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Facoltà di ECONOMIA
Corso di Statistica – a.a. 2005/2006
Esame del 27/09/2006 – Calcolo delle Probabilità e Inferenza
Cognome: _______________________________ Nome: _________________________ n.matr.: ________________
1.
Si consideri un urna contenente 10 palline numerate di forma uguale ma di diverso colore
(R=rosso, V=verde, N=nero).
Numero
Colore
1
R
2
V
3
R
4
N
5
N
6
R
7
R
8
N
9
V
10
V
Si supponga di estrarre una o più palline da tale urna con reimmissione. Calcolare:
- la probabilità di estrarre due palline verdi. .......................................................................... (3 punti)[______]
- la probabilità di estrarre una pallina verde con un numero > 1............................................. (3 punti)[______]
__________________________________________________________________________________________
2.
Sia X∼ χ2(45) una variabile casuale Chi-quadrato. Calcolare le seguenti probabilità:
- P(X=1) .................................................................................................................................. (3 punti)[______]
-
P[| X − µ |< 10 ∪ ( X − µ ) > 1.1] ).......................................................................................... (3 punti)[______]
-
P( X < 16∩ | X |< 12) ........................................................................................................... (3 punti)[______]
__________________________________________________________________________________________
3.
Si faccia riferimento alla tabella del punto 1 del modulo di Statistica Descrittiva. Supponendo che
i dati della variabile NO siano una rilevazione campionaria da una popolazione con media e
varianza σ2 non note,
-
stimare la varianza di NO ..................................................................................................... (4 punti)[______]
Sottoporre a test (con =0.05) il seguente sistema di ipotesi: .............................................. (4 punti)[______]
H0: σ2= 18
H1: σ2 > 18
___________________________________________________________________________________________
4.
Dimostrare che la media campionaria è uno stimatore non distorto ........................................ (4 punti) [_______]
Totale punti: [________]
Facoltà di ECONOMIA
Corso di Statistica – a.a. 2005/2006
Esame del 13/09/2006 – Calcolo delle Probabilità e Inferenza
Cognome: _______________________________ Nome: _________________________ n.matr.: ________________
1.
Si supponga che il numero di difetti di fabbricazione rilevabili in 10 computers in vendita presso
un magazzino dia luogo alla seguente serie di dati
0
1
2
1
3
0
3
0
1
0
Calcolare:
- la probabilità che un cliente ha di acquistare un computer con nessun difetto. ................... (2 punti)[______]
- la probabilità che un cliente ha di acquistare un computer con più di un difetto.................. (2 punti)[______]
__________________________________________________________________________________________
2.
La distribuzione di probabilità della variabile casuale X è la seguente:
Xi
P(Xi)
1
0.3
2
0.2
3
0.2
4
0.2
5
0.1
-
Calcolare la probabilità P( X < 3) . ...................................................................................... (3 punti)[______]
-
Calcolare la probabilità: P( X = 4.5) .................................................................................. (3 punti)[______]
_________________________________________________________________________________________
3.
Sia X una variabile casuale t di student con g=40 gradi di libertà. Calcolare le seguenti
probabilità:
-
P(|X-µ|>1.5 ∩ X<1) .............................................................................................................. (3 punti)[______]
- P(|X|>0.4 ∪ X < 1 ). .............................................................................................................. (3 punti)[______]
__________________________________________________________________________________________
4.
Supponendo che i dati presentati in tabella al punto 1 siano una rilevazione campionaria da una
popolazione W con media e varianza σ2 non note,
-
stimare la media di W ........................................................................................................... (3 punti)[______]
Sottoporre a test (con =0.05) il seguente sistema di ipotesi: .............................................. (4 punti)[______]
H1:
H0: = 1
1
___________________________________________________________________________________________
5.
Descrivere le ipotesi di base del modello di regressione lineare.............................................. (4 punti) [_______]
Totale punti: [________]
Facoltà di ECONOMIA
Corso di Statistica – a.a. 2005/2006
Esame del 12/07/2006 – Calcolo delle Probabilità e Inferenza
Cognome: _______________________________ Nome: _________________________ n.matr.: ________________
1.
La nazionale di calcio italiana ha vinto i mondiali 2006 ai rigori. Si supponga che prima di
disputare la finale fosse noto che la probabilità che il portiere Buffon aveva di parare un rigore
calciato dall’avversario era di 0.2. Calcolare:
- la probabilità di parare almeno uno dei cinque rigori finali calciati dai francesi. ................ (2 punti)[______]
- la probabilità di parare non più di uno dei cinque rigori....................................................... (2 punti)[______]
__________________________________________________________________________________________
2.
La distribuzione di probabilità della variabile casuale X è la seguente:
Xi
P(Xi)
2.5
0.20
3
0.30
3.5
0.26
4
0.09
4.5
0.10
5
0.05
-
Calcolare il valore medio di X. ............................................................................................. (3 punti)[______]
-
Calcolare la probabilità: P( X < 7 ∩ X ≥ 4) ....................................................................... (3 punti)[______]
_________________________________________________________________________________________
3.
Sia X~N(1,10) e si consideri un campione di numerosità n=10 estratto da X. Calcolare le seguenti
probabilità:
-
P(| X |>1.7) ........................................................................................................................... (2 punti)[______]
- P(| X -µ |<0.4∪ X =1)............................................................................................................ (3 punti)[______]
__________________________________________________________________________________________
4.
E’ stato rilevato il numero di falli fischiati dall’arbitro nel corso di dieci partite di calcio scelte a
caso tra quelle tenutesi durante l’ultimo campionato mondiale, distinguendoli tra falli fischiati nel
primo tempo e falli fischiati nel secondo tempo. Si vuole verificare se la stanchezza dei giocatori
gioca un ruolo statisticamente rilevante sulla quantità di falli commessi.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1° tempo
10
3
10
10
9
7
3
2
2
8
2° tempo
15
17
13
9
8
13
0
10
12
14
Stimare la media dei due campioni....................................................................................... (4 punti)[______]
Sottoporre a test (con =0.05) il seguente sistema di ipotesi:
H1: 1 < 2 ....................................................... (4 punti)[______]
H0: 1 = 2
___________________________________________________________________________________________
-
5.
Dimostrare che l’indice R2 deriva dalla decomposizione della varianza totale .......................... (4 punti)[______]
Totale punti: [_______]
Facoltà di ECONOMIA
Corso di Statistica – a.a. 2005/2006
Esame del 28-06-2006 - Calcolo delle Probabilità ed Inferenza Statistica
Cognome: _______________________________ Nome: _________________________ n.matr.: ________________
1.
Nati per iniziativa di Jules Rimet, i Mondiali di calcio sono stati disputati per la prima volta in Uruguay nel 1930, e
da allora c’è stato un totale di 17 edizioni (esclusa quella in corso). L'unica nazionale ad avere partecipato a tutte le
edizioni è il Brasile la quale ha conseguito per 5 volte il primo posto, 2 volte il secondo posto e 3 volte il terzo
posto. Sulla base delle informazioni fornite, calcolare le seguenti probabilità:
−
Il Brasile vince i mondiali Fifa 2006 o consegue il secondo posto .......................................(max 2 punti) [_______]
−
Il Brasile si posiziona al secondo o al terzo posto ..................................................................(max2 punti) [_______]
________________________________________________________________________________
2.
La distribuzione di probabilità della variabile casuale X è la seguente:
Xi
Prob
2
4
6
8
10
12
p
0.3
0.1
0.1+p
0.2
0.1
−
Calcolare il valore di p ............................................................................................................(max 3 punti) [_______]
−
Calcolare la probabilità: P( X < 7 ∩ X ≥ 4) ...........................................................................(max 3 punti) [_______]
_______________________________________________________________________________
3.
−
−
Siano X 1 ~ N (2.5;15) ed X 2 ~ N (0;1) due variabili casuali indipendenti:
che distribuzione ha la loro somma: Y = X 1 + X 2 ?...............................................................(max 3 punti) [_______]
Calcolare la probabilità P[( X 1 − µ ) < 1.1∩ | X 1 |< 3] ............................................................(max 3 punti) [_______]
−
Calcolare il quantile q tale che: P( X 2 < q) = 0.8821 ............................................................(max 3 punti) [_______]
_______________________________________________________________________________
4.
Si consideri un campione casuale di 10 unità estratto da popolazione Normale N ( µ , σ 2 ) con media e varianza
incognite.
0,8
1,9
3,5
2,1
3,6
3,9
1,2
1,2
4,5
3,7
Si sottoponga a test il seguente sistema di ipotesi:
H 0 : σ 2 = 1.4
H 1 : σ 2 ≠ 1 .4
........................................................................................................................................................(max 4 punti) [_______]
_______________________________________________________________________________
5.
Definire formalmente che cosa è una distribuzione di probabilità. Fare un esempio di distribuzione di probabilità
utilizzando una v.c. nota.
........................................................................................................................................................(max 4 punti) [_______]
Totale punti: [_______]
Facoltà di ECONOMIA
Corso di Statistica – a.a. 2004/2005
Esame del 27-09-2005 – Calcolo delle Probabilità e Inferenza
Cognome: _______________________________ Nome: _________________________ n.matr.: ________________
1.
Si lanci un dado per due volte. Calcolare:
- La probabilità che esca una faccia con un numero pari di punti al primo lancio e una faccia
con un numero dispari di punti al secondo lancio.
- La probabilità che non esca mai la faccia con tre punti.
- La probabilità che esca sempre la faccia con tre punti.
________________________________________________________________________ (max punti 6) [ _____ ]
2.
Sia W∼Bi(5, 0.6) una variabile casuale Binomiale. Calcolare:
- La media e la varianza di W
- Pr(W≤ 3 ∪W = 5)
- Pr(W > 2)
________________________________________________________________________ (max punti 4) [ _____ ]
3.
Sia X∼N(-1, 90), da cui si suppone di estrarre un campione di numerosità n=10. Calcolare:
-
La media e la varianza di X .
-
Pr X < 4 ∩ X ≥ −1 .
-
Pr( | X -µ | < 5 ∪ | X -µ | >2).
)
(
- Pr( X ≤ 2 ∪ X =0).
________________________________________________________________________ (max punti 8) [ _____ ]
4.
Si considerino i seguenti dati, relativi ai voti riportati all’esame di matematica (espressi in
ventesimi) dagli studenti di una classe di un istituto superiore che pratica l’insegnamento a
distanza, rispettivamente all’inizio ed alla fine dell’anno scolastico.
-
Inizio anno
14
12
10
12
11
12
8
13
12
14
Fine anno
15
13
20
14
20
20
16
16
16
20
Stimare la media dei voti ottenuti all’inizio ed alla fine dell’anno scolastico , µA e µB.
Verificare l’ipotesi che sia µA = µB, contro l’ipotesi alternativa che sia µA < µB, al livello di
significatività α=0.05
________________________________________________________________________ (max punti 8) [ _____ ]
-
Totale punti: [_______]
Facoltà di ECONOMIA
Corso di Statistica – a.a. 2004/2005
Esame del 14-06-2005 – Calcolo delle Probabilità e Inferenza
Cognome: _______________________________ Nome: _________________________ n.matr.: ________________
1.
Si consideri un mazzo di carte napoletane, contenente 40 carte in tutto, suddivise come segue:
10 carte di
bastoni
10 carte di
spade
10 carte di
coppe
10 carte di
denari
Vengono estratte delle carte dal mazzo. Calcolare:
a.
La probabilità di estrarre due carte di denari, supponendo che l’estrazione avvenga con
reimmissione.
b.
La probabilità di estrarre due carte di denari, supponendo che l’estrazione avvenga senza
reimmissione.
________________________________________________________________________ (max punti 4) [ _____ ]
2.
Sia W∼Ud(12) una variabile casuale Uniforme discreta. Calcolare:
a.
La media e la varianza di W
b.
Pr(W=3)
c.
Pr(W<3 ∪W 8)
________________________________________________________________________ (max punti 6) [ _____ ]
3.
Sia X∼N(5, 12) e Y=2X. Calcolare:
a.
La media e la varianza di Y.
(
)
b.
Pr Y > 1 ∩ Y ≤ −2 .
c.
Pr( |Y-µ | > 2 ∪ |Y-µ | <3).
d.
Pr(Y ≤ 7∪Y=1).
________________________________________________________________________ (max punti 8) [ _____ ]
4.
Si considerino le seguenti coppie di dati, che si riferiscono ai valori sanguigni di un determinato
ormone riscontrati su n=11 persone, prima (X) e dopo (Y) aver subito un trattamento
farmacologico.
Pre-trattamento
(X)
Post-trattamento
(Y)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
4.6
3.18
9.41
12.28
7.38
13.96
7.56
10.49
5.56
6.64
11.86
1.4
0.10
5.41
6.22
1.38
9.96
1.56
1.49
0.41
4.34
5.82
a.
b.
Stimare la media di X e di Y.
Supponendo che i dati (X,Y) siano stati generati da una v.c. normale doppia, verificare
l’ipotesi che sia µX = µY, contro l’ipotesi alternativa che sia µX > µY, al livello di significatività
α=0.05
________________________________________________________________________ (max punti 8) [ _____ ]
Totale punti: [_______]