1 VERIFICA DEI PRINCIPI DI KIRCHHOFF, DEL PRINCIPIO DI

VERIFICA DEI PRINCIPI DI KIRCHHOFF, DEL PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE
DEGLI EFFETTI, DEL TEOREMA DI MILLMAN
Un qualunque circuito lineare (in cui agiscono più generatori) può essere risolto applicando i due
principi di Kirchhoff e risolvendo le r (numero dei rami del circuito = numero delle correnti
incognite) equazioni linearmente indipendenti che si ottengono.
È anche possibile risolvere un circuito lineare, in cui agiscono più cause (generatori), applicando il
Principio di Sovrapposizione degli Effetti. Tale principio è, in genere, conveniente quando le cause
che agiscono sono di natura diversa (generatori continui e generatori alternati).
Se, poi, nel circuito è possibile determinare due punti rispetto ai quali tutti i rami sono in parallelo, è
possibile applicare il teorema di Millman per determinare la differenza di potenziale tra questi due
punti. Calcolata tale differenza di potenziale, si determinano le correnti nei rami e le cadute di
tensione sulle resistenze.
Un semplice circuito che si presta alla risoluzione nei tre modi su citati è quello di figura.
E 1 = 8V ;
E 2 = 10V ;
R 1 = 3,3kΩ ;
R 2 = 4,7 kΩ ;
R 3 = 2,2kΩ
I valori dei generatori, essendo veri e propri generatori e non delle schematizzazioni di elementi non
lineari o altro, devono essere scelti in modo che, in nessun caso, la corrente debba entrare nel
morsetto positivo. Un generatore o un alimentatore è costruito in modo da erogare la corrente e non
da assorbirla. Se dovesse verificarsi ciò il circuito non si comporterà come previsto.
Nel caso del circuito di figura le cose torneranno anche sperimentalmente, in quanto le correnti
hanno proprio il verso riportato nella figura.
Risoluzione del circuito nei tre modi
Risoluzione con i Principi di Kirchhoff
− Vi sono tre rami (r = 3), e, quindi, tre correnti incognite.
− Vi sono due nodi e, quindi, N – 1 = 2 – 1 = 1 nodi indipendenti.
− Vi sono m = r – (N – 1) = 3 – 1 = 2 maglie indipendenti.
Si possono scrivere tre equazioni linearmente indipendenti, una ai nodi e due alle maglie.
1
Scelti i versi di percorrenza di figura e il nodo A, si ha:
⎧I 1 + I 2 = I 3
⎪
⎨E 1 = R 1 I 1 + R 3 I 3
⎪E = R I + R I
2 2
3 3
⎩ 2
⎧I 1 = I 3 − I 2
⎪
⇒ ⎨R 1 I 3 − R 1 I 2 + R 3 I 3 = E 1
⎪R I + R I = E
3 3
2
⎩ 2 2
⇒ − R 1 I 2 + (R 1 + R 3 )I 3 = E 1
Sostituendo i valori e tralasciando la prima equazione, si ha:
⎧⎪− 15,51 ⋅ 10 3 ⋅ I 2 + 25,85 ⋅ 10 3 ⋅ I 3 = 37,6
⎧⎪− 3,3 ⋅ 10 3 ⋅ I 2 + 5,5 ⋅ 10 3 ⋅ I 3 = 8
⇒ ⎨
⎨
3
3
⎪⎩4,7 ⋅ 10 3 ⋅ I 2 + 2,2 ⋅ 10 3 ⋅ I 3 = 10
⎪⎩15,51 ⋅ 10 ⋅ I 2 + 7,26 ⋅ 10 ⋅ I 3 = 33
33,11 ⋅ 10 3 ⋅ I 3 = 70,6
I3 =
70,6
= 2,132mA
33,11 ⋅ 10 3
I2 =
10 − 2,2 ⋅ 10 3 ⋅ I 3 10 − 2,2 ⋅ 10 3 ⋅ 2,132 ⋅ 10 −3
=
= 1,130mA
4,7 ⋅ 10 3
4,7 ⋅ 10 3
I1 = I 3 − I 2 = 2,132 ⋅ 10 −3 − 1,130 ⋅ 10 −3 = 1,002mA
V1 = R 1 I1 = 3,3 ⋅ 10 3 ⋅ 1,002 ⋅ 10 −3 = 3,307V
V2 = R 2 I 2 = 4,7 ⋅ 10 3 ⋅ 1,13 ⋅ 10 −3 = 5,311V
V3 = R 3 I 3 = 2,2 ⋅ 10 3 ⋅ 2,132 ⋅ 10 −3 = 4,69V
Risoluzione con Millman
Si calcolano le correnti di cortocircuito dei rami con i generatori e l’inverso della somma degli
inversi delle resistenze:
I CC1 =
E1
8
=
= 2,424mA
R 1 3,3 ⋅ 10 3
Ro =
I CC 2 =
E2
10
=
= 2,128mA
R 2 4,7 ⋅ 10 3
1
1
=
= 1,03kΩ
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
R 1 R 2 R 3 3,3 ⋅ 10 3 4,7 ⋅ 10 3 2,2 ⋅ 10 3
2
Si calcola la differenza di potenziale tra i punti A e B.
VAB
E1 E 2
8
10
+
+
3
R1 R 2
3,3 ⋅ 10
4,7 ⋅ 10 3
=
=
= 4,691V = V3
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
R 1 R 2 R 3 3,3 ⋅ 10 3 4,7 ⋅ 10 3 2,2 ⋅ 10 3
Si calcolano le correnti, schematizzando la differenza di potenziale VAB con un generatore di
tensione, e le differenze di potenziale.
I1 =
E 1 − VAB 8 − 4,691
=
= 1,003mA
R1
3,3 ⋅ 10 3
I2 =
I2 =
E 2 − VAB 10 − 4,691
=
= 1,130mA
R2
4,7 ⋅ 10 3
E 2 − VAB 10 − 4,691
=
= 1,130mA
R2
4,7 ⋅ 10 3
V1 = R 1 I1 = 3,3 ⋅ 10 3 ⋅ 1,003 ⋅ 10 −3 = 3,31V
V2 = R 2 I 2 = 4,7 ⋅ 10 3 ⋅ 1,13 ⋅ 10 −3 = 5,311V
Risoluzione col Principio di Sovrapposizione degli Effetti
Il circuito risulta equivalente alla sovrapposizioni di due circuiti in cui agisce una causa per volta,
come schematizzato in figura. Le correnti e le tensioni si ottengono sommando algebricamente le
correnti e le tensioni dei due circuiti. Si sommano se i loro versi sono concordi; si sottraggono se
sono discordi, assumendo il verso di quella di valore maggiore.
Risoluzione primo circuito, agisce solo E1.
3
R 23 =
R 2R 3
4,7 ⋅ 10 3 ⋅ 2,2 ⋅ 10 3
=
= 1,499kΩ
R 2 + R 3 4,7 ⋅ 10 3 + 2,2 ⋅ 10 3
V11 = R 1 I11 = 3,3 ⋅ 10 3 ⋅ 1,667 ⋅ 10 −3 = 5,501V
I 21 =
E1
8
=
= 1,667 mA
3
R 1 + R 23 3,3 ⋅ 10 + 1,499 ⋅ 10 3
I11 =
V21 = V31 = R 23 I11 = 1,499 ⋅ 10 3 ⋅ 1,667 ⋅ 10 −3 = 2,5V
V21
2,5
=
= 0,532mA
R 2 4,7 ⋅ 10 3
I 31 =
V31
2,5
=
= 1,136mA
R 3 2,2 ⋅ 10 3
Risoluzione secondo circuito, agisce solo E2.
R 13 =
R 1R 3
3,3 ⋅ 10 3 ⋅ 2,2 ⋅ 10 3
=
= 1,32kΩ
R 1 + R 3 3,3 ⋅ 10 3 + 2,2 ⋅ 10 3
V22 = R 2 I 22 = 4,7 ⋅ 10 3 ⋅ 1,661 ⋅ 10 −3 = 7,81V
I12 =
I 22 =
E2
10
=
= 1,661mA
3
R 2 + R 13 4,7 ⋅ 10 + 1,32 ⋅ 10 3
V12 = V32 = R 13 I 22 = 1,32 ⋅ 10 3 ⋅ 1,661 ⋅ 10 −3 = 2,193V
V12
2,193
=
= 0,665mA
R 1 3,3 ⋅ 10 3
I 32 =
V32
2,193
=
= 0,997 mA
R 3 2,2 ⋅ 10 3
Si calcolano le tensioni e le correnti.
V1 = V11 − V12 = 5,501 − 2,193 = 3,308V
V3 = V31 + V32 = 2,5 + 2,193 = 4,693V
V2 = V22 − V21 = 7,81 − 2,5 = 5,31V
I1 = I11 − I12 = 1,667 ⋅ 10 −3 − 0,665 ⋅ 10 −3 = 1,002mA
4
I 2 = I 22 − I 21 = 1,661 ⋅ 10 −3 − 0,532 ⋅ 10 −3 = 1,129mA
I 3 = I 31 + I 32 = 1,136 ⋅ 10 −3 + 0,997 ⋅ 10 −3 = 2,133mA
Procedimento di verifica dei Principi di Kirchhoff
1. Si monta il circuito e si collegano i generatori, uno regolato a 8V e l’altro regolato a 10V.
2. Si misurano le tensioni V1, V2, V3.
3. Utilizzando i valori di tensione misurati, applicando la legge di Ohm ai capi delle resistenze, si
determinano i valori delle correnti I1, I2, I3.
4. Si verifica il primo Principio di Kirchhoff: la somma delle correnti I1 e I2 deve essere uguale alla
corrente I3.
5. Si verifica il secondo Principio di Kirchhoff: la somma delle tensioni V1 e V3 deve essere uguale
alla tensione del generatore E1; la somma delle tensioni V2 e V3 deve essere uguale alla tensione
del generatore E2.
6. Si riportano i valori in una tabella in cui sono riportati anche i valori calcolati, per un immediato
confronto.
Valori misurati
Valori calcolati
V1
3,30
3,307
volt
V2
5,293
5,311
V3
4,734
4,690
I1
1,00
1,002
I2
1,126
1,131
mA
I3
2,150
2,132
I 1 + I2 = I3
2,126
2,132
volt
E1 = V1 + V3 E1 = V1 + V3
8,034
10,027
7,997
10,001
Procedimento di verifica del teorema di Millman
7. Si misura la differenza di potenziale VAB.
8. Si cortocircuita il ramo con E1 e si misura la corrente di cortocircuito ICC1.
9. Si cortocircuita il ramo con E2 e si misura la corrente di cortocircuito ICC2.
10. Si sostituiscono i generatori E1 e E2 con due cortocircuiti e si misura la resistenza Ro vista tra i
punti A e B. Dall’inverso del valore misurato di Ro si ottiene la somma delle conduttanze di tutti
i rami.
I CC1 + I CC 2
V
=
AB
11. Si verifica, utilizzando i valori rilevati, che
1
Ro
12. Si riportano i valori in una tabella in cui sono riportati anche i valori calcolati, per un immediato
confronto.
Valori misurati
Valori calcolati
volt
VAB = V3
4,737
4,691
mA
ICC1
2,414
2,424
kΩ
Ro
1,032
1,03
ICC2
2,114
2,128
mS
1/Ro
0,969
0,970
VAB = (ICC1 + ICC2)/ 1/Ro
4,664
4,69
Procedimento di verifica del Principio di Sovrapposizione degli Effetti
13. Si scollega il generatore E2 e lo si sostituisce con un cortocircuito.
14. Si misurano le tensioni V11, V21, V31.
15. Utilizzando i valori di tensione misurati, applicando la legge di Ohm ai capi delle resistenze, si
determinano i valori delle correnti I11, I21, I31.
16. Si scollega il generatore E1 e lo si sostituisce con un cortocircuito.
5
17. Si misurano le tensioni V12, V22, V32.
18. Utilizzando i valori di tensione misurati, applicando la legge di Ohm ai capi delle resistenze, si
determinano i valori delle correnti I12, I22, I32.
19. Si verifica che: V1 = V11 – V12; V2 = V22 – V21; V3 = V31 + V32; I1 = I11 – I12; I2 = I22 – I21; I3 =
I31 + I32. Se il verso delle tensioni e delle correnti dei contributi sono concordi si sommano, se
sono discordi si sottraggono; il verso coincide con quello di valore maggiore.
20. Si riportano i valori in una tabella in cui sono riportati anche i valori calcolati, per un immediato
confronto.
Valori misurati
Valori calcolati
Valori misurati
Valori calcolati
V11
5,505
5,501
volt
V21
2,5
2,5
V1 = V11 – V12
3,278
3,308
V31
2,5
2,5
I11
1,668
1,667
mA
I21
0,532
0,532
volt
V2 = V22 – V21
5,31
5,31
I31
1,136
1,136
V12
2,227
2,193
V3 = V31 + V32
4,727
4,693
volt
V22
7,81
7,81
V32
2,227
2,193
I1 = I11 – I12
0,994
1,002
In tutti i casi i valori sperimentali ben si adattano ai valori teorici calcolati.
6
I12
0,675
0,665
mA
I2 = I22 – I21
1,130
1,129
mA
I22
1,662
1,661
I32
1,012
0,997
I3 = I31 + I32
2,148
2,133