Il sillogismo secondo Boole Il matematico inglese George Boole è noto per aver dato alla logica matematica una veste algebrica (calcolo proposizionale). Nel suo linguaggio, le proposizioni o enunciati elementari sono variabili, cui si assegna il valore di verità 1 o 0 a seconda che esse siano vere o false. Se x è una proposizione, la sua negazione sarà rappresentata da 1-x. Data un’altra proposizione y, la proposizione “x e y “ viene indicata dal prodotto xy. In questo modo l’aritmetica ci dice che “x e y” è vera (cioè xy = 1) se e solo se x e y sono entrambe vere (cioè x=1 e y=1). Le deduzioni avvengono per mezzo di opportune manipolazioni delle identità algebriche. Un esempio lampante è dato dalla soluzione dei sillogismi. In un sillogismo le due premesse possono essere della forma: Tutti gli X sono Y Tutti gli Y sono Z In altri termini: Non è possibile che qualcosa sia X e non Y al contempo Non è possibile che qualcosa sia Y e non Z al contempo In formule: x(1-y) = 0 y(1-z) = 0 Eliminando y da questo sistema di due equazioni si ricava: x(1-z) = 0 che si legge: Tutti gli X sono Z. D’altra parte questa è l’ovvia conseguenza delle due premesse. Vediamo un altro esempio: Tutti gli X sono Y Nessuno Z è Y x(1-y) = 0 zy = 0 Nessuno Z è X zx = 0 Questo sillogismo ed il precedente sono risolubili, ossia, nel linguaggio aristotelico, sono perfetti. In altri casi nulla si può ragionevolmente dedurre dalle premesse: l’eliminazione di y dalle equazioni conduce ad un’identità banale. Tutti gli X sono Y Tutti gli Z sono Y x(1-y) = 0 z(1-y) = 0 ---------------------- xz = xz Questo è un esempio di sillogismo imperfetto. Le premesse che abbiamo visto sinora contengono affermazioni su “tutti” e “nessuno” degli appartenenti ad una certa classe: sono premesse universali. Si dicono particolari, invece, quelle che riguardano solo una parte degli individui, come, ad esempio: Alcuni X sono Y La traduzione algebrica di questo enunciato è vx = vy, dove si intende che la variabile v può assumere, indifferentemente, il valore 0 o il valore 1. L’enunciato va infatti inteso in questo senso: è possibile (non si esclude) che un X possa essere Y. Esso comprende quindi tutti i seguenti casi, che riportiamo in tabella: Non X X X Non X Y Y Non Y Non Y x 0 1 1 0 y 1 1 0 0 v 0 0 oppure 1 0 0 oppure 1 Possiamo adesso risolvere il sillogismo: Alcuni X sono Y Tutti gli Y sono Z vx = vy y(1-z) = 0 Alcuni X sono anche Z vx = vxz Vediamo, infine un esempio che necessita di un artificio formale. Se traduciamo le premesse seguenti in formule, nel solito modo, Nessun X è Y Nessuno Z è Y xy = 0 zy = 0 ci accorgiamo di non poter eliminare la y. Conviene allora riscrivere la seconda premessa in un’altra forma, equivalente: non si esclude che un non Z sia Y, però si esclude che Z sia Y. I casi possibili questa volta sono: Non Z Z Non Z Y Non Y Non Y 1-z 1 0 1 y 1 0 0 Essi sono tutti compresi nella scrittura v(1-z) = y che si legge, anch’essa: Alcuni non Z sono Y Procedendo in questo modo si perviene alla conclusione: Alcuni non Z non sono X v(1-z)x = 0. Il linguaggio algebrico di Boole fu inizialmente ideato per la teoria degli insiemi. In effetti il sillogismo si presta ad essere trattato anche in termini di insiemi. Si denota con 1 l’insieme universo, che raccoglie tutti gli individui, mentre 0 indica l’insieme vuoto. Le variabili x ey rappresentano gli insiemi degli individui che sono X e Y rispettivamente. Il prodotto di due simboli va interpretato come l’intersezione degli insiemi corrispondenti. Così, ad esempio, l’uguaglianza xy = 0 esprime il fatto che gli insiemi x e y non hanno elementi in comune (sono disgiunti) ossia “nessun X è Y”. Se invece “tutti gli X sono Y”, allora sono disgiunti l’insieme x e l’insieme ottenuto dall’insieme universo eliminando (sottraendo) l’insieme y, detto complementare di y, e denotato con 1-y. Ecco perché in questo caso la formula è x(1-y) = 0. La dicitura “alcuni X” che compare negli enunciati particolari si traduce, nel linguaggio della teoria degli insiemi, nella nozione di sottoinsieme o parte di x. Questo sottoinsieme si ottiene intersecando x con un certo insieme v (che può essere anche vuoto, cioè uguale a 0), ossia come prodotto vx. Il sillogismo secondo Eulero