AREA 2: IL CALCOLO DIFFERENZIALE 1

A REA 2:
IL CALCOLO DIFFERENZIALE
DERIVATA E DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE
1
Per ricordare
H
Il rapporto incrementale della funzione f …x † relativo al punto x0 e all'incremento h eÁ dato dall'espressione:
f …x0 ‡ h† f …x0 †
y
ˆ
x
h
Calcolando il limite per h ! 0 del rapporto incrementale si ottiene la derivata della funzione f …x † nel
punto x0 :
f …x0 ‡ h† f …x0 †
f 0 …x0 † ˆ lim
h!0
h
H
Se questo limite esiste finito, si dice che f …x † eÁ derivabile in x0 ; quando il limite non eÁ finito oppure non
esiste, si dice che f …x † non eÁ derivabile in x0 .
Una funzione non derivabile puoÁ peroÁ essere derivabile da sinistra o da destra a seconda che esista
finito il limite per h ! 0 oppure per h ! 0‡ del rapporto incrementale.
Si dimostra poi che se una funzione eÁ derivabile in un punto x0 , allora eÁ anche continua in x0 ; la continuitaÁ non eÁ invece garanzia di derivabilitaÁ: esistono funzioni continue in un punto che non sono derivabili in tale punto.
Per calcolare la derivata di una funzione si devono conoscere le regole di derivazione delle funzioni
elementari:
D ‰k Š ˆ 0
D ‰cos x Š ˆ
D ‰x Š ˆ x sin x
D ‰ln x Š ˆ
D ‰sin x Š ˆ cos x
1
1
x
D ‰e x Š ˆ e x
e i seguenti teoremi:
derivata della somma:
D ‰ f …x † ‡ g…x †Š ˆ f 0 …x † ‡ g 0 …x †
derivata del prodotto:
D ‰ f …x † g…x †Š ˆ f 0 …x † g…x † ‡ f …x † g 0 …x †
in particolare D k f …x † ˆ k f 0 …x †
con
derivata del quoziente:
D
f …x †
f 0 …x † g…x † f …x † g 0 …x †
ˆ
2
g …x †
‰ g…x †Š
in particolare
1
D
ˆ
g…x †
g 0 …x †
‰ g…x †Š
2
k2R
38
AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
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derivata della funzione composta:
In particolare se
y ˆ ‰ f …x †Š
g… x †
D g…f …x †† ˆ g 0 …f …x†† f 0 …x†
allora
y 0 ˆ ‰ f …x †Š
g… x †
f 0 …x †
g 0 …x† ln f …x † ‡ g…x † f …x†
Dalla regola di derivazione delle funzioni inverse si ha poi che:
1
D‰arcsin xŠ ˆ p
1 x2
D‰arctan xŠ ˆ
H
D‰arccos xŠ ˆ
1
1 ‡ x2
D‰arccotan xŠ ˆ
1
p
1 x2
1
1 ‡ x2
Dal punto di vista geometrico f 0 …x0 †, cioeÁ la derivata calcolata nel punto x0 , rappresenta il coefficiente
angolare della retta t tangente
alla curva in quel punto. Se la funzione eÁ derivabile, l'equazione della
retta tangente in P x0 , f …x0 † eÁ quindi:
y
f …x0 † ˆ f 0 …x0 † …x
|‚‚{z‚‚}
x0 †
m
Quando la funzione non eÁ derivabile, si possono presentare i seguenti casi particolari:
f 0 … x0 † ! 1
allora la retta tangente eÁ parallela all'asse y
la derivata sinistra e quella destra sono finite ma sono diverse, oppure una di esse eÁ finita e l'altra
infinita: allora a sinistra del punto P vi eÁ una tangente e a destra ce n'eÁ un'altra e si dice che P eÁ un
punto angoloso
la derivata sinistra e quella destra sono infinite di segno opposto: allora la tangente in P eÁ parallela
all'asse y e si dice che P eÁ una cuspide.
punto angoloso
H
punto angoloso
cuspide
Il differenziale di una funzione f …x † in un punto x eÁ il prodotto della
derivata della funzione per l'incremento x :
df …x † ˆ f 0 …x † x
ed essendo x ˆ dx
df …x † ˆ f 0 …x † dx
Dal punto di vista geometrico il differenziale rappresenta l'incremento della variabile dipendente y calcolato sulla retta tangente anzicheÁ
sulla funzione.
cuspide
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AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
39
E SERCIZI
SULLE DERIVATE
Calcola le derivate delle seguenti funzioni.
1 y ˆ ln 2x ‡ x
x
y ˆ x sin x tan x
2 y ˆ tan x ‡ sin x
tan x sin x
yˆ
3 y ˆ 5x ‡ 2 2
…x2 ‡ 1†
r
4 y ˆ ln 1 x2 ‡ 1
4
y ˆ ln x x 2
…x ‡ ln x†
p
3
y ˆ x ‡ 42
…x ‡ 1†
p
x
5 yˆ
ln x ‡ 1
x
6 y ˆ 2x e
2‡x
7 y ˆ sin x
x‡1
p
2
8 y ˆ x ‡ 12
…3x 1†
9 y ˆ x4
q
3
…x2 ‡ 1†2
p
x2 2x
…x2 x†2
"
15x2 8x ; x2 ‡ 3x ln x 3x ln x
3
…x2 ‡ 1†3
x…x ‡ ln x†
5
"
"
2
yˆ 2 x 3
…1 ‡ ln x†
p
x ln x
y ˆ p
x‡3
x ;
x2 ‡ 4
x3 3x2 ‡ 16
3 p
2…x ‡ 1† x3 ‡ 4
ln x 1
;
p
2
2 x…ln x ‡ 1†
2x2 ln x x2 ‡ 6
4
x…ln x ‡ 1†
"
#
#
#
p
2ex …x2 ‡ 2x ‡ 2† 3ln x ‡ 2 x ‡ 6
;
2
p p
…x ‡ 2†2
2 x x‡3
p 3
sin ln x
1
x
q 5
;
cos
4
x ‡ 1 4x cos ln p
…x ‡ 1 †2
x
"
x2
y ˆ ln
…4x ‡ 3†2
"
…2x 1†2

yˆ p
3
4 x2
"
p
2 sin x
yˆx e
p
11 y ˆ ln sin x2 ‡ 1
r
y ˆ ln sin x cos x
sin x ‡ cos x
12 y ˆ elog sin x ‡ ln x
2
p
1 cos x
13 y ˆ arcsin
3
p
2
y ˆ 2x 2 1 ‡ ln 1 ‡ x2
2x
p x p ;
x2 ‡ 1 tan x2 ‡ 1 1
p
1 x2 arcsin x ‡ 1 ln …1
2
4
#
#
p
p #
6…sin3 3x cos3 3x† ; x 2 esin x x cos x ‡ 2
x
sin2 6x
2
3x2 ‡ x ‡ 6
6
p ;
…1 3x†3 x2 ‡ 1 4x2 ‡ 3x
…4x2 ‡ 3† 2…4x2 ‡ x 24†…2x 1†
4x3p
 ;
p

3
3 3 x2 ‡ 1
3…x2 4† 4 x2
y ˆ arctan 1 x ‡ arctan x
1‡x
yˆ
#
2
q
p
y ˆ cos ln x
10 y ˆ sin 3x ‡ cos 3x
sin 6x
14 y ˆ ln arctan x 1
x‡1
2 ln x ‡ 1; sin x…x cos2 x ‡ sin x cos x ‡ x†
cos2 x
x3
"
p #
2sin x ; …3x2 8x ‡ 3† x2 2x
…cos x 1†2
x3 …x 2†…1 x†3
1
x3
1
2cos2 x
x cos x ‡ 1 ; x4 ‡ x2 ‡ 1
x
x3 …x2 ‡ 1†
sin x
;0
p
2 8 7cos x cos2 x
x2 †
1
…x2 ‡ 1†arctan x 1
x‡1
;
x2
x
1
3
xparcsin
x ‡ 15
1 x2
40
AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
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p
p
x‡ x
p ‡ arctan x
y ˆ ln
x
x
2x
15 y ˆ arctan p
1 ‡ x2
16 y ˆ
p
2 ‡ x x2
17 y ˆ arctan 32 ‡ ln
x
p2
; px ‡ 3
1 ‡ x2 …5x2 ‡ 1† 2 x…1 x2 †
2 arcsin 1
3
2x
p
4x ‡ 6 ‡ 2 arctan xp2
2
2
2
2
y ˆ ln x
r
x2 3
x2 ‡ 3
y ˆ arcsin
p
p
x
x
‡ arccos
x 1
x 1
18 y ˆ xsin x
(Suggerimento: puoi riscrivere la funzione usando l'uguaglianza
g…x†
f …x†g…x† ˆ eln ‰f …x† Š ˆ e g…x† ln f …x† , cioeÁ y ˆ esin x ln x )
x
19 y ˆ …x ‡ 1†
20 y ˆ xln x
2
h
2
…x ‡ 1†x
1
1
x‡1
1†
y ˆ …3x2
2
1† ln…3x2
1†
ln x
h
xln x 2 …2 ln x
2
1†; xx
ln x 1
2
2…x
108x ; 0
x8 81
xsin x …sin x ‡ x ln x cos x†
x
x
1† 6x…x ‡ 1† ‡ …3x2
2x…x ‡ 1† ln…x ‡ 1† ‡ x2 ; …3x2
y ˆ xx
5 2x  ;
2x 3
p
2 2 ‡ x x2 x2 4x ‡ 6
1†ln x ‡ x2
i
i
Considerate le funzioni f …x† indicate, risolvi le equazioni e disequazioni indicate a fianco di ciascuna
di esse.
21 y ˆ x ‡ 1
x
22 y ˆ
f …1†
sin x
cos x 2
23 y ˆ ln x
x
1
24 y ˆ xex
25 y ˆ arctan x ‡ 1
x
‰ , Š
xf 0 …1† ˆ f … 1†
‰x ˆ
p
3
sin x f ‡ cos x f 0 …† ˆ
3
3
…x
2e1
1†f 0 …x†
x
e f …x† ˆ 3
p
x2 4
x
_ xˆ
2
xˆ
f …x† ‡ f 0 …1† > f …2†
…3x2
1†f 0 …x†
f 00 …x† <
‰x > e
f 0 …x†
> 1
f …x†
x
x<
x f …x†
<0
1 ‡ x2
ln x
27 y ˆ p
1 ‡ x2
f 0 …x† ‡
28 y ˆ x ‡ arctan x
x f 0 …x† ‡ f 00 …x† < x3
i
6
1
2
1Š
6x3 …1 ‡ x†
…2x2 ‡ 2x ‡ 1†2
26 y ˆ
h
xˆ
2Š
p
2 2 _
p
p
2 3‡3<x<2 3‡3
p 2<x<0 _ 2<x<2 2
‰x < 0Š
‰ 1 < x < 0 _ x > 1Š
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AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
41
SULLA CONTINUITAÁ E DERIVABILITAÁ
Studia la continuitaÁ e la derivabilitaÁ delle seguenti funzioni classificando i punti di non derivabilitaÁ.
29 y ˆ jx3
2x2 ‡ xj
30 y ˆ jx3
3xj
‰x ˆ 0 punto angolosoŠ
p
x ˆ 0, x ˆ 3 punti angolosi
31 y ˆ jsin xj
‰x ˆ 0 ‡ k punti angolosiŠ
x2 ‡ jxj
‰x ˆ 3 disc. seconda specie; x ˆ 0 punto angolosoŠ
x 3
8
x0
<x ‡ 2
‰x ˆ 0 disc. prima specie; x ˆ 1 punto angolosoŠ
33 y ˆ 3x
0<x<1
:
2
4x
1 x1
( p
x2 9
jxj > 3
‰x ˆ 3 discontinuit
34 y ˆ p
a prima specie; x ˆ 3 cuspideŠ
jx 3j jxj 3
8 2
< ax ‡ 2x x 2
, determina i valori dei parametri reali a e b per i
35 Data la funzione f …x† ˆ
: b
x>2
3x 8
‰a ˆ 2, b ˆ 8Š
quali sono continue la funzione f e la sua derivata prima.
32 y ˆ
x2 ‡ 3x 5
x2 ‡ ax ‡ b
36 Data la funzione f …x† ˆ
1x1
, determina i valori dei parametri reali a
1<x4
‰a ˆ 7, b ˆ 7Š
e b per i quali la f eÁ continua e derivabile.
8 2
2 x<0
ax
>
>
<
bx
2c
0 x 3 , determina i valori dei parametri reali a, b, c, d in
37 Data la funzione f …x† ˆ
>
>
: d
x>3
x
modo che la funzione sia continua in x ˆ 0 e in x ˆ 3 e derivabile in x ˆ 0. Esistono dei valori dei
‰8a 2 R, b ˆ 0 ^ c ˆ 1 ^ d ˆ 6Š
parametri per i quali la funzione eÁ derivabile anche in x ˆ 3?
ln…ax2 ‡ bx ‡ 1†
arctan x ‡ c
38 Data la funzione f …x† ˆ
x0
, determina i valori dei parametri reali a, b,
x<0
c, affinche la funzione sia derivabile nell'origine.
39 Data la funzione f …x† ˆ
cos x ‡ sin x
ax2 ‡ bx ‡ c
‰8a 2 R, c ˆ 0, b ˆ 1Š
x
, stabilisci per quali valori reali dei parametri a,
x>
b, c la funzione eÁ continua e derivabile due volte in x ˆ .
40 Data la funzione f …x† ˆ
2ex cos x ‡ a sin x
3b
aˆ 1,bˆ
2
1
2
, c ˆ ‡ 2
2
2
x0
, stabilisci se esistono valori dei paramex>0
tri reali a e b per i quali la f risulta continua e derivabile in R.
aˆ
2, b ˆ 2
3
42
AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
8 2
ax
bx
>
>
>
<
41 Determina il piuÁ vasto insieme numerico in cui la funzione f …x† ˆ a sin x c
>
>
>1
:
‡b
x
x<0
0x< 2
x
2
eÁ continua e derivabile e per quali valori dei parametri reali a, b, c lo eÁ.
R
no
;aˆ 1,bˆ
2
1,cˆ0
Descrivi la derivabilitaÁ delle seguenti funzioni f …x† di cui eÁ dato il grafico.
42 Il
grafico eÁ cosõÁ costituito:
una semicirconferenza per 0 x < 2
un arco di parabola per 2 x 5
una semiretta per x > 5.
grafico eÁ cosõÁ costituito:
una retta per 0 x < 2
una semicirconferenza per 2 x < 4
un arco di circonferenza (un quadrante) per
4x<5
un arco di parabola per x 5.
43 Il
44 Il
grafico eÁ cosõÁ costituito:
un arco di iperbole equilatera per 7 x <
un arco di curva esponenziale 2 x < 2
un segmento di retta per 2 x < 4
una semicirconferenza per 4 x 6.
2
PROBLEMI
r
2
1 nel suo punto P
45 Scrivi l'equazione della retta tangente alla funzione di equazione y ˆ 9x
x
p
p di ascissa 1.
yˆ 5 2x‡ 3 2
4
4
46 Scrivi l'equazione delle rette tangenti alla funzione di equazione y ˆ 1 x3 ‡ 3 x2 ‡ x
3
2
no parallele alla retta y ˆ x ‡ 3.
yˆ
x
1 che so-
11 ; y ˆ
6
x
5
3
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AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
47 Determina le ascisse dei punti della curva di equazione y ˆ 1 x4
2
retta tangente ha coefficiente angolare uguale a 2.
2
48 Calcola le coordinate dei punti della funzione f …x† ˆ x
2x
dicolare alla retta di equazione 3x ‡ 6y ‡ 1 ˆ 0.
x3
43
x2 ‡ 5x ‡ 3 nei quali la
1, 3
2
1 nei quali la retta tangente eÁ perpen1
‰…0, 1†, …1, 0†Š
49 Determina le coordinate dei punti nei quali la tangente alla curva di equazione y ˆ x 2 forma
x‡7
‰… 4, 2†, … 10, 4†Š
un angolo di con l'asse delle ascisse.
4
50 Quali sono i punti della funzione di equazione y ˆ ln …x3
parallela all'asse x?
6x† in cui la tangente
eÁ
al grafico
p
51 Trova l'equazione della retta tangente alla curva di equazione y ˆ
d'intersezione con l'asse x.
p
2x 1
2, 5ln 2
2
2 nel
suo punto
yˆ 1x
2
5
4
52 Trova le coordinate dei punti in cui il grafico della funzione f …x† ˆ ln …x2 3† ha le tangenti
parallele alla retta di equazione x y ‡ 3 ˆ 0 e determina le loro equazioni.
‰A…3, ln 6†; x
3 ‡ ln 6 ˆ 0Š
y
53 Data la parabola di equazione y ˆ 2x2 ‡ ax 1, determina il coefficiente a in modo che l'equazione della retta ad essa tangente nel suo punto di ascissa 0 passi anche per il punto
di coordinate
… 2, 3†.
y ˆ 2x2 2x 1
b in modo che essa abbia come
54 Determina i coefficienti a e b della curva di equazione y ˆ ax ‡
x2
normale nel punto di coordinate … 1, 2† la retta di equazione y ˆ 3 x ‡ 11 . a ˆ 5 , b ˆ 1
3
3
7
7
55 Dopo aver determinato il punto P di intersezione delle curve C1 di equazione y ˆ x3 2x ‡ 1 e
C2 di equazione y ˆ 3x3 ‡ x2 ‡ 4, determina la normale a C2 in P e le ascisse dei punti in cui la
tangente a C1 eÁ inclinata di 45 rispetto alla direzione positiva dell'asse delle ascisse.
‰x ‡ 7y
13 ˆ 0; x ˆ 1Š
56 Trova i coefficienti della curva di equazione y ˆ ax3 ‡ bx2 ‡ cx ‡ d in modo che il suo grafico
passi per i punti di coordinate …0, 2† e …1, 1†, e nel punto di ascissa 2 abbia come retta tangente
quella di equazione y ˆ 3x 6.
8 3 14 2 13
yˆ
9
x
9
x ‡
9
x‡2
57 Considerata la funzione f …x† ˆ 2x2 ‡ ln …2x ‡ 1† determina le coordinate dei punti in cui si annulla la derivata seconda e calcola poi le equazioni delle rette tangenti alla f in tali punti.
‰…0, 0†; y ˆ 2xŠ
58 Data la funzione f …x† ˆ
3
ax
1
, determina i valori dei parametri reali a e b in modo che il grax2 ‡ b
fico di f passi per il punto A…1, 3† e che in tale punto la retta tangente sia parallela alla bisettrice
del primo e terzo quadrante.
17
5
aˆ
8
,bˆ
8
59 Considerata la funzione f …x† ˆ log5 x 2, siano A il punto della curva di ascissa 5 e B il punto
di ordinata 3. Determina l'ascissa di un punto P sull'arco AB in modo che la tangente in P alla
f sia parallela alla corda AB.
12
xP ˆ
5ln 5
44
AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
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60 Determina i coefficienti dell'equazione y ˆ ax2 ‡ bx ‡ c in modo che la parabola corrispondente
abbia vertice di ascissa 5 e sia tangente alla retta di equazione y ‡ 5x 2 ˆ 0 nel punto B di
2
y ˆ x2 5x ‡ 2; x 5y ‡ 10 ˆ 0
ascissa 0. Scrivi poi l'equazione della normale in B alla curva.
61 Dimostra che se una funzione f …x† eÁ pari, allora la sua derivata eÁ dispari e, reciprocamente, se
f …x† eÁ dispari la sua derivata eÁ pari.
8
< 2x ‡ a
2x0
1 x
determina per quali valori dei
62 Considerata la funzione f …x† ˆ
: 2
x ‡ bx 3 0 < x 4
parametri reali a e b essa eÁ continua e derivabile; scrivi poi l'equazione della retta tangente a
f …x† nel punto x ˆ 0.
‰a ˆ 3, b ˆ 1, y ˆ x 3Š
63 Date le funzioni f …x† ˆ a ln…2 ‡ x2 † e g…x† ˆ ax2 ‡ b, stabilisci, al variare di a, b 2 R, l'esistenza di punti che ammettono la stessa retta tangente e trova l'equazione di tali rette.
‰8a 2 R : b ˆ a ln 2; y ˆ a ln 2Š
64 Determina il valore del parametro reale k per il quale le curve di equazioni y ˆ 3x2 ‡ 2kx e
y ˆ 4x4 ‡ 3kx2 ‡ 3x sono tangenti nell'origine del sistema di riferimento e trova poi l'equazio
ne della retta tangente comune.
3
kˆ
2
; y ˆ 3x
3† e g…x† ˆ x 6 determina del coordinate dei punti di uguale
x 2
ascissa in cui i rispettivi grafici hanno tangenti parallele; trova poi le equazioni di tali tangenti.
65 Date le funzioni f …x† ˆ ln…x
‰A…4, 0†, B…4,
1†; y ˆ x
4, y ˆ x
5Š
66 Considerata la curva di equazione y ˆ a tan x ‡ b, determina per quali valori dei parametri reali
p
, 2 3 ‡ 1 tangente parallela alla retta 8x y ˆ 0. Costruisci poi il
a e b essa ha nel punto P
3
‰a ˆ 2, b ˆ 1Š
grafico della curva ottenuta.
67 Calcola per quale valore del parametro a le curve di equazioni y ˆ ax3 ‡ 2x ‡ a e y ˆ ax2 ‡ 8
5
sono tangenti nel punto di ascissa 1 e trova poi l'equazione della tangente comune.
a ˆ 2 ; 4x
5
5y ‡ 6 ˆ 0
p
68 Date le funzioni f …x† ˆ x2 3 e g…x† ˆ x2 ‡ ax ‡ b, stabilisci per quali valori di a, b 2 R le
‰a ˆ 2, b ˆ 1Š
funzioni f e g hanno la stessa retta tangente nel punto di ascissa 2.
69 Stabilisci in quale punto dell'intervallo ‰0, aŠ la curva di equazione y ˆ xn ha la tangente paral
lela alla corda AB, essendo A il punto di ascissa 0 e B quello di ascissa a.
a

x ˆ np
1
n
x
1
70 Data la funzione f …x† ˆ 1 ‡
, calcola l'equazione della retta ad essa tangente nel suo punx
to di ascissa 1. La funzione eÁ continua e derivabile nell'origine?
‰y ˆ …2ln 2
1†…x
1† ‡ 2, in x ˆ 0 discontinuit
a eliminabile e f …x† non derivabileŠ
71 Determina per quali valori dei parametri reali a, b, c, la funzione y ˆ ax2 ‡ 2bx ‡ c e le sue derivate successive soddisfano la relazione y ‡ 2y 0 y 00 ˆ 4x2 ‡ 2x 30 per ogni valore reale della
variabile x.
‰a ˆ 4 ^ b ˆ 7 ^ c ˆ 6Š
72 Determina per quali valori dei parametri reali a e b la funzione di equazione y ˆ e ax
soddisfa le seguenti condizioni:
2bx ‡ a
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
a. 2y 0 …0†
45
AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
2 y 00 …0† ˆ 4
3
b. y…0† ˆ 0.
aˆ
5
3
1, b ˆ
73 Sono date le due funzioni f …x† ˆ ex e g…x† ˆ e2x . Verifica che entrambe soddisfano l'equazione
A : y 000 2y 00 y 0 ‡ 2y ˆ 0. Mostra poi che anche la funzione h…x† ˆ a f …x† ‡ b g…x†, soddisfa la A 8a, b 2 R.
74 Determina per quale valore del parametro reale a la funzione f …x† ˆ a sin x soddisfa l'equazione
A : y 00 3y ˆ 4sin x.
p
p
Mostra poi che anche le funzioni g…x† ˆ e 3x sin x e h…x† ˆ e 3x sin x sono soluzioni della stessa equazione e stabilisci, motivando adeguatamente la risposta, se lo sono anche le funzioni che hanno le seguenti equazioni:
p
p
a. y ˆ ae 3x ‡ be 3x sin x
b. y ˆ a g…x† ‡ b h…x†
‰a ˆ 1; a: 8a, b 2 R; b: a ‡ b ˆ 1Š
dove a e b sono parametri reali.
2
x , determina l'ascissa (positiva) del punto Q nel quale la retta tan75 Data la funzione f …x† ˆ x
x‡3
gente alla f eÁ parallela alla retta di equazione 25y 13x ‡ 1 ˆ 0; trova poi le coordinate del pun to P di f per il quale la retta PO eÁ perpendicolare a QO.
2
7 35
Q 2,
76 Dopo aver tracciato il grafico della funzione di equazione y ˆ
presenza di punti di discontinuitaÁ e/o di non derivabilitaÁ.
5
;P
3
,
3
q
x2 …x ‡ jxj† ‡ 1, deduci la
‰continua in R; punti angolosi in x ˆ 1 e x ˆ 0Š
2
77 Considerata la funzione f …x† ˆ ax ‡ b , determina i valori dei parametri reali a e b in modo che
x‡2
il suo grafico risulti tangente nel punto P…1, 1† alla parabola avente vertice in V…3, 1†.
5
aˆ ,bˆ
2
11
2
78 Una circonferenza ha centro in un punto C di ascissa 2 ed eÁ tangente alla curva di equazione
circonferenza e della tangente co-
y ˆ 3x2 2ln x nel punto di ascissa 1. Trova l'equazione della
2x2 ‡ 2y2 8x 11y ‡ 21 ˆ 0; y ˆ 4x 1
mune.
2
3 trova, se esistono, le coordinate dei punti P di f nei quali la retta
79 Data la funzione f …x† ˆ x
x‡1
tangente passa per il punto A…0, 1†; se tali punti esistono, trova le equazioni delle rette tangenti.
(Suggerimento: considerato il punto P di f di ascissa k, scrivi l'equazione della retta tangente in
P e imponi che passi per il punto A)
P
1,
2
11 , y ˆ 9x
2
1; l'altra retta tangente e l'asintoto obliquo y ˆ x
80 Considerata la funzione f …x† ˆ ln x ‡ x, stabilisci se essa ammette punti nei quali:
a. la retta tangente passa per l'origine degli assi
b. la retta tangente eÁ inclinata di rispetto alla direzione positiva dell'asse x
4
c. la retta tangente eÁ parallela all'asse x.
In caso affermativo, determina le coordinate di tali punti.
1
‰a: …e, 1 ‡ e†; b. non esistono punti; c. non esistono puntiŠ
46
AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
81 L'equazione oraria di un moto rettilineo eÁ s ˆ 3 cos 2t
zione dopo 2 secondi dall'inizio del moto.
3
; determina la velocitaÁ e l'accelera4
p
6
vˆ 3
2
p p p
2 m/s; a ˆ 3 6 ‡ 2 m/s2
82 Due punti materiali si muovono sulla stessa retta con equazioni orarie s1 ˆ 3t2 2t e
1
s2 ˆ 3 ‡ t ‡ t2 ; calcola le loro velocitaÁ e le loro accelerazioni nel momento in cui si incontrano.
2
2
2
v1 ˆ 10m/s; a1 ˆ 6m/s ; v2 ˆ 4; 5m/s; a2 ˆ 2m/s
1 2
x ‡ 6x; nel punto A di ascissa 2 la
2
componente della velocitaÁ lungo l'asse x eÁ di 3m/s. Calcola la componente verticale e il valore
h
i
p
della velocitaÁ tangenziale.
83 In un moto parabolico la traiettoria ha equazione y ˆ
vy ˆ 12m/s; v ˆ
84 Un punto materiale P descrive una curva che ha equazioni parametriche
153m/s
x ˆ 2ln t
con t > 0
y ˆ t2 1
ed espresso in secondi e x e y espressi in metri. Trova l'equazione y ˆ f …x† della curva e determina:
a. la distanza di P dall'origine del sistema di riferimento dopo 2s
b. le componenti cartesiane della velocitaÁ all'istante t ˆ 2 e la direzione della velocitaÁ tangenziale
c. l'accelerazione di P all'istante t ˆ 1 e la sua direzione.
y ˆ ex
p
1; a: 3,3m; b: vx ˆ 1m/s, vy ˆ 4m/s, 75,96 ; c: a ˆ 2 2m/s2 , ˆ 3 4
SUL DIFFERENZIALE
Calcola il differenziale delle seguenti funzioni relativo al punto e all'incremento indicati.
85 y ˆ arctan x ‡ 2x ‡ 1
in x ˆ 3
con x ˆ 0,1
‰df ˆ 0,21Š
in x ˆ 1
86 y ˆ 1 ln x 2
6
x‡2
p
87 y ˆ 2x 9 x2 ‡ 2sin x in x ˆ 0
3
con x ˆ 0,01
con x ˆ 0,02
‰df ˆ 0,08Š
88 y ˆ ln x
con x ˆ 0,03
‰df ˆ 0,005Š
x2
4
in x ˆ 6
89 Confronta il differenziale della funzione di equazione y ˆ 3x2
per un incremento x ˆ 0,1 con l'incremento della funzione.
‰df ˆ
0,0022Š
1 nel punto di ascissa x ˆ 8 e
‰dy ˆ 4,8; f …x† ˆ 4,83Š
90 Utilizzando il differenziale, calcola un valore approssimato di cos 46 .
p
(Suggerimento: sapendo che cos 45 ˆ 2 , puoi determinare la variazione approssimata del va2
lore del coseno nel passaggio da x ˆ 45 a x ‡ x ˆ 45 ‡ 1 valutando il differenziale della
funzione f …x† ˆ cos x con x ˆ 1 ; ricorda che se un angolo eÁ espresso in gradi la derivata della
sin x)
‰0,694765Š
funzione coseno eÁ
180
p
91 Utilizzando il differenziale, calcola un valore approssimato di 26, e0,2 , ln 0,42.
‰5,1; 1,2;
0,58Š
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
47
Utilizzando il differenziale, risolvi i seguenti problemi.
92 Calcola di quanto varia l'area di un triangolo avente un angolo di ampiezza inscritto in una
3
semicirconferenza di raggio r ˆ 6m quando il raggio subisce un incremento r ˆ 3mm.
dS ˆ 0,031177m2
93 Due lati consecutivi di un triangolo ABC sono lunghi 30cm e 20cm e l'angolo fra essi compreso
eÁ
157,35cm2
di 31,62 . Calcola un valore approssimato dell'area del triangolo.
94 Calcola un valore approssimato della lunghezza di una corda AB di una circonferenza di raggio
‰10,1723cmŠ
10cm che sottende un angolo al centro di 61,14 .
95 Calcola di quanto aumenta approssimativamente il volume di una sfera che ha raggio rˆ 4dm in
2; 011dm3
corrispondenza dell'aumento di 1mm del raggio.
96 Calcola di quanto varia l'area del trapezio isoscele di lato obliquo 5m circoscritto ad una semicirconferenza di raggio r ˆ 4m quando il raggio subisce un incremento r ˆ 2 10 4 m.
s ˆ 0,0025m2
97 L'energia W immagazzinata da un condensatore in funzione del suo potenziale V e della sua capacitaÁ C eÁ espressa dalla relazione W ˆ 1 CV2 . Se C ˆ 240 10 9 F, come varia l'energia se il po
2
6
tenziale passa da 12V a 11,4V?
1,728 10
Joule
98 Un conduttore ai cui estremi eÁ applicata una differenza di potenziale V ˆ 150V eÁ attraversato
da una corrente di 12 10 3 A. Come varia l'intensitaÁ di corrente se V varia di 3V?
i ˆ 0,24 10 3 A
48
AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
A REA 2:
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
IL CALCOLO DIFFERENZIALE
TEOREMI SULLE FUNZIONI DERIVABILI
2
Per ricordare
H
Le funzioni derivabili godono di alcune proprietaÁ che sono riassunte
in una serie di teoremi i piuÁ importanti dei quali sono i seguenti.
Teorema di Rolle. Se una funzione f …x † eÁ continua in un intervallo
‰a, b Š, derivabile in …a, b † ed inoltre f …a† ˆ f …b †, allora esiste almeno un punto c 2 …a, b † in cui f 0 …c † ˆ 0.
Il teorema garantisce in sostanza l'esistenza di punti nei quali la
retta tangente eÁ parallela all'asse x.
Teorema di Lagrange. Se una funzione f …x † eÁ continua in un intervallo ‰a, b Š ed eÁ derivabile in …a, b †, allora esiste almeno un punf …b † f …a †
ˆ f 0 …c †.
to c 2 …a, b † per il quale vale la relazione
b a
Il teorema garantisce in sostanza che esistono dei punti nei quali
la retta tangente alla curva rappresentata dalla funzione eÁ parallela alla corda che passa per i punti A e B di ascissa a e b.
Conseguenze immediate di questo teorema sono le seguenti:
± se f 0 …x † > 0 in un intervallo I, allora f …x† eÁ crescente in I
± se f 0 …x † < 0 in un intervallo I, allora f …x† eÁ decrescente in I
± se f 0 …x † ˆ 0 in tutti i punti di un intervallo I, allora f …x† eÁ costante in I
± se due funzioni f …x † e g…x † hanno derivate uguali in tutti i punti di un intervallo I, allora esse differiscono per una costante.
Teorema di Cauchy. Se due funzioni f …x † e g…x † soddisfano le seguenti ipotesi:
± sono entrambe continue in ‰a, b Š
± sono entrambe derivabili in …a, b †
± g 0 …x † non si annulla mai in …a, b †
f …b † f …a †
f 0 …c †
allora esiste almeno un punto c 2 …a, b † per il quale vale la relazione
ˆ 0 .
g …c †
g…b † g…a†
H
Altri teoremi importanti che permettono di semplificare il calcolo di un limite sono i seguenti.
Primo teorema di de L'HoÃpital. Se f …x † e g…x † sono due funzioni definite e continue nell'intorno I di un
punto x0 (escluso al piuÁ x0 ) e soddisfano le seguenti ipotesi:
± f … x0 † ˆ g … x0 † ˆ 0
± f …x † e g…x † sono derivabili in I escluso al piuÁ x0
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
± g 0 …x † non si annulla mai in I escluso al piuÁ x0
± esiste lim
x!x0
f 0 …x †
g 0 …x †
allora esiste anche lim
x!x0
f …x †
g …x †
ed eÁ
lim
x!x0
f …x †
f 0 …x †
ˆ lim 0 .
g…x † x!x0 g …x †
Secondo teorema di de L'HoÃpital. Se f …x † e g…x † sono due funzioni definite e continue nell'intorno I di
un punto x0 (escluso al piuÁ x0 ) e soddisfano le seguenti ipotesi:
± lim f …x † ˆ lim g…x † ˆ 1
x!x0
x!x0
± f …x † e g…x † sono derivabili in I escluso al piuÁ x0
± g 0 …x † non si annulla mai in I escluso al piuÁ x0
± esiste lim
x!x0
f 0 …x †
g 0 …x †
allora esiste anche lim
x!x0
f …x †
g …x †
ed eÁ
lim
x!x0
f …x †
f 0 …x †
ˆ lim 0 .
g…x † x!x0 g …x †
In pratica questi due teoremi affermano che, nelle ipotesi indicate, se un limite si presenta nella forma
0
1
allora si puoÁ calcolare, a condizione che esista, il limite del rapporto delle
indeterminata oppure
0
1
derivate delle due funzioni che si trovano al numeratore e al denominatore. Per esempio:
ln …x 2 ‡ 1†
lim p ˆ lim
x!‡1
x!‡1
x3 4
H
2x
p
3
4
x 2 ‡ 1 ˆ lim 4 x
ˆ0
2
x!‡1 3…x ‡ x 3 †
3x
p
2 x3 4
Ricordiamo che gli zeri di una funzione f …x † sono i valori di x per i quali risulta f …x † ˆ 0; dal punto di
vista geometrico essi rappresentano le ascisse dei punti di intersezione del grafico di f …x † con l'asse x.
L'esistenza e l'unicitaÁ degli zeri di una funzione in un certo intervallo sono garantiti dai seguenti teoremi.
Teorema (di esistenza). Se una funzione f …x † eÁ continua in un intervallo chiuso e limitato ‰a, bŠ e se
f …a† e f …b † sono di segno opposto, allora esiste almeno un punto c 2 …a, b† per il quale f …c† ˆ 0.
Teorema (di unicitaÁ). Se f …x † ammette uno zero c nell'intervallo ‰a, bŠ e:
± se f …x † eÁ derivabile in …a, b† e se f 0 …x † non si annulla mai in in tale intervallo, allora c eÁ il solo zero
in ‰a, bŠ
± se f …x † eÁ derivabile due volte in …a, b† e se f 00 …x † non si annulla mai in tale intervallo, allora c eÁ il
solo zero in ‰a, bŠ.
H
Un altro problema di grande interesse eÁ quello che riguarda l'approssimazione di una funzione f …x †
nell'intorno di un suo punto x0 . Questo problema puoÁ essere risolto in prima approssimazione con il
calcolo del differenziale di f …x †, ma puoÁ essere affrontato con una precisione maggiore costruendo
dei polinomi di grado n, detti polinomi di Taylor, che si ottengono con la formula:
f 0 … x0 †
Pn … x † ˆ f … x 0 † ‡
…x
1!
f 00 …x0 †
x0 † ‡
…x
2!
f 000 …x0 †
x0 † ‡
…x
3!
2
…n†
f … x0 †
x0 † ‡::::::: ‡
…x
n!
3
x0 † n
49
50
AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
E SERCIZI
SUI TEOREMI DI ROLLE, LAGRANGE E CAUCHY
Stabilisci se le seguenti funzioni soddisfano le ipotesi del teorema di Rolle nell'intervallo indicato e,
in caso affermativo, calcola le ascisse dei punti che ne soddisfano la tesi.
3
1 f …x† ˆ x ‡ 2x2 3x ‡ 1
3
p

3
2 f …x† ˆ x2 2x
3 f …x† ˆ
1 jxj
x 2
4 f …x† ˆ …x
(
5 f …x† ˆ
‰0, 2Š
x2
x<1
log 12 x
x1
8 2
3x
x<0
>
<x
6 f …x† ˆ ln …x ‡ 1† 0 x < 1
>
:
x ln 2
x1
8
x< 1
>
< 2…x ‡ 1†
7 f …x† ˆ log2 …x ‡ 2†
1x2
>
: 2
x
2
x>2
2
‰x ˆ 1Š
‰ 1, 1Š
p
1† 4 x2
1
p
xˆ 7
‰ 1, 2Š
‰non derivabile in x ˆ 0Š
f …0† 6ˆ f …2†
‰0, 2Š
p 2, 2
‰non derivabile in x ˆ 1Š
f … 1† 6ˆ f …2†
‰ 1, 2Š
‰ 2, 2Š
‰non derivabile in x ˆ
1Š
8 Data la funzione di equazione y ˆ sin2 x a sin x, verifica che il teorema di Rolle eÁ applicabile
nell'intervallo ‰0, Š per qualunque valore reale di a. Determina poi per quali valori del parametro a esiste un solo c che soddisfa il teorema nell'intervallo dato e calcolane il valore.
h
i
a 0 _ a > 2; c ˆ 2
9 Determina i valori dei parametri reali a e b in modo che alla funzione
8 3
1x0
>
<x ‡ 1
f …x† ˆ x2 ‡ ax ‡ b
0<x<1
>
p
:
2
…x 2† ‡ 3 1 x 2 ‡ 3
si possa applicare il teorema di Rolle nell'intervallo in cui essa eÁ definita; trova poi le ascisse dei
‰a ˆ 0, b ˆ 1; x ˆ 0, x ˆ 2Š
punti che soddisfano il teorema.
10 Determina i valori dei parametri reali a, b, c in modo che alla funzione
(
ax2 ‡ bx ‡ c 0 x < 5
f …x† ˆ p
x 4
5x8
si possa applicare il teorema di Rolle nell'intervallo in cui essa eÁ definita; trova poi le ascisse dei
punti la cui esistenza eÁ assicurata dal teorema.
7
9
45
aˆ
50
,bˆ
10
, c ˆ 2; x ˆ
14
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
51
11 Stabilisci per quali valori del parametro reale a la funzione f …x† ˆ ln ja ‡ 3 cos 3xj eÁ continua;
posto poi a ˆ 4, determina un intervallo nel quale sia applicabile il teorema di Rolle.
h
continua per a <
h
ii
3 _ a > 3; un possibile intervallo , 3
2j
j
12 Stabilisci se alla funzione f …x† ˆ 9 x puoÁ essere applicato il teorema di Lagrange nell'inter6 x
vallo ‰0, 4Š e, in caso affermativo, trova le ascisse dei punti che ne soddisfano la tesi.
‰la funzione non e derivabile in x ˆ 3Š
13 Dopo aver determinato per quali valori reali dei parametri a e b eÁ applicabile il teorema di Lagrange alla funzione
8
< 3x2 ‡ ax x 1
f …x† ˆ
: b2
x>1
x
nell'intervallo ‰0, 2Š, determina l'ascissa del punto che ne soddisfa la tesi.
a ˆ 4 ^ b ˆ 1; x ˆ 31
48
14 Dopo aver determinato per quali valori reali dei parametri a e b eÁ applicabile il teorema di Lagrange alla funzione
8
2x 1
>
0x 1
<
x‡3
2
f …x† ˆ
>
1 <x2
: ax2 ‡ bx 1
2
nell'intervallo ‰0, 2Š, determina l'ascissa del punto che ne soddisfa la tesi.
aˆ
15 Data la funzione di equazione f …x† ˆ
x3
x2
ax ‡ a
20 , b ˆ 24 ; x ˆ 127
7
7
120
0x1
, determina il valore del para1<x2
metro a in modo che sia applicabile il teorema di Lagrange nell'intervallo ‰0, 2Š; calcola poi i va
p lori di x dei quali il teorema garantisce l'esistenza.
aˆ
1; x ˆ
30
6
16 Stabilisci per quali valori dei parametri a e b si puoÁ applicare il teorema di Lagrange alla funzio8p

3
>
x0
< x ‡ 1 ‡ sin x
5 , b ˆ 11
‰
Š.
a
ˆ
ne f …x† ˆ
nell'intervallo
1,
1
1 x a‡b x<0
6
6
>
: ax2 ‡ a ‡
2
17 Data la funzione f …x† ˆ
…x ‡ a†2
2x2 ‡ bx ‡ c
x0
x>0
dove a, b, c sono tre parametri reali, stabilisci
per quali valori di tali parametri essa soddisfa nell'intervallo ‰ 1, 1Š :
a. il teorema di Rolle e determina poi in tale caso le ascisse dei punti che soddisfano la tesi del
teorema
1
1
1
1
,bˆ
,cˆ
;xˆ
aˆ
4
2
b. il teorema di Lagrange in modo che il punto che ne soddisfa la tesi abbia ascissa
16
1
.
8
8
8a, b ˆ 2a, c ˆ a2
52
AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
18 Considera l'arco di parabola di equazione y ˆ ax2 ‡ bx ‡ c che ha come estremi i punti di ascissa e con < . Dimostra che il punto dell'arco che verifica il teorema di Lagrange nell'in‡
.
tervallo ‰, Š ha ascissa x ˆ
2
2
19 Stabilisci se eÁ possibile applicare il teorema di Cauchy alle funzioni f …x† ˆ e 2x e g…x† ˆ 1 x2
nell'intervallo ‰ 1, 0Š e, in caso affermativo, trova i valori di x dei quali il teorema garantisce
"
r#
l'esistenza.
2
xˆ
1 ln 1 e
2
2
20 Considerate le funzioni f …x† ˆ j4x 5j e y ˆ x2 ‡ 3 determina in quale intervallo della forma
‰a, 7Š puoÁ essere applicato il teorema di Cauchy.
5
4
a<7
21 Date le funzioni f …x† ˆ a sin2 x ‡ cos x e g…x† ˆ 2 sin x
1, determina il valore del parameh
i
tro reale a in modo che esse soddisfino il teorema di Cauchy nell'intervallo 0, e nel punto
2
‰a ˆ 1Š
x ˆ .
3
à PITAL
SUI TEOREMI DI DE L'HO
Calcola i seguenti limiti applicando quando eÁ possibile i teoremi di de L'HoÃpital.
22 lim tan x…sin x
x! 2
1†
‰0Š
(Suggerimento: trasforma la forma di indeterminazione 0 1 nella forma 0 scrivendo la funzio0
ne come sin x 1 )
1
tan x
23 lim xe
x!0
1
x
‰x ! 0 :
24 lim …cos x
1†cotan x
x!0
25
lim x sin
x!1
26 lim x2 ln
x!0
27
28
29
1
x
lim x2 ln
lim
x! 1
‰0Š
1
x
‰ 1Š
1 ‡ x3
1
1 x2 ln…3 x†
lim …9
x!3
‰0Š
‰1Š
1
x
x!‡1
1; x ! 0‡ : 0Š
3 x
x2 †
‰‡1Š
‰1Š
(Suggerimento: tenendo presente che f …x†g…x† ˆ e g…x† ln f …x† , trasforma la funzione nella forma
2
e…3 x† ln…9 x † e calcola lim …3 x† ln…9 x2 † )
x!3
30 lim …e
x!0
31
x
x†
2
x
1
lim …ln x† x
x!‡1
‰1Š
‰1Š
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
2
32 lim …e2x
x2 † x
x!0
‰e4 Š
1
33 lim …3x ‡ x† x
‰3eŠ
x!0
1
lim …x3 ‡ 5x† ln x
x!‡1
x5
2
x
2x
35 lim
x!‡1
x3 ‡ 4
pxx 1
3
x ‡ 4x
36 lim
x!‡1
2x2 1
x2
1
5x
37 lim
x!‡1
3 5x
34
38 lim …x
x!2
39
40
41
lim
x!‡1
1† x
1
p

x
x2
1
lim x ln x
1
1† 2‡x
x!‡1
‰‡1Š
‰1Š
2
x! 2
sin x
43 lim …x3 ‡ 2x†
1
44 lim …cos 2x† x
‰e 2 Š
2
x!0
45 lim …cos x† 2
‰e2 Š
‰1Š
x!0
x
‰1Š
x! 2
x
lim‡ …ln x† 2
‰1Š
x!0
h
ix
47 lim log 12 x2
‰1Š
x!0
48 lim … x†sin x
x!
ln…2
1
49 lim‡
x!1
x 1
‰1Š
x2 †
‰1Š
p
e
2
3‡4 ln x
x!0
x!4
‰1Š
‰eŠ
lim …x3
51 lim ‰ln…5
‰1Š
‰1Š
x!0‡
50 lim x
‰e3 Š
‰eŠ
2
tan x
42 lim …1 ‡ 2 cos x†
46
53
x
x†Š
1
4
…sin 3x† cos 3x
52 lim
x! 6
x
ln…2 x†
1
53 lim
x!1
1 x
1
x 1 x1
54 lim
x!‡1
3 x2
‰1Š
6
‰1Š
‰1Š
54
AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
1
55 lim …1 ‡ cos x
sin x† tan x
56
ln x
2
x! 4
lim …1 ‡ sin x†
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
e
1

p
2
4
‰1Š
x!0‡
1
57 lim …1 ‡ x3 † x ‡sin x
4
4
‰‡1Š
x!0
1
58 lim …cos x† x
2
x!0
59 lim …sin x†1 cos x
x!0
x1
2
60 lim
e x ‡1
x!‡1
x
1
x
sin
x
61 lim
x!0
x
p1
e
‰1Š
‰1Š
2
‰e 16 Š
x
62 lim …arctan x3 †
x!0
3x
63 lim
2
x!1 …x
1†
‰1Š
ln x
‰1Š
PROBLEMI
64 Date le funzioni f …x† ˆ x2 2x ‡ 1 e g…x† ˆ x2 , determina un h 2 R e un c 2 … 1, h† in modo che sia f 0 …c† ˆ 2 g 0 …c†.
(Suggerimento: applica il Teorema di Cauchy all'intervallo ‰ 1, hŠ)
hˆ 5,cˆ 1
3
3
65 Di un triangolo ABC si conoscono le lunghezze di due lati consecutivi, AB ˆ 5m e BC ˆ 3m.
Esprimi l'area del triangolo in funzione dell'angolo x compreso fra i due lati e stabilisci per quali
h
valori di x l'area assume valori crescenti.
i
0<x<
66 Calcola il valore di lim
x!‡1
x2
e
x
x1
al variare di in R.
2
‰ < 2 : ‡1; ˆ 2 : e; > 2 : 1Š
67 Per ognuna delle seguenti funzioni stabilisci se si puoÁ calcolarne il limite per x ! ‡1 e spiega se
il calcolo puoÁ essere effettuato ricorrendo al teorema di de L'HoÃpital:
a. f …x† ˆ
x2 tan x
3x2 ‡ tan x
b. f …x† ˆ
x2 sin x
x ‡ cos x
c. f …x† ˆ
4x2
sin x ‡ cos x
sin x x2
‰il limite non esisteŠ
‰‡1; noŠ
‰ 4; noŠ
68 Servendoti del teorema di Rolle dimostra che la funzione f …x† ˆ e2x ‡ x ammette una sola soluzione nell'intervallo ‰ 1, 1Š.
(Suggerimento: verificato che esiste almeno una soluzione, supponi per assurdo che ne esistano
due distinte x1 e x2 ; poiche f …x1 † ˆ f …x2 † ˆ 0, deve esistere almeno un punto c 2 …x1 , x2 † in cui
la derivata prima della funzione si annulla. Poiche tale punto non esiste .......)
69 Servendoti del teorema di Rolle, dimostra che la funzione f …x† ˆ 2x5 3x4
ha quattro punti nei quali la retta tangente eÁ parallela all'asse delle ascisse.
4x3 ‡ 3x2 ‡ 2x
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
55
AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
70 Dimostra che la funzione y ˆ arctan x ‡ arctan 1 eÁ costante e determina il valore di tale coh
i
x
stante sia per x > 0 che per x < 0.
x>0: ;x<0: 2
2
2
71 Determina per quali valori del parametro reale k la funzione f …x† ˆ 2x ‡ kx eÁ crescente in
x k
x ˆ 3.
p
p
6
3 6<k<
6‡3 6
72 Considerata la funzione di equazione y ˆ ax3 ‡ …a 1†x2 2x ‡ a, stabilisci per quali valori del
parametro reale a essa eÁ decrescente 8x 2 R. Esistono dei valori di a per i quali la funzione eÁ
p
p
sempre crescente?
2
3 a 2 ‡ 3; no
73 Studia la crescenza e la decrescenza della funzione f …x† ˆ
‰k > 0 : cresce per
kx al variare di k in R.
x2 ‡ 1
1 < x < 1; k ˆ 0 : funzione costante y ˆ 0; k < 0 : cresce per x <
1 _ x > 1Š
74 Determina quali condizioni devono soddisfare i parametri reali a e b affinche la funzione
p
x‡a
passi per il punto P…0, 2† e sia decrescente in tale punto. In tali condizioni, posto
f …x† ˆ
2x ‡ b
b ˆ 1, studia la crescenza e la decrescenza della funzione f .
"
4,
a ˆ 4b ^ b < 0 _ b > 1 ; D :
16
2
1
2
[
#
1 , ‡ 1 , sempre decrescente
2
4x2 ‡ 1 eÁ simmetrica rispetto al suo punto di ascissa 4 e am3
mette tre zeri; determina quindi gli intervalli di ampiezza massima 1 a cui appartiene ciascuna
soluzione.
7 9
75 Verifica che la funzione f …x† ˆ x3
2 … 1, 0†, 2 …0, 1†, c 2
2
,
2
76 Verifica che la funzione f …x† ˆ xex 3 ammette uno zero nell'intervallo ‰1, 2Š e stabiliscine l'unicitaÁ.
77 Considerata la funzione f …x† ˆ x 3 ln 1 , verifica che ammette un solo zero nell'interx
x 1
vallo ‰2, 3Š e che non ne ammette altri.
78 Verifica che la funzione f …x† ˆ x…x
tervallo ‰4, 5Š.
5† ‡ ln x si annulla in un solo punto che appartiene all'in-
79 Un punto percorre una retta con velocitaÁ v ˆ
la velocitaÁ aumenta?
2 3 3 2
t ‡ t
3
2
3 4
t
4
tempo la velocitaÁ aumenta ed in quali diminuisce.
80 Un corpo si muove secondo la legge oraria s ˆ
1 2
t
2
t ‡ 1. In quale intervallo di tempo
1 <t<1
2
1. Determina in quali intervalli di
aumenta se t > 1 , diminuisce se 0 < t < 1
3
3
81 La velocitaÁ di un corpo varia secondo la legge v…t† ˆ t ln t
il corpo accelera e in quali decelera.
t. Indica in quali intervalli di tempo
‰0 < t < 1 : decelera; t > 1: acceleraŠ
8
0t1
<5
82 La velocitaÁ di un punto materiale varia secondo la legge v…t† ˆ t ‡ 4
1<t<2 .
:
2
t ‡ 6t 2 2 t 10
Traccia il grafico della funzione velocitaÁ e descrivi il moto del corpo in funzione di t specificando
56
AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
gli intervalli di tempo in cui il corpo accelera o decelera; trova poi in quale istante raggiunge la
p massima velocitaÁ e quando la velocitaÁ eÁ nulla.
vmax in t ˆ 3; v nulla in t ˆ 3 ‡ 7
SUI POLINOMI DI TAYLOR
Determina il polinomio di Taylor di ordine n che approssima la funzione f …x† nel punto x0 indicato.
p
1
3
3
nˆ3
x0 ˆ 0
83 f …x† ˆ 1 ‡ x
P3 …x† ˆ x ‡ 1
x
84 f …x† ˆ e
x
nˆ2
x0 ˆ 1
85 f …x† ˆ ln x ‡ x2
nˆ3
x0 ˆ 2
86 f …x† ˆ ex ln x
nˆ3
x0 ˆ 1
87 f …x† ˆ x cos x
nˆ5
x0 ˆ 0
p
cos x
nˆ4
x0 ˆ 0
88 f …x† ˆ
2
P2 …x† ˆ
e…x2
2x ‡ 3†
2
3
2
P3 …x† ˆ ln 2 ‡ x ‡ 15x ‡ 36x 44
24
e…x 1†…2x2 x ‡ 5†
P3 …x† ˆ
6
P5 …x† ˆ 1 x5 1 x3 ‡ x
24
2
1 x4 1 x2 ‡ 1
P4 …x† ˆ
96
4
89 Calcola un valore approssimato di e 0,31 e valuta l'errore usando il resto di Lagrange.
(Suggerimento: scritto lo sviluppo della funzione ex con n ˆ 3 e x0 ˆ 0, sostituisci il valore 0,31
…n‡1†
f
…† n‡1 nel polinomio ottenuto; l'errore eÁ dato dall'espressione x che in questo caso eÁ
…n ‡ 1†!
e
uguale a x4 ; poiche in un intorno sinistro dello zero la funzione ex eÁ minore di 1, si puoÁ dire
4!
x4
‰0,73308483, E < 0,0003848Š
che l'errore eÁ minore di , cioeÁ ...............)
4!
90 Calcola un valore approssimato di sin 0,2 e dai una stima dell'errore commesso.
‰0,19866, E < 5 10 5 Š
91 Calcola un valore approssimato di cos 0,3 e dai una stima dell'errore commesso.
‰0,9553375, E < 2 10 5 Š
92 Calcola un valore approssimato di ln 1,03 e dai una stima dell'errore commesso.
0,02955880223, E < 10
Risultati di alcuni esercizi.
82.
10
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
A REA 2:
IL CALCOLO DIFFERENZIALE
PUNTI ESTREMANTI E PUNTI DI INFLESSIONE
3
Per ricordare
H
H
Considerata una funzione f …x † definita in un intervallo ‰a, b Š:
un punto x0 2 ‰a, b Š eÁ un punto di minimo relativo per f …x † se f …x0 † eÁ il valore piuÁ piccolo che la
funzione assume in un intorno di tale punto, cioeÁ se esiste un intorno di x0 per tutti i punti x del quale
f …x † f …x 0 †;
in questo caso f …x0 † eÁ il minimo relativo della funzione
un punto x0 2 ‰a, b Š eÁ un punto di massimo relativo per f …x † se f …x0 † eÁ il valore piuÁ grande che la
funzione assume in un intorno di tale punto, cioeÁ se esiste un intorno di x0 per tutti i punti x del quale
f …x † f …x 0 †;
in questo caso f …x0 † eÁ il massimo relativo della funzione.
Per determinare i punti di massimo e di minimo relativi di una funzione continua e derivabile basta studiare il segno della derivata prima in modo da
stabilire quando la funzione cresce, quando decresce e quali sono i punti
stazionari; dalla tabella dei segni risultano in questo modo evidenti i punti
estremanti.
Se la funzione eÁ continua ma non eÁ derivabile in un punto x0 , eÁ necessario
studiare il suo comportamento in un intorno di tale punto: se la derivata prima ha un segno nell'intorno sinistro e
segno opposto nell'intorno destro, allora x0 eÁ un punto estremante.
Se la funzione non eÁ continua in un punto x0 si possono presentare situazioni simili a quelle nella figura
in basso; lo studio del segno della derivata prima non eÁ in questi casi decisivo per l'individuazione dei
punti estremanti ed occorre applicare la definizione.
57
58
H
H
AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
I punti di massimo o di minimo assoluti di una funzione f …x † in un intervallo ‰a, b Š sono i punti in cui la
funzione assume il valore piuÁ grande o il valore piuÁ piccolo rispetto a tutti gli altri punti dell'intervallo;
essi, se esistono, vanno ricercati fra i massimi o i minimi relativi, oppure fra i valori assunti dalla funzione negli estremi dell'intervallo considerato.
La derivata seconda di una funzione rappresenta la concavitaÁ della curva: se eÁ
negativa la concavitaÁ eÁ rivolta verso il basso, se eÁ positiva eÁ rivolta verso l'alto.
Essa ci consente poi di trovare i punti di flesso della funzione. In particolare,
per individuarli si deve:
trovare i punti che annullano la derivata seconda o quelli in cui essa non esiste
studiare il segno della derivata seconda
H
dedurre dalla tabella ottenuta quali punti rappresentano dei flessi.
Per trovare i punti di massimo e di minimo relativo e i punti di flesso di una funzione f …x †, in alternativa
ai metodi precedenti e se esistono le derivate successive di f …x † fino a quella di ordine n, si puoÁ seguire
questa procedura:
si cercano i punti x0 che annullano la derivata prima e si calcolano le derivate successive in x0 fino a
che se ne trova una che eÁ diversa da zero; se questa eÁ di ordine n, allora:
± se n eÁ pari e f …n† …x0 † > 0 ! x0 eÁ un punto di minimo
± se n eÁ pari e f …n† …x0 † < 0
!
x0
eÁ un punto di massimo
± se n eÁ dispari
!
x0
eÁ un punto di flesso a tangente orizzontale
si cercano i punti x0 che annullano la derivata seconda e si calcolano le derivate successive in x0 fino
a che se ne trova una che eÁ diversa da zero; se questa eÁ di ordine n, allora:
± se n eÁ dispari
eÁ un punto di flesso
!
x0
…n†
!
in x0 la funzione eÁ concava verso l'alto
…n†
!
in x0 la funzione eÁ concava verso il basso.
± se n eÁ pari e f …x0 † > 0
± se n eÁ pari e f …x0 † < 0
E SERCIZI
Trova i punti di massimo e di minimo relativi delle seguenti funzioni.
q
3
2
1 f …x† ˆ …x 3†
2 f …x† ˆ
p
p
x‡2‡2 4 x
3 f …x† ˆ
jx 5j
p
x
4 f …x† ˆ e
5 f …x† ˆ
x
‡ 2x
p
3 sin x ‡ cos x
6 f …x† ˆ 3 x
7
p
x2 ‡ 9
M
4 , p
30 ; m
5
‰m…3, 0†, cuspideŠ
p p 2, 2 3 , m 4, 6
‰m…5, 0†Š
‰m… ln 2, 2 2 ln 2†Š
M ‡ 2k, 2 ; m 4 ‡ 2k, 2
3
3
p
p 9 10
6 10
,
M
20
7
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
m…1, 0†; M e 2 , 8e 2
p
e 63
,
M
2e
3
7 f …x† ˆ 2x ln2 x
8 f …x† ˆ 7 ln2 3x
x
p

5
9 f …x† ˆ 5 x3 x3

p
 q
3
3
2
10 f …x† ˆ x ‡ …x 2†2
m… 1,
h
M…1, 2†; m 0,
2ex …x2 ‡ 1†
p
2
1
12 f …x† ˆ x2
4
x
‰M…1, 0†Š
‰m…4, 2†Š
‰M… 1, 0†; m…1, 0† entrambi cuspidiŠ
h
M
p 64 10
, m…2, 0†, m…0, 0†
M 2,
125
5
"
!#
r
p
p 2 3
2
, 2
M 1, 2 ; m
9
3
p
p
2‡x x‡1
p
2
18 f …x† ˆ ln 4x 2 x
x
M 3 , 8 ln 2 3 ln 3
8
2
M
x
19 f …x† ˆ 2xe
2x 1
1, p
1  , m…1, 2e†
2 2 e
M…0, e†, m , 1
3
in ‰0, 2†
m 1 , 1 ; M…0, 0†
2
2
arccos 1 2x
1 ‡ 2x
21 f …x† ˆ x
i
p p p p 2, 2 ; M 2, 2 ; m… 2, 0†; m…2, 0†; m…0, 0†, cuspide
2 p
2† x
20 f …x† ˆ ecos x
Determina il minimo e il massimo assoluti delle funzioni date negli intervalli indicati.
22 y ˆ x3
in ‰0, 4Š
2x
23 y ˆ sin x…cos x ‡ 1†
in ‰0, 2Š
x
x3 ‡ 1
p
25 y ˆ x2 ‡ 3
in ‰0, ‡ 1Š
24 y ˆ
2
26 y ˆ x ‡ 9
3x
p
x
‰ne massimi ne minimiŠ
2
13 f …x† ˆ px
x 3
q
3
…x2 1†2
14 f …x† ˆ
x

p
4
15 f …x† ˆ x2 …4 x2 †
17 f …x† ˆ
4†; M…1, 4†
i
 p
p 3
4 , m 2, 3 4 entrambi cuspidi
11 f …x† ˆ
16 f …x† ˆ …x
59
p
4 6
; 56
9
p
p 3 3 3 3
;
4
4
p 3
0; 4
3
p 1; 3
in ‰1, 3Š
in
5,
1
2
37 ;
6
2
60
AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
27 y ˆ
px
1‡ x 1
28 y ˆ x
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
p
2 2
in ‰1, 3Š
in ‰0, Š
cos 2x
29 y ˆ sin x ‡ 1
2 cos x
‰ 1; 1Š
0; 4
3
p
p
3 6‡5
6
; F2
,
concavit
a verso l'alto: x <
9
3
x4 ‡ 15x3 ‡ 2
concavit
a verso l'alto: 0 < x < 15 ; F1 …0, 2†; F2 15 , 50657
2
2
16
6
6
_ x>
; F1
3
3
32 y ˆ 2x5
10x4 ‡ 15x3
x3
x
‰concavit
a verso l'alto: x <
concavit
a verso l'alto: x <
27
2
35 f …x† ˆ 23x
x ‡1
p
x 3
36 y ˆ
x
concavit
a verso l'alto:
38 f …x† ˆ x
5
1 _ x > 1; non esistono flessiŠ
 3
p
p p
3 3 2 _ x > 3; F 3 3 2, 2
27
p
p
3
3
<x<
; F1
3
3
p
p
3 3
3 3
; F2
,
,
4
4
3
3
p p
p 4 108
concavit
a verso l'alto: x > 6 ‡ 2 3; F 6 ‡ 2 3,
12
h
i
p
p
concavit
a verso l'alto: 0 < x < 3 2; F1 …0, 0†; F2 3 2, ln 3
37 f …x† ˆ ln…1 ‡ x3 †
2sin x
‰concavit
a verso l'alto: 2k < x < ‡ 2k; punti di flesso in x ˆ kŠ
1
39 y ˆ e x
‰concavit
a verso l'alto 8x 2 DŠ
2
40 f …x† ˆ e
6 3 6
,
9
3
‰concavit
a verso l'alto: x > 0; F…0, 0†Š
4
33 y ˆ 22x
x
1
34 y ˆ
3
in ‰0, 2Š
Studia la concavitaÁ e trova i punti di flesso delle seguenti funzioni.
30 f …x† ˆ 1 x4 x2 x
4
p
p
p
p
31 y ˆ
p
2; 3 2
concavit
a verso l'alto: x < 1
2‡x x2
42 f …x† ˆ x
x2
41 f …x† ˆ eln x
concavit
a verso l'alto: x >
1
x
2ln x
43 y ˆ ln sin x
p p
p 6
6
p6
;F
,
2
2
2e e
‰concavit
a verso l'alto: x > 1; F…1, 0†Š
‰concavit
a sempre verso il basso in …k, ‡ k†; non esistono flessiŠ
2
44 f …x† ˆ arcsin 3x2 1
6x ‡ 1
‰concavit
a sempre verso il basso, non ci sono flessiŠ
1
concavit
a verso l'alto: x > 1 ; F 1 ,
2
2
arccos x
h
concavit
a verso l'alto: 0 < x < 1; F 0,
45 f …x† ˆ arctan
46 f …x† ˆ x
p
p
p
p
2 _ x> 1‡ 2; F 1
2 , e 74 ; F 1 ‡ 2 , e 74
1
2
2
2
2
2
x
x
4
i
2
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
61
AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
Determina le coordinate degli eventuali punti di flesso delle seguenti funzioni e scrivi l'equazione
della tangente inflessionale.
F1
x
47 y ˆ p3
1 ‡ x2
3
48 y ˆ x ‡ 8
x
x
49 y ˆ p5
x2 ‡ 5
p 1, 2 2 , 2y
p
2x
p
p
p
5 2 ˆ 0; F2 1 , 5 , 4 5x ‡ 5y
2
p
7 5ˆ0
‰F1 … 2, 0†; 6x ‡ y ‡ 12 ˆ 0Š
"
F1
5 , p5 ; 4p5x
2
p p
p
2 6
; 5 6x ‡ 18y
45y ‡ 55 5 ˆ 0; F2 1,
3
#
p
17 6 ˆ 0
PROBLEMI
50 Stabilisci per quali valori del parametro reale k, la funzione y ˆ 1
4kx2 ha punti estremanti.
x 3
k<0 _ k> 1
36
51 Stabilisci per quali valori dei parametri reali a e b la funzione f …x† ˆ ln…ax2
massimo relativo nel punto A…1, 0†.
bx† presenta un
‰a ˆ
1, b ˆ
2Š
ax , verifica che ammette tre flessi per qualunque valore non nullo
x2 ‡ 1
del parametro reale a e che tali flessi appartengono ad una stessa retta di cui si chiede l'equa
p zione.
p
52 Data la funzione f …x† ˆ
3
a ; y ˆ 1 ax
4
4
F1 …0, 0†; F2,3 3, 53 Della funzione f …x† di equazione y ˆ ax3 ‡ bx2 ‡ cx ‡ d si sa che ha un minimo nel punto
A… 1, 3† e un punto di flesso di ascissa 1. Qual eÁ l'equazione di queste curve?
y ˆ ax3
3ax2
9ax
5a ‡ 3, affinche in A ci sia un minimo deve essere a < 0
3
54 Determina per quali valori del parametro reale k la funzione di equazione y ˆ ex 3kx‡1 ammette
due estremi relativi distinti. Per tali valori di k, scrivi poi l'equazione del luogo geometrico deh
i
scritto dal punto di massimo.
2x3 ‡1
k > 0; y ˆ e
55 Studia e rappresenta il luogo dei punti descritto dal punto estremante della funzione
di equazio-
2
3
ne y ˆ kx2 ‡ …2k ‡ 1†x 3k.
yˆ x
2…x
1†
3
b presenta un flesso
56 Stabilisci per quali valori dei parametri reali a e b la funzione f …x† ˆ ax
x 1
nel punto P…2, 2†. In corrispondenza di tali valori trova poi i punti estremanti della funzione.
aˆ
1,bˆ
3
2 ; punto di massimo in x 3
0,68
57 Determina i valori dei parametri reali a e b in modo che la funzione di equazione
y ˆ ln …x2 ‡ 2ax ‡ b† abbia un estremo relativo nel punto di ascissa x ˆ 1 e un flesso in
‰a ˆ 1, b ˆ 5; P…1, 3 ln 2†Š
x ˆ 3. Determina poi l'ulteriore punto di flesso.
58 Determina il valore dei parametri reali della funzione f …x† ˆ ax3 ‡ 3x ‡ b in modo che la curva
da essa rappresentata abbia un massimo relativo uguale a zero e intersechi l'asse
x nel punto di
p
p
aˆ 1,bˆ 2 2
ascissa 2 2.
2
62
AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
59 Studia la natura dei punti stazionari della famiglia di funzioni y ˆ 8ke2x ‡ 8k2 ex ‡ k3 x al variare del parametro reale k 6ˆ 0. Determina poi l'equazione del luogo descritto da tali punti. punti stazionari (flessi) solo per k < 0; equazione del luogo: y ˆ 32e3x …3
2x†
60 Stabilisci se esiste un legame fra i punti estremanti delle funzioni f …x† e e f …x† ; esiste lo stesso
legame anche per i punti di flesso?
61 Calcola i massimi, i minimi e gli zeri delle funzioni f …x† ˆ x3 ‡ x2 2x e g…x† ˆ jx3 ‡ x2 2xj.
Prendendo spunto da queste due funzioni,
descrivi la relazione che esiste in generale tra i punti
estremanti delle funzioni f …x† e f …x†.
62 Studia i punti di massimo e minimo, assoluti e relativi, della funzione y ˆ x2 ‡ 2x 3jxj ‡ 3 nell'intervallo ‰ 3, 2Š. 2 massimo relativo in x ˆ 3, x ˆ 0 (punto angoloso); massimo assoluto in x ˆ 2; 3
4
minimo relativo in x ˆ 1 , minimo assoluto in x ˆ
2
5
5
2
63 Studia i punti stazionari della funzione y ˆ 1 ‡ sin 1 .
x x
infiniti flessi nei punti di ascissa x ˆ
1
,k2R
‡ 2k
64 Dimostra che qualunque cubica di equazione y ˆ ax3 ‡ bx2 ‡ cx ‡ d eÁ simmetrica rispetto al
punto di flesso e che, di conseguenza, gli eventuali punti di massimo e di minimo relativi sono
simmetrici rispetto a tale punto.
PROBLEMI DI MASSIMO E DI MINIMO ASSOLUTO
65 Preso un punto P su un segmento AB di lunghezza `, costruisci la semicirconferenza di diametro
PB ed il triangolo equilatero APC di lato AP nello stesso semipiano definito dalla retta AB; determina la posizione di P in modo che sia minima l'area della figura ottenuta. Successivamente
traccia da C la retta tangente in Q alla semicirconferenza e determina come deve essere scelto il
punto P in modo che sia massima l'area del triangolo QOC, essendo O il centro della semicir
p
p conferenza.
2 3`
9
17
; area…QOC† massima per x ˆ
posto BP ˆ x, area minima per x ˆ p
2 3‡
`
8
66 Su una semicirconferenza di diametro AB ˆ 2r prendi un punto P e un punto Q tali che siano
congruenti gli archi PQ e BQ. Determina la posizione del punto P in modo che sia massimo
ili
h
perimetro del quadrilatero ABQP.
d ˆ
PAB
3
67 Una circonferenza eÁ concentrica ad una seconda circonferenza 0 di raggio unitario ed eÁ ad essa
interna. Da un punto R di 0 conduci le rette tangenti alla circonferenza che la incontrano in P e
Q. Determina la misura del raggio r di in modo che il triangolo PQR abbia area massima. Valuta poi il perimetro di questo triangolo e verifica che ad esso corrisponde anche il massimo pe
rimetro.
1
rˆ
2
d ˆ e BC ˆ a. Determina un punto P sul lato
68 E' dato il triangolo ABC rettangolo in A con ABC
3
AC in modo che sia massima l'area del trapezio rettangolo BHPK, dove H eÁ la proiezione di P
sull'ipotenusa BC e K eÁ il punto in cui la parallela per P al lato BC interseca AB.
2 p
PC ˆ
7
3a
69 Data la semicirconferenza di diametro AB ˆ 2r e centro O, sia CD una corda parallela al diametro e sia E il punto medio dell'arco AB; indicate con H e K le proiezioni dei punti C e D sul diametro, determina la posizione di CD in modo che l'area del pentagono CEDKH sia massima.
posto CH ˆ x, area massima in x ˆ 1 r
2
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
63
70 Sia XOY un angolo retto di vertice O; considerati i punti A e B sul lato OX in modo che sia
OA ˆ a e OB ˆ b, con a < b, sia P un punto del lato OY. Posto OP ˆ x, per quale valore di
p
d
x risulta massima l'ampiezza dell'angolo APB?
x ˆ ab
71 Verifica che fra tutti i trapezi isosceli di perimetro dato p e di base maggiore data a, quello che ha
area maggiore eÁ il rettangolo.
72 Per il vertice A di un triangolo equilatero di lato ` conduci una retta r che non interseca il trian0 AB ˆ x, determina il valore di x in modo
golo e siano B 0 e C 0 le proiezioni di B e C su r; Posto Bd
h
i
che l'area del quadrilatero BCC 0 B 0 sia massima.
xˆ
3
73 Fra i trapezi inscritti in una semicirconferenza di raggio r, determina quello per il quale eÁ massima la somma di un lato obliquo con il doppio di una diagonale. In corrispondenza di tale valore, calcola il perimetro e l'area del trapezio.
indicato con x l'angolo alla base del trapezio, x ˆ arctan 2; 2p ˆ
p
4
32 2
r 4 ‡ 5 ; area ˆ
r
5
25
e lati obliqui
6
AC ˆ CB ˆ 1. Indicato con M il punto medio della base, determina come deve essere tracciata
A ‡ A2
una corda PQ parallela ad AB in modo che sia massimo il rapporto 1
, essendo A1 l'area
A3 ‡ A2
p PC ˆ 2
del triangolo PMQ, A2 l'area del triangolo PCQ e A3 l'area del triangolo APM.
74 Sia ABC un triangolo isoscele di base AB con gli angoli alla base di ampiezza
2
75 Dimostra che fra i poligoni regolari aventi lo stesso perimetro p:
a. l'area cresce al crescere del numero dei lati;
b. considerati i poligoni regolari che si possono usare per la tassellatura di un piano, l'esagono eÁ
quello di area massima.
76 Sia P un punto di una semicirconferenza di diametro AB ˆ 2r e centro O; determina la posizione
di P in modo che il solido che si ottiene facendo ruotare il triangolo AOP di una rotazione
com-i
h
pleta attorno alla retta del diametro abbia volume massimo.
d ˆ
PAO
4
77 Un cono ha come base una circonferenza di centro O e raggio r e altezza h; stabilisci la posizione
che deve assumere un piano parallelo alla base se si vuole che il cono che
ha per base la sezione
ottenuta e per vertice il punto O abbia volume massimo.
h
distanza fra le due basi
3
78 Si taglia una sfera di raggio unitario con due piani paralleli situati dalla stessa parte rispetto al
centro O e distanti rispettivamente x e 2x da O; calcola il valore di x in modo che il segmento
p sferico delimitato da questi due piani abbia volume massimo.
7
xˆ
7
79 Nel triangolo ABC rettangolo in B la somma dei cateti eÁ `. Sia V il volume del solido che si ottiene facendo ruotare ABC di una rotazione completa attorno ad una retta r passante per A e
parallela a BC. Esprimi V in funzione della lunghezza dei cateti determinando, in particolare,
il suo valore massimo e per quale lunghezza dei cateti si ottiene.
posto AB ˆ x, Vmax ˆ 8 `3 per x ˆ 2 `
81
3
80 Sia M il punto medio del lato AB ˆ ` del triangolo equilatero ABC; preso un punto D nel lato
AC, esprimi in funzione di AD ˆ x:
a. il perimetro del triangolo DMB
b. la somma dei quadrati di MD e BD.
a: x ˆ 1 `; b: x ˆ 3 `
3
8
Determina per quali valori di x le due funzioni ottenute sono minime.
64
AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
81 Sull'arco della parabola di equazione y ˆ x2 ‡ 2x che appartiene al primo quadrante, determina un punto P in modo che sia massimo il volume del solido che si ottiene da una rotazione
com pleta del segmento PO intorno all'asse delle ascisse.
6 24
P
5
,
25
82 In un piano cartesiano ortogonale sono date la parabole P1 e P2 entrambe tangenti nell'origine
O alla retta y ˆ 4x e passanti la prima per A… 4, 0†, la seconda per B… 2, 0†. Conduci per O una
retta r che tagli ulteriormente P1 e P2 rispettivamente nei punti M e in N situati nel terzo quadrante; determina l'equazione di r in modo sia massima l'area del quadrilatero MNM 0 N0 , essen-
do M 0 e N 0 le proiezioni di M e N sull'asse delle ascisse.
4
yˆ
3
x
2
y2
83 Una retta r parallela all'asse delle ascisse taglia l'ellisse di equazione x ‡
ˆ 1 nei punti A e B;
9
4
indicati con C e D i vertici dell'ellisse appartenenti all'asse x, determina l'equazione di r in modo
p yˆ 3
che il trapezio ABCD abbia area massima.
84 Scrivi l'equazione della parabola : y ˆ ax2 ‡ bx ‡ c avente vertice nel punto V…1, 1† e passante
per l'origine O degli assi cartesiani; fra le rette per O che intersecano la parabola in un punto P
del primo quadrante, determina:
a. quella per la quale eÁ massima l'area del quadrilatero convesso avente i vertici nei punti O, V,
P, A essendo A l'ulteriore punto di intersezione di con l'asse delle ascisse
b. indicata con H la proiezione di P sull'asse y, quella per la quale eÁ massimo il volume del solido
che si ottiene facendo ruotare il triangolo OPH di una rotazione completa attorno all'asse y.
Verifica che i due massimi si ottengono in corrispondenza della stessa retta.
a: y ˆ 1 x; b: y ˆ 1 x
2
2
85 Considerate le rette r : y ˆ 2 e s : y ˆ 2x 2 che si intersecano in A, sia t la retta per l'origine
degli assi cartesiani il cui coefficiente angolare m eÁ compreso fra 0 e 2. Indicato con P il punto di
intersezione di r e t e con Q quello di intersezione di s e t, determina per quale valore di m si ha
‰m ˆ 1Š
che il prodotto AQ AP eÁ minimo.
86 Sia P un punto di ascissa positiva dell'iperbole equilatera y ˆ 1 e sia P 0 il suo simmetrico rispetx
to all'origine degli assi; detto A il punto in cui la retta per P tangente all'iperbole incontra l'asse
x, determina le coordinate di P in modo che sia minima l'espressione AP ‡ PP 0 . Esiste un punto
‰minimo in P…1, 1†; non esiste valore massimoŠ
P per il quale tale espressione eÁ massima?
87 Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y che passa per l'origine e ha vertice
nel punto V…2, 4†; detti A e B i suoi punti di intersezione con le rette x ˆ 1 e x ˆ 6, determina un punto P sull'arco AB di parabola in modo che la distanza di P dalla retta AB sia massima. In corrispondenza di un tale P, che cosa puoi dire dell'area del triangolo ABP?
P 5,
2
15
4
88 Data la circonferenza di centro C…4, 0† e passante per l'origine, siano B la sua ulteriore intersezione con l'asse delle ascisse e P un punto dell'arco OB di ordinata positiva; la retta tangente in P
alla circonferenza interseca l'asse y in H. Costruisci la funzione che esprime il rapporto fra l'area
del quadrilatero OBPH e l'area del quadrato di lato OH e verifica che il minimo si ottiene in
‰minimo per P BŠ
corrispondenza di una delle posizioni limite del punto P.
89 Sia P un punto appartenente alla bisettrice del primo e terzo quadrante. Traccia la perpendicolare alla bisettrice passante per P e siano M ed N i punti di intersezione di tale retta con la parabola di equazione y ˆ x2 ‡ 1 (con N interno al segmento PM). Determina le coordinate di P in
modo tale che sia minima la lunghezza del segmento PN.
7 7
P
8
,
8
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
65
90 Sono date la parabola di equazione y ˆ ax2 ‡ 3x e l'iperbole equilatera di equazione xy ˆ b; determina i valori dei parametri a e b in modo che le due curve si intersechino nel punto A…1, 4†.
Verifica inoltre che esse si intersecano in un ulteriore punto B e che in tale punto sono tangenti.
Una retta r parallela alla corda AB interseca la parabola nei punti M e N, l'iperbole nei punti P e
Q. Esprimi, in funzione dell'ordinata all'origine q della retta r le misure dei segmenti MN e PQ e
determina per quale valore di q il rapporto MN eÁ massimo.
PQ
MN ˆ
p
q
p
3 57
5…4q ‡ 1†; PQ ˆ 1 5…q2 ‡ 32†; massimo in q ˆ
2
4
1
91 Date le due curve di equazioni x2 ‡ y2 ˆ 6 e x ˆ y2 , sia A il loro punto di intersezione che appartiene al primo quadrante; le rette tangenti in A alle due curve intersecano l'asse x nei punti P e
Q. Una retta r parallela a PQ interseca i lati del triangolo APQ nei punti R e S; determina l'e
p quazione di r in modo che il triangolo PRS abbia area massima.
yˆ
2
2
66
AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
A REA 2:
IL CALCOLO DIFFERENZIALE
LO STUDIO DI FUNZIONE
4
Per ricordare
H
Per studiare in modo completo una funzione f …x † si deve:
determinare il suo dominio
stabilirne le eventuali periodicitaÁ e simmetrie
studiare il comportamento agli estremi degli intervalli del dominio e trovare gli eventuali asintoti
studiare il segno della funzione e determinare le eventuali intersezioni con gli assi cartesiani
trovare i punti di massimo e di minimo e studiare la crescenza e la decrescenza
trovare i punti di flesso e studiare la concavitaÁ.
Occorre poi tenere presente che:
tutte le equazioni e le disequazioni che si devono affrontare per gli studi dei segni della funzione e
delle sue derivate devono essere risolte nell'ambito del dominio della funzione stessa
conviene sempre evidenziare le eventuali periodicitaÁ, perche in questo caso eÁ possibile studiare la
funzione in un ambito piuÁ ristretto, e le simmetrie rispetto all'asse y o rispetto all'origine, perche in
questo caso si puoÁ studiare la funzione solo per x > 0 (o per x < 0)
il terzo e il quarto punto del precedente elenco possono anche essere invertiti, vale a dire che eÁ indifferente studiare prima il comportamento della funzione agli estremi del dominio e poi il segno della funzione o viceversa
a volte lo studio della derivata seconda eÁ molto impegnativo e comporta calcoli laboriosi o confronti
grafici non sempre immediati; in questi casi, qualora il comportamento della funzione fosse giaÁ chiaro dallo studio della derivata prima, si puoÁ omettere l'analisi della derivata seconda
H
da ultimo ricordiamo che l'individuazione delle coordinate di qualche punto eÁ spesso utile per costruire meglio il grafico della funzione e che a volte eÁ opportuno usare un sistema dimetrico per evidenziarne le caratteristiche.
Tracciato il grafico C di una funzione f …x †, da esso si possono dedurre quelli di:
y ˆ f …x †
mediante una simmetria rispetto all'asse x delle parti negative di C
yˆ
f …x †
mediante una simmetria rispetto all'asse x
y ˆ f …x † ‡ k
mediante una traslazione di vettore ~
v …0, k †
y ˆ f …x ‡ h†
mediante una traslazione di vettore ~
v … h, 0†
y ˆ f …jx j†
mediante una simmetria rispetto all'asse y della sola parte di C che appartiene al
semiasse positivo delle ascisse
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
H
67
AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
Ricordiamo da ultimo le sostituzioni che devono essere eseguite nell'equazione della funzione f …x † per
trovare quella della sua corrispondente nelle principali isometrie:
x ! 2a x
nella simmetria rispetto al punto di coordinate …a, b † :
y ! 2b y
nella simmetria rispetto alla retta x ˆ k :
nella simmetria rispetto alla retta y ˆ h :
nella simmetria rispetto alla retta y ˆ x :
nella simmetria rispetto alla retta y ˆ
x:
x ! 2k
y !y
x!x
y ! 2h
x
y
x!y
y !x
x!
y!
y
x
E SERCIZI
Studia le seguenti funzioni e tracciane il relativo grafico (i grafici si trovano al termine dell'unitaÁ).
1 y ˆ …x2
p
3x† x
m 9,
5
r
2 y ˆ x 3x 1
3x ‡ 1
"
asintoto : y ˆ x
p 162 5
; M…0, 0†; F 3 ,
125
5
p
1
5
1;m 1,0 ;M
, 6
3
3
p
p 36 15
125
p #
2 3
2
1,1 ; F
,
9
3
p
x
1
5
1‡ 5
; 0,2 , m
; 13,2 ; F… 1,27; 0,16†
3 y ˆ xe
y ˆ 0 : asintoto orizz. sx.; M
2
2
x 1
p
p
4 y ˆ 3 sin x ‡ cos x
3
1
(Suggerimento: puoi riscrivere la funzione nella forma 2
sin x ‡ cos x ˆ 2 sin x ‡ e
2
2
6
costruirne il grafico mediante particolari trasformazioni)
4
M
p
1
x
5 y ˆ p
x 2
p

3
x‡1

6 yˆ p
3
x 1
7 yˆ
8 yˆ
asintoti : y ˆ
1 dx.; x ˆ 2 dx.; M 4,
asintoti : y ˆ 1, x ˆ 1; sempre decrescente; …0,
q
3
…x2 1†2
x2
q
p
1 x 2x ‡ 3
2
,2 ,m
, 2
3
3
p 2 ; F… 6, 0,7†
2
1
,
1† flesso a tangente verticale; F
8
3
3
simmetria rispetto asse y; asintoti : y ˆ 0, x ˆ 0; …1, 0† : cuspidi;
6 7
 2
p p
4
5
3
M 3,
; quattro flessi di ascisse 0,9 e 2,5
3
p
M 1, 2 ; in x ˆ 3 e x ˆ 1 tangente verticale
2
2
68
AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
p
9 y ˆ ex x2 2x
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
2
6 y ˆ 0 : asintoto orizz. sx.; M
4
flessi in x ˆ 1,48 e x ˆ 2,17
p
x2 1
1
3
p
5
; 0,7 ; in x ˆ 0 e x ˆ 2 tangenti verticali 7
5
2
h
p e i
flessi
a
tangente
orizzontale
crescente
per
x
>
1;
in
x
ˆ
1
tangente
verticale;
2
,
2
x2
2
3
1 asintoto orizz.
in
x
ˆ
0
discontinuit
a
prima
specie
con
salto
1;
x
ˆ
1
4
5
11 y ˆ
2
1
1 ‡ ex
sempre crescente, in x ˆ 0 tangente orizzontale
2
3
r
3 asintoti verticali; nessun punto estremante
y
ˆ
0
:
asintoto
orizzontale;
x
ˆ
6
7
4
6
7
12 y ˆ ln 4x ‡ 3
4
5
4x 3
x < 3 : concavit
a verso il basso; x > 3 concavit
a verso l'alto
4
4
13 y ˆ x 1 ln x
m…1,0†; F… 1,81; 0,27†
10 y ˆ e
x
h
i
1
x ˆ 1 asintoto verticale; m e 3 , 3e , per x ! 0‡ tangente orizzontale
3
14 y ˆ x
ln x
m… 0,28; 15 y ˆ x ln x
x‡1
2
16 y ˆ x
2
17 y ˆ x
18 y ˆ x
x
x ˆ 0 asintoto verticale; M…1,
3ln x
1†, m…2,1
3ln 2†, F 4 ; 3
simmetria rispetto all'asse y; y ˆ arctan 3 : asintoto orizzontale; m 0,
20 y ˆ x2 ‡ arcsin x
sempre crescente;
"
1,03
p
sempre crescente; x ˆ 2 punti di flesso
ln…x2 ‡ 2†
2
1
19 y ˆ arctan 3x2
x ‡1
21 y ˆ x
p
y ˆ x asintoto obliquo; m…1,1†, F e e; 4,15
ln x
x
2
0,28†; in x ˆ 0 tangente verticale; F…1, 0†
p , F 3 , 0
3
4
p
2 , 2 flesso a tangente orizzontale; in x ˆ 1 tangente verticale
2
4
arctan 1 ‡ x
1 2x
p
1
6
1
; a di prima specie con salto ; M
x ˆ discontinuit
5
2
p
1‡ 6
0,71 , m
; 2,04 , F 1 ; 5
5
#
0,9
Studia le seguenti funzioni e costruisci il relativo diagramma (i grafici si trovano al termine dell'unitaÁ).
2x p
22 y ˆ jxj ‡ x
23 y ˆ ln 2
x
1
24 y ˆ x ‡ jln jxjj
26 y ˆ
x2
jxj 2
x 3
2
25 y ˆ x ‡ x 6
jx 2j ‡ 1
27 y ˆ
…x ‡ 1†3
8jxj
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
3
2
28 y ˆ x ‡ x
4…jxj 1†
29 y ˆ ex jx2
30 y ˆ xjln x
31 y ˆ
jxjex
2x 1
33 y ˆ
jxj ln…x2 ‡ 1†
x 1
1j
32 y ˆ ex ln jxj
34 y ˆ x ‡
p
jsin xj
1j
j
35 y ˆ arccos 4
2
36 y ˆ 1 ‡ x ‡ ln jxj
jx 2j
37 y ˆ
69
x2 j
2x
xex
3jxj ‡ 1
Per ciascuna delle seguenti funzioni, traccia il grafico di f …x† e da esso deduci quelli richiesti.
38 f …x† ˆ 1 x3 2x
a. f …x 1†
b. f …jxj†
c. f …x†
3
39 f …x† ˆ 3x2 1
a. f …x†
b. f …x† 2
c. f …jxj†
x ‡1
p
40 f …x† ˆ x 2
a. f … x†
b. f …x ‡ 1†
c. f …x† 1
41 f …x† ˆ
p
4 x2
42 f …x† ˆ x2
1
b. 2f …2x†
c. f …x†
a. e f …x†
b. ln f …x†
c.
1
a. e f …x†
b. ln f …x†
c. f 0 …x†
x2
‡1
a. e f …x†
b. ln f …x†
c. f 0 …x†
x2
a. e f …x†
b. ln f …x†
c. f 0 …x†
x
x2
45 f …x† ˆ x3
2
p
f …x†
4x
2
43 f …x† ˆ x
44 f …x† ˆ
a. 2f …x†
46 Ricordando che una funzione della forma ax ‡ b rappresenta un'iperbole equilatera, traccia i
cx ‡ d
grafici delle seguenti funzioni:
a. f 1 …x† ˆ 1 x
1‡x
b. f 2 …x† ˆ 1 x
1 ‡ jxj
1 x
d. f 1 …x† ˆ 1 ‡ x
1 jxj
1‡x
1 jxj e. f 1 …x† ˆ 1‡x c. f 3 …x† ˆ
47 Considerata la funzione f …x† ˆ
f. f 1 …x† ˆ
e
arctan x
1 jxj
1 ‡ jxj
sin …jx ‡ 1j
p
2
x ‡x‡1
1†
il cui grafico eÁ a lato, costruisci a partire da esso il grafico
e arctan x sin …jx ‡ 1j 1†
p
di g…x† ˆ
.
x2 ‡ x ‡ 1
70
AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
PROBLEMI SULLA COSTRUZIONE DI FUNZIONI
(I grafici di alcune funzioni sono al termine dell'unitaÁ)
2
3 rispetto al punto
48 Scrivi l'equazione della simmetrica della curva di equazione y ˆ x
2x
‡
1 P…1, 2†, studiala e tracciane il grafico.
2
yˆ x
12x ‡ 21
2x 5
p
x2 ‡ 15x ‡ 55, tracciane il grafico e verifica poi che
p
tale curva eÁ simmetrica di quella di equazione y ˆ x2 3x ‡ 1 rispetto al punto P… 3, 2†.
49 Studia la funzione di equazione y ˆ 4
50 Dopo aver studiato la funzione di equazione y ˆ x3 ‡ 6x2 ‡ 12x ‡ 9 e averne costruito il grafico, verifica che essa eÁ simmetrica rispetto al suo punto di flesso. Generalizza i risultati ottenuti
dimostrando che le curve di equazione y ˆ ax3 ‡ bx2 ‡ cx ‡ d sono sempre simmetriche rispetto
al loro punto di flesso.
51 Sia ABCD il trapezio rettangolo in B e C circoscritto a una circonferenza di raggio unitario; indicato con 2x l'angolo di vertice A, esprimi in funzione di x la misura del
perimetro del trapezio e
studia la sua variazione.
2 tan2 x ‡ 4 tan x ‡ 2
2p ˆ
tan x
52 Sull'arco AB di un settore circolare di centro O, raggio r ˆ 1 e ampiezza prendi un punto P e
2
d ˆ x,
traccia da esso la tangente all'arco AB che incontra la retta OA in un punto C. Posto AOP
esprimi in funzione di x il rapporto fra l'area del triangolo OPB e quella del triangolo
OCP.
2
y ˆ cos x
sin x
53 EÁ dato un cilindro di altezza h avente per base un cerchio di centro O e raggio OA ˆ r; prendi un
punto P su OA e traccia per esso la perpendicolare ad OA nel piano della base che interseca la
circonferenza in B e C. Studia la variazione del volume e della superficie totale del prisma di altezza h avente per base il triangolo BCO in funzione della distanza di BC da O, determinando, in
particolare, quando essi assumono il valore massimo.
p
p
p
p
2
2
V ˆ hx r2 x2 , Vmax per x ˆ 2 r; S ˆ 2…x ‡ h† r2 x2 ‡ 2rh, Smax per x ˆ h ‡ 8r
4
2
h
54 I centri O e O 0 di due circonferenze esterne distano fra loro di un segmento lungo 4a ed i loro
raggi sono rispettivamente a e 2a. Da un punto P appartenente a OO 0 ed esterno alle due circonferenze si conducono le rette ad esse tangenti che incontrano la prima in A e B, la seconda in C e
D. Posto OP ˆ x, esprimi in funzione di x:
a. la somma dei segmenti di tangente PA ‡ PC;
b. la somma delle aree delle due calotte che si ottengono facendo ruotare i minori degli archi AB
e CD attorno alla retta dei centri.
Posto a ˆ 1, studia le due funzioni ottenute relativamente alle limitazioni imposte dal problema
determinando, in particolare, la posizione del punto P per la quale esse sono massime.
2
3
p p
2
2‡
2
2 , massimo per x ˆ 4 ;
x
a:
y
ˆ
x
a
8ax
‡
12a
6
3 7
6
7
p
6
7
2
2
4
5
13ax
‡
4a
8
2
4
2 5x
, massimo per x ˆ
b: y ˆ 2a 7
x…x 4a†
55 Una circonferenza di raggio r ˆ 2 e centro O eÁ tangente esternamente in C ad una seconda circonferenza di centro O 0 e raggio x variabile; una delle tangenti comuni non passante per C incontra le due circonferenze in P e Q. Studia, al variare del raggio della seconda circonferenza, la
h
pi
funzione che esprime l'area del quadrilatero POO 0 Q.
…
†
yˆ 2‡x
2x
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
71
AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
56 Data una circonferenza di centro O e raggio 2, sia ABCDEF l'esagono regolare in essa inscritto;
su ciascun lato nello stesso verso considera i segmenti AA 0 , BB 0 , CC 0 , DD 0 , EE 0 , FF 0 tutti di lunghezza x. Studia come varia il rapporto fra l'area di ABCDEF e quella di A 0 B 0C 0 D 0 E 0 F 0 al va-
riare di x.
4
yˆ
x2
2x ‡ 4
d ˆ ; costruisci sul lato BC un altro
57 Dato il triangolo ABC isoscele di base AC, sia AB ˆ 1 e BAC
d ˆ . Calcola, in funzione di , il perimetro del
triangolo isoscele BDC di base BC dove DBC
quadrilatero ABDC e studia la funzione cosõÁ ottenuta determinando, in particolare, quando il
perimetro eÁ minimo.
2 cos2 ‡ cos ‡ 1
yˆ
cos ; minimo per ˆ
4
58 E' dato un settore circolare AOB di ampiezza e raggio r; sia P un punto dell'arco AB. Prolun2
ga il raggio OP di un segmento PQ congruente al raggio e traccia da Q la perpendicolare alla
d ˆ x l'area
retta del raggio OA che la incontra in Q 0 . Esprimi in funzione dell'angolo AOP
0
f …x† del pentagono mistilineo OBPQQ e studia la funzione di equazione y ˆ f …x†; deduci poi
h
i
dal grafico ottenuto quello di y ˆ ln f …x†.
y ˆ r2 x ‡ 2 sin 2x
4
2
59 Un rombo ABCD eÁ formato da due triangoli equilateri di lato 5cm; una retta r parallela alla
diagonale maggiore BD interseca i lati AB e AD rispettivamente in P e in Q. Il segmento PQ,
in una rotazione completa attorno alla retta BD genera un cilindro; trova l'espressione della funzione f …x† che esprime il rapporto fra l'area della superficie laterale di tale cilindro e quella della
sua superficie di base in funzione della distanza x della retta r dalla diagonale BD e studiane l'an
p
damento.
2 3…5 2x†
yˆ
x
60 Un cono di raggio 1 e altezza 5 viene tagliato con un piano parallelo alla base; nel tronco di cono
cosõÁ ottenuto, inscrivi un altro cono avente per base la base minore di tale tronco. Posto uguale a
x il raggio di base del cono inscritto, trova la funzione f …x† che descrive il rapporto tra il volume
del cono inscritto e quello del tronco di cono e costruiscine il grafico, indipendentemente dalle
limitazioni imposte dal problema.
x2
yˆ
x2 ‡ x ‡ 1
61 Sia ABCD un trapezio isoscele inscritto in una semicirconferenza di diametro AB ˆ 2; posto
d ˆ x, costruisci:
DAB
a. la funzione che esprime il perimetro del trapezio;
b. la funzione che esprime il rapporto fra il volume del solido che si ottiene facendo ruotare il
trapezio di una rotazione completa attorno alla retta del diametro e il volume del solido che si
ottiene facendo ruotare il trapezio attorno alla retta della base minore.
Studia le funzioni ottenute e costruiscine il grafico indipendentemente dalle limitazioni imposte
dal problema.
3 4 cos2 x
y ˆ 4…1 ‡ cos x
cos2 x†; y ˆ
3
2 cos2 x
62 Di un triangolo ABC si sa che AB ˆ x 4, AC ˆ 7 x, BC ˆ 1; dopo aver stabilito per quali
valori di x il triangolo esiste, studia e rappresenta graficamente la funzione di equazione
y ˆ 1 ‡ 1 ‡ 1 dove AH, BK, CR sono le altezze del triangolo determinando, in particoAH BK CR
2
lare, quando essa assume il suo valore minimo. 5 < x < 6; y ˆ p
minimo in x ˆ 11
2
2x ‡ 22x
2
60
63 Un cubo di lato unitario ha un foro centrale a forma di cilindro. Esprimi la superficie totale del
solido in funzione del raggio di base x del cilindro; detta f …x† la funzione ottenuta, studia quella
di equazione y ˆ arctan f …x† indipendentemente dalle limitazioni imposte dal problema.
f …x† ˆ 6
2x
2x2
72
AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
64 In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale sono dati il punto A…1, 0†, un punto P che
appartiene alla bisettrice del primo e terzo quadrante e la retta r : y ˆ 2x 1; determina, al variare di P sulla bisettrice, come varia la funzione f …x† che esprime il rapporto fra la distanza del
punto P dalla retta r e dal punto A, determinandone in particolare il massimo ed il minimo as"
p #
soluti ed il comportamento per P ! 1.
j1 xj
10
f …x† ˆ p ; lim f …x† ˆ
10
5…2x2 2x ‡ 1† P!1
65 Date le parabole di equazioni y ˆ x2 3x ‡ 2 e y ˆ x2 ‡ x ‡ 2, siano AB e CD le corde individuate rispettivamente su di esse dalla retta y ˆ k. Determina e studia, in funzione di k, le funzioni che hanno le seguenti equazioni:
p 1 ‡ 4k
y ˆ p
9 4k
h
p pi
y ˆ 1 ‡ 4k ‡ 9 4k
a. y ˆ AB
CD
b. y ˆ AB ‡ CD.
66 In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali xOy, considera la circonferenza di
centro O e raggio 2. Su di essa e nel semipiano delle ordinate non negative, prendi un punto P e
siano PH e PK le sue distanze dall'asse y e dall'asse x rispettivamente. Studia e rappresenta graficamente la funzione di equazione y ˆ PH e verifica che essa non eÁ superiormente limitata.
PK
x
j j
y ˆ p
4 x2
67 In un sistema di assi cartesiani ortogonali sono dati i punti A…k, 0† e B…7, 0† e la retta r di equazione y ˆ 2x ‡ 1; sia C il punto di intersezione di r con la retta ortogonale all'asse delle ascisse e
d ˆ , calcola l'espressione di in funzione di k e studia la funzione
passante per A. Posto ACB
ˆ f …k† cosõÁ ottenuta.
jk 7j
ˆ arctan
j2k ‡ 1j
68 Date le funzioni y ˆ ln x e y ˆ x, siano P un punto della prima e Q un punto della seconda
aventi la stessa ordinata; indicati con P 0 e Q 0 le proiezioni di P e Q sull'asse delle ascisse, esprimi
la funzione di
l'area f …k† del rettangolo PP 0 Q 0 Q in funzione dell'ascissa k del punto P e studia
y ˆ jln kj…k ln k†
equazione y ˆ f …k†.
Risultati di alcuni esercizi.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
73
74
AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
a.
b.
c.
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
39.
a.
b.
c.
40.
a.
b.
c.
41.
a.
b.
c.
42.
a.
b.
c.
43.
a.
b.
c.
44.
a.
b.
c.
45.
a.
b.
c.
75
76
AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
46. a.
b.
c.
d.
e.
f.
48.
51.
52.
54. a.
b.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
AREA 2 - IL CALCOLO DIFFERENZIALE
61. a.
b.
63.
64.
65. a.
b.
67.
68.
62.
66.
77