1
RADICALI
L’estrazione di radice è l’operazione inversa dell’elevamento a potenza.
Per definizione:
n
a b
bn a
Il numero n si chiama indice, a si chiama radicando.
Se l’indice è pari, il radicando deve essere sempre positivo. Se l’indice è dispari, il
radicando può essere positivo o negativo.
Esempi:
9 3
poiché 32 9
poiché 24 16
4
16 2
3
8 2 poiché
4
23 8
non esiste in campo reale , infatti in R non può esistere alcun numero
che elevato al quadrato dà risultato negativo.
Riepilogando:
- Un radicale di indice dispari ammette sempre un valore reale che ha lo stesso segno
del radicando.
- Un radicale di indice pari ammette due valori reli e opposti oppure nessuno a
secondo che il radicando è positivo o negativo.
Non sempre è possibile l’estrazione di radice, per esempio non è possibile estrarre la
7 , infatti non esiste alcun numero che elevato al quadrato ci dà 7. I radicali di
questo tipo si chiamano numeri irrazionali.
I numeri irrazionali sono numeri decimali illimitati e non periodici.
Esempi di numeri irrazionali:
= 3,141592653……….
13 = 3,605551……….
3
5 = 1,709975947……….
Esempi di numeri razionali:
3
27
3
9 =3
= = 1,5
2
8
L’insieme dei numeri razionali e irrazionali costituisce il campo dei numeri reali.
Prof. Rosa Anna Bruzzese
I radicali
2
RADICALI SIMILI
Due o più radicali si dicono simili quando hanno lo stesso radicando e lo stesso
indice.
POTENZA DI UN RADICALE
Per elevare a potenza un radicale basta elevare a potenza il radicando.
Esempi:
a
a b
2
7
5
7
a2
3
5 a b
3
SEMPLIFICAZIONE DI RADICALI
Per semplificare un radicale, o renderlo irriducibile, basta dividere l’indice del
radicale e l’esponente del radicando per il loro m.c.m.
Esempi:
12
2 3 36 12 2 32
a 2 2ab b 2
3
4 2 32
a b
2
ab
Proprietà invariantiva
Il valore di un radicale non cambia moltiplicando o dividendo l’indice del radicale e
l’esponente del radicando per uno stesso numero.
Esempio:
18
a 6 3 a 30 a10 15 a 5 ecc…..
RIDUZIONE ALLO STESSO INDICE
Basta trovare il m.c.m. degli indici e poi applicare le proprietà note.
Esempio:
Ridurre al minimo comune indice i radicali
3 ;
Prof. Rosa Anna Bruzzese
3
22 ;
4
53
I radicali
3
Otterremo:
12
36 ;
12
28 ;
12
59
TRASPORTO DENTRO IL SEGNO DI RADICE
Per trasportare dentro il segno di radice un fattore esterno, basta elevare questo
fattore alla potenza dell’indice di radice.
Esempi:
23 5 = 3 2 3 5
a b 2 5 a = 5 aa b10
a b3 a = a 3 ab 3
TRASPORTO FUORI DAL SEGNO DI RADICE
Per trasportare de fattori fuori dal segno di radice conviene spezzare la radice in più
radici.
Esempi:
4
a 5b 6 c 7 =
3
a b5 a b6 = a b2 a b 3 a b2
4
a 4 ab 4 b 2 c 4 c 3 =
4
a 4 b 4 c 4 4 ab 2 c 3 =
4
abc 4
4 ab 2 c 3 = abc 4 ab 2 c 3
MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE DI RADICALI
Si possono moltiplicare o dividere radicali che hanno lo stesso indice semplicemente
includendo i radicandi in un’unica radice. Se gli indici non sono uguali, si devono
rendere tali.
Esempio:
3
2a 2 : 4ab 4 a 2 b 3 =
Prof. Rosa Anna Bruzzese
12
2a : 4ab a b
2 4
6
2
3 3
=
12
2 4 a 8 : 212 a 6 b 6 a 6 b 9 =
I radicali
12
2 8 a 8b 3
4
SOMMA ALGEBRICA DI RADICALI
Più radicali si possono sommare solo quando sono simili. La loro somma avrà come
radicale lo stesso radicale e come coefficiente la somma dei coefficienti.
Esempio:
34 2 44 2 a4 2 = 74 2 a4 2 = 7 a 4 2
RADICE DI RADICE
La radice di una radice è una nuova radice che ha per radicando lo stesso radicando e
per indice il prodotto degli indici.
Esempio:
3 4
a3 =
24
a3 =
8
a
Se ci sono dei fattori tra una radice e l’altra, prima di sviluppare la radice di radice
bisogna trascinare questi fattori nelle radici più interne.
Esempi:
3
a 2 ab =
3
a 4 ab =
a b c =
a
b2c =
6
a 5b
a4 b 2 c =
4
a 4b 2 c =
8
a 4b 2 c
POTENZE CON ESPONENTE FRAZIONARIO
Qualsiasi radicale si può esprimere sotto forma di potenza ad esponente frazionario,
n
cioè
a
k
= a
k
n
In pratica in una espressione si possono trasformare così tutti i radicali e poi risolvere
l’espressione semplicemente applicando le proprietà delle potenze.
Esempio:
5
3
2
10
1
1
3 3 8
=
9
27
3
1
20
3
1
40
3
3
8
=3
Prof. Rosa Anna Bruzzese
5
1
1
3
1
33 2 3 8 =
9
8 2 115
40
= 3
20
40
=3
5
1 2
1
83
2
3
3
3 =
9
10
2
1
2
1
4
3 3 3 3
1
2
I radicali
3
8
=
5
RADICALI DOPPI
Dicesi radicale doppio ogni espressione del tipo
a b .
Ogni radicale doppio è spezzabile nella somma (o differenza) di due radici semplici
se e solo se a2-b è un quadrato perfetto.
Formule
a b =
a a2 b
+
2
a a2 b
2
a b =
a a2 b
2
a a2 b
2
Esempi:
7 2 10 =
73
+
2
73
=
2
9 4a 12 a =
9 4a
7 40 =
7 40 ed essendo a2-b = 49-40 = 9 = 32 si avrà :
5 +
2
144a ed essendo
9 4a 2 144a =
81 16a 2 72a 144a
= 81 16a 2 72a = 9 4a 2 si avrà :
9 4a
144a =
9 4a 9 4a 2
9 4a 9 4a =
2
18
8a
=
2
2
3 2 a
Prof. Rosa Anna Bruzzese
I radicali
9 4a =
6
RAZIONALIZZAZIONE
Razionalizzare significa trasformare una frazione contenente una o più radici al
denominatore in una frazione equivalente non contenente radici al denominatore.
I°caso (denominatore con un’unica radice)
Esempi:
4
4 2
4 2 4 2
2 2
2
2
2 2
22
a
5
a2
x
23 x
a 5 a3
5
=
a
ab
a2
5
a3
=
x 3 x2
2 3 x 3 x2
=
a 5 a3
5
=
a ab
ab ab
a5
a 5 a3
5 a3
a
x 3 x2
2 3 x3
=
=
x 3 x2
=
2x
a ab
a b2
=
3
x2
2
a ab
ab
2°caso (denominatore con somma algebrica di due radicali quadratici)
Si sfrutta la conoscenza del prodotto notevole (a+b)(a-b) = a2-b2
Esempi:
2( 5 2 )
2( 5 2 )
2( 5 2 )
2
2( 5 2 )
=
=
=
=
2
2
52
3
( 5 2 )( 5 2 )
5 2
( 5 2 )
a (b 2 a )
a(b 2 a )
a
a(b 2 a )
=
= 2
=
2
b 4a
(b 2 a )(b 2 a )
b2 a
(b 4 a )
Altri casi
Nel caso in cui al denominatore ci sia somma o differenza di radicali cubici, si sfrutta
la conoscenza dei prodotti notevoli:
(a+b)(a2-ab+b2) = a3-b3
(a-b)(a2+ab+b2) = a3+b3
Nel caso in cui al denominatore ci sia un trinomio o un quadrinomio, con l’uso delle
parentesi si trasforma trinomio o quadrinomio in binomio, dopo di che si procede
come negli esempi precedenti.
Prof. Rosa Anna Bruzzese
I radicali
7
Prof. Rosa Anna Bruzzese
I radicali
