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CALCOLO DI LIMITI PER LE FUNZIONI CONTINUE
OBIETTIVI MINIMI:
Saper individuare le funzioni continue.
Saper applicare i teoremi sui limiti.
Saper individuare le forme indeterminate.
Saper calcolare semplici limiti, in particolare delle funzioni razionali intere e fratte.
Saper individuare gli asintoti delle funzioni algebriche.
DA RICORDARE
•
Una funzione f ( x ) definita in un intervallo I è continua nel punto c (interno
all’intervallo) se risulta lim f ( x ) = f (c ) . In altre parole la funzione f ( x ) è continua
x →c
nel punto c se:
•
-
esiste il valore della funzione nel punto c;
-
esiste il limite della funzione per x tendente a c;
-
il limite coincide con il valore della funzione nel punto c.
Sono funzioni continue:
- le funzioni razionali intere (nell’insieme dei numeri reali);
- le funzioni razionali fratte (nell’insieme dei numeri reali, esclusi i punti che
annullano il denominatore)
- le funzioni y = senx e y = cos x (nell’insieme dei numeri reali);
π
-
le funzioni y = tgx (nell’insieme dei numeri reali diversi da
-
la funzione esponenziale y = a x con a > 0, a ≠ 1 (nell’insieme dei numeri
reali);
la funzione logaritmica y = log a x con a > 0, a ≠ 1 (nell’insieme dei numeri reali
positivi);
la funzione potenza y = x α con αε R α > 0, α ≠ 1 (nell’insieme dei numeri reali
positivi);
-
+ kπ con kεZ ) e
2
y = cot gx (nell’insieme dei numeri reali diversi da kπ con kεZ );
•
Operazioni sui limiti
Se f 1 ( x ) e f 2 (x ) sono due funzioni che ammettono per x tendente a c limiti finiti l1 e
l 2 , allora:
-
il limite della somma delle due funzioni è uguale alla somma dei limiti, cioè
lim[ f 1 ( x ) + f 2 ( x )] = l1 + l 2 ;
x→c
-
il limite del prodotto delle due funzioni è uguale al prodotto dei limiti, cioè
lim[ f1 ( x ) ⋅ f 2 ( x )] = l1 ⋅ l 2 ;
x →c
-
il limite del quoziente delle due funzioni (di cui la seconda non nulla in c) è
f (x ) l1
uguale al quoziente dei limiti, cioè lim 1
= ;
x →c f ( x )
l2
2
•
La somma, il prodotto ed il quoziente di funzioni continue in un punto c, sono
funzioni continue in c. Nel caso del quoziente la seconda funzione non deve
annullarsi in c.
•
la funzione y = f ( g ( x )) , composta di due funzioni z = g ( x ) , continua in c, e
y = f ( z ) , continua in m = lim g ( x ) , è una funzione continua in c.
x→c
•
I teoremi riguardanti il limite di una somma, di un prodotto e di un quoziente
perdono validità quando il limite dato si presenta in una delle seguenti forme:
∞−∞;
0⋅∞ ;
0
;
0
∞
∞
che sono dette forme indeterminate.
-
•
Il limite per x → ∞ di una funzione razionale intera è uguale al limite del suo
termine di grado massimo, cioè lim a 0 x n + a1 x n−1 + ... + a n−1 x + a n = lim a 0 x n .
x → ±∞
(
)
x → ±∞
Al risultato si perviene raccogliendo il termine in x di grado massimo.
ESEMPIO
3
4 

lim 4 x 3 + 3 x + 4 = lim x 3  4 + 2 + 3  = lim 4 x 3 = +∞
x → +∞
x → +∞
x
x  x →+∞

(
)
(
)
•
Il limite per x → ∞ di una funzione razionale fratta porta inizialmente ad una
∞
forma indeterminata del tipo
che si risolve raccogliendo a numeratore e
∞
denominatore il termine in x di grado massimo.
± ∞ se n > m
a x + a1 x + ... + a n −1 x + a n  a0
lim 0 m
=
se n = m
x → ±∞ b x + b x m −1 + ... + b
0
1
m −1 x + bm
 b0
 0 se n < m
n
n −1
ESEMPI
3 
 4 2
x 3 1 + − 2 + 3 
x + 4x − 2x + 3
x3
x x
x 

lim
=
lim
=
lim
= +∞ ;
x → +∞
x → +∞
x → +∞ 2 x 2
1 1 
2x 2 + x + 1
2
x 2 + + 2 
x x 

3
2
3 
 4 2
x 3 1 + − 2 + 3 
x + 4x − 2x + 3
x3
1
x x
x 

lim
= lim
= lim 3 = ;
3
x → +∞
x
→
+∞
x
→
+∞
1
1 
2
2x + x + 1
2x

x3  2 + 2 + 3 
x
x 

3
2
3 
 4 2
x 3 1 + − 2 + 3 
x + 4x − 2x + 3
x3
x x
x 

lim
=
lim
=
lim
= 0.
x → +∞
x → +∞
x → +∞ 2 x 4
1
1 
2x 4 + x + 1
4
x 2 + 3 + 4 
x
x 

3
•
2
Il limite per x → c di una funzione razionale fratta può portare ad una forma
0
indeterminata del tipo
che si risolve scomponendo in fattori il numeratore ed il
0
denominatore.
ESEMPI
lim
x2 + 4
= ∞ il denominatore tende a 0, ma non ho una forma indeterminata.
x2 − 4
lim
x2 + 4 8
= non ho una forma indeterminata
x2 + 3 7
x→2
x→2
2x − 4 0
=
ho una forma indeterminata che risolvo scomponendo in fattori il
x→2 x 2 − 4
0
numeratore ed il denominatore, quindi:
2x − 4
2( x − 2)
2
2 1
= lim
= lim
= =
lim 2
x→2 x − 4
x → 2 ( x − 2 )( x + 2 )
x→2 x + 2
4 2
lim
•
Valgono i seguenti limiti notevoli :
senx
- lim
= 1 (x in radianti);
x →0
x
x
•
 1
lim1 +  = e
x →∞
x

Si dice che la retta x = c è un asintoto verticale per il grafico di f ( x ) se
lim f ( x ) = ∞ . L’asintoto è destro se la relazione precedente vale per x → c + , è
x →c
sinistro se la relazione vale per x → c − .
•
Si dice che la retta y = l è un asintoto orizzontale per il grafico di f ( x ) se
lim f ( x ) = l . L’asintoto è destro se la relazione precedente vale per x → +∞ , è
x→∞
sinistro se la relazione vale per x → −∞ .
•
Una funzione che non ammette asintoto orizzontale può ammettere asintoto
f (x )
e q = lim[ f ( x ) − mx ]. Affinché
obliquo di equazione y = mx + q con m = lim
x →∞
x →∞
x
esista l’asintoto obliquo m deve essere finito e diverso da zero, q deve essere finito.
ESEMPI
o La funzione y =
x−2
ha per dominio R − {− 3;+3} .
x2 − 9
x−2
= ∞ , quindi x=3 e x=-3 sono asintoti verticali per il grafico della funzione.
x2 − 9
x−2
lim 2
= 0 , quindi y=0 è asintoto orizzontale.
x→∞ x − 9
lim
x → ±3
x2 +1
ammette asintoto verticale di equazione x=1, perché
x −1
x2 +1
x2 +1
lim
= ∞ , ma non ammette asintoto orizzontale in quanto lim
= ∞.
x →1 x − 1
x→∞ x − 1
o La funzione
y=
Esiste invece l’asintoto obliquo di equazione y = x + 1 . Infatti:
m = lim
x →∞
f (x )
x2 +1 1
x2 +1
= lim
⋅ = lim 2
=1
x →∞ x − 1
x
x x →∞ x − x
 x2 +1 
x2 +1− x2 + x
x +1
q = lim[ f ( x ) − mx ] = lim 
− x  = lim
= lim
=1.
x →∞
x →∞ x − 1
x →∞ x − 1
x −1

 x →∞
Sostituendo:
y = mx + q ⇒ y = x + 1
ESERCIZI
A. Indicare se le seguenti proposizioni sono vere o false, giustificando la risposta:
1) Sapendo che lim f 1 ( x ) = −1 e lim f 2 ( x ) = 5 , si ha:
x →c
x →c
a) lim[ f 1 ( x ) + f 2 ( x )] = 4 ;
□ vero
□ falso
b) lim[− f 1 ( x ) − 2 f 2 ( x )] = 9 ;
□ vero
□ falso
c) lim[4 f1 ( x ) ⋅ f 2 ( x )] = −20 .
□ vero
□ falso
x →c
x →c
x →c
2) Sapendo che lim f 1 ( x ) = −∞ e lim f 2 ( x ) = −2 , si ha:
x →c
x →c
a) lim[ f 1 ( x ) − f 2 ( x )] = −∞ ;
□ vero
□ falso
b) lim[ f 1 ( x ) ⋅ f 2 ( x )] = −∞ ;
□ vero
□ falso
□ vero
□ falso
x →c
x →c
c) lim
x→c
f1 (x )
= +∞ .
f 2 (x )
3) Sapendo che f 1 ( x ) = 2x 2 e f 2 ( x ) =
1
, sono forme indeterminate:
x
a) lim[ f 1 ( x ) ⋅ f 2 (x )] ;
□ vero
□ falso
b) lim [ f 1 (x ) − f 2 ( x )] ;
□ vero
□ falso
c) lim [ f 1 (x ) + f 2 ( x )] .
□ vero
□ falso
a) lim
□ vero
□ falso
x3 + 1
b) lim n
= +∞ ;
x → +∞ x − 1
□ vero
□ falso
□ vero
□ falso
x →∞
x → +∞
x → +∞
4) Se n>4, si ha :
x5 + 1
= 1;
x → +∞ x n − 1
x3 + 1
= 0.
x → −∞ x n − 1
c) lim
5) Se una funzione
lim f ( x ) = ∞ .
x→2
f ( x ) ha un asintoto verticale di equazione x = 2 , si ha
□ vero □ falso
6) Se una funzione f ( x ) ha un asintoto obliquo allora lim f ( x ) = ∞ ;
□ vero
□ falso
7) Se lim f ( x ) = ∞ , allora la funzione f ( x ) ha un asintoto obliquo;
□ vero
□ falso
8) Una funzione può avere due asintoti orizzontali diversi;
□ vero
□ falso
x2 − x
:
x2 − 4
a) ha due asintoti verticali;
□ vero
□ falso
b) ha un asintoto orizzontale;
□ vero
□ falso
c) ha un asintoto orizzontale e uno obliquo;
□ vero
□ falso
□ vero
□ falso
x→∞
x→∞
9) La funzione y =
sen 2 x
=1
x →0
x2
10) lim
B. Indicare la risposta esatta, giustificandola:
(
)
1) lim 2 x 3 + 2 x 2 − 3 vale:
x → −∞
a)
b)
c)
d)
2;
−∞;
+∞;
non si può calcolare perché è una forma indeterminata.
x 2 + 3x − 10
:
2) lim
x→2
x−2
a) è infinito, perché il grado del numeratore è maggiore del grado del
denominatore;
b) vale zero, perché il denominatore tende a zero;
0
c) non si può calcolare, perché si presenta nella forma ;
0
d) vale 7.
3)
lim
x3 − 4x 2 −1
x→+∞ x 5
+ 2x3 − 3
a) + ∞ ;
b) 0;
c) 1;
d) 1/3.
vale:
4) La funzione y =
3x + 2
2
x − 4x + 3
x = 2; x = 3; y = 0
x =1; x = 2; y = 3 ;
x = 1; x = 3; y = 0 ;
x = 1; x = 3; y = 3 .
a)
b)
c)
d)
, ammette come asintoti le rette seguenti:
x+3
vale:
x −3
a) 1;
b) 6;
c) + ∞ ;
d) − ∞ .
5) lim−
x →3
5x − 1
vale:
x2 + 2
a) + ∞ ;
b) − ∞ ;
c) 0;
d) 5.
6) lim
x → −∞
7
è un asintoto orizzontale per la funzione:
2
x2 − 7
;
2x − 2
x2 + 3
;
2x − 7
2x + 7
;
x+2
7x − 5
.
2x + 8
7) La retta y =
a) y =
b) y =
c) y =
d) y =
8) Se lim f ( x) = +∞ allora l’asse Y per la funzione:
x→0
a)
b)
c)
d)
è asintoto orizzontale;
è asintoto verticale;
è asintoto obliquo;
non è un asintoto.
2 − x 2 + 2x 3
, ha come asintoto obliquo la retta:
x2
y=2− x;
y = 2x − 1 ;
y = 2 + 2x ;
y = 1 + 2x .
9) La funzione y =
a)
b)
c)
d)
10) Quali delle seguenti funzioni può ammettere asintoto obliquo?
4x − x 3
a) y =
;
2+ x
2 x 2 − 8x
;
b) y =
x+3
3x 2 − 2 x
c) y = 2
;
x +4
2x − 3
d) y = 2
.
x +7
C. Calcolare i seguenti limiti:
(
)
1) lim − 3x 4 − 2 x + 5 ;
x → +∞
(
x → −∞
4x 4 − 2x
;
x → +∞ 3 x 4 − 1
5) lim
4x 4 − 2x
;
x → +∞
x3 − 1
8) lim
4) lim
7) lim
x +1
10) lim 2
;
x →1 x − 2 x + 1
13) lim e
x2
x −1
;
x → −∞
6) lim
4x3 − 2x
;
x → −∞
x2 −1
9) lim
x 2 + 3x − 10
11) lim
;
x → −5
x 2 − 25
x →0
sen5 x
;
x
x
 2
16) lim1 −  ;
x→∞
x

(
17) lim+
x →3
1
;
3x − 9
)
3) lim 3x 3 − 2 x 2 + 5 x + 4 ;
4x 4 − 2x
;
x → −∞ − x 4 − 1
14) lim
x → −∞
)
2) lim 2 x 4 − 2 x 3 + 5 x + 5 ;
4x 4 − x
;
x → +∞ 3 x 6 − 1
− 2x3 + 3
;
x → −∞ − 2 x 4 + x + 1
x3 −1
12) lim 4
;
x →1 x − 1
15) lim
x →0
tgx
;
x
18) lim−
x → −2
x +1
.
x+2
D. Determinare le equazioni degli eventuali asintoti delle seguenti funzioni:
1) y =
x −1
;
x2 − 9
2) y =
4) y =
x2 + 6
;
3x
5) y =
3x 2 − 1
;
x2 + 9
2x − 1
;
x−2
3) y =
6) y =
x2 +1
;
x −1
x
.
x −1