ANALISI DI CIRCUITI CON LATI MUTUAMENTE ACCOPPIATI

ANALISI DI CIRCUITI CON LATI MUTUAMENTE ACCOPPIATI
IN REGIME PERIODICO SINUSOIDALE
Formulazione dell’equazione di Kirchhoff per le tensioni
Si consideri il circuito di figura 1, nel quale le induttanze L1, L2 sono accoppiate mediante il
coefficiente di mutua induzione M.
Siano I 1, I 2 le correnti di lato incognite. Il circuito è costituito da due maglie indipendenti, alle
quali si associano versi di percorrenza orari, come mostrato in figura 1.
Le equazioni di Kirchhoff per la prima e la seconda maglia sono rispettivamente:
Es  VR1  Vt1  0
V R 2 Vt 2 0
(1a)
(1b)
E s  V R1  Vt1
0   VR 2 Vt 2
(2a)
(2b)
ovvero:
dove nel membro di sinistra compaiono i termini di eccitazione e nel membro di destra le cadute di
tensione. Si noti che nell’equazione (2a) le cadute di tensione sono precedute dal segno positivo in
quanto prodotte dalla corrente I 1 che è concorde con il verso di percorrenza di maglia; al contrario
al secondo membro dell’equazione (2b) le tensioni V R1, V t1 sono precedute dal segno negativo,
poiché la corrente di lato I 2 è discorde con il verso di percorrenza della maglia 2.
Nelle precedenti espressioni V R1, V R2 sono le differenze di potenziale ai capi delle resistenze R1,
R2 rispettivamente, esprimibili in funzione delle correnti I 1, I 2 mediante la legge di Ohm
(convenzione degli utilizzatori):
VR1 R1 I1
VR 2 R2 I 2
(3a)
(3b)
mentre V t1, V t2 sono le differenze di potenziale totali ai capi delle induttanze L1 ed L2,
rispettivamente. Tali d.d.p. sono esprimibili come somma dei contributi originati dal fenomeno di
autoinduzione e dal fenomeno di mutuo accoppiamento:
VR1
VR2
I1
R1
Es
I2
M
1
R2
Vt1
L1
L2
Figura 1
1
Vt2
2
Vt1 V11 V12
(4a)
Vt 2 V22 V21
(4b)
dove V 11 e V 22 sono i fasori delle tensioni autoindotte, prodotte su L1 e L2 rispettivamente dalle
correnti I 1 e I 2 (convenzione degli utilizzatori):
V11  jL1 I1
V22  jL2 I 2
(5a)
(5b)
mentre V 12 e V 21 sono i fasori delle tensioni mutuamente indotte, prodotte su L1 ed L2
rispettivamente dalle correnti I 2 e I 1 (convenzione degli utilizzatori):
V12  jM I 2
V21  jM I1
(6a)
(6b)
Il segno che compare nelle espressioni (6a) e (6b) è negativo in quanto le correnti I 1 e I 2 sono una
entrante in L1 dalla parte del pallino, e l’altra uscente da L2 dalla parte del pallino.
Considerando le espressioni (3a,b), (5a,b) e 6(a,b) le equazioni di Kirchhoff alle maglie (2a,b)
assumono la forma seguente:
Es   R1  j L1  I1  j M I2
0    R2  j L2  I2  j M I1
(7a)
(7b)
Dal precedente esempio è possibile dedurre la seguente regola generale.
Si consideri un circuito nel quale le induttanze Li ed Lj, percorse dalle correnti di lato I i
e I j ed appartenenti alle maglie i-esima e j-esima rispettivamente, sono accoppiate
mediante il coefficiente di mutua induzione Mij. Nell’equazione di Kirchhoff alla maglia
i-esima viene aggiunto il termine:
  Vij      j Mij I j
(8)
che rappresenta la differenza di potenziale che si induce ai capi dell’induttanza Li
percorsa dalla corrente I i, a causa del mutuo accoppiamento con l’induttanza Lj
percorsa dalla corrente I j. Il segno che compare davanti a V ij, e quindi il primo segno
del secondo membro, è scelto positivo se la corrente I i, sul lato sede del mutuo
accoppiamento, è concorde con il verso di percorrenza della maglia i-esima, assegnato
per la scrittura dell’equazione di Kirchhoff, ovvero se la corrente I i è nella convenzione
degli utilizzatori rispetto alla tensione V ij. La scelta del secondo segno, che compare a
secondo membro dell’espressione (8), è legata invece alla posizione dei pallini sulle
induttanze mutuamente accoppiate. In particolare tale segno è positivo se le correnti I i,
I j sono entrambe entranti oppure entrambe uscenti dalle induttanze Li, Lj dalla parte del
pallino; è da considerarsi invece negativo se le correnti I i, I j sono una entrante e
l’altra uscente dalle induttanze Li, Lj dalla parte del pallino.
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Analogamente nell’equazione di Kirchhoff alla maglia j-esima dovrà essere introdotto il
termine:
  V ji      j Mij Ii
(9)
che rappresenta la differenza di potenziale che si induce ai capi dell’induttanza Lj
percorsa dalla corrente I j, a causa del mutuo accoppiamento con l’induttanza Li
percorsa dalla corrente I i. Il primo segno che compare a secondo membro della (9) è
scelto positivo se la corrente I j, sul lato sede del mutuo accoppiamento, è concorde con
il verso di percorrenza della maglia j-esima, assegnato per la scrittura dell’equazione di
Kirchhoff, ovvero se la corrente I j è nella convenzione degli utilizzatori rispetto alla
tensione V ji. Il secondo segno è da scegliersi in base alla regola dei pallini sopra
enunciata.
Metodo delle maglie: formulazione della matrice di impedenze di maglia
Si consideri nuovamente il circuito di figura 1. Siano I m1, I m2 le correnti associate alla maglia 1 e
della maglia 2, rispettivamente. Tali correnti sono equiverse come mostrato in figura 2 (entrambe
orarie, ad esempio).
Il sistema di equazioni di Kirchhoff (7a,b) può essere riscritto esprimendo le correnti di lato I 1, I 2
in funzione delle correnti di maglia I m1, I m2:
I1  I m1
I2   I m2
(10a)
(10a)
Si ottiene:
Es   R1  j L1  Im1  j M Im2
0   R2  j L2  Im2  j M Im1
(11a)
(11b)
La precedente equazione può essere riscritta utilizzando la seguente forma matriciale:
 Em   Zm Im
(12)
dove:
 Em   Em1

 Zm    ZZm11

m21
 Im   Im1
Em2  t
(13a)
Zm12 
Zm22 
(13b)
Im2  t
(13c)
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sono il vettore delle sorgenti di maglia, la matrice delle impedenza di maglia ed il vettore delle
correnti incognite di maglia, rispettivamente.
Dal confronto delle (11a,b) con le (12) e (13a-c) risulta:
Em1  Es
Zm11  R1  j L1
,
,
Em2  0
Zm12  Zm21  j M
,
Zm22  R2  j L2
(14c)
(14b)
E’ possibile procedere direttamente alla formulazione dell’equazione matriciale (12), senza fare
riferimento alla scrittura delle equazioni di Kirchhoff per le tensioni (7a,b).
Infatti dalla (12) si deduce che il coefficiente (1,1) della matrice delle impedenze di maglia è
definito dalla seguente espressione:
Zm11 
Em1
Im1
(15)
Im2  0
ed è pertanto costituito dalla somma di tutte le impedenze che danno luogo a cadute di tensione
nella maglia 1 quando fluisce nel circuito solo la corrente della maglia 1 I m1, supponendo quindi
I m2=0. In altre parole, il coefficiente Z m11 rappresenta la somma algebrica delle cadute di tensione
che si manifestano nella maglia 1 (considerate tutte con la convenzione degli utilizzatori) quando si
pone I m1=1 e I m2=0.
In accordo con tale definizione risulta:
Zm11  R1  j L1
(16)
Infatti quando la corrente I m1 fluisce nella prima maglia provoca nella stessa maglia 1 la caduta di
tensione R1 I m1 sulla resistenza R1 e la caduta di tensione jL1 I m1 sull’induttanza L1. La caduta di
tensione jM I m1 viene indotta ai capi di L2 (nella seconda maglia quindi) e pertanto il termine jM
non deve essere incluso in Z m11.
In modo analogo è definito il coefficiente (1,2) della matrice di impedenze di maglia:
Zm12 
Em1
Im2
(17)
Im1  0
Esso rappresenta la somma algebrica delle cadute di tensione che si manifestano nella maglia 1
(considerate tutte con la convenzione degli utilizzatori) quando si pone I m2=1 e I m1=0. Con
riferimento al circuito in esame risulta quindi:
Zm12  j M
(18)
Infatti quando la corrente I m2 fluisce nel circuito, interessando tutti i bipoli che appartengono a lati
della maglia 2, essa produce nella maglia 2 stessa le cadute di tensione R2 I m2 e jL2 I m2 sulla
resistenza R2 e sull’induttanza L2, rispettivamente. Tali cadute di tensione non si manifestano nella
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maglia 1 e pertanto le impedenze R2 e jL2 non devono essere incluse in Z m12. Tuttavia, quando la
corrente I m2 fluisce nella maglia 2, a causa del fenomeno di mutuo accoppiamento essa induce nella
maglia 1 la tensione jM I m2 (secondo la convenzione degli utilizzatori). Pertanto l’impedenza jM
deve essere inclusa nel coefficiente Z m12. Si noti che tale impedenza è preceduta dal segno positivo,
in accordo con la regola dei pallini applicata alle correnti di maglia I m1 (che fluisce in L1, sede del
mutuo accoppiamento) ed I m2 (che fluisce in L2, causa del muto accoppiamento).
In modo perfettamente analogo sono dedotte le espressioni delle impedenze Z m21, Z m22.
Ovviamente risulta Z m12= Z m21.
Da quanto esposto è possibile dedurre la seguente regola generale.
Si consideri un circuito costituito da n maglie indipendenti, nel quale siano presenti
anche lati con induttanze mutuamente accoppiate.
La matrice delle impedenze di maglia può essere scritta per ispezione diretta del
circuito. Il generico coefficiente Z mij è definito dalla seguente espressione:
Zmij 
Emi
Imj
(19)
Imk  0
k 1,,n, k  j
e rappresenta la somma algebrica delle cadute di tensione che si manifestano nella
maglia i-esima (considerate con la convenzione degli utilizzatori rispetto alla corrente
I mi della maglia i-esima), quando nel circuito la corrente della maglia j-esima assume
valore unitario ( I mj=1) e tutte le altre correnti di maglia sono considerate nulle.
La definizione (19) è generale e si applica sia ai termini propri che ai termini mutui della
matrice [ Z m].
Se nel circuito sono presenti le induttanze mutuamente accoppiate Li, Lj entrambe
appartenenti alla i-esima maglia, il coefficiente Z mii contiene un termine del tipo
()j2Mij, nel quale il segno positivo è da considerarsi se la corrente della maglia i, I mi,
entra o esce dal pallino in entrambe le induttanze; il segno negativo appare invece se la
corrente I mi è uscente dal pallino su Li ed entrante nel pallino su Lj, o viceversa.
Se l'induttanza Lj mutuamente accoppiata con Li appartiene alla maglia j-esima, il
coefficiente Z mij (coincidente con Z mji) contiene il termine ()jMij. Il segno positivo è
da considerarsi se le correnti delle maglie i e j, I mi ed I mj, sono entrambe entranti o
entrambe uscenti dai pallini sulle induttanze Li ed Lj, rispettivamente. Al contrario il
segno negativo appare se le correnti I mi ed I mj sono una entrante in Li dalla parte del
pallino, l'altra uscente da Lj dalla parte del pallino, o viceversa.
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