14 ottobre 2011 - Matematica e Informatica

Matematica Discreta
Lezione del giorno 14 ottobre 2011
Rappresentazione di una relazione mediante una matrice
Un altro modo di rappresentare una relazione si basa sul concetto di “matrice”.
Dati 2 numeri naturali n, m ed un insieme X si definisce matrice nxm ad elementi una “tabella”
formata da nm caselle disposte in n righe ed m colonne, in ognuna delle quali è inserito un
elemento dell’insieme X.
Un esempio di matrice 3x2 ad elementi nell’insieme X={1,a,5} è il seguente:
1
a
1
a
5
5
(sono 23=6 caselle disposte in 2 righe e 3 colonne, ed ognuna di esse contiene un elemento di X).
Una matrice è detta matrice booleana (dal nome del matematico Boole) se è una matrice ad
elementi nell’insieme {0, 1}.
Esempio: la seguente matrice 3x2 è una matrice booleana:
1
0
1
1
1
1
Dati un insieme A che contiene n elementi, un insieme B che contiene m elementi, ed una relazione
R da A a B, la relazione R si può rappresentare con una matrice booleana nxm (matrice che quindi
ha un numero di righe uguale al numero di elementi di A ed un numero di colonne uguale al numero
di elementi di B) nel modo seguente:
- si sceglie ad arbitrio un ordine per gli elementi di A e per gli elementi di B
- si fanno corrispondere ordinatamente: ad ogni riga un elemento di A (la prima riga al primo
elemento di A, la seconda riga al secondo elemento di A etc…); ad ogni colonna un
elemento di B (la prima colonna al primo elemento di B, la seconda colonna al secondo
elemento di B etc…)
- si inserisce in ogni casella: il valore 1 se l’elemento di A corrispondente alla riga della
casella è associato nella relazione R all’elemento di B corrispondente alla colonna della
casella; si inserisce nella casella il valore 0 in caso contrario.
Esempio: Se consideriamo (come nell’ultimo esempio della lezione scorsa) gli insiemi
A={1,2,3,6}, B={2,3,5} e la relazione R da A a B la cui rappresentazione grafica è la seguente:
1
2
3
6
2
3
5
A
R
B
possiamo rappresentare la relazione R con una matrice booleana 4x3 (perchè A contiene 4 elementi,
B contiene 3 elementi) nel modo seguente: si fanno corrispondere le righe ordinatamente agli
elementi 1,2,3,6 (la prima riga all’elemento 1, la seconda riga all’elemento 2 etc…), le colonne
ordinatamente agli elementi 2,3,5 (la prima colonna all’elemento 2, la seconda colonna all’elemento
3 etc…); si inseriscono i valori 0,1 nelle 12 caselle secondo la regola illustrata sopra.
Alla fine di ottiene la seguente matrice:
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
(per esempio nella casella in riga 2 e colonna 3 si è inserito il valore 1 perché la riga 2 corrisponde
all’elemento 2A, la colonna 3 corrisponde all’elemento 5B, e tali elementi sono associati nella
relazione R, perché collegati da una freccia nella sua rappresentazione grafica).
Funzioni
Data una relazione R dall’insieme A all’insieme B, può avvenire che qualche elemento di A non sia
associato nella relazione R a nessun elemento di B oppure che qualche elemento di A sia associato
nella relazione R a più di un elemento di B.
Questa osservazione conduce al concetto di funzione.
Dati gli insiemi A,B, una funzione da A a B è una relazione da A a B tale che ogni elemento di A
è associato ad uno e un solo elemento di B.
L’insieme A è detto dominio della funzione, l’insieme B codominio.
Esempio: se A= {1,2,-2,3}, B={1,3,4,9}, e se la relazione da A a B è descritta dal predicato
P(x,y)=”x2=y” (quindi in pratica un elemento di A è associato ad un elemento di B se il quadrato del
primo è uguale al secondo) allora si ottiene una funzione da A a B in quanto il sottoinsieme R del
prodotto cartesiano AxB che descrive in modo esplicito la relazione è R={(1,1),(2,4),(-2,4),(3,9)} e
si osserva che ogni elemento di A è associato ad uno e un solo elemento di B.
Spesso una funzione da A a B è indicata col simbolo f: A  B. Dato un elemento a del dominio A,
l’unico elemento b del codominio B che è associato all’elemento a è detto corrispondente o
immagine di a, ed è indicato con il simbolo f(a).
Nel caso di funzioni matematiche fra insiemi numerici, talvolta una funzione f: A  B è definita
scrivendo un’espressione del tipo f(x)=….. dove i puntini contengono una formula algebrica nella
variabile x, intendendo con ciò che, dato un elemento aA, il corrispondente b=f(a)B si ottiene
sostituendo nella formula la variabile x con il valore a, e calcolando il risultato. Naturalmente non
tutte le formule producono funzioni da A a B, come mostra il seguente esempio.
Esempio: se Z è l’insieme dei numeri interi relativi ed N quello dei numeri naturali (interi positivi),
la formula f(x)=x2+1 definisce una funzione da Z a N (perché ad ogni intero relativo a, positivo,
negativo o nullo, è associato un unico intero positivo f(a)=a2+1). Invece se Q è l’insieme dei numeri
razionali relativi, f(x)=1/(x-2) non definisce una funzione da Z a Q (perché l’intero relativo 2 non ha
corrispondente f(2) in Q).
Se la relazione è rappresentata graficamente (con le frecce e i diagrammi di Eulero-Venn), essa è
una funzione quando da ogni elemento del dominio A ha origine una e una sola freccia verso il
codominio B.
Esempio:
1
2
6
R
2
3
5
6
7
A
B
1
2
2
5
6
7
Esempio di rappresentazione grafica di una
relazione che è una funzione da A a B
Esempio di rappresentazione grafica di una
relazione che non è una funzione da A a B
(l’elemento 2A non ha corrispondente in B).
R
A
B
1
2
3
5
6
7
2
6
A
R
Esempio di rappresentazione grafica di una
relazione che non è una funzione da A a B
(l’elemento 2A ha più di un corrispondente in B).
B
Se la relazione è rappresentata con una matrice, essa è una funzione quando ogni riga contiene un
solo valore=1 (e tutti gli altri =0).
Negli esempi che seguono (di relazioni da un insieme A con 4 elementi ad un insieme B con 3
elementi) la prima matrice rappresenta una relazione che è una funzione, la seconda e la terza no
(nella seconda matrice la seconda riga non contiene valori =1, nella terza matrice la seconda riga
contiene più di un valore =1):
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
Funzioni iniettive
Dati gli insiemi A,B una funzione f: A  B è detta iniettiva quando elementi diversi del dominio
A hanno sempre corrispondenti diversi nel codominio B.
Quindi f sarà non iniettiva quando esistono almeno 2 elementi diversi del dominio A che hanno
lo stesso corrispondente nel codominio B.
Se la funzione f è rappresentata graficamente, la f è iniettiva quando le frecce che hanno origine
dagli elementi del dominio A arrivano su elementi tutti diversi nel codominio B (cioè non devono
esistere 2 frecce che hanno la “punta” sullo stesso elemento di B).
Esempio:
1
2
6
f
2
3
5
6
7
A
B
1
2
2
5
6
A
f
7
Esempio di rappresentazione grafica di una
funzione iniettiva
Esempio di rappresentazione grafica di una
funzione non iniettiva (gli elementi diversi 1
e 2 del dominio A hanno lo stesso corrispondente)
B
Se f è rappresentata con una matrice, la f è iniettiva quando ogni colonna non contiene più di un
valore =1 (quindi in ogni colonna non vi sono valori =1 oppure vi è esattamente un solo valore=1).
In modo formale, per verificare se una funzione è iniettiva si deve dimostrare la seguente
implicazione:
a,bA, ab  f(a)f(b)
La dimostrazione si effettua in genere “per assurdo”: si suppone vera l’ipotesi e falsa la tesi (quindi
si suppone per assurdo che a,bA, ab ma f(a)=f(b)) e si cerca di pervenire alla contraddizione
logica a=b.
Esempio: Se f: N  Z è la funzione definita da f(x)=3x-4 (si verifica facilmente che è
effettivamente una funzione da N a Z), allora f è iniettiva. Infatti se per assurdo supponiamo a,bA,
ab, f(a)=f(b), si ha:
3a-4=3b-4
da cui, sommando 4 ad ambo i membri e dividendo ambo i membri per 3, si ottiene a=b
(contraddizione).