primo principio di equivalenza
• Il triangolo trigonometrico sin, cos, 1
• Il triangolo trigonometrico tan, 1
Obiettivi di apprendimento:
• Rappresentazione e risoluzione grafica
dei triangoli rettangoli
• Risoluzione analitica dei triangoli
rettangoli
Per la rappresentazione e risoluzione grafica e analitica dei triangoli rettangoli si distinguono 9
casi, riconducibili a 5 metodi di risoluzione.
DATI
①
65 m
73 m
①
129 m
①
174 m
①
136 m
①
188 m
213 m
164 m
51°
90°
Metodo di
risoluzione
K
90°
X
90°
Y
①
49 m
①
W
90°
X
90°
W
①
27 m
83 m
61°
36°
42°
90°
①
41°
90°
Y
90°
Z
168 m
37°
90°
Z
K (caso ①)
Rappresentazione e risoluzione grafica
a
DATI
65
73
90°
c
SOLUZIONI
?
?
?
Svolgimento
1. Disegnare il lato
C
a
B
2. Disegnare il lato
in modo da creare l’angolo retto con il lato
C
a
B
b
A
3. Unire i vertici
e
C
b
A
C
b
A
a
c
a
B
4. Si ottiene il triangolo finito
B
5. Misurare il lato e gli angoli
e
C
b
a
c
A
B
Si ottiene
DATI
65
73
90°
SOLUZIONI
97,74
41,68°
48,32°
K (caso ①)
Risoluzione analitica
a
DATI
65
73
90°
c
SOLUZIONI
?
?
?
Svolgimento
1. Impostare e risolvere la seguente proporzione
B
a
1
c
c
1 tan
sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene
65 73
1 tan
da cui si ottiene
73 # 1
65
tan
73
65
1,1230769 $ tan%&
$ 48,32°
2. Ricavare l’angolo
sapendo che la somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo rettangolo è 180°, si
ottiene
'
'
180°
sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene
' 48,32° ' 90°
180°
applicando il primo principio di equivalenza, si trasportano i termini noti al secondo
membro cambiandoli di segno
180 ( 48,32° ( 90°
da cui
41,68°
3. Impostare e risolvere la seguente proporzione
B
a
cos Bˆ
c
cos
1
sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene
65
cos 48,32° 1
da cui
65 # 1
cos 48,32°
65
cos 48,32°
65
0,6649986
97,74
Si ottiene
DATI
65
73
90°
SOLUZIONI
97,74
41,68°
48,32°
1
X (caso ①)
Rappresentazione e risoluzione grafica
a
DATI
129
164
90°
c
SOLUZIONI
?
?
?
Svolgimento
1. Disegnare il lato
C
a
B
2. Disegnare l’angolo retto ,
C
a
B
3. Puntando in , disegnare un arco di raggio uguale al lato che intersechi la retta
precedentemente tracciata per l’angolo ,
C
a
B
4. Unire il vertice
con il punto d’intersezione dell’arco
C
a
B
6. Si ottiene il triangolo finito
C
b
a
c
A
B
7. Misurare il lato
e gli angoli
e
C
b
a
c
A
B
Si ottiene
DATI
a 129 m
c 164 m
Ĉ
90°
SOLUZIONI
b 101,27 m
 51,87°
38,13°
X (caso ①)
Risoluzione analitica
a
DATI
129
164
90°
c
SOLUZIONI
?
?
?
Svolgimento
1. Impostare e risolvere la seguente proporzione
B
a
cos
cos Bˆ
c
1
1
sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene
129 164
cos
1
da cui
129 # 1
164
cos
129
164
0,0,7865854 $ cos%&
$ 38,13°
2. Ricavare l’angolo
sapendo che la somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo rettangolo è 180°, si
ottiene
'
'
180°
sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene
' 38,13° ' 90°
180°
e applicando il primo principio di equivalenza, si trasportano i termini noti al secondo
membro cambiandoli di segno
180° ( 38,13° ( 90°
da cui
51,87°
3. Impostare e risolvere la seguente proporzione
B
a
1
c
c
1 tan
sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene
129
1 tan 38,13°
da cui
129 # tan 38,13°
1
129 # tan 38,13°
129 # 0,7850153
Si ottiene
DATI
129
164
90°
SOLUZIONI
101,27
51,87°
38,13°
101,27
Y (caso ①)
Rappresentazione e risoluzione grafica
a
DATI
174
51°
90°
c
SOLUZIONI
?
?
?
Svolgimento
1. Disegnare il lato
C
a
B
2. Disegnare l’angolo retto ,
C
a
B
3. Disegnare l’angolo noto
1
A1
C
a
B
4. Disegnare la parallela all’angolo
C
a
B
1
che intersechi il lato
A1
5. Si ottiene il triangolo finito
C
b
a
c
A
B
6. Misurare i lati
e e l’angolo
C
b
a
c
A
B
Si ottiene
DATI
174
51°
90°
SOLUZIONI
140,9
223,9
38
Y (caso ①)
Risoluzione analitica
a
DATI
174
51°
90°
c
SOLUZIONI
?
?
?
Svolgimento
1. Ricavare l’angolo
sapendo che la somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo rettangolo è 180°, si
ottiene
'
'
180°
sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene
51° '
' 90°
180°
e applicando il primo principio di equivalenza, si trasportano i termini noti al secondo
membro cambiandoli di segno
180 ( 51° ( 90°
da cui
39°
2. Impostare e risolvere la seguente proporzione
B
a
cos Bˆ
c
cos
1
sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene
174
cos 39° 1
da cui
174 # 1
cos 39°
174
cos 39°
174
0,777146
223,9
3. Impostare e risolvere la seguente proporzione
1
B
a
1
c
c
1 tan
sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene
174
1 tan 39°
da cui
174 # tan 39°
1
174 # tan 39°
174 # 0,0,809784
Si ottiene
DATI
174
51°
90°
SOLUZIONI
140,9
223,9
39°
140,9
W (caso ④)
Rappresentazione e risoluzione grafica
a
DATI
136
42°
90°
c
SOLUZIONI
?
?
?
Svolgimento
1. Disegnare il lato
C
a
B
2. Disegnare l’angolo retto ,
C
a
B
3. Disegnare l’angolo
l’angolo ,
in modo che intersechi la retta precedentemente tracciata per
C
a
B
4. Si ottiene il triangolo finito
C
b
a
c
B
A
5. Misurare i lati
e e l’angolo
C
b
a
c
A
B
Si ottiene
DATI
136
42°
90°
SOLUZIONI
122,45
183,01
48°
W (caso ①)
Risoluzione analitica
a
DATI
136
42°
90°
c
SOLUZIONI
?
?
?
Svolgimento
1. Ricavare l’angolo
sapendo che la somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo rettangolo è 180°, si
ottiene
' '
180°
sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene
' 42° ' 90° 180°
applicando il primo principio di equivalenza, si trasportano i termini noti al secondo
membro cambiandoli di segno
180° ( 42° ( 90°
da cui
48°
2. Impostare e risolvere la seguente proporzione
B
a
c
1
1 tan
sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene
136
1 tan 42°
da cui
136 # tan 42°
136 # tan 42° 136 # 0,900404
1
3. Impostare e risolvere la seguente proporzione
c
122,45
B
a
cos
c
1
cos Bˆ
1
sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene
136
cos 42° 1
da cui
136 # 1
136
136
183,01
cos 42° cos 42° 0,7431448
Si ottiene
DATI
136
42°
90°
SOLUZIONI
122,45
183,01
48°
Z (caso ①)
Rappresentazione e risoluzione grafica
Ĉ
b
a
c
Â
ˆ
DATI
83
61°
90°
SOLUZIONI
?
?
?
Svolgimento
1. Disegnare l’angolo
A
2. Disegnare il lato
A
B
3. Partendo dal vertice , disegnare una linea perpendicolare che intersechi la retta
precedentemente tracciata per l’angolo
A
c
B
4. Si ottiene il triangolo finito
C
a
B
A
b
c
5. Misurare i lati
e
e l’angolo
C
a
A
b
c
B
Si ottiene
DATI
83
61°
90°
SOLUZIONI
72,59
40,24
29°
Z (caso ①)
Risoluzione analitica
Ĉ
b
a
c
Â
ˆ
DATI
136
42°
90°
SOLUZIONI
?
?
?
Svolgimento
1. Ricavare l’angolo
sapendo che la somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo rettangolo è 180°, si
ottiene
'
'
180°
Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene
61° '
' 90°
180°
applicando il primo principio di equivalenza, si trasportano i termini noti al secondo
membro cambiandoli di segno
180 ( 61° ( 90°
da cui
29°
2. Impostare e risolvere la seguente proporzione
B
a
cos Bˆ
c
cos
1
sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene
83
cos 29° 1
da cui
83 # cos 29°
1
83 # cos 29°
83 # 0,87462
3. Impostare e risolvere la seguente proporzione
72,59
1
B
a
1
c
c
1 tan
sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene
72,59
1 tan 29°
da cui
72,59 # tan 29°
72,59 # tan 29°
1
72,59 # 0,5543091
Si ottiene
DATI
83
SOLUZIONI
A=72,59 m
61°
40.24
90°
29°
40,24