G. Griva
9529P - Macchine e Azionamenti Elettrici
I Prova di Esonero del 27 giugno 2000 .
con proposta di soluzione
1
INTRODUZIONE
Questa proposta di soluzione è rivolta agli studenti che, avendo seguito il tutorato del corso di
Macchine e Azionamenti Elettrici, intendono sostenerne l’esame mediante due accertamenti in
itinere.
Gli accertamenti consistono in:
un esercizio di calcolo;
alcuni semplici quesiti.
Per quanto riguarda gli esercizi di calcolo, si tratta di esercizi delle tipologie svolte durante il
tutorato.
Per quanto concerne i quesiti, riguardano argomenti fondamentali, la cui preparazione può essere
affrontata in una o più delle modalità seguenti:
a) frequentando il tutorato;
b) mediante le videolezioni;
c) mediante testi che trattino gli argomenti del corso (vedi anche la Guida alla preparazione
dell’esame del corso).
Il contenuto della prima prova di esonero riguarda generalmente gli argomenti svolti durante la
prima metà del tutorato:
argomenti degli esercizi di calcolo: 1) circuiti magnetici;
2) trasformatori (monofase e trifase);
argomenti dei quesiti:
1) trasformatori (monofase e trifase);
2) convertitori statici di potenza (ac/dc, dc/dc, dc/ac, ac/ac).
INDICE
Testo della prova di esonero ...............................................................................................pagina 3
Soluzione proposta per l’esercizio di calcolo.....................................................................pagina 5
Soluzione proposta per il punto a dell’esercizio...........................................................pagina 5
a0) circuito equivalente monofase del sistema .................................................................pagina 5
a1) determinazione dei parametri di corto circuito del trasformatore...............................pagina 5
a2) determinazione dei parametri della linea ....................................................................pagina 6
a3) determinazione dei parametri del carico .....................................................................pagina 6
a4) calcolo della tensione ai capi del carico......................................................................pagina 7
a5) calcolo della tensione ai capi del carico (soluzione alternativa) ................................pagina 7
a6) risultati numerici del punto a) ....................................................................................pagina 9
Soluzione proposta per il punto b dell’esercizio ........................................................pagina 10
b1) calcolo delle perdite di potenza e della potenza del carico .......................................pagina 10
b2) calcolo del rendimento del trasformatore .................................................................pagina 10
b3) risultati numerici del punto b) ..................................................................................pagina 11
Soluzione proposta per il punto c dell’esercizio .........................................................pagina 11
c1) calcolo della corrente di corto circuito trifase...........................................................pagina 11
c2) risultati numerici del punto c) ..................................................................................pagina 11
Guida alla preparazione delle risposte ai quesiti............................................................pagina 12
2
Politecnico di Torino
Corso di Diploma Universitario a distanza in Ingegneria Meccanica
Modulo didattico di Macchine e Azionamenti Elettrici
I Prova di Esonero del 27-06-00 .
Esercizio di calcolo (20 punti; occorre ottenere un minimo di 12 punti)
Durata: 1 ora 15 minuti
Un trasformatore trifase con avvolgimenti (primari e secondari) collegati a stella alimenta un carico
trifase, passivo e lineare, collegato a stella, attraverso una linea.
I dati di targa del trasformatore e del carico e i dati relativi alla linea sono riportati di seguito.
Dati del trasformatore
Potenza nominale
Tensione primaria nominale
Tensione secondaria nominale (a vuoto)
Frequenza di funzionamento
Tensione prova in corto circuito percentuale
Potenza prova in corto circuito percentuale
Potenza prova a vuoto percentuale
An
V1n
V2n
f
Vcc%
Pcc%
Pfe%
150
22
400
50
4
2
2
kVA
kV
V
Hz
%
%
%
Dati del carico
Potenza nominale
Tensione nominale
Fattore di sfasamento (induttivo)
Pcn
Vcn
cosϕc
120
380
0,85
kW
V
-
Dati della linea
Resistenza della linea
Reattanza della linea
RL
XL
0,019
0,0
ohm
ohm
Supponendo che il trasformatore venga alimentato al primario con una tensione pari a quella
nominale, calcolare:
a.
b.
c.
la tensione alla quale è alimentato il carico;
il rendimento del trasformatore;
la corrente di corto circuito trifase ai morsetti secondari con V1 = V1n;
3
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Quesiti (10 punti; occorre ottenere un minimo di 6 punti)
Durata: 35 minuti
a) Descrivere le prove per la determinazione dei parametri dei trasformatori.
b) Dire quali parametri possono essere determinati in ciascuna prova.
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Soluzioni
Soluzione proposta per l’esercizio di calcolo
Supponendo che il trasformatore venga alimentato al primario con una tensione pari a quella
nominale, calcolare:
a.
la tensione alla quale è alimentato il carico;
a0) circuito equivalente monofase del sistema
Il circuito equivalente monofase del sistema costituito da trasformatore, linea e carico è il
seguente.
Trasformatore
Linea
R 2cc
V1
3
=
V1n
3
R 10
X10
E1 =
V1
3
E2 =
X2cc
RL
Carico
XL
Ic = I2
V2n
V2
Vc
3
3
3
Zc
Nel modello del trasformatore, si è scelto di riportarne i parametri di corto circuito al
secondario, R2cc e X2cc. Questa scelta fa sì che nei calcoli sia conveniente lavorare con
grandezze (nominali o misurate nelle prove sul trasformatore) riportate o al secondario.
a1) determinazione dei parametri di corto circuito del trasformatore
In primo luogo occorre determinare i parametri del circuito equivalente del trasformatore:
dai dati di targa si calcolano la tensione secondaria (concatenata) della prova in corto circuito,
V2cc, la potenza della prova in corto circuito, Pcc, e la corrente nominale secondaria, I2n, del
trasformatore:
Vcc %
⋅ V2 n
100
P
Pcc = cc % ⋅ A n
100
An
I 2n =
3 ⋅ V2 n
V2cc =
(a.1)
(a.2)
(a.3)
Si determinano quindi il modulo dell’impedenza e il valore della resistenza di corto circuito
riportate al secondario, Z2cc e R2cc, e da queste la reattanza di corto circuito riportata al
secondario, X2cc:
Z 2cc =
R 2cc =
V2cc
3 ⋅ I 2n
P2cc
(a.4)
(a.5)
3 ⋅ I 22 n
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Soluzioni
X 2cc = Z 22cc − R 22cc
(a.6)
Quindi, l’impedenza di corto circuito riportata al secondario, Z2cc , vale:
Z 2cc = R 2cc + jX 2cc
(a.7)
a2) determinazione dei parametri della linea
Per quanto riguarda la linea che collega il trasformatore al carico, i parametri (resistenza, RL, e
reattanza, XL) vengono forniti direttamente dal testo. Quindi, l’impedenza della linea, Z L , vale:
Z L = R L + jX L
(a.8)
a3) determinazione dei parametri del carico
Dai dati nominali del carico, si possono ricavare i suoi parametri. L’ipotesi di passività del
carico rende possibile la sua modellizzazione mediante un’impedenza, costituita, per esempio
dalla serie di una resistenza e di una reattanza.
La scelta del modello di tipo serie, cioè del tipo Rc + jXc, viene fatta per analogia con i modelli
dell’impedenza di corto circuito del trasformatore e dell’impedenza di linea e facilita il calcolo
della corrente assorbita dal carico. Pur non essendo richiesto il calcolo del valore della corrente
assorbita dal carico, è opportuno che questa abbia valore (modulo) inferiore alla corrente
nominale secondaria del trasformatore.
Dal testo e dai dati forniti, si nota che la reattanza del carico è di tipo induttivo (questa
informazione è riportata accanto al fattore di potenza), cioè la sua reattanza, Xc, ha segno
positivo, e che il carico è lineare, cioè i suoi parametri non dipendono dal valore della tensione
applicata al carico ne dalla corrente da esso assorbita.
La corrente nominale del carico vale:
I cn =
Pcn
3 ⋅ Vcn ⋅ cosφc
(a.9)
Avendo a disposizione il valore nominale della corrente del carico, è possibile calcolare il
modulo dell’impedenza del carico, Zc, la sua resistenza, Rc, e la sua reattanza, Xc:
Vcn
3 ⋅ I cn
P
R c = cn2 = Z c ⋅ cos φc
3 ⋅ I cn
Zc =
(a.10)
(a.11)
X c = Z c2 − R c2 = R c ⋅ tgφc
(a.12)
Quindi, l’impedenza equivalente del carico, Zc , vale:
Zc = R c + jX c
(a.13)
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Soluzioni
a4) calcolo della tensione ai capi del carico
Avendo determinato i parametri dell’impedenza di corto circuito del trasformatore, di quella
della linea e di quella del carico, è possibile calcolare la tensione applicata al carico, applicando
la regola del partitore di tensione.
L’impedenza complessiva, Z t , sulla quale è possibile applicare la regola del partitore di
tensione è data dalla serie dell’impedenza di corto circuito del trasformatore, dell’impedenza
della linea e dell’impedenza del carico:
Z t = Z2cc + Z L + Zc = (R 2cc + R L + R c ) + j(X 2cc + X L + X c )
(a.14)
Quindi la tensione ai capi del carico, Vc, (è sufficiente il calcolo del modulo, in quanto non è
espressamente richiesto il calcolo anche della fase) può essere calcolata come segue:
Vc V2 n Zc V2 n
=
⋅
=
⋅
3
3 Zt
3
R c2 + X 2c
(R 2cc + R L + R c )2 + (X 2cc + X L + X c )2
(a.15)
a5) calcolo della tensione ai capi del carico (soluzione alternativa)
Risolti i punti a1) e a2), si osserva che il carico è passivo e lineare. Come già osservato
all’inizio del punto a3), queste proprietà del carico consentono di modellizzarlo come
un’impedenza (passività) non dipendente dalla tensione applicata ne dalla corrente
assorbita (linearità). Queste osservazioni consentono di fare le seguenti affermazioni:
Vcn
Vc
=
3 ⋅ I cn
3 ⋅ Ic
V2 p
V2 n
=
Zt =
3 ⋅ I cn
3 ⋅ Ic
Z c Vcn
V
V
=
= c ⇒ Vc = Vcn ⋅ 2 n
Z t V2 p V2 n
V2 p
Zc =
Ic
V
V
= c = 2n
I cn Vcn V2 p
⇒ I c = I cn ⋅
(a.16)
(a.17)
(a.18)
V2 n
V2 p
(a.19)
Cioè, il problema può essere risolto facendo inizialmente l’ipotesi che il carico stia
funzionando alle proprie condizioni nominali, calcolare la tensione di alimentazione, V2p,
necessaria affinché l’ipotesi sia verificata (senza calcolare il valore dell’impedenza
equivalente del carico), quindi scalare opportunamente tensioni e correnti in modo da
tenere conto della vera tensione di alimentazione, V2n.
Il calcolo della tensione ipotetica di alimentazione, V2p, può essere svolto applicando il
teorema di Boucherot delle potenze. Occorre quindi conoscere i valori delle potenze attive
e reattive assorbite dai bipoli presenti al secondario del trasformatore ideale del circuito
equivalente monofase del sistema (vedi il punto a0).
La potenza attiva nominale del carico, Pcn, è data, mentre la potenza reattiva nominale del
carico, Qcn, vale:
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Soluzioni
Q cn = Pcn ⋅ tgφc
(a.20)
Le potenze attiva, PL,p, e reattiva, QL,p, ipoteticamente assorbite dalla linea valgono:
PL,p = 3 ⋅ R L ⋅ I 2cn
(a.21)
Q L,p = 3 ⋅ X L ⋅ I 2cn
(a.22)
La corrente nominale del carico viene calcolata mediante l’equazione (a.9).
Le potenze attiva, PCu,p, e reattiva, Qd,p, ipoteticamente assorbite dall’impedenza di corto
circuito del trasformatore valgono:
PCu,p = 3 ⋅ R 2 cc ⋅ I 2cn = Pcc ⋅
2
I cn
I 22 n
(a.23)
2
Q d ,p = 3 ⋅ X 2cc ⋅ I cn
(a.24)
Le potenze complessive attiva, Pt,p, e reattiva, Qt,p, ipoteticamente assorbite dalle
impedenze Z 2cc e Z L e dal carico valgono, per il teorema di Boucherot:
Pt ,p = PCu,p + PL,p + Pcn
(a.25)
Q t ,p = Q Cu,p + Q L,p + Q cn
(a.26)
Quindi, la tensione ipotetica di alimentazione, V2p, può essere calcolata dalla ipotetica
potenza apparente complessiva, At,p, come segue:
A t ,p = Pt2,p + Q 2t ,p = 3 ⋅ V2 p ⋅ I cn
V2 p =
(a.27)
A t ,p
(a.28)
3 ⋅ I cn
Infine, la tensione ai capi del carico, Vc, può essere calcolata applicando l’equazione (a.18):
Vc = Vcn ⋅
V2 n
V2 p
(a.29)
8
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Soluzioni
a6) risultati numerici del punto a)
Soluzione 1
Soluzione 2
equazione
simbolo
valore
u. di misura
equazione
simbolo
valore
u. di misura
(a.1)
(a.2)
(a.3)
V2cc
Pcc
I2n
16
3000
216,51
V
W
A
(a.1)
(a.2)
(a.3)
V2cc
Pcc
I2n
16
3000
216,51
V
W
A
(a.4)
(a.5)
(a.6)
Z2cc
R2cc
X2cc
0,0427
0,0213
0,0370
ohm
ohm
ohm
(a.4)
(a.5)
(a.6)
Z2cc
R2cc
X2cc
0,0427
0,0213
0,0370
ohm
ohm
ohm
(a.8)
(a.8)
RL
XL
0,0190
0,0000
ohm
ohm
(a.8)
(a.8)
RL
XL
0,0190
0,0000
ohm
ohm
(a.9)
Icn
214,50
A
(a.9)
Icn
214,50
A
(a.11)
(a.12)
Rc
Xc
0,8694
0,5388
ohm
ohm
(a.25)
(a.26)
Pt,p
Qt,p
125,581
79,469
kW
kVAr
(a.15)
Vc
379,98
V
(a.28)
(a.29)
V2p
Vc
400,02
379,98
V
V
La risoluzione di questo punto dell’esercizio porta alla conclusione che il carico sta funzionando
alle proprie condizioni nominali (Vcn, Icn, Pcn). Di questa conclusione si terrà conto nella risoluzione
del seguente punto b). Si noti che la corrente assorbita dal carico, Ic = Icn, è inferiore alla corrente
secondaria nominale, I2n, del trasformatore, quindi, quest’ultimo non è sovraccaricato.
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Soluzioni
Supponendo che il trasformatore venga alimentato al primario con una tensione pari a quella
nominale, calcolare:
b.
il rendimento del trasformatore;
b1) calcolo delle perdite di potenza e della potenza del carico
Per calcolare il rendimento richiesto, occorre determinare la potenza assorbita dal carico, Pc, le
perdite nella linea, PL, e le perdite nel rame, PCu, e nel ferro, PFe, del trasformatore nelle
condizioni di funzionamento indicate:
Pc = 3 ⋅ Vc ⋅ I c ⋅ cosφc
(b.1)
PL = 3 ⋅ R L ⋅ I c2
(b.2)
PCu = 3 ⋅ R 2 cc ⋅ I 2c = Pcc ⋅
I c2
I 22 n
(b.3)
Nel caso in cui il punto a) precedente sia stato risolto seguendo la risoluzione alternativa a5), i
valori ottenibili dalle equazioni (b.1-b.3) sarebbero già disponibili (equazioni a.21 e a.23), in
quanto la soluzione del punto a) ha portato alla conclusione che Ic = Icn.
Le perdite nel ferro del trasformatore nella prova a vuoto, P0, valgono (da questa espressione si
potrebbe ricavare il valore di R10, ma si tratta di un passaggio non necessario):
P0%
V12n
P0 =
⋅ An =
100
R 10
(b.4)
Le perdite nel ferro del trasformatore nelle condizioni di alimentazione indicate, PFe, valgono:
V12
V12
PFe =
= P0 ⋅ 2
R 10
V1n
(b.5)
Poiché V1 = V1n, si ha che PFe = P0.
b2) calcolo del rendimento del trasformatore
Il rendimento del trasformatore nelle condizioni di carico e di alimentazione indicate risulta
pari a:
ηt =
Pc + PL
Pc + PL + PCu + PFe
(b.6)
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Soluzioni
b3) risultati numerici del punto b)
equazione
simbolo
valore
u. di misura
(b.1)
(b.2)
(b.3)
Pc
PL
PCu
120
2,636
2,944
kW
kW
kW
(b.4)
(b.5)
(b.6)
P0
PFe
ηt
3,0
3,0
95,38
kW
kW
%
Supponendo che il trasformatore venga alimentato al primario con una tensione pari a quella
nominale, calcolare:
c.
la corrente di corto circuito trifase ai morsetti secondari con V1 = V1n;
c1) calcolo della corrente di corto circuito trifase
La corrente di corto circuito trifase ai morsetti secondari del trasformatore (V1 = V1n= E1,
V2 =0) vale:
I 2cc =
E2
=
Z 2cc
V2 n
3 ⋅ Z 2 cc
(c.1)
c2) risultati numerici del punto c)
equazione
simbolo
valore
u. di misura
(c.1)
I2cc
5,413
kA
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Soluzioni
Guida alla preparazione delle risposte ai quesiti
I testi consigliati per la preparazione delle risposte ai quesiti sono i seguenti (vedi anche la Guida
alla preparazione dell’esame del corso):
[1] L.Olivieri, E.Ravelli, Principi ed Applicazioni di Elettrotecnica, vol.2, CEDAM Editrice,
Padova, 1990.
[2] E.Pagano, M.L.Grassi, R.Rizzo, Macchine ed Azionamenti Elettrici, Liguori Editore, Napoli,
1999.
Entrambi i testi trattano tutti gli argomenti richiesti all’esame.
Il testo [1] è ampiamente diffuso ed è generalmente considerato un testo di riferimento per quanto
riguarda lo studio delle macchine elettriche da diversi decenni. Nell’edizione del 1990, è stata curata
una sua revisione, che ha comportato l’aggiunta di una parte relativa ai sistemi a controllo
automatico ed agli azionamenti industriali. Su questo testo, contenente un numero di argomenti
superiore a quelli necessari alla preparazione dell’esame, è basata la guida presente.
Il testo [2] è stato redatto dal Prof. Pagano, che ha anche registrato le videolezioni del corso; esso è
quindi pienamente aderente ai contenuti di queste ultime e, per il momento, non ho fornito
indicazioni riguardanti la preparazione dell’esame basata su questo testo.
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Soluzioni
a)
b)
Descrivere le prove per la determinazione dei parametri dei trasformatori.
Dire quali parametri possono essere determinati in ciascuna prova.
Paragrafi di riferimento del testo [1]:
Trasformatore monofase
3.4.2 Il trasformatore reale - Funzionamento a vuoto
3.4.4 Funzionamento in corto circuito
commenti: nel paragrafo 3.4.2, purtroppo non viene descritta la prova a vuoto,
mentre, nella parte finale del paragrafo 3.4.4 viene descritta la prova in
corto circuito. Per sopperire a questa incompletezza, viene fornita, qui di
seguito, una descrizione della prova a vuoto.
prova a vuoto: questa prova viene eseguita lasciando aperto l’avvolgimento
secondario ed alimentando l’avvolgimento primario alla tensione
nominale U1n (la simbologia segue quella utilizzata nel testo [1]).
Pertanto, se in tale prova si misurano ordinatamente:
- con un voltmetro, inserito sul primario del trasformatore, la
tensione al primario, U1, regolata sul valore nominale, U1n,
- con un voltmetro, inserito sul secondario del trasformatore, la
corrispondente tensione al secondario, U2 ≈ U2n,
- con un amperometro, inserito sul primario del trasformatore, la
corrispondente corrente al primario, I0,
- con un wattmetro, inserito sul primario del trasformatore, la
potenza assorbita, P0,
si potranno determinare le grandezze
n=
N 1 U1n
U2
U12n
=
; R 0 = 1n ; X 0 =
N 2 U 2n
P0
( U1n ⋅ I 0 ) 2 − P02
in queste si è tenuto conto che nel funzionamento a vuoto valgono in
modo praticamente esatto le relazioni
U1n
N
= 1 =n
U 2n N 2
Trasformatore trifase
3.4.6 Trasformatori trifasi
Studio del trasformatore trifase
13
