Matematica Discreta - Matematica e Informatica

Matematica Discreta
Lezione del giorno 8 ottobre 2008
Prodotto cartesiano
Se a,b sono 2 elementi (di natura arbitraria, nello stesso insieme o in insiemi diversi) anche
possibilmente coincidenti fra loro, la coppia ordinata (a,b) con primo elemento a, secondo
elemento b è una struttura insiemistica in cui si tiene conto sia degli elementi a,b che dell’ordine in
cui sono elencati.
Dunque la coppia ordinata (a,b) si distingue dall’insieme {a,b} perché (se ab) si ha (a,b)(b,a)
(mentre invece come insiemi si ha {a,b}={b,a}).
Dati 2 insiemi A,B si chiama prodotto cartesiano AxB l’insieme che contiene tutte le possibili
coppie ordinate (a,b) dove il primo elemento aA, ed il secondo elemento bB.
Esempio: se A={3,a,5}, {a,5,2} allora
AxB={(3,a),(3,5),(3,2),(a,a),(a,5),(a,2),(5,a),(5,5),(5,2)}.
Relazioni fra insiemi
Dati gli insieme A,B, si chiama relazione dall’insieme A all’insieme B un qualunque sottoinsieme
R del prodotto cartesiano AxB (quindi R è un insieme di coppie (a,b) con il primo elemento in A e
il secondo in B). Se una coppia (a,b) (con aA, bB) appartiene ad R, diremo che l’elemento aA
è associato nella relazione R all’elemento bB e scriveremo il simbolo aRb (se invece la coppia
(a,b) non appartiene ad R si scrive il simbolo aRb con una sbarra che taglia la R).
Esempio: se A={1,2,3,6}, B={2,3,5} e se la relazione da A a B è il seguente sottoinsieme di AxB:
R = {(1,2), (1,3), (2,3), (6,2)}
Allora 1R2, 1R3, 2R3, 6R2 (ma l’elemento 1A non è per esempio associato all’elemento 5B).
Come si vede dall’esempio, in una relazione R da A a B un elemento di A può essere associato a
più di un elemento di B, oppure non essere associato a nessun elemento di B.
Spesso una relazione R da A a B viene descritta da un predicato P(x,y) in 2 variabili (in cui la
variabile x assume valori in A, la variabile y assume valori in B): il predicato fornisce la “regola”
con cui gli elementi di A sono associati agli elementi di B, nel senso che, dati un elemento aA, e
un elemento bB, si ha aRb (quindi l’elemento aA è associato nella relazione R all’elemento
bB) solo quando P(a,b) è vero (dove ricordiamo che P(a,b) è la proposizione ottenuta sostituendo
x con a, y con b).
Esempio: se A={1,2,3,6}, B={2,3,5} e se la relazione R da A a B è descritta dal predicato
P(x,y)=”x<y” (in pratica un elemento aA è associato nella relazione R ad un elemento bB
quando a<b), allora il sottoinsieme R del prodotto cartesiano AxB che descrive la relazione è:
R={(1,2),(1,3),(1,5),(2,3),(2,5),(3,5)}.
Se A,B sono insiemi con un numero finito di elementi, una relazione R da A a B si può
rappresentare graficamente rappresentando A,B con i diagrammi di Eulero-Venn, e unendo con
una freccia un elemento aA con un elemento bB solo quando aRb.
Esempio: nell’esempio precedente si ottiene la seguente rappresentazione grafica
1
2
3
6
2
3
5
R
A
B
Si può anche usare la rappresentazione matriciale: se A contiene n elementi e se B contiene m
elementi, si costruisce una “tabella” (matrice) con n righe ed m colonne, in cui si fanno
corrispondere ad ogni riga un elemento di a, ad ogni colonna un elemento di B, e si pone in ogni
casella un valore 1 oppure 0 a secondo se l’elemento della riga della casella è o no associato nella
relazione R all’elemento della colonna della casella.
Esempio: nell’esempio precedente si ottiene la seguente rappresentazione matriciale (in cui la
matrice ha 4 righe e 4 colonne, con le righe che ordinatamente corrispondono agli elementi 1,2,3,6,
le colonne agli elementi 2,3,5):
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
Funzioni
Dati gli insiemi A,B, una funzione da A a B è una relazione da A a B tale che ogni elemento di A
è associato ad uno e un solo elemento di B.
L’insieme A è detto dominio della funzione, l’insieme B codominio.
Esempio: se A= {1,2,-2,3}, B={1,3,4,9}, e se la relazione da A a B è descritta dal predicato
P(x,y)=”x2=y” (quindi in pratica un elemento di A è associato ad un elemento di B se il quadrato del
primo è uguale al secondo) allora si ottiene una funzione da A a B in quanto il sottoinsieme R del
prodotto cartesiano AxB è R={(1,1),(2,4),(-2,4),(3,9)} e si nota che ogni elemento di A è associato
ad uno e un solo elemento di B.
Spesso una funzione da A a B è indicata col simbolo f: A  B. Dato un elemento a del dominio A,
l’unico elemento b del codominio B che è associato all’elemento a è detto corrispondente o
immagine di a, ed è indicato con il simbolo f(a).
Nel caso di funzioni fra insiemi numerici, talvolta una funzione f: A  B è definita scrivendo
un’espressione del tipo f(x)=….. dove i puntini contengono una formula algebrica nella variabile x,
intendendo con ciò che, dato un elemento aA, il corrispondente b=f(a)B si ottiene sostituendo
nella formula la variabile con il valore a, e calcolando il risultato. Naturalmente non tutte le formule
producono funzioni da A a B.
Esempio: se A è l’insieme degli interi positivi, negativi o nulli e B quello degli interi positivi, la
formula f(x)=x2+1 definisce una funzione da A a B (perché ad ogni intero a, positivo, negativo o
nullo, è associato un unico intero positivo f(a)=a2+1). Invece se A è l’insieme degli interi positivi e
B quello dei razionali positivi, f(x)=1/(x-2) non definisce una funzione da A a B (perché l’intero
positivo 2 non ha corrispondente f(2) in B).
Se la relazione è rappresentata graficamente (con le frecce), essa è una funzione quando da ogni
elemento del dominio A parte una e una sola freccia verso il codominio B.
Se la relazione è rappresentata con una matrice, essa è una funzione quando ogni riga contiene un
solo valore=1 (e tutti gli altri =0).
Funzioni iniettive
Dati gli insiemi A,B una funzione f: A  B è detta iniettiva quando elementi diversi del dominio
A hanno sempre corrispondenti diversi nel codominio B.
Quindi f non sarà iniettiva quando esistono almeno 2 elementi diversi del dominio A che hanno lo
stesso corrispondente nel codominio B.
Se f è rappresentata graficamente, la f è iniettiva quando le frecce che partono dagli elementi del
dominio A arrivano su elementi tutti diversi nel codominio B (cioè non devono esistere 2 frecce che
hanno la “punta” sullo stesso elemento di B).
Esempio:
1
2
6
f
2
3
5
6
7
A
B
1
2
2
5
6
A
f
7
Esempio di rappresentazione grafica di una
funzione iniettiva
Esempio di rappresentazione grafica di una
Funzione non iniettiva
B
Se f è rappresentata con una matrice, la f è iniettiva quando ogni colonna non contiene più di un
valore =1 (quindi in ogni colonna non vi sono valori =1 oppure vi è esattamente un solo valore=1).
In modo formale, per verificare se una funzione è iniettiva si deve dimostrare la seguente
implicazione:
x,yA, xy  f(x)f(y)
La dimostrazione si può effettuare “per assurdo”: si suppone vera l’ipotesi x,yA, xy, e falsa la
tesi (quindi si suppone per assurdo f(x)=f(y)) e si cerca di pervenire ad una contraddizione logica.
Esempio: se A=B={interi >0}, e se f: A  B è la funzione definita da f(x)=3x+4, allora f è
iniettiva. Infatti se per assurdo supponiamo x,yA, xy, f(x)=f(y), si ha 3x+4=3y+4, da cui,
sottraendo 4 e dividendo per 3, si ottiene x=y (contraddizione).