L`insieme dei numeri razionali Q

L’insieme dei numeri
razionali Q
Prof. Walter Pugliese
Concetto di frazione
Abbiamo visto che la divisione non è un’operazione interna né in N né in Z. L’esigenza di renderla sempre possibile ci porterà a
considerare l’insieme dei numeri razionali. Prima di parlare di numeri razionali bisogna però introdurre il concetto di frazione.
Se osserviamo la figura seguente, sono rappresentate delle bottiglie da litro:
La quantità di litri presenti nelle bottiglie viene indicata con il numero naturale 2.
Se adesso osserviamo la seguente figura:
La quantità di litri presente nella bottiglia sopra raffigurata non può essere rappresentata né con un numero naturale né con
un numero intero. Si tratta della metà di un litro, ovvero 1:2 litri. Tale quantità viene indicata con la frazione:
1
2
dunque la frazione rappresenta il quoziente tra due numeri naturali ossia il loro rapporto.
3
Per esempio, la frazione avrà lo stesso significato di 3:4.
4
Definizione di frazione
Definizione:
•
•
Una frazione è una coppia ordinata di numeri
naturali, di cui il secondo è diverso da zero.
•
Il primo numero è il numeratore della frazione, il
secondo è il denominatore.
•
Non esistono frazioni con denominatore 0
Le frazioni in cui il numeratore è minore del
denominatore vengono dette proprie
Le frazioni in cui il numeratore è maggiore del
denominatore vengono dette improprie
Le frazioni in cui il numeratore è un multiplo
del denominatore vengono dette apparenti
Esempio:
𝟓
𝟎
𝟓
𝟖
𝟓
𝟑
𝟏𝟓
𝟓
non indica una
frazione
è una frazione
impropria
è una frazione
propria
è una frazione
apparente
Le frazioni equivalenti
Definizione:
Esempio:
Due frazioni sono equivalenti se il prodotto del
numeratore della prima frazione per il denominatore
della seconda è uguale al prodotto del denominatore
della prima frazione per il numeratore della seconda.
Le frazioni e
Indichiamo l’equivalenza con il simbolo ~:
𝑎
𝑏
𝑐
𝑎
𝑑
𝑏
~ si legge:
è equivalente a
𝑐
𝑑
3
5
6
sono equivalenti.
10
Infatti i prodotti in croce risultano uguali.
La proprietà invariantiva
Proprietà invariantiva:
Se si moltiplica per uno stesso numero diverso da
zero sia il numeratore che il denominatore di una
frazione, si ottiene una frazione equivalente.
Allo stesso modo si possono dividere numeratore e
denominatore per uno stesso numero diverso da
zero, purchè sia divisore di entrambi.
𝑎 𝑎∙𝑐
~
𝑐𝑜𝑛 𝑏, 𝑐 ≠ 0
𝑏 𝑏∙𝑐
𝑎 𝑎: 𝑐
~
(𝑐𝑜𝑛 𝑏, 𝑐 ≠ 0)
𝑏 𝑏: 𝑐
Esempio:
2 2∙3
~
5 5∙3
Infatti 2 ∙ 5 ∙ 3 = 5 ∙ 2 ∙ 3 , quindi:
2 6
~
5 5
La semplificazione di frazioni
Data una frazione, quando applichiamo la
proprietà invariantiva dividendo numeratore e
denominatore per uno stesso numero, diciamo
che semplifichiamo la frazione.
Esempio:
Se semplifichiamo più possibile una frazione,
giungiamo alla frazione ridotta ai minimi
termini.
Per ridurla ai minimi termini basta dividere
numeratore e denominatore per il M.C.D. (24,40)
ovvero per 8:
Per ridurre una frazione ai minimi termini è
sufficiente dividere numeratore e denominatore
per il loro M.C.D.
24 24:8
~
,
40 40:8
24
non è ridotta ai minimi termini.
40
quindi
24 3
~
40 5
La riduzione di frazioni a denominatore
comune
Esempio:
5
4
Riduciamo al minimo denominatore comune le frazioni 6 e 15:
Ridurre a denominatore comune due frazioni significa trovare
altre due frazioni aventi lo stesso denominatore, ciascuna
equivalente a una delle frazioni date.
m.c.m. (6,15)=30
Si possono trovare infinite soluzioni a questo problema ma, per
semplicità di calcolo, fra tutti i possibili denominatori comuni si
sceglie il più piccolo, cioè il m.c.m. fra i denominatori: si parla
allora di riduzione al minimo denominatore comune.
Il numero che moltiplicato per 6 dà 30 è 30:6=5 quindi
5
?
Applichiamo la proprietà invariantiva: 6 ~ 30.
5 5∙5
5 25
~ ovvero ~
6 6∙5
6 30
4
Procedendo allo stesso modo con la frazione 15 si ottiene che:
4
8
~
15 30
I numeri razionali assoluti
Supponiamo di dover dividere una tavoletta di cioccolato in parti uguali tra due amici. Possiamo dividere la tavoletta in due parti uguali e darne
una ad ogni amico, ma possiamo anche dividere la tavoletta in quattro parti uguali e darne due a ogni amico, oppure possiamo dividere la
tavoletta in otto parti uguali e darne quattro a ogni amico ecc.
1
2
4
Ciascuna di tali quantità può essere espressa mediante una frazione, nell’ordine: ~ ~ . Quindi un problema risolto con l’uso di una frazione,
2 4 8
può essere risolto con altre infinite frazioni ad essa equivalenti.
1
Possiamo pensare di raggruppare tutte le frazioni equivalenti a 2, avremo ottenuto così un particolare insieme chiamato «classe di equivalenza».
Ciascuna frazione di una stessa classe rappresenta l’intera classe a cui appartiene.
Definizione:
Un numero razionale assoluto è una classe di frazioni fra loro equivalenti.
Esempio:
2
6
e sono solo due modi diversi , tra altri infiniti modi, per rappresentare lo stesso numero razionale assoluto, che è la classe
3 9
2
6
Possiamo allora scrivere 3 = 9, nel senso che le due frazioni individuano lo stesso valore assoluto.
L’insieme dei numeri razionali assoluti si indica con 𝑸𝒂
2 4 6
, , ,… .
3 6 9
I numeri razionali
E’ possibile estendere il concetto di frazione anche al caso in cui numeratore e denominatore sono
numeri interi (con il denominatore diverso da zero).
Anche la definizione di frazioni equivalenti e la proprietà invariantiva si possono estendere alle
frazioni di numeri interi.
Se facciamo precedere una frazione che rappresenta un numero razionale assoluto dal segno- ,
stiamo scrivendo una frazione negativa; se la facciamo precedere dal segno +, stiamo scrivendo una
frazione positiva.
Esempio:
−2 +2
~
+3 −3
Queste due frazioni rappresentano la stessa classe che può essere rappresentata con la frazione
2
− .
3
Definizione:
Un numero razionale è una classe di frazioni equivalenti in cui il numeratore e il denominatore
sono numeri interi (con il denominatore diverso da zero).
L’insieme dei numeri razionali si indica con Q.
L’insieme Q come ampliamento dell’insieme Z
Abbiamo già visto con i numeri interi la definizione di ampliamento.
Per fare in modo che l’insieme Q sia un ampliamento di Z, a ciascuna frazione
con denominatore 1 di Q facciamo corrispondere un numero intero.
Z quindi è un sottoinsieme proprio di Q.
Il confronto tra numeri razionali
Frazioni con lo stesso denominatore positivo:
5
1.
4
Confrontiamo 6 e 15.
Prodotto in croce:
1.
Riduciamo le due frazioni allo stesso minimo denominatore :
25
Date due frazioni positive, possiamo confrontarle anche
utilizzando il prodotto in croce:
5
8
4
e
30 30
Confrontiamo 6 e 15
Poiché 25>8 concludiamo che
Poiché 5 ∙ 15 > 6 ∙ 4 abbiamo che >
5
6
2.
4
> 15
2.
1
1
Confrontiamo ora − 2 e − 3
3
2
1
1
− 6e − 6 . Poiché -3<-2, abbiamo − 2 < − 3
4
6
15
Con frazioni negative il prodotto in croce è ancora valido se si
attribuisce il segno – ai numeratori delle frazioni.
1
Riduciamo le due frazioni allo stesso minimo denominatore positivo :
5
1
Confrontiamo − 2 e − 3
1
1
Poiché −1 ∙ 3 < 2 ∙ (−1) abbiamo che − 2 < − 3
La rappresentazione dei numeri razionali
Anche i numeri razionali si possono rappresentare su una retta orientata.
Tutte le frazioni tra loro equivalenti corrispondono allo stesso punto sulla retta.
Poiché è possibile trovare punti che corrispondono a numeri razionali vicini quanto si
vuole ad un qualsiasi dato punto sulla retta, diremo che Q è denso nella retta.
Le operazioni in Q.
L’addizione e la sottrazione
Definizione:
La somma (o la differenza) tra due numeri razionali espressi
da frazioni aventi lo stesso denominatore è il numero
razionale espresso dalla frazione che ha per denominatore
lo stesso denominatore e per numeratore la somma (o la
differenza) dei numeratori.
2 4 2+4 6
+ =
=
5 5
5
5
5 1 5−1 4
− =
=
3 3
3
3
In Q valgono tutte le proprietà dell’addizione e della
sottrazione viste in Z.
L’addizione e la sottrazione sono operazioni interne in Q.
L’elemento neutro per l’addizione è 0 in Q come in Z.
Se i numeri razionali sono espressi da frazioni che hanno
denominatori diversi, si utilizza la definizione precedente
dopo aver ridotto le frazioni al minimo denominatore
comune:
1 2
+
6 15
Poiché
1
5
2
4
=
𝑒
=
6 30
15 30
Si ha
1 2
5
4
9
+
=
+
=
6 15 30 30 30
In forma abbreviata possiamo scrivere
1 2
5+4
9
+
=
=
6 15
30
30
La moltiplicazione
Definizione:
Reciproco:
Il prodotto di due numeri razionali espressi da frazioni è un
numero razionale espresso dalla frazione che ha per
numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il
prodotto dei denominatori.
1 5 1∙5 5
∙ =
=
2 3 2∙3 6
La moltiplicazione è un’operazione interna in Q.
Di ogni numero razionale, escluso lo zero, esiste il reciproco; il
prodotto di un numero per il suo reciproco è uguale
all’elemento neutro della moltiplicazione, cioè 1.
1 è l’elemento neutro.
0 è l’elemento assorbente.
Valgono le proprietà della moltiplicazione e la seconda
legge della monotonia.
Chiamiamo reciproco del numero razionale espresso dalla
𝑛
𝑑
frazione il numero espresso dalla frazione .
𝑑
𝑛
Sono reciproci:
7 2
7 2
e poiché ∙ =1
2 7
2 7
1
1
3 e poiché 3 ∙ = 1
3
3
2
3
2
− e − poiché − ∙ −
3
2
3
3
2
=1
La divisione
Definizione:
Il quoziente di due numeri razionali, di cui il secondo
diverso da zero, è uguale al prodotto del primo per il
reciproco del secondo.
Per la divisione in Q continuano a valere la
proprietà invariantiva e la proprietà distributiva a
destra rispetto all’addizione.
La divisione è un’operazione interna in Q,
infatti:
5:7 non ha risultato in Z
4
12
4
5
5
− : −
=− ∙ −
=
7
5
7
12
21
ma
5 7
:
1 1
5
1
1
7
5
7
= ∙ = ha risultato in Q
La potenza
Definizione:
𝑎
𝑏
𝑛
Dato un numero naturale n, la potenza n-esima di una frazione è la frazione che ha per numeratore 𝑎𝑛 e per denominatore 𝑏 𝑛 .
𝑎
𝑏
𝑛
=
𝑎
𝑐𝑜𝑛 𝑏 ≠ 0
𝑏𝑛
Esempio:
2
−
5
2
−
5
3
8
125
4
=+
25
=−
2
Le potenze con esponente intero negativo
Esempi:
•
Definizione:
La potenza di un numero razionale, diverso da zero,
con esponente intero negativo è una potenza che
ha per base il reciproco del numero dato e per
esponente l’opposto dell’esponente.
𝑎
𝑏
−𝑛
𝑏
=
𝑎
𝑛
𝑐𝑜𝑛 𝑎, 𝑏 ≠ 0
•
5−7
1 7
5
=
3 −2
4
=
=
4 2
3
1
57
=
16
9
L’esponente -1 permette di scrivere la la frazione
reciproca di una frazione data mediante una
potenza:
•
2 −1
5
=
•
9−1 =
1
9
•
1 −1
2
5 1
2
=2
=
5
2