Ψ
PSICOMETRIA
Corso di laurea triennale (classe 34)
STATISTICA INFERENZIALE
STATISTICA INFERENZIALE
CAMPIONE
caratteristiche
conosciute
POPOLAZIONE
caratteristiche
sconosciute
STATISTICA INFERENZIALE
STIMA DEI PARAMETRI
VERIFICA DELL’IPOTESI
STATISTICA INFERENZIALE
Teoria della verifica dell’ipotesi :
si verifica, in termini probabilistici,
se una certa affermazione relativa
alla popolazione è da ritenersi vera
sulla base dei dati campionari
Teoria della stima dei parametri:
si stabilisce, in termini probabilistici, il
valore numerico di uno o più parametri
incogniti della popolazione a partire dai
dati campionari
VERIFICA DELL’IPOTESI
Per verificare un’ipotesi sulla
popolazione
1 Estraggo un campione in modo casuale
2 Misuro sul campione la statistica che
definisce la mia ipotesi
3 Con la STATISTICA INFERENZIALE
definisco, in termini probabilistici,
la validità della mia ipotesi sulla
popolazione a partire dalle statistiche
del campione
STIMA DEI PARAMETRI
Per conoscere le caratteristiche
della popolazione
1 Estraggo un campione in modo casuale
2 Misuro la statistica sul campione
3 Con la STATISTICA INFERENZIALE
definisco, in termini probabilistici,
il parametro della popolazione a partire
dalla statistica del campione
Ψ
PSICOMETRIA
Corso di laurea in Valutazione e Consulenza clinica (classe 34)
PROBABILITA’
PROBABILITA’
Fenomeni aleatori
(o casuali o non deterministici)
un qualsiasi esperimento la cui
osservazione non porta sempre allo
stesso risultato un fenomeno in cui
non c’è regolarità deterministica
Esempio: Nel LANCIO di una MONETA
non truccata non possiamo prevedere
quale faccia si otterrà = esperimento
aleatorio
PROBABILITA’
Il calcolo delle probabilità
fornisce le regole per associare ad
ogni possibile evento/risultato di
un esperimento aleatorio
un valore numerico
che ne indichi il grado di avverabilità
Tale valore numerico viene chiamato
PROBABILITA’ dell’evento
PROBABILITA’
SPAZIO CAMPIONARIO (S )
Insieme degli eventi possibili
(o dei possibili risultati)
di un esperimento casuale
Nel LANCIO di una MONETA lo spazio
campionario è costituito da due possibili
eventi/risultati: testa o croce
nel LANCIO di un DADO da sei possibili
eventi/risultati: 1,2,3,4,5,6
PROBABILITA’
EVENTO
sotto-insieme dello spazio campionario
SEMPLICE: dato da un solo evento
COMPOSTO: dato da più eventi semplici
Esempio
Nel LANCIO di una DADO il risultato “5”
è un evento semplice; il risultato
“numero pari” è un evento composto da
tre eventi semplici: 2,4,6.
PROBABILITA’
verificarsi di un evento A
(semplice o composto)
NON verificarsi di un evento A
(semplice o composto)
SUCCESSO
INSUCCESSO
p(A)
q(A)
PROBABILITA’
Dato uno spazio campionario e un
evento A entro tale spazio, la
probabilità associata ad esso è
sempre compresa tra 0 e 1
0 < p(A) < 1
PROBABILITA’
Se p(A) = 0 A = evento impossibile
Se p(A) = 1 A = evento certo
S può essere considerato un evento
costituito da tutti gli eventi possibili
S è l’evento certo p(S)=1 ovvero
la somma di tutte le singole probabilità
associate a ciascun evento possibile è 1
PROBABILITA’
EVENTO A’ [non A ] = insieme di
eventi entro lo spazio campionario
diversi da A
p(A) +
p(A′
)=
1
p(A′
)=
1−
p(A)
PROBABILITA’
PROBABILITA’ A PRIORI
(Definizione classica )
Se un evento si può verificare in f modi
diversi su n possibili,
essendo questi tutti ugualmente possibili
(equiprobabili)
la probabilità di questo evento è
f/n
PROBABILITA’
La probabilità di un evento (A) è data
dal rapporto tra il numero degli eventi
favorevoli, o successi, (f) e il numero
degli eventi ugualmente possibili (n)
f
p(A) =
n
PROBABILITA’
La probabilità può essere espressa
come una proporzione (sotto forma di
frazione o numero decimale compreso
tra 0 e 1)
La probabilità può essere espressa
anche in termini percentuali [p×100]
(se, per esempio, p=.45 possiamo
dire che la probabilità è del 45%)
PROBABILITA’
PROBABILITA’ A POSTERIORI o
EMPIRICA
(Definizione frequentista)
La probabilità di un evento (A)
è uguale alla frequenza (f) dei
successi in n di prove (con n
sufficientemente grande)
ripetute nelle medesime
condizioni
PROBABILITA’
Se dopo aver ripetuto un esperimento
casuale un numero n elevato di volte,
l’evento A si verifica f volte
La probabilità è data dal limite cui
tende il rapporto tra successi e prove
(proporzione di successi a lungo
termine)
f
p(A) =
lim
n→
∞
n
PROBABILITA’
6
2
4
4/6=.67
10
6
4
4/10 =.40
20
7
13
13/20 =.65
50
22
28
28/50=.56
100
52
48
48/100=.48
1000
493
507
507/1000=.507
n° lanci
p( )
≈ 0.5
PROBABILITA’
(p)
1
0,75
0,5
0,5
0,25
0
0
100
200
300
400
500
600
n° lanci
700
800
900
1000
1100
Probabilità di ottenere CROCE tende
a 0.5 se n è grande
Esempio 1
Lancio MONETA (esperimento casuale):
S = Testa o Croce
(2 eventi possibili)
Se A=croce A’= testa
1
p(A) = =
0.5
2
1 1
′
p(A) +
p(A ) =+ =
1
2 2
1
p(A′) = =0.5
2
1
p(A′
)=
1−
p(A) =
1−
2
Esempio 2
Lancio DADO (esperimento casuale):
S = 1,2,3,4,5,6
(6 eventi possibili)
Evento semplice:
A=3
1
p(A) ==
0.17
6
1 5
p(A) +
p(A′
) =+=
1
6 6
A’= 1,2,4,5,6
5
p(A' ) = =
0.83
6
1
p(A′
)=
1−
p(A) =
1−
6
Esempio 2
Evento composto:
A= numero pari (3 eventi possibili)
3
p(A) =
= 0.5
6
A’= numero dispari (3 eventi possibili)
3
p(A′) =
= 0.5
6
Esempio 3
Estrazione CARTA (mazzo da
40)
S = ♥ 1,2,3……fante, regina, re
♦ 1,2,3……fante, regina, re
♣ 1,2,3……fante, regina, re
♠ 1,2,3……fante, regina, re
(40 eventi possibili)
Evento1 semplice: A= asso
di
39
= 0.975
p(A) =
= 0.025 q(A) =
cuori 40
40
Esempio 3
Evento composto:
A= carta di cuori (10 eventi
possibili)
10
p(A) =
= 0.25
40
10 30
p ( A) + q( A) =
+
=1
40 40
30
q(A) =
= 0.75
40
10
q(A) = 1 − p(A) = 1 −
40
PROBABILITA’
Dati due eventi (evento A e evento
B), possono verificarsi
l’uno o l’altro: A o B [A ∪ B ]
entrambi: A e B [A ∩ B]
PROBABILITA’
A e B si dicono mutuamente
escludentisi (o incompatibili)
se:
A∩B = ∅
A
B
PROBABILITA’
Se A e B sono
mutuamente escludentisi
non possono verificarsi
contemporaneamente poiché il
verificarsi dell’uno esclude il verificarsi
dell’altro
non hanno elementi in comune
Esempio
In un lancio di un dado, l’evento “n°
pari” e l’evento “n° dispari” l’uno
esclude l’altro e non hanno
elementi in comune (2,4,6 1,3,5)
Nell’estrazione di una carta da un
mazzo da 40, l’evento “carta di cuori”
e l’evento “carta di fiori” (♥ ♣)
PROBABILITA’
A e B si dicono non mutuamente
escludentisi (o compatibili) se:
A∩B ≠ ∅
A
A∩B
B
PROBABILITA’
Se A e B sono
non mutuamente escludentisi
possono verificarsi
contemporaneamente poiché il
verificarsi dell’uno non esclude il
verificarsi dell’altro
hanno elementi in comune
Esempio
In un lancio di un dado, l’evento “n°
pari” e l’evento “n° maggiore o
uguale a 4” l’uno non esclude
l’altro poiché i due eventi hanno
elementi in comune (2,4,6 4,5,6)
Nell’estrazione di una carta da un mazzo
da 40, l’evento “carta di fiori” e l’evento
“figura” (A,2,3,4,5,6,7,F,D,R♣ F,D,R♥
F,D,R♦ F,D,R♣ F,D,R♠)
PROBABILITA’
La probabilità di A ∪ B
(verificarsi disgiunto di A e B)
deve essere calcolata stabilendo
se gli eventi sono
mutuamente escludentisi
non mutuamente escludentisi
PROBABILITA’
Dati due eventi A e B mutuamente
escludentisi
p(A ∪ B) = p(A) + p(B)
Esempio 1
Lanciando un
dado, quale è
la probabilità
che si
ottenga 6
oppure 2?
Gli eventi “6” e “2”
sono mutuamente
escludentisi (il
verificarsi dell’uno
esclude il verificarsi
dell’altro)
p(2 ∪ 6) = p(2) + p(6) =
1 1 1
= + =
6 6 3
Esempio 2
Quale è la
probabilità di
estrarre a
caso un re di
fiori oppure
un fante di
cuori da un
mazzo di
carte da 40?
“R♣” e “F♥” sono
mutuamente
escludentisi (il
verificarsi dell’uno
esclude il verificarsi
dell’altro):
p(R ∪ F) = p(R) + p(F) =
1
1
1
=
+
=
40 40 20
PROBABILITA’
Dati tre eventi A, B e C mutuamente
escludentisi
p(A ∪ B ∪ C) = p(A) + p(B) + p(C)
Dati k eventi mutuamente escludentisi
p(A ∪ B ∪ ∪ K) = p(A) + p(B) + + p(K)
Esempio
Lanciando un
dado, quale è
la probabilità
che si
ottenga 2
oppure 6
oppure 3?
Gli eventi “2”,“6” e
“3” sono
mutuamente
escludentisi (il
verificarsi di uno
esclude il verificarsi
degli altri):
p(2 ∪ 6 ∪ 3) =
p(2) + p(6) + p(3) =
1 1 1 1
+ +
=
6 6 6 2
PROBABILITA’
Dati due eventi A e B
non mutuamente escludentisi
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B)
Esempio
Lanciando un
dado, quale è
la probabilità
che si ottenga
un numero
minore di 3
oppure un
numero
dispari?
“<3” e “dispari” non
sono mutuamente
escludentisi :
Dispari
<3
2
1 3 5
Dispari e < 3
Esempio
P(<3∪disp) = p(<3)
3
p
(
disp
)
=
+ p(disp) 6
p (<3∩disp) =
2
3
1
2
+
−
=
6
6
6
3
La probabilità di “1”
viene conteggiata
due volte una si
toglie
1 3 5
1
p(< 3 ∩ disp) =
6
2
1
2
p(< 3) =
6
PROBABILITA’
A e B si dicono indipendenti se il
verificarsi di A non influenza il
verificarsi di B
sapere che A si è verificato
non da informazioni sul verificarsi di B
(o non modifica il verificarsi di B)
Esempio
Due estrazioni di una carta da un
mazzo RIMETTENDO la 1° carta
estratta nel mazzo
evento A = 1° estrazione e evento
B= 2° estrazione sono indipendenti
il risultato ottenuto con la 1°
estrazione non modifica il possibile
risultato della seconda
PROBABILITA’
A e B si dicono dipendenti se il
verificarsi di A influenza il verificarsi
di B
sapere che A si è verificato da
informazioni sul verificarsi di B
(o modifica il verificarsi di B)
Esempio
Due estrazioni di una carta da un
mazzo SENZA RIMETTERE la 1° carta
estratta nel mazzo
evento A = 1° estrazione e evento
B= 2° estrazione sono dipendenti
il risultato ottenuto con la 1°
estrazione modifica il possibile
risultato della seconda
PROBABILITA’
ESTRAZIONE CON
REINSERIMENTO(o
REIMMISSIONE):
non si modifica il
n° degli eventi
possibili (spazio
campionario) e il
n° degli eventi
favorevoli
(successi)
ESTRAZIONE SENZA
REINSERIMENTO (o
REIMMISSIONE): si
modifica il n° degli
eventi possibili
(spazio
campionario) e,
talvolta, il n° degli
eventi favorevoli
(successi)
Esempio
• Dato un mazzo di carte da 40 sia “evento
A” = un asso alla 1° estrazione; “evento
B” = un asso alla 2° estrazione.
Determinare la probabilità di A e B nel
caso in cui vi sia reinserimento
Determinare la probabilità di A e B nel
caso in cui non vi sia reinserimento
Esempio
Reinserendo la carta della 1°
estrazione, non si modifica lo spazio
campionario (= 40 sia nella 1° che nella
2° estrazione) e il numero degli eventi
favorevoli (sempre = 4)
Il verificarsi o non verificarsi di A non
modifica la probabilità di B:
p(A)=4/40, sia che sia stato estratto un
asso o non stato estratto p(B)=4/40
Esempio
Non reinserendo la carta della 1° estrazione,
si modifica lo spazio campionario (= 40 nella
1° 39 nella 2°) e, nel caso in cui A si
verifica, si modifica anche il numero degli
eventi favorevoli (= 4 nella 1° 3 nella 2°) :
p(A)=4/40,
se non è stato estratto un asso p(B)=4/39
se è stato estratto un asso p(B)=3/39
PROBABILITA’
La probabilità di A ∩ B
(verificarsi congiunto di A e B)
deve essere calcolata stabilendo
se gli eventi sono
indipendenti
dipendenti
PROBABILITA’
Dati due eventi A e B
indipendenti
p(A ∩ B) = p(A) × p(B)
Esempio 1
Lanciando due
volte un dado
(o due dadi),
quale è la
probabilità
che si ottenga
2 come
somma dei
risultati?
L’evento
“somma=2” è dato
dal verificarsi
congiunto di 1 con
il 1° lancio e 1 con
il 2°, dove i 2 lanci
sono indipendenti:
p(1 ∩ 1) = p(1) × p(1) =
1 1
1
= × =
6 6 36
Esempio 2
Quale è la
probabilità di
estrarre due
re da un
mazzo di carte
da 40
reinserendo la
carta estratta?
I due eventi sono
indipendenti (il
realizzarsi dell’uno
non influisce sul
verificarsi
dell’altro):
p(R 1 ∩ R 2 ) = p(R 1 ) × p(R 2 ) =
4
4
1
=
×
=
40 40 100
PROBABILITA’
Dati tre eventi A, B e C indipendenti
p(A ∩ B ∩ C) = p(A) × p(B) × p(C)
Dati k eventi indipendenti
p(A ∩ B ∩ ∩ K) = p(A) × p(B) × × p(K)
Esempio 1
Lanciando tre
L’evento
volte un dado
“somma=3” è dato
(o tre dadi),
dal verificarsi
quale è la
congiunto di 1 con
probabilità
il 1° lancio, 1 con il
che si ottenga
2°e 1 con il 3°,
3 come
dove i 3 lanci sono
somma dei
indipendenti:
risultati?
p(1 ∩ 1 ∩ 1) = p(1) × p(1) × p(1) =
1 1 1
1
= × × =
6 6 6 216
PROBABILITA’
Dati due eventi A e B dipendenti
p(A ∩ B) = p(A) × p(B A)
dove p(B\A) = probabilità di B
posto che A si sia verificato
Esempio 1
Quale è la
probabilità di
estrarre in
sequenza un
re e un asso
da un mazzo
da 40 senza
reinserire la
carta
estratta?
I due eventi sono
dipendenti (il
realizzarsi dell’uno
influisce sul verificarsi
dell’altro modificando
lo spazio campionario):
p(R ∩A) =
p(R) ×p(A R) =
4
4
2
=
×
=
40 39
195
Esempio 2
Quale è la
probabilità di
estrarre due
re da un
mazzo di
carte da 40
senza
reinserire la
carta
estratta?
Il realizzarsi del 1°
evento influisce sul
verificarsi dell’altro
modificando lo spazio
campionario e il n°
degli eventi favorevoli:
p(R 1 ∩R 2 ) =
p(R 1 ) × p(R 2 R 1 ) =
4
3
1
=
×
=
40 39
130
PROBABILITA’
CONDIZIONATA
La probabilità di un evento B
supposto il verificarsi di un altro
evento A, ovvero la probabilità di
verificarsi di B sapendo che si è già
verificato A, è detta condizionata
p(A ∩B)
p(B A) =
p(A)
ricordando che
p(A ∩ B) = p(A) × p(B A)
Esempio
Lanciando due dadi qual è la probabilità
di avere almeno un due posto che
la somma ottenuta è sei?
Se A = “somma sei” e B = “almeno un due”
devo calcolare p(B|A)
Esempio
Con due dadi “sei” lo si può ottenere
in 5 modi diversi (5,1;1,5;4,2;2,4;3,3)
e 2 soltanto contengono il due.
2
p(A ∩ B)
2
36
p(B A) =
)=
=
5
p(A)
5
36
