M.C.D.
E’ il più grande tra tutti i numeri interi positivi che dividono i numeri dati.
Esempio:
24 = 2 3 ⋅ 3
M.C.D.= 2 2 ⋅ 3 = 12
144 = 2 4 ⋅ 3 2
60 = 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5
Si prendono cioè tutti i fattori comuni con l’esponente minore.
Il M.C.D. tra due o più monomi è un monomio con coefficiente uguale al M.C.D. dei coefficienti e con
parte letterale formata dal prodotto delle lettere COMUNI ai monomi prese con esponente minore.
Esempio:
Tra 24a 3 b 2 , 144a 2 b 4 c e 60a 4 b 2 c 3 il M.C.D. è 12a 2 b 2
m.c.m.
E’ il più piccolo tra tutti i numeri interi positivi che è multiplo di tutti i numeri dati.
Esempio:
24 = 2 3 ⋅ 3
144 = 2 4 ⋅ 3 2
m.c.m. = 2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 5 = 720
60 = 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5
Cioè si prendono i fattori primi comuni e non comuni con l’esponente maggiore.
Il m.c.m tra due o più monomi è un monomio con coefficiente uguale al m.c.m. dei coefficienti e con
parte letterale formata dal prodotto delle lettere comuni e non comuni prese con esponente maggiore.
Esempio:
Tra 24a 3 b 2 , 144a 2 b 4 c e 60a 4 b 2 c 3 il m.c.m. è 720a 4 b 4 c 3
POTENZE
Si dice “potenza naturale n-esima di un numero reale a positivo“ il prodotto di n fattori tutti uguali a
quel numero a.
Proprietà:
a m ⋅ a n = a m+ n
Esempio: 5 2 ⋅ 5 4 = 5 6 ;
a m : a n = a m− n
Esempio: 5 6 : 5 4 = 5 2 ;
(a )
Esempio: (5 3 ) = 5 6 ;
m n
2
= a m ⋅n
a n ⋅ b n = (a ⋅ b )
n
a n : b n = (a : b )
n
Esempio: 5 3 ⋅ 2 3 = 10 3 ;
Esempio: 10 3 : 2 3 = 5 3 .
1
NUMERI DECIMALI
Per trasformare un numero decimale in frazione si opera in questo modo:
la frazione ha come numeratore il numero senza gli zeri iniziali ed il denominatore ha un 1 con tanti
zeri quante sono le cifre dopo la virgola.
Per trasformare un numero periodico in frazione si opera in questo modo :
la frazione ha al numeratore tutto il numero meno l’antiperiodo ed al denominatore tanti nove quante
sono le cifre del periodo e tanti zeri quante sono le cifre dell’antiperiodo.
Esempi:
14
1000
13 − 1
1, 3 =
9
616 − 61
6,16 =
90
0,014 =
MONOMI:
E’ una qualsiasi espressione algebrica formata dal prodotto di numeri e lettere. La parte numerica è
detta anche coefficiente numerico, le lettere costituiscono la parte letterale del monomio.
GRADO DI UN MONOMIO
E’ la somma degli esponenti di tutte le lettere.
Esempio: 2a3x2z ha grado 3+2+1=5.
Il grado relativo alla lettera x è 3, quello relativo alla z è 1.
MONOMI SIMILI
Sono monomi con la stessa parte letterale.
Esempio: 23x2y è simile a 4x2y.
SOMMA DI MONOMI
La somma di monomi si effettua scrivendoli uno accanto all’altro con il proprio segno:
Esempio: 3ax; -2x2y; 6xy hanno somma : 3ax -2x2y+6xy.
Se i monomi sono simili si sommano sommando i loro coefficienti numerici.
Esempio:
3ax-7xy+2ax-xy=5ax-8xy.
2
MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE:
Il prodotto di due o più monomi è un monomio che ha per parte numerica il prodotto delle parti
numeriche e per parte letterale tutte le lettere che figurano nei singoli fattori, ciascuna presa con
l’esponente pari alla somma delle potenze dei singoli fattori.
Esempio:
3xy2(-2xy)3ax = -18ax3y3.
Il quoziente di due monomi è un monomio che ha per parte numerica il quoziente delle parti
numeriche e per parte letterale tutte le lettere che figurano nei singoli fattori, ciascuna presa con
l’esponente pari alla differenza delle potenze dei singoli fattori.
Esempio:
12a 4 b 3 : 6a 2 b 2 = 2a 4−2 b 3− 2 = 2a 2 b
ALCUNE SCOMPOSIZIONI DI POLINOMI IN FATTORI
x2 - a2 = (x + a)(x - a)
x3 - a3 = (x - a)(x2 + ax + a2)
x3 + a3 = (x + a)(x2 – ax + a2)
(a + b)2= a2 + b2 + 2ab
(a - b)2 = a2 + b2 - 2ab
(a + b)3=a3 + b3 + 3a2b + 3ab2
(a - b)3 = a3 - b3 – 3a 2b + 3ab2
(a + b + c)2=a2 + b2 + c2 +2ab + 2ac + 2bc
• Il polinomio : ax2+bx+c può essere scomposto se si riescono a trovare due numeri x1 ed x2 tali che
P(x1)=P(x2)=0 ( che sono le radici del polinomio).
Il polinomio è così scomponibile: ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2).
• Il polinomio:x2+sx+p è scomponibile se riesco a trovare due numeri che sommati diano s e
moltiplicati p. In tal caso la scomposizione risulta: (x+x1)(x+x2) , dove x1 ed x2 sono i due numeri
trovati.
ESEMPIO: x2 - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1)
infatti
-3 = -1 -2,
2 = (-1)(-2).
3
RADICALI
Si chiama radicale l’espressione:
n
a = b dove a è il radicando ed n l’indice del radicale.
n
m
m
n
Volendo scrivere il radicale sotto forma esponenziale a = b .
Basta dunque elevare il radicando ad un indice frazionario dove al numeratore compare l’esponente del
radicando e, al denominatore, l’indice del radicale. Resta inteso che valgono tutte le regole prima viste
sulle potenze.
OPERAZIONI CON I RADICALI:
n
a ⋅ n b = n a ⋅b ;
n
a
n
=n
b
( a)
m
n
n m
a
;
b
= n am ;
a = n⋅ m a .
TRASPORTO DENTRO E FUORI DAL SEGNO DI RADICE:
b ⋅ n a = n a ⋅ bn ;
m
n
a mb = a n ⋅ n b .
RAZIONALIZZAZIONE:
E’ l’insieme delle operazioni che permettono di ottenere una espressione senza radicali al
denominatore.
Per ottenere ciò è sufficiente moltiplicare per una frazione che contiene sopra e sotto il fattore
razionalizzante.(Il risultato non cambia perché il valore di tale frazione è 1).
Ecco una tabella con alcuni fattori razionalizzanti:
Espressione
Fattore razionalizzante
x
x
a x
x
a ⋅ n xm
n
x n− m
a x +b y
a x −b y
a x −b y
a x +b y
4
TRIANGOLO DI TARTAGLIA - POTENZA DI UN BINOMIO
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
(a+b)0
(a+b)1
(a+b)2
(a+b)3
(a+b)4
(a+b)5
Questi numeri rappresentano i coefficienti, a meno del segno, da attribuire ai singoli termini del
corrispondente sviluppo, a fianco segnato. Ogni polinomio sviluppato può sempre ordinarsi secondo le
potenze decrescenti di a e crescenti di b. Come coefficienti uso quelli del triangolo di Tartaglia.
Esempio:
(a + b )5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5
DIVISIONE DI DUE POLINOMI
DEFINIZIONE: Un polinomio si dice divisibile per un altro polinomio, se esiste un terzo polinomio
(Quoto), che, moltiplicato per il secondo (Divisore), dà per prodotto il primo (Dividendo).
A(x) = B(x) Q(x)
Dove: A(x) = dividendo, B(x) = divisore, Q(x) = quoto.
Se i due polinomi non sono divisibili tra di loro, Q(x) prende il nome di Quoziente:
A(x)=B(x) Q(x) + R(x) Dove R(x) è detto Resto.
Ecco un esempio di come procedere (E’ come una comune divisione tra numeri):
Esempio: (-3x5-x3+2x+2): (x2-x+2):
-3x5
0
-x3
0 +2x + 2
+3x5 -3x4 +6x3
=
x2-x+2
-3x3-3x2+2x+8
-3x4 +5x3 0 +2x +2
+3x4 -3x3 +6x2
=
+2x3 +6x2 +2x +2
-2x3 +2x2 -4x
= +8x2 -2x +2
-8x2 +8x -16
= +6x -14
Quindi: Q(x) = -3x3-3x2+2x+8 , R(x) = 6x-14 .
5
Un’altra regola per dividere un polinomio per un BINOMIO del tipo (x + a) è la regola di RUFFINI.
Si scrivono i coefficienti del polinomio in ordine decrescente delle potenze di x mettendo degli zeri
quando manca un termine e si procede come nel seguente esempio:
(3x3 - 5x + 2): (x - 2)
3
2
3
0
-5
2
6
12
14
6
7
16
Da cui: Q(x) = 3x2+6x+7 ; R(x) = 16 .
EQUAZIONI
Dicesi equazione un’uguaglianza tra due membri contenenti una incognita x che deve essere
determinata perché l’uguaglianza risulti vera.
ESEMPIO: 3 x = 6 Dovrà essere x = 2, infatti: 2 ⋅ 3 = 6
Una equazione si dice equivalente ad un’altra se ha le stesse soluzioni (cioè gli stessi valori della x
che la rendono vera).
Dicesi grado di una equazione l’esponente massimo con cui compare l’incognita.
Teorema fondamentale dell’algebra:
Una equazione ha un numero di soluzioni uguale al suo grado.
Principi di equivalenza delle equazioni:
• Sommando o sottraendo ad ambo i membri di un’equazione uno stesso numero o una stessa
espressione si ottiene un’equazione equivalente a quella data. Da ciò deriva che per portare un
termine da un membro ad un altro, basta cambiarlo di segno.
• Moltiplicando o dividendo ambo i membri di un’equazione per uno stesso numero diverso da zero o
per una stessa espressione che non si annulla, si ottiene un’equazione equivalente alla data.
ESEMPIO:
3x (x+1)-4=3x2
→
3x2+3x-4=3x2
→
3x2+3x-3x2 = 4
→
3x = 4
→
x=
3
.
4
6
Se si ha a che fare con equazioni frazionarie (cioè se compare la x al denominatore), si procede
facendo il minimo comune denominatore e scartando gli eventuali valori delle x che lo annullano.
(Infatti è impossibile dividere un numero per zero !).
ESEMPIO:
10 x 2 − 1
3x
(10 x 2 − 1) − 3 x ( x − 1) 7 ( x 2 − 1)
−
=
7
→
=
x +1
x 2 −1
x 2 −1
x 2 −1
Posso eliminare il denominatore moltiplicando a destra e a sinistra per (x2-1). Devo però scartare le
soluzioni che lo annullerebbero: (x2-1)=(x-1)(x+1) quindi : x ≠ 1, x ≠ −1
Procediamo con il calcolo:
10x2-1-3x2+3x = 7x2-7 → 10x2-3x2-7x2+3x = -7+1 → 3x = -6 → x = -6/3 → x = -2.
Un’equazione si dice impossibile se non ha soluzioni, cioè se si presenta nella forma 0x = n con n,
numero non nullo.
Un’equazione si dice indeterminata se ha infinite soluzioni, cioè se si presenta nella forma 0x =0.
EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
EQUAZIONI PURE:
Sono del tipo: ax2+b=0.
Si risolvono in questo modo: x2 = -b/a → x = ± −
b
a
Si hanno quindi due radice uguali ed opposte se –b/a è positivo, se è negativo l’equazione è
impossibile.
EQUAZIONI SPURIE:
Sono del tipo: ax2+bx=0.
Si risolvono raccogliendo la x ed usando la legge dell’annullamento del prodotto: se il prodotto di due
o più fattori è nullo, uno dei due fattori deve essere nullo.
x=0
Risolvo: x(ax + b)=0
ax + b = 0 /
x = -b/a
7
EQUAZIONI COMPLETE:
Sono del tipo: ax2+bx+c=0. Per risolverla si usa la formula:
− b ± b 2 −4ac
x=
2a
Il DISCRIMINANTE dell’equazione è ∆ =b 2 −4ac .
Se:
∆>0 ho due radici reali e distinte.
∆=0 ho due soluzioni reali e coincidenti,
∆<0 non ho soluzioni reali.
EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO
EQUAZIONI BINOMIE:
Sono del tipo: axn+b=0 con n intero positivo, a e b diversi da zero.
Si risolvono scomponendo il binomio e poi applicando la legge di annullamento del prodotto.
ESEMPIO:
16x4-1=0
(4x2+1)=0
→
→
(4x2+1)(4x2-1)=0 → (4x2+1)(2x-1)(2x+1)=0 Da cui:
x=± −
1
1
=± i
4
2
(l’equazione non ha soluzioni nell’insieme dei numeri reali),
1
,
2
(2x-1)=0
→
x=
(2x+1)=0
→
x=−
1
.
2
Oppure
xn = −
b
b
→ x = n − se n è dispari;
a
a
xn = −
b
b
b
→ x = ± n − se n è pari e − > 0 ;
a
a
a
l’equazione è impossibile, cioè non ha soluzione nell’insieme dei numeri reali, se n è pari e −
b
<0
a
8
EQUAZIONI BIQUADRATICHE:
Sono del tipo: ax4+bx2+c=0 . Per risolverla basta porre: y = x2. Si ottiene così una equazione di
secondo grado in y le cui soluzioni sono y1 e y 2 . Risolvendo le equazioni x 2 = y1 e x 2 = y 2 si
ottengono le soluzioni dell’equazione di partenza.
EQUAZIONI IRRAZIONALI:
Sono equazioni nelle quali l’incognita compare sotto il segno di radice. Tali radici dovranno essere
eliminate per esempio elevando ambo i membri dell’equazione alla stessa potenza.
TEOREMA: Elevando alla stessa potenza ambo i membri di una equazione algebrica, si ottiene una
nuova equazione che può NON essere equivalente a quella data.
Per tale motivo le soluzioni così ottenute dovranno essere verificate, sostituendo i valori trovati
nell’equazione di partenza.
ESEMPIO:
3
x 3 +4 x − 3 + 1 = x → 3 x 3 +4 x − 3 = x − 1 → Elevo entrambi i membri al cubo:
x 3 +4 x − 3 = x 3 −3 x 2 +3 x − 1 → 3 x 2 + x − 2 = 0 → Applicando la formula per le equazioni di secondo grado
ottengo: x1 = -1 ; x2 = 2/3 .
Sostituendo tali valori al posto di x nella equazione di partenza trovo che entrambe sono verificate.
ALTRI CASI:
Se l’equazione contiene solo due radicali, conviene isolarli uno ad un membro ed uno all’altro,
elevando poi entrambi i membri ad un esponente pari all’ m.c.m degli indici delle radici.
Se l’equazione contiene più di due radicali sarà necessario elevare i membri allo stesso esponente più
volte, a seconda dei casi.
SISTEMI DI EQUAZIONI
Consideriamo una equazione con più di una incognita, per esempio:3x-2y=6 .
E’ ovvio che esiste più di una coppia di valori (x,y) che la soddisfano. In genere ci sono INFINITE
soluzioni .
Se ora introduciamo un’altra equazione nelle incognite x ed y, esiste una sola coppia (x,y) di valori che
soddisfano entrambe le equazioni.
Quindi un sistema ci da i valori di x ed y che soddisfano contemporaneamente entrambe le equazioni.
9
Un sistema ridotto a forma normale si presenta in questa forma:
ax +bx = c
a1x + b1x = c1
Risolverlo significa trovare la coppia (x,y) che rende vere entrambe le equazioni.
METODI DI RISOLUZIONE:
SOSTITUZIONE:
Se risolvo un’equazione di un dato sistema in x, per esempio, e se sostituisco il valore trovato nella
seconda, ottengo un sistema equivalente a quello dato, con un’ equazione in y. Risolvo tale equazione e
trovo y. Sostituisco il valore di y nella prima e ricavo x.
Esempio:
3x = 9 + 2 y
3 x − 8 y = 27
9 + 2y
3 ;
− 6 y = 18
x=
;
9 + 2y
x=
;
3
3x − 8 y = 27
9 + 2y
3 ;
y = −3
x=
9 + 2y
3
;
9 + 2y
3⋅
− 8 y = 27
3
x=
9 + 2(−3)
;
3
y = −3
x=
9 + 2y
;
3
9 + 2 y − 8 y = 27
x=
x =1
y = −3
METODO DI CONFRONTO:
Consiste nel ricavare da entrambe le equazioni la stessa incognita. Si eguagliano poi le due espressioni
trovate e si trova il valore dell’incognita rimasta. Tale valore si sostituisce in una delle precedenti
equazioni trovate e si ricava il valore dell’altra incognita.
METODO DI RIDUZIONE (o SOTTRAZIONE e ADDIZIONE):
PRINCIPIO DI RIDUZIONE:
Se ad una delle equazioni di un sistema, si sostituisce l’equazione ottenuta addizionando (o
sottraendo) membro a membro le equazioni del sistema dato, si ottiene un sistema equivalente al
primo. Ovviamente, dato che si ha a che fare con equazioni, posso anche moltiplicare o dividere una
stessa equazione, membro a membro, per lo stesso valore purché diverso da zero.
Per risolvere il sistema si può quindi moltiplicare per un coefficiente opportuno e poi sommare o
sottrarre le equazioni, affinché scompaia un’ incognita, potendo così ricavare il valore dell’altra.
Al solito, si sostituisce questo valore in una delle precedenti ricavando l’altra incognita.
10
