LE EQUAZIONI
La matematica è uno speciale linguaggio che rispetta regole ben precise e ci
permette di descrivere alcuni aspetti della realtà mediante un alfabeto
matematico costituito da numeri, simboli di operazioni, parentesi, simboli di
predicati.
Alcune delle frasi seguenti pur rispettando regole sintattiche precise appaiono
sgrammaticate, ossia non formulate bene, mentre altre sono ben formate
anche se non hanno un senso sia se scritte in italiano sia nel linguaggio della
matematica.
Per ognuna della frasi in tabella stabiliamo se sono ben formate o no e se sono
vere oppure false.
Linguaggio italiano
Linguaggio matematico
1)Mario è letto dal libro
a)10 +2:+1=9
2)Il letto è dormito dal bambino
b)X è un giocatore dalle Roma
3)Il gatto studia il moto dei pianeti
c)X+5=7
Per poter stabilire la verità o la falsità di una affermazione è necessario che le
frasi siano ben formate.
Esempio di formula sgrammaticata:
il leone piove il libro
perché in italiano il verbo intransitivo non può reggere il complemento oggetto.
Esempio di formula ben formata del linguaggio italiano ma falsa:
il leone legge il libro
rispetta le regole della grammatica italiana anche se è falsa.
Le frasi b) e c) sono formule ben formate ma non è possibile dire se sono vere
o false poiché tutto dipende dal valore assunto dalla variabile x.
Si tratta di formule(=proposizioni) aperte.
Concludendo le formule ben formate possono essere
Proposizioni Aperte
Proposizioni, una frase di cui si può stabilire la verità o la falsità.
Equazione: proposizione aperta il cui
Disequazione:proposizione aperta il
predicato è “essere uguale”
cui predicato è uno dei
seguenti:”essere minore”,”essere
maggiore”,”essere minore o uguale”,
“essere maggiore o uguale”
Uguaglianza:è una proposizione il cui
Disuguaglianza: è una proposizione il
predicato è “essere uguale” e si può
cui predicato è uno dei
stabilire facilmente se è vera oppure
seguenti:”essere minore”,”essere
falsa
maggiore”,”essere minore o uguale”,
“essere maggiore o uguale” e si può
stabilire facilmente se è vera oppure
falsa
Definizione di Equazione:
Uguaglianza fra due espressioni che può essere verificata o meno a seconda
dei valori attribuiti alle variabili che in essa compaiono.
L’espressione a sinistra del segno uguale si dice I membro, quella a destra II
membro.
I membro
=
II membro
Esempi di equazioni:
intere
2x-5=1
fratte
2x 1 2 2x
1
x
x 1
numeriche
3(x-2)+x-4=x-1
letterali
2ax-2+3a=0
Grado di un’equazione:
primo grado
2x-5=1
Secondo grado
X2-3x+2=0
Terzo grado
X3-8=0
Principi di equivalenza delle equazioni:
Principi
Definizioni
Primo principio o
Addizionando o sottraendo ai due membri di
principio di addizione
un’equazione la stessa espressione, si ottiene
un’equazione equivalente a quella data
Secondo principio o
Moltiplicando o dividendo i due membri di
principio della
un’equazione per una stessa espresione diversa da
moltiplicazione
zero si ottiene un’equazione equivalente a quella
data
Dal primo principio derivano due regole:
Regola del trasporto
E’ possibile spostare un termine da un membro
all’altro, purchè lo si cambi di segno, ottenendo
un’equazione equivalente.
Regola di cancellazione
E’ possibile eliminare dai due membri due termini
uguali, ottenendo un’equazione equivalente.
Dal secondo principio discendono le seguenti regole:
Regola della divisione
Se tutti i termini di
per un fattore comune
un’equazione hanno un
fattore numerico comune, si
possono dividere tutti i
termini per tale fattore,
ottenendo un’equazione
equivalente.
Regola del
E’ possibile cambiare segno a
cambiamento di segno
tutti i termini di
un’equazione, ottenendo
un’equazione equivalente.
Equazioni equivalenti:
Due equazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme soluzione.
Esempi:
x+5=9
e
x-4=0
UGUAGLIANZA: una proposizione il cui predicato è espresso dal verbo “essere
uguale” e può essere vera oppure falsa.
EQUAZIONE: una proposizione aperta in cui il predicato è “essere uguale”,
indicato con il simbolo “=”.
DISEQUAZIONE:proposizione aperta in cui il predicato non è “essere uguale”
ma è sostituito oppure combinato con “essere maggiore” oppure “essere
minore”, indicati rispettivamente con “>” e “<”
