Scheda - 09 - Corsi di Laurea a Distanza

Schede di Elettrotecnica
Corso di Elettrotecnica 1 - Cod. 9200 N
Diploma Universitario Teledidattico in
Ingegneria Informatica ed Automatica
Polo Tecnologico di Alessandria
A cura di Luca FERRARIS
Scheda N° 9
Circuiti in Corrente Alternata:
• Operazioni con grandezze alternate
• Sfasamenti tra tensioni e correnti
Scheda # 9 - Circuiti in Corrente Alternata:
Operazioni con grandezze alternate; Sfasamenti tra tensioni e correnti
ESERCIZIO 9.1
Dato il circuito in figura determinare la caduta di tensione (VAB) ai
capi della resistenza assumendo questi valori
• R = 30 Ω
• C = 318 µF
• E = 250 V
• f = 50 Hz
r
VAB = 75(3 + j) V
C
VAB
E
R
ESERCIZIO 9.2
Dato il circuito in figura calcolare l’impedenza equivalente (Zeq) e
la corrente che attraversa la resistenza.
• XC = 20 Ω
• XL = 20 Ω
• R = 20 Ω
• E = 300 V.
r
Z EQ = 10(1 − j) Ω
r 300 + j ⋅ 0
30(1 + j)
=
= 15 ⋅ (1 + j) A
I=
10(1 − j) (1 + j)(1 − j)
r
j ⋅ 20
⋅15(1 + j) = j15 A
IR =
20(1 + j)
1
I
E
IC
C
C
R
IR
VAB
Scheda # 9 - Circuiti in Corrente Alternata:
Operazioni con grandezze alternate; Sfasamenti tra tensioni e correnti
ESERCIZIO 9.3
Dato il circuito in figura calcolare il valore della resistenza R e della capacità C qualora siano dati i
seguenti valori:
I1
A
• |I1 | = |I2 | = |I3 | = 5 A;
I3
• L = 0,1 H;
C
VC
L
• f = 50 Hz;
I2
Come primo passo si ipotizzi che la corrente I3 abbia fase nulla; quindi si
scriva la I2 in forma generica e letterale per poi applicare l’equazione di
Kirchhoff al nodo A ed esprimere I1 in funzione delle altre correnti;
imponendo che I1 e I2 abbiano modulo pari a 5 si ricavano le incognite.
I 3 = 5 + j ⋅ 0

I 2 = Re + j ⋅ Im
I = I + I = (5 + Re) + j ⋅ Im
1 3 2
 I = Re 2 + Im 2 = 5
Re 2 + Im 2 = 25
Re = −2.5A
 2
⇒
⇒

2
2
 I1 = ( Re + 5)2 + Im 2 = 5 Re + 25 + 10 Re + Im = 25 Im = ±4,33A
R
VR
B
Im
VL
I1
Per capire quale segno è giusto per la parte immaginaria basta notare che
1
pertanto osservando le fasi sul grafico in Figura 1 si deduce
Z2 = R − j
ωC
r
r
che I2 = −2,5 + j4,33 e I1 = 2,5 + j4,33 .
60°
I2
60° 60°
I3
Figura 1
Ora si procede calcolando la VAB dal lato dell’induttanza dove conosciamo la corrente e l’impedenza
e che risulta essere pari a quella vista dalla serie di resistenza e capacità quindi:
VAB = Z L ⋅ I 3 = ( j ⋅ 2πf ⋅ L) ⋅ (5 + j ⋅ 0) = j ⋅ 31,4 ⋅ 5 = j ⋅157 V
ZS =
VAB
I2


j ⋅157 ⋅ ( −2,5 − j ⋅ 4,33)
680 − j ⋅ 392, 7
j ⋅157
⇒
=
=
=
= (27,2 − j ⋅15,7) Ω
25
−2,5 + j ⋅ 4,33 ( −2,5 + j ⋅ 4,33)(−2,5 − j ⋅ 4,33)

R = 27,2 Ω

X C = 15,7 Ω ⇒ C = 203 µF
2
Re
Scheda # 9 - Circuiti in Corrente Alternata:
Operazioni con grandezze alternate; Sfasamenti tra tensioni e correnti
ESERCIZIO 9.4
IG
Con riferimento al circuito in figura calcolare la corrente e la
tensione ai capi del generatore sapendo che:
• L1 = 3 mH
• L2 = 4 mH
• C = 1000 µF
• R=2Ω
• VC(t) = 283⋅cos(500t + π/4)
L1
A
I2
VG
VC
C
L2
I1
R
Calcoliamo innanzitutto la tensione efficace e le impedenze:
283

X L1 = 1,5 Ω
≅ 200 V
(VC )EFF =



2
 ⇒ X L 2 = 2 Ω
500
rad

ω = 500
⇒f =
≅ 80 Hz

X C = 2 Ω
2π
s
B
Assumendo ora che la tensione VC sul condensatore abbia fase nulla, calcoliamo le correnti I1 e I2 da
cui ricaveremo, per l’equilibrio ai nodi, la corrente IG:
r
VC = (200 + j ⋅ 0) V
r
r
r r
 I G = 50 2 A
r
VC
50
50
A
I
=
I
+
I
=
+
j
⋅
⇒

(
)
I
j
A
=
=
⋅
100

1
2
G
1
∠I G = 45°= ϕ I
− j⋅ X C


r


r
r
VC
 VG = 145,8 V
rI =
r
= 50(1 − j) A
125
75
V
V
=
V
+
I
⋅
j
⋅
X
=
+
j
⋅
⇒
(
)
(
)
2

1
G
C
G
L


R + j ⋅ X L2
∠VG = 31°= ϕ G

Andamenti temporali: bisogna moltiplicare per 2 per passare dai valori efficaci a quelli massimi e
aggiungere 45° di sfasamento presente nella tensione VC supposta con fase nulla perciò:

π 


i G ( t ) = I G ⋅ 2 ⋅ cos ωt +  ϕ I + 4   = 100 cos(500 t + 90) A




v ( t ) = V ⋅ 2 ⋅ cos ωt +  ϕ + π   = 206 cos(500t + 76) V
G

 G
 G 4  

Im
Im
VC
VG
45°
VG
IG
IG
31°
45°
76°
90°
VC
Re
Re
3
Scheda # 9 - Circuiti in Corrente Alternata:
Operazioni con grandezze alternate; Sfasamenti tra tensioni e correnti
ESERCIZIO 9.5
Dato il circuito in figura calcolare la corrente sapendo che:
• f = 60 Hz
230
V
• Vs =
2
i(t)
i1(t)
i2(t)
+
Vs
-
37,7 Ω
-53,1 Ω
Calcolare inoltre le componenti di tale corrente nei 2 rami in
parallelo, e tracciare il diagramma vettoriale di tutte le grandezze.
20 Ω
10 Ω
Soluzione
I = 2,378 ⋅ e − j10° A
i( t ) = 2,378 ⋅ 2 ⋅ sen(2π ⋅ 60 ⋅ t − 10) = 3,36 ⋅ sen(377 ⋅ t − 10) A
La sinusoide di corrente i(t) risulta avere valor massimo pari a 3,36 V ed essere sfasata di 10° in
ritardo sulla tensione del generatore.
i1(t)
r
⇒ i1( t ) = 4,25 ⋅ sen (ωt + 79,33) A
I1 = 0,557 + j ⋅ 2,957 = 3 ⋅ e j⋅ 79,33 A
r
I2 = 1,786 − j ⋅ 3,36 = 3,81⋅ e − j⋅ 62, 05 A ⇒ i 2 (t ) = 5,39 ⋅ sen (ωt − 62,05) A
Vs
i(t)
i2(t)
ESERCIZIO 9.6
Dato il circuito in figura calcolare la corrente iC sapendo che:
• Vs = 2 ⋅ 100 ⋅ sen(ωt ) V
+
Vs
Soluzione
5Ω
-
iC (t) = 0 A
iC(t)
5Ω
4
10 Ω
10 Ω
10 Ω
Scheda # 9 - Circuiti in Corrente Alternata:
Operazioni con grandezze alternate; Sfasamenti tra tensioni e correnti
ESERCIZIO 9.7
Determinare la corrente i(t) sapendo che:
e( t ) = 100 ⋅ 2 ⋅ sen(ωt + π ) con frequenza f = 50 Hz.
10 Ω
+
e(t)
31,8 mH
-
Soluzione
i(t)
r
E = 100 ⋅ e jπ V
π
r
j
−3
Z = R + jωL = 10 + j314 ⋅ 31,8 ⋅10 = 10 + j10 = 10 ⋅ 2 ⋅ e 4 Ω
r
3π
r E
100 ⋅ e jπ
10 j 4
I= r =
=
⋅e
A
π
Z
2
j
10 ⋅ 2 ⋅ e 4
3 

i(t ) = 10 ⋅ sen  ωt + π A

4 
ESERCIZIO 9.8
Supponendo che vc(t) sia noto, determinare vg(t) e i(t), e disegnare il diagramma fasoriale
Dati:
•
•
•
•
•
i(t)
L1 = 3 mH
L2 = 4 mH
C = 1 mF
R=2Ω
= 500 rad/s
L1
L2
+
vg
C
-
vC
R
Soluzione
XL1 = 1,5 Ω
XL2 = 2 Ω
XC = 2 Ω
Z/ /
1,5 Ω i(t)
(R + jX L2 ) ⋅ (− jX C ) = ( 2 + j2) ⋅ (− j2) = 2 − j2
=
R + jX L2 − jX C
2 + j2 − j2
+
[Ω]
r
π
r VC
VC ⋅ ( 2 + j2)
VC
2 j4
r
I=
=
=
= VC ⋅
⋅e
2 − j2
8
4
Z
vg
5
vC
vg
vL
π
r
r
r
2 j4
Vg = Z tot ⋅ I = ( 2 − j2 + j1,5) ⋅
⋅ e = 0,73 ⋅ VC ⋅ e j30,96°
4
ZC
-
I
IC
IR
vC