Topografia e Tecniche di Rilevamento
Richiami Utili al
Corso
Metodi Tradizionali
di Rilevamento
Topografico
Il rilevamento
satellitare GPS
(Global Positioning
System)
Misure per il
controllo dei
movimenti e delle
deformazioni
Definizioni.
Le misure in topografia.
Principi di statistica: le variabili aleatorie.
Distribuzione di Gauss.
Il metodo delle Osservazioni Indirette.
Le superfici di riferimento in topografia.
Le osservabili nel rilevamento topografico (angoli, distanze e dislivelli)
Rilievo planimetrico: soluzioni tradizionali e calcolo con le Osservazioni Indirette.
Rilievo altimetrico: soluzioni tradizionali e calcolo con le Osservazioni Indirette.
Inserimento delle misure nei sistemi di riferimento locali e nella cartografia.
Funzionamento del sistema.
Tecniche di posizionamento.
Precisioni raggiungibili.
Applicazioni.
Sistemi di riferimento e reti di stazioni GPS permanenti.
Movimenti del suolo.
Movimento delle strutture: Controlli e Collaudi tipici dell’ingegneria edile/civile.
Definizioni Generali (1/2)
Topografia
Insieme delle procedure teoriche ed operative finalizzate al rilievo (rilevamento)
di aree di limitata estensione e degli oggetti, naturali ed antropici, inclusi.
Rilevamento
Geodesia
Superficie di
riferimento
Presuppone la determinazione delle posizioni relative ed assolute di punti
rappresentativi della zona che siano in grado di rappresentare il territorio e/o gli
oggetti contenuti con un livello di dettaglio che è funzione degli scopi del rilievo
stesso ed è correlato alla scala del rilievo o della successiva rappresentazione.
Disciplina che si occupa di definire la forma e la dimensione della Terra
attraverso teorie e procedure operative (una di queste è la Topografia).
La rappresentazione di aree più o meno estese della superficie terrestre
richiede l’adozione di una superficie di riferimento e di un sistema di
coordinate in grado di identificare la posizione dei punti rilevati e stabilire
delle relazioni analitiche fra gli stessi.
1.
2.
Caratteristiche
3.
Tipologie
essere di semplice formulazione matematica;
approssimare nel miglior modo possibile la forma e la dimensione della
porzione di superficie terrestre su cui è svolto il rilievo;
consentire l’adozione di un sistema di coordinate per la
rappresentazione dei punti rilevati sul territorio.
Ellissoide, sfera, piano
Definizioni Generali (2/2)
Cartografia
Disciplina che ricerca e stabilisce le procedure che consentono di
rappresentare sul piano la superficie terrestre e le caratteristiche degli
oggetti presenti.
Sistema
Informativo
Territoriale
Contenitore di dati territoriali con capacità aggiuntive
elaborare le informazioni geografiche di base secondo diversi livelli di
complessità;
di produrre nuove informazioni utili alla gestione del territorio in senso
ampio (ambientale, politico, urbanistico, socio-economico ecc.).
Geographical
Information
System
Strumento (ambiente di lavoro, software) che consente di creare e gestire un
SIT.
Richiami (1/3)
Distanze
Misure
Topografiche
Metro (numero multiplo della lunghezza d’onda dell’elemento chimico
Cripto86)
Sistemi
Analitici
Radiante (valore dell’angolo sotteso da un arco di
circonferenza che presenta una lunghezza uguale
al raggio della stessa)
Angoli
Grado sessagesimale (circonferenza 360°)
Sistemi
Geometrici
Grado centesimale (circonferenza 400°)
r
2 360
2
r
0,017453293
360
360 r 57,29577951 r
2
Richiami (2/3)
y
r
Funzioni di
un angolo
α
x
cos
x
r
tan
sin y
y
arctan
cos x
x
sin
y
r
tan
Risoluzione
di Triangoli
Piani
β
a
γ
c
α
90 arctan 90
Relazione tra gli angoli
interni
180
Teorema dei Seni
a
b
c
2R
sin sin sin
Teorema delle Proiezioni
a b cos c cos
Teorema di Carnot
a 2 b 2 c 2 2bc cos
b
Richiami (3/3)
Sistematici
Errori nelle
misure
Casuali
Precisione
ed
Accuratezza
Precisione
Accuratezza
Derivano da un difetto strumentale o dalla incorretta rettifica delle parti
costituenti. Non possono essere individuati a partire dalle misure eseguite.
Dato dalla somma di tanti fattori concomitanti, si presenta ad ogni
determinazione spostandola dal valore vero che rimane puramente
teorico.
Quantifica lo scostamento
tra misure (o osservazioni)
successive
Quantifica la vicinanza al
valore reale della
grandezza misurata
Cenni di Statistica (1/3)
Grandezze
Mono
Dimensionali
Grandezza x
n misure di uguale
precisione
Grandezza x
n misure di diversa
precisione
pi
02
i2
n
Media delle
misure
x1 x2 ... xn
1 n
x
x xi
n
n i 1
x p x p ... xn pn
xp 1 1 2 2
xp
p1 p2 ... pn
x p
i 1
n
Varianza della
Media
1 n
xi x 2
n 1 i 1
2
x
n
1
xi x 2
nn 1 i 1
2
x
1 n
2
pi xi xp
n 1 i 1
2
x
2
xp
p x x
n
1
n
(n 1) pi
i 1
2
i
i
i 1
Scarto Quadratico
Medio
(Deviazione
Standard)
1 n
xi x 2
x
n 1 i 1
1 n
2
x
pi xi xp
n 1 i 1
p
i
p
i 1
Varianza della
misura
i
i
Cenni di Statistica (2/3)
Grandezze
Multi
Dimensionali
Covarianza
Matrice di
VarianzaCovarianza
Nei problemi del rilevamento (topografia, geodesia, rilevamento satellitare, fotogrammetria,
ecc.) si effettuano diverse misure (osservazioni) per determinare i parametri incogniti del
problema (che normalmente sono le coordinate dei punti). Tali misure non possono essere
trattate singolarmente sia a causa dell’effetto che hanno l’una sull’altra, sia per la dipendenza
statistica presente tra di esse.
xy
1
n 1
C( x, y , z )
i1xi x yi y
n
x2 xy xz
yx y2 yz
zx zy z2
Caratteristiche
Coefficiente di
Correlazione
xy yx
xy
x y
Misura il grado di correlazione tra coppie di variabili (a
due a due) che definiscono una grandezza n-dimensionale
Contiene informazioni complete sugli errori associati alle
variabili stimate
1.
2.
3.
la matrice è simmetrica;
gli elementi diagonali sono positivi;
la matrice non deve essere singolare (ossia la matrice deve
essere invertibile, ossia il determinante deve essere ≠ 0).
Misura la forza della correlazione tra due variabili
1 0
Casi possibili
0
0 1
Correlazione negativa
Non correlazione
Correlazione positiva
Cenni di Statistica (3/3)
Probabilità
p(x)
Rapporto tra il numero di casi favorevoli ed il numero di casi possibili
Limiti
Frequenza
f(x)
n
Probabilità
Composta
il numero dei casi possibili deve essere finito;
gli eventi devono essere equi-probabili.
Rapporto tra nx (numero di casi in cui si verifica l’evento) e ntot (numero di repliche totali)
lim f ( x) p ( x)
Probabilità
Totale
1.
2.
p( x y ) p( x) p( y )
All’aumentare del numero di repliche totali la frequenza f(x)
dell’evento x si stabilizza e tende alla probabilità p(x) dello stesso
evento
Probabilità che uno dei due eventi si
verifichi
x, y sono eventi
non correlati
p ( xy ) p ( x) p ( y )
Probabilità che entrambi gli eventi si
verifichino
Distribuzione di Gauss per variabili monodimensionali (1/2)
Distribuzione
di Gauss
Si può dimostrare che gli errori casuali di misura appartengono ad una distribuzione gaussiana
del tipo N(0, σ2), ossia con media 0 e varianza σ2. Quindi le misure appartengono ad una
distribuzione gaussiana del tipo N(μ, σ2).
Densità di
Probabilità
È la funzione che rappresenta la dispersione di misure soggette ad errori casuali. Identifica la
probabilità che un certo evento si verifichi.
f ( x)
Caratteristiche
1.
2.
3.
4.
1
e
2
1 x
2
2
il valore medio μ è anche il più probabile;
ha due flessi in corrispondenza dei punti μ±σ;
al crescere di σ2 (determinazioni meno precise) la curva si
appiattisce;
la funzione è tale che f ( x)dx 1
Distribuzione di Gauss per variabili monodimensionali (2/2)
Densità di
Probabilità
Consente di calcolare la probabilità che una misura x cada nell’intervallo dei valori A – B
B
P( A x B) f ( B) f ( A) f ( x)dx
A
Px ( x1 , x2 )
x2
x1
u
Probabilità degli
intervalli particolari
x
1
e
2
1 x
2
1
1 2u2
f (u )
e
2
2
dx
L’integrale può essere calcolato ma
dipende dal set di misure effettuato (μ, σ).
Per svincolarsi da questa condizione, si
procede alla standardizzazione della
funzione con l’introduzione della
variabile normalizzata u.
1
1 1 2 u 2
P[ x ( , )]
1 e du 68,27%
2
1
1 2 2u2
P[ x ( 2 , 2 )]
2 e du 95,45%
2
1
1 3 2 u 2
P[ x ( 3 , 3 )] 2 3 e du 99,73%
Tutte le misure x per cui vale la
condizione |x – μ|>3σ
possono essere considerate
affette da errore grossolano
(condizione di tolleranza).
Stima dei parametri caratteristici di una variabile aleatoria (1/3)
Grandezza
fisica x
n misure
(x1, x2, …, xn)
Funzione di
Verosimiglianza
1.
2.
3.
stima del valore più plausibile della grandezza fisica x;
stima della varianza di ogni misura (x1, x2, …, xn);
stima della varianza del valore più plausibile.
È la densità di probabilità della variabile aleatoria x e rappresenta la probabilità che tale
evento si manifesti.
n
L x1 ,..., xn f1 x1 f 2 x2 ... f n xn f i xi
i 1
Criterio di
Massima
Verosimiglianza
x può essere considerata una
variabile aleatoria ndimensionale in cui le n
determinazioni sono tutte
indipendenti e soggette a sole
fluttuazioni casuali
le singole funzioni di
probabilità contengono
ovviamente i valori di
media e varianza del
campione
I parametri incogniti (media e varianza) sono quelli che massimizzano la funzione di
verosomiglianza.
Stima dei parametri caratteristici di una variabile aleatoria (2/3)
Misure di Peso Uguale
(stessa precisione)
n
P x1 , x2 , ..., xn , , 2
i 1
1
e
2
xi 2
2 2
1
2
2 n2
e
n
1
2
2
xi 2
i 1
Si scrive la funzione nella
sua forma logaritmica
n
n
1 n
2
ln P ln 2 ln 2 2 xi
2
2
2 i 1
I valori cercati si trovano
uguagliando a zero le
derivate parziali di ln P
rispetto a μ e σ
ln P 1 n
1 n
2 xi 0
n xi
i 1
i 1
n
1 n
2
2
ln P n 1
xi 2
xi 0
2
2
4
n i 1
2
2 i 1
La stima della varianza va
corretta in quanto gli scarti
rispetto alla media non sono
tutti indipendenti tra loro,
per cui i gradi di libertà
sono n – 1.
1 n
xi ˆ 2
s
n 1 i 1
2
Stima dei parametri caratteristici di una variabile aleatoria (3/3)
Misure di Peso Diverso
(diversa precisione)
n
P x1 , x2 , ... , xn , , 12 , 22 , ... , n2
i 1
1
e
2 i
( xi ) 2
2 i2
1
n
2 i
n2
i 1
Introducendo i pesi e
supponendo di conoscere le
varianze delle singole
misure
Con un procedimento
analogo a quello precedente,
si determinano i valori di μ e
σ
02
02
2
pi 2 i
i
pi
n
P( x1 , x2 , ... , xn , , 12 , 22 , ..., n2 )
1 n
pi xi
n
pi i 1
i 1
1 n
2
2
s0
pi xi
n 1 i 1
p
12
i
i 1
2
2 n2
0
e
n
p x 2
2 i i
2 0
1
i 1
e
n
1 xi
2 i 1 i
2
Distribuzione di Gauss per variabili bidimensionali (1/2)
Variabili
casuali (x, y)
indipendenti
f ( x, y , x , y )
1
2 x
x x 2
e
2 x2
1
2 y
e
y y 2
2 y2
1
2 x y
e
2
y y
1 xx
2
2 x
y2
Le coordinate di un punto possono essere trattate come una variabile bidimensionale e la loro
determinazione introduce delle correlazioni proprio in funzione delle modalità operative svolte. Quindi la
formulazione della densità di probabilità cambia con introduzione del coefficiente di correlazione.
f x, y dxdy 1
2
Distribuzione di Gauss per variabili bidimensionali (2/2)
Per le applicazioni di interesse al rilevamento è utile analizzare le curve che si ottengono dall’intersezione della superficie
con piani z = f(x,y) = costante. Si può dimostrare che, in presenza anche delle covarianze trascurate nella formulazione, la
figura di intersezione è un’ellissi la cui dimensione dipende dalla definizione del piano a z costante.
Ellisse Standard
Rappresenta l’area all’interno della quale si ha il 39% della probabilità di un individuo
estratto a caso per quella popolazione (di variabili bidimensionali). Se l’ellisse ha semiassi
doppi la probabilità sale al 86% mentre per ellissi con semiassi tripli questa diventa del
99%.
a2
b2
1
2
2
x
y2
2
2
x
y2
arctan
Ellisse d’Errore
2
x
2 xy
2
x
2
y2 x2
y2 4 xy2
2
y2 4 xy2
2
I valori di σx, σy e σxy
possono essere ricavati dalla
matrice di varianza-covarianza.
Quando tra le variabili non
vi è correlazione (σxy = 0)
l’ellisse presenterà gli assi
paralleli agli assi coordinati.
Definisce la probabilità di un punto di coordinate (x, y) di cadere all’interno dell’ellissi
stessa. Questo consente di quantificare la precisione del calcolo e quindi la significatività
delle misure.
Propagazione Pitagorica degli Errori
Consente di valutare gli errori di variabili ottenute dalla combinazione di altre variabili (ad esempio valori misurati) a loro
volta soggetti ad errori nella determinazione. La propagazione di un errore lungo una formula o un criterio comporta un
aumento dell’incertezza finale.
Funzione Lineare
x ay bz ct x2 a 2 y2 b 2 z2 c 2 t2
2
Funzione non Lineare
f
f
f
x f y, z , t y2 z2 t2
z
t
y
2
x
2
2
Nel caso di variabili
non indipendenti
occorre conoscere
anche la covarianza che
lega le varie coppie di
variabili
Test del Chi-Quadro (χ2)
Permette di confrontare una serie di dati osservati sperimentalmente con la serie dei dati attesi in base a un’ipotesi teorica
(ipotesi nulla H0) e di stimare la bontà di questa ipotesi. Il problema statistico è di poter dedurre se la differenza è
trascurabile e quindi probabilmente dovuta solo al caso (ipotesi nulla H0), oppure se è di dimensione tali da fare più
ragionevolmente supporre una distribuzione realmente diversa da quella attesa (ipotesi alternativa H1).
Serie di Dati
Osservati Oi
Distribuzione
Associata ad una
Grandezza Misurata
1 n Oi Ei
d i 1
Ei
2
2
Serie di Dati Attesi
Ei
Distribuzione Teorica
(p.e. Distribuzione
Gaussiana)
Gradi di Libertà d
Per dare una significatività al
risultato del test occorre fissare
un livello di probabilità da
associare al risultato del test
stesso. Di solito questo livello
viene posto al 1% o 5% (0,01 o
0,05 rispettivamente).
Differenza tra numero delle
osservazioni e numero delle
incognite
