Matematica Discreta Lezione del giorno 26 ottobre 2009 Funzioni Data una relazione R dall’insieme A all’insieme B, può avvenire che un elemento aA non sia associato nella relazione R a nessun elemento di B oppure sia associato nella relazione R a più di un elemento di B. Questa osservazione conduce al concetto di funzione. Dati gli insiemi A,B, una funzione da A a B è una relazione da A a B tale che ogni elemento di A è associato ad uno e un solo elemento di B. L’insieme A è detto dominio della funzione, l’insieme B codominio. Utilizzando i simboli più comuni dell’insiemistica: appartiene / tale che qualunque sia, per ogni esiste ! esiste un solo allora possiamo affermare che una relazione R dall’insieme A all’insieme B è una funzione da A a B quando: aA !bB / aRb (qualunque sia l’elemento a appartenente all’insieme B, esiste un solo elemento b appartenente all’insieme B tale che l’elemento a sia associato nella relazione R all’elemento b). Esempio: se A= {1,2,-2,3}, B={1,3,4,9}, e se la relazione da A a B è descritta dal predicato P(x,y)=”x2=y” (quindi in pratica un elemento di A è associato ad un elemento di B se il quadrato del primo è uguale al secondo) allora si ottiene una funzione da A a B in quanto il sottoinsieme R del prodotto cartesiano AxB è R={(1,1),(2,4),(-2,4),(3,9)} e si nota che ogni elemento di A è associato ad uno e un solo elemento di B. Spesso una funzione da A a B è indicata col simbolo f: A B. Dato un elemento a del dominio A, l’unico elemento b del codominio B che è associato all’elemento a è detto corrispondente o immagine di a, ed è indicato con il simbolo f(a). Nel caso di funzioni matematiche fra insiemi numerici, talvolta una funzione f: A B è definita scrivendo un’espressione del tipo f(x)=….. dove i puntini contengono una formula algebrica nella variabile x, intendendo con ciò che, dato un elemento aA, il corrispondente b=f(a)B si ottiene sostituendo nella formula la variabile con il valore a, e calcolando il risultato. Naturalmente non tutte le formule producono funzioni da A a B, come mostra il seguente esempio. Esempio: se Z è l’insieme dei numeri interi relativi ed N quello dei numeri naturali (interi positivi), la formula f(x)=x2+1 definisce una funzione da Z a N (perché ad ogni intero relativo a, positivo, negativo o nullo, è associato un unico intero positivo f(a)=a2+1). Invece se Q è l’insieme dei numeri razionali relativi, f(x)=1/(x-2) non definisce una funzione da Z a Q (perché l’intero relativo 2 non ha corrispondente f(2) in Q). Se la relazione è rappresentata graficamente (con le frecce e di diagrammi di Eulero-Venn), essa è una funzione quando da ogni elemento del dominio A parte una e una sola freccia verso il codominio B. Esempio: 1 2 6 R 2 3 5 6 7 A B 1 2 2 5 6 7 Esempio di rappresentazione grafica di una relazione che è una funzione da A a B Esempio di rappresentazione grafica di una relazione che non è una funzione da A a B (l’elemento 2A non ha corrispondente in B). R A B 1 2 3 5 6 7 2 6 A R Esempio di rappresentazione grafica di una relazione che non è una funzione da A a B (l’elemento 2A ha più di un corrispondente in B). B Se la relazione è rappresentata con una matrice, essa è una funzione quando ogni riga contiene un solo valore=1 (e tutti gli altri =0). La prima matrice rappresenta una relazione che è una funzione, la seconda e la terza no (nella seconda matrice la seconda riga non contiene valori =1, nella terza matrice la seconda riga contiene più di un valore =1): 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 Funzioni iniettive Dati gli insiemi A,B una funzione f: A B è detta iniettiva quando elementi diversi del dominio A hanno sempre corrispondenti diversi nel codominio B. Quindi f sarà non iniettiva quando esistono almeno 2 elementi diversi del dominio A che hanno lo stesso corrispondente nel codominio B. Se f è rappresentata graficamente, la f è iniettiva quando le frecce che partono dagli elementi del dominio A arrivano su elementi tutti diversi nel codominio B (cioè non devono esistere 2 frecce che hanno la “punta” sullo stesso elemento di B). Esempio: 1 2 6 f 2 3 5 6 7 A B 1 2 2 5 6 A f 7 Esempio di rappresentazione grafica di una funzione iniettiva Esempio di rappresentazione grafica di una funzione non iniettiva (gli elementi diversi 1 e 2 del dominio A hanno lo stesso corrispondente) B Se f è rappresentata con una matrice, la f è iniettiva quando ogni colonna non contiene più di un valore =1 (quindi in ogni colonna non vi sono valori =1 oppure vi è esattamente un solo valore=1). In modo formale, per verificare se una funzione è iniettiva si deve dimostrare la seguente implicazione: a,bA, ab f(a)f(b) La dimostrazione si può effettuare “per assurdo”: si suppone vera l’ipotesi a,bA, ab, e falsa la tesi (quindi si suppone per assurdo che a,bA, ab ma f(a)=f(b)) e si cerca di pervenire ad una contraddizione logica (per lo più si perviene alla contraddizione a=b). Esempio: Se f: N Z è la funzione definita da f(x)=3x-4 (notare che è effettivamente una funzione da N a Z….), allora f è iniettiva. Infatti se per assurdo supponiamo a,bA, ab, f(a)=f(b), si ha: 3a-4=3b-4 da cui, sommando 4 ad ambo i membri e dividendo ambo i membri per 3, si ottiene a=b (contraddizione). Funzioni surgettive Dati gli insiemi A,B una funzione f: A B è detta surgettiva quando ogni elemento b del codominio B é corrispondente di almeno un elemento a del dominio A. Quindi f sarà non surgettiva quando esiste qualche elemento del codominio B che non è corrispondente di nessun elemento del dominio A. Se f è rappresentata graficamente, la f è surgettiva quando ogni elemento di B è coperto da almeno una punta delle frecce che partono dagli elementi del dominio A. Esempio: 1 2 3 6 2 5 f 7 A B 1 2 3 6 2 5 f A 7 Esempio di rappresentazione grafica di una funzione surgettiva Esempio di rappresentazione grafica di una funzione non surgettiva (l’elemento 5 di B non è corrispondente di nessun elemento di A) B Se f è rappresentata con una matrice, la f è surgettiva quando ogni colonna contiene almeno un valore =1 (quindi non vi sono colonne con tutte le caselle contenenti valori =0). Per verificare formalmente se una funzione f: A B é surgettiva, fissato un generico elemento bB, si cerca almeno un elemento aA tale che si abbia f(a)=b: se un tale elemento aA esiste sempre (comunque sia preso bB) allora f é surgettiva; se invece per alcuni valori di bB un tale elemento aA non esiste, allora la f non è surgetttiva. Si tratta in pratica di risolvere un’equazione in cui b è noto, ed a è l’incognita di cui si cercano soluzioni nel dominio A. Esempio: se A é l’insieme dei numeri interi >8, la funzione f: A N definita da f(x)=x-8 é surgettiva. Infatti, fissato un generico elemento bN (quindi b è un intero positivo), la ricerca di un valore aA tale che si abbia f(a)=b porta all’equazione a-8=b, che ha (nell’incognita a) la soluzione a=b+8 (soluzione il cui valore appartiene al dominio A, perché, essendo b un intero positivo, certamente a=b+8 è un intero >8). Invece la funzione f: A N definita da f(x)=x-5 non é surgettiva. Infatti, fissato un generico elemento bN (quindi b è un intero positivo), la ricerca di un valore aA tale che si abbia f(a)=b porta all’equazione a-5=b, che ha (nell’incognita a) la soluzione a=b+5 (soluzione che però, per alcuni valori di b, può non appartenere al dominio A: per esempio per b=2 si ha a=7A) Cardinalità di un insieme Se A è un insieme finito, ossia che contiene un numero finito di elementi, si chiama cardinalità di A (e si indica con il simbolo A) il numero degli elementi distinti di A. Per esempio se A={1,a,2,3,b} si ha A=5. Ovviamente =0. Per il momento, se A è un insieme infinito (ossia non finito), ci limiteremo a dire che la sua cardinalità è infinita (in seguito approfondiremo l’argomento). Teorema. Se A,B sono insiemi finiti, se A=n, B=m, e se f: A B è una funzione iniettiva, allora nm. Dimostrazione: Elenchiamo esplicitamente gli n elementi distinti di A: A={a1, a2, a3, …….., an} (dove a1 indica l’elemento al primo posto nell’elenco, a2 quello al secondo posto,….., an quello al posto n, ultimo nell’elenco). Poiché per ipotesi f è iniettiva, i corrispondenti: f(a1), f(a2), f(a3),……, f(an) sono elementi tutti diversi nel codominio B, quindi tali corrispondenti sono esattamente in numero di n. L’insieme B contiene dunque almeno n elementi, e allora la cardinalità di B non è inferiore ad n, cioè nm (tesi). Una conseguenza immediata del teorema precedente è la seguente: se A,B sono insiemi finiti e se A=n >B=m allora non esiste nessuna funzione iniettiva f: A B. Teorema. Se A,B sono insiemi finiti, se A=n, B=m, e se f: A B è una funzione surgettiva, allora nm. Dimostrazione: Elenchiamo esplicitamente gli m elementi distinti di B: B={b1, b2, b3, …….., bm} Poiché per ipotesi f è surgettiva, troviamo almeno un elemento a1A tale che f(a1)=b1; per lo stesso motivo troviamo almeno un elemento a2A tale che f(a2)=b2 e così procediamo fino a trovare almeno un elemento amA tale che f(am)=bm. Gli elementi trovati c1, c2, …. ,cm sono tutti diversi fra loro (se 2 fra essi coincidessero, la f non sarebbe più una funzione) quindi il loro numero è esattamente m. L’insieme A contiene dunque almeno questi m elementi, cioé la cardinalità di A è non inferiore ad m, ossia nm (tesi). Una conseguenza immediata del teorema precedente è la seguente: se A,B sono insiemi finiti e se A<B allora non è possibile costruire una funzione surgettiva f: A B.