Applicazioni del Teorema di Gauss

Applicazioni del Teorema di Gauss
Simone Alghisi
Liceo Scientifico Luzzago
Ottobre 2011
Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago)
Applicazioni del Teorema di Gauss
Ottobre 2011
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Definizione.
~ e una superficie A immersa in tale campo,
Dato un campo elettrico E
~ attraverso la superficie A la
definiamo flusso del campo elettrico E
quantità scalare
~ =E
~ ·A
~ = EA cos ϕ ,
ΦA E
~ e A.
~
dove ϕ è l’angolo compreso tra i vettori E
Osservazione.
~ è definito nel modo seguente: esso è un vettore
Il vettore area A
perpendicolare alla superficie considerata e ha modulo pari all’area
della superficie stessa.
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Definizione.
~ e una superficie A immersa in tale campo,
Dato un campo elettrico E
~ attraverso la superficie A la
definiamo flusso del campo elettrico E
quantità scalare
~ =E
~ ·A
~ = EA cos ϕ ,
ΦA E
~ e A.
~
dove ϕ è l’angolo compreso tra i vettori E
Osservazione.
~ è definito nel modo seguente: esso è un vettore
Il vettore area A
perpendicolare alla superficie considerata e ha modulo pari all’area
della superficie stessa.
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2/8
Definizione.
~ e una superficie A immersa in tale campo,
Dato un campo elettrico E
~ attraverso la superficie A la
definiamo flusso del campo elettrico E
quantità scalare
~ =E
~ ·A
~ = EA cos ϕ ,
ΦA E
~ e A.
~
dove ϕ è l’angolo compreso tra i vettori E
Osservazione.
~ è definito nel modo seguente: esso è un vettore
Il vettore area A
perpendicolare alla superficie considerata e ha modulo pari all’area
della superficie stessa.
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Teorema. (di Gauss)
Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è uguale
al rapporto tra la somma delle cariche elettriche racchiuse da tale
superficie e la costante dielettrica nel vuoto ε0 , cioè
n
P
Q
~ = int =
ΦA E
ε0
Qi
i=1
ε0
.
Ricordiamo che una superficie chiusa che racchiude almeno una
carica elettrica Q è detta superficie gaussiana.
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Teorema. (di Gauss)
Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è uguale
al rapporto tra la somma delle cariche elettriche racchiuse da tale
superficie e la costante dielettrica nel vuoto ε0 , cioè
n
P
Q
~ = int =
ΦA E
ε0
Qi
i=1
ε0
.
Ricordiamo che una superficie chiusa che racchiude almeno una
carica elettrica Q è detta superficie gaussiana.
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Osservazione.
Il Teorema di Gauss è utile per il calcolo dei campi elettrici di
distribuzioni di cariche con particolari simmetrie. É sufficiente trovare il
tipo di simmetria e la corrispondente superficie gaussiana attraverso la
~
quale calcolare il flusso del campo elettrico E.
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Esercizio.
Determinare il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q.
Soluzione.
La simmetria dello spazio è sferica. Si sceglie come superficie
gaussiana una sfera S centrata nella carica Q. Suddividendo la
superficie della sfera S in tante piccole aree S1 , S2 , . . . , Sn e per ogni
superficie si calcola il relativo flusso, si ottiene
n
X
~
Si = E(4πr2 ) .
ΦS E = ES1 + ES2 + · · · + ESn = E ·
i=1
~ = Q/ε0 , quindi
D’altra parte ΦS E
E(4πr2 ) =
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Q
Q
⇒ E=
.
ε0
4πε0 r2
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Esercizio.
Determinare il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q.
Soluzione.
La simmetria dello spazio è sferica. Si sceglie come superficie
gaussiana una sfera S centrata nella carica Q. Suddividendo la
superficie della sfera S in tante piccole aree S1 , S2 , . . . , Sn e per ogni
superficie si calcola il relativo flusso, si ottiene
n
X
~
Si = E(4πr2 ) .
ΦS E = ES1 + ES2 + · · · + ESn = E ·
i=1
~ = Q/ε0 , quindi
D’altra parte ΦS E
E(4πr2 ) =
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Q
Q
⇒ E=
.
ε0
4πε0 r2
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Esempio.
Determinare il campo elettrico generato da una lastra infinita
uniformemente carica.
Soluzione.
Consideriamo come superficie gaussiana un cilindro C con asse di
~ è
simmetria perpendicolare al piano. Il campo elettrico E
perpendicolare al piano di densità di carica (sperficiale) σ. Il flusso
sarà
~ = ΦB E
~ + ΦB E
~ + ΦS
~ = ES + ES + 0 = 2ES .
ΦC E
E
1
2
lat
D’altra parte
Q
~ = int = σS .
ΦC E
ε0
ε0
Uguagliando i due membri si ha
E=
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σ
.
2ε0
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Esempio.
Determinare il campo elettrico generato da una lastra infinita
uniformemente carica.
Soluzione.
Consideriamo come superficie gaussiana un cilindro C con asse di
~ è
simmetria perpendicolare al piano. Il campo elettrico E
perpendicolare al piano di densità di carica (sperficiale) σ. Il flusso
sarà
~ = ΦB E
~ + ΦB E
~ + ΦS
~ = ES + ES + 0 = 2ES .
ΦC E
E
1
2
lat
D’altra parte
Q
~ = int = σS .
ΦC E
ε0
ε0
Uguagliando i due membri si ha
E=
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σ
.
2ε0
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Esempio.
Determinare il campo elettrico generato da una sfera S carica vuota
all’interno.
Soluzione.
La simmetria presente è sferica. Poichè all’interno non sono presenti
cariche, il campo elettrico sarà nullo dentro. Sulla superficie della sfera
avremo
~ = 4πr2 E = Qint ⇒ E = Q .
ΦS E
ε0
4πε0 r2
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Esempio.
Determinare il campo elettrico generato da una sfera S carica vuota
all’interno.
Soluzione.
La simmetria presente è sferica. Poichè all’interno non sono presenti
cariche, il campo elettrico sarà nullo dentro. Sulla superficie della sfera
avremo
~ = 4πr2 E = Qint ⇒ E = Q .
ΦS E
ε0
4πε0 r2
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Esempio.
Determinare il campo elettrico di una sfera piena di cariche di raggio R.
Soluzione.
La superficie gaussiana è una superficie sferica concentrica di raggio
r. Indichiamo con ρ la densità volumetrica di carica, cioè
ρ=
Si ha
Q
Q
= 4 3.
V
3 πR
~ = E · 4πr2 = Q ⇒ E = Q ,
ΦS E
ε0
4πε0 r2
ρ 4 πr3
E= 3 2 =
4πε0 r
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Q
4
πR3
3
· 43 πr3
4πε0 r2
=
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Q
r.
4πε0 R3
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Esempio.
Determinare il campo elettrico di una sfera piena di cariche di raggio R.
Soluzione.
La superficie gaussiana è una superficie sferica concentrica di raggio
r. Indichiamo con ρ la densità volumetrica di carica, cioè
ρ=
Si ha
Q
Q
= 4 3.
V
3 πR
~ = E · 4πr2 = Q ⇒ E = Q ,
ΦS E
ε0
4πε0 r2
ρ 4 πr3
E= 3 2 =
4πε0 r
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Q
4
πR3
3
· 43 πr3
4πε0 r2
=
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Q
r.
4πε0 R3
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