Equazioni
Istituto “San Gabriele”
3° Liceo Scientifico – 3° Liceo Scientifico sez. Scienze Applicate
A.S. 2016/2017
Prof. Andrea Pugliese
S
Definizione ed esempi
S Un’equazione è un’uguaglianza tra due espressioni che contengono
numeri e lettere, che possono essere incognite (x,y,…) e parametri (m,k,…).
S Un’equazione contenente solo
numeri ed incognite si chiama
numerica.
S Un’equazione contenente altre
lettere oltre alle incognite si
chiama letterale o parametrica.
x(1+ x(2 + x)) = 4 − x
4x 2 + 3y = 5(x − y)
(m +1)(m −1)x = m 2 −1
6kx(4 + x) = 5k − x 2
Definizione ed esempi
S Un’equazione in cui le incognite compaiono solo al numeratore si chiama
equazione intera…
4x 3 + 2x = x 2 −1
5ax − 3(1− a)x = 4(a 2 −1)
S …altrimenti, se le incognite compaiono anche al denominatore, si chiama
equazione frazionaria.
x 2 −1
3− x
1
+ 2
=
(x −1)(x +1) x − 9 x − 2
3ax −1 5 + ax 2
=
(4a +1)x
ax
Definizione ed esempi
S Un’equazione in una incognita si dice scritta in forma canonica o forma
normale quando è scritta nella forma A(x) = 0.
A(x) è un polinomio i cui termini sono ordinati secondo potenze
decrescenti della variabile x.
5x − 3x 2 = 3− 5x 2 + 6x
2x 2 − x − 3 = 0
S Si chiama grado di un’equazione il grado massimo dell’esponente con cui
appare l’incognita all’interno dell’equazione.
Esempi.
2x 2 − x − 3 = 0
5x − x 4 − 3x 2 + 2x 3 = 0
ha grado 2.
ha grado 4.
Soluzioni di un’equazione
S Si chiama soluzione di una equazione un valore che, sostituito ad ogni
occorrenza dell’incognita, trasforma l’equazione in una uguaglianza.
Esempio. Consideriamo la seguente equazione.
5x + 3 = 6x − 4
Verifichiamo che x = 7 è soluzione.
5x + 3 = 6x − 4
5(7) + 3 = 6(7) − 4
38 = 38
VERO
43 = 44
FALSO
Verifichiamo che x = 8 non è soluzione.
5x + 3 = 6x − 4
5(8) + 3 = 6(8) − 4
Soluzioni di un’equazione
S Si chiama insieme delle soluzioni, e si indice generalmente con S,
l’insieme costituito da tutte le soluzioni di una equazione.
S Le equazioni sono classificate in base al numero delle loro soluzioni.
S Un’equazione che non ha nessuna soluzione si dice impossibile.
S Un’equazione che ha soluzioni si dice possibile. In particolare
S se ha un numero finito di soluzioni si dice determinata.
S se ha un numero infinito di soluzioni si dice indeterminata.
Equazioni equivalenti
S Due equazioni si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni.
Esempi.
3x + 4 = 7
ha soluzione x = 1.
5x − 3 = 2
ha soluzione x = 1.
x 2 − 5x + 6 = 0
(x − 2)(x − 3) = 0
sono equivalenti!
ha soluzioni x = 2 e x = 3
ha soluzioni x = 2 e x = 3
sono equivalenti!
Principi di equivalenza
S I principi di equivalenza sono delle regole che permettono di trasformare
una equazione assegnata in una ad essa equivalente.
S Principio preliminare di equivalenza. Se si svolgono i calcoli in uno o
in entrambi i membri di una equazione si ottiene una equazione
equivalente a quella data.
S Primo principio di equivalenza. Se si somma o si sottrae ad entrambi
i membri di una equazione uno stesso numero o una stessa espressione
algebrica si ottiene un’equazione equivalente a quella data.
S Secondo principio di equivalenza. Se si moltiplicano o si dividono
entrambi i membri di una equazione per uno stesso numero o una
stessa espressione algebrica diversa da zero si ottiene un’equazione
equivalente a quella data.
Equazioni di 1° grado
(anche dette equazioni lineari)
S In un’equazione di 1° grado l’incognita ha al massimo esponente 1.
S Utilizzando i principi di equivalenza è possibile sempre riscrivere
un’equazione di primo grado in forma normale:
ax + b = 0
S A seconda dei coefficienti a e b, l’equazione ammette soluzioni diverse.
a≠0
ax + b = 0
x=−
b
a
l’equazione è determinata.
b=0
l’equazione è indeterminata.
b≠0
l’equazione è impossibile.
a=0
Equazioni di 2° grado
(anche dette equazioni quadratiche)
S In un’equazione di 2° grado l’incognita ha al massimo esponente 2.
S Utilizzando i principi di equivalenza è possibile sempre riscrivere
un’equazione di secondo grado in forma normale:
ax 2 + bx + c = 0
S a si chiama primo coefficiente e deve per forza essere diverso da zero
(altrimenti l’equazione diventa di primo grado).
S b si chiama secondo coefficiente.
S c si chiama terzo coefficiente o termine noto.
Equazioni di 2° grado
(anche dette equazioni quadratiche)
S Le equazioni di secondo grado si classificano in base ai coefficienti.
b=0
c=0
ax 2 = 0
equazione monomia
c≠0
ax 2 + c = 0
equazione pura
c=0
ax 2 + bx = 0
equazione spuria
c≠0
ax 2 + bx + c = 0
equazione completa
a≠0
b≠0
Equazioni di 2° grado
(formula risolutiva)
S Data un’equazione di 2° grado completa si definisce il discriminante.
Δ = b 2 − 4ac
S A seconda del segno del discriminante cambia il numero delle soluzioni.
Δ = b 2 − 4ac > 0
l’equazione ammette
due soluzioni distinte
Δ = b 2 − 4ac = 0
l’equazione ammette
due soluzioni coincidenti
Δ = b 2 − 4ac < 0
l’equazione non
ammette soluzioni
−b ± b 2 − 4ac
x1,2 =
2a
x1 = x2 = −
S=∅
b
2a
Equazioni di grado superiore
(risolubili mediante scomposizione)
S Un’equazione di grado superiore al secondo è un’equazione della forma
A(x) = 0, dove A(x) è un polinomio di grado maggiore o uguale a 2.
Se il polinomio A(x) è scomponibile in fattori, ovvero si può scrivere
A(x) = p1 (x)⋅ p2 (x)⋅... ⋅ pn (x)
allora, in base alla legge di annullamento del prodotto l’insieme delle
soluzioni dell’equazione A(x) = 0 è l’unione degli insiemi delle soluzioni
di ciascuna delle equazioni
p1 (x) = 0, p2 (x) = 0, ..., pn (x) = 0
Esempio. Consideriamo l’equazione
x 5 + x 4 − x 3 −13x 2 − 48x − 36 = 0
Poiché il polinomio si annulla in x = -1, utilizzando la regola di Ruffini e
riconoscendo successivamente il quadrato di un binomio e la differenza di due
quadrati dobbiamo risolvere l’equazione
(x +1)(x 2 + x + 6)(x 2 − x − 6) = 0
Quindi risolviamo le singole equazioni
x +1 = 0
→ x = −1
x 2 + x + 6 = 0 → non ha soluzioni (Δ < 0).
x 2 − x − 6 = 0 → x1 = −3, x2 = 2
Le soluzioni dell’equazione sono quindi x = -3, x = -1 e x = 2.
Equazioni di grado superiore
(equazioni binomie)
S Un’equazione binomia è un’equazione della forma
ax n + b = 0,
a≠0
S Se n è dispari, l’equazione ammette l’unica soluzione.
x=n−
b
a
S Se n è pari e ab > 0 allora l’equazione non ammette soluzioni reali.
S Se n è pari e ab < 0 allora l’equazione ammette le due sole radici reali
x1 = + n −
b
a
e
x2 = − n −
b
a
Esempio. Consideriamo l’equazione binomia
81x 4 −16 = 0
Utilizzando i principi di equivalenza l’equazione diventa
x4 =
E quindi
16
81
4
!2$
16
2
x=±4
=±4 # & =±
" 3%
81
3
Equazioni di grado superiore
(equazioni trinomie)
S Un’equazione trinomia è un’equazione della forma
ax 2n + bx n + c = 0,
a≠0
in particolare per n = 2 l’equazione prende il nome di biquadratica.
S Se poniamo
y = x n l’equazione iniziale diventa
ay 2 + by + c = 0
S Se questa equazione ammette le due soluzioni y1 e y2, le soluzioni
dell’equazione di partenza si ottengono risolvendo le equazioni
x n = y1
x n = y2
Esempio. Consideriamo l’equazione trinomia
x 6 − 3x 3 + 2 = 0
Posto y = x
3
l’equazione diventa
y 2 − 3y + 2 = 0 → y = 1 e y = 2
Risolviamo quindi le equazioni
x 3 = y1 = 1 → x = 1
x 3 = y2 = 2 → x = 3 2
Esercizi sulle equazioni di 1° grado
1. 5x(x − 3) + 2(x −1) = x(5x +1) − 2x − 3
[1 /12]
2. 3x +[x − 2(3 − x)]+[−5x − (−x + 5)] = 4(3 − x)
[23 / 6]
"
1 %"
1%
1
11
1
3. $ 2x − '$ 2x + ' − (2 + x)2 + 3x − (4x − 7) = 3x 2 − x +
[impossibile]
#
3 &#
3&
7
7
9
5
4
2
1
4.
− 2
+
=
[22 / 3]
x + 5 x − 25 x + 5 x − 5
2
3
2
5.
+
−
=0
[impossibile]
2
x − 3 x − 4 7x − x −12
3x(x +1) − 2
x
x 2 + 2x −1
6.
−
=
[impossibile]
2
2
4x −1
2x +1
4x −1
7. 3x 3 − x 2 − 3x +1 = 0
[−1,1,1 / 3]
8. 8x 4 +12x 3 + 6x 2 + x = 0
[0, −1 / 2]
x + 4x 2 + x 3 − 6
9.
=0
x −1
[−3, −2]
Esercizi sulle equazioni di 2° grado
1. (x 2 − 2x +1)2 − (x 2 − 2)(x 2 + 2) = 4x 2 (3 − x) + 3x
2.
3.
4.
5.
6.
7.
2
3(x +1) + (x − 3)(x + 3) = 2x 2 + 6x
3
"
1 %"
1%
$ 3x − '$ 3x + ' + 6x = 0
#
2 &#
2&
2+ x
3x −1
x
x(1− x)
− 2
−
=
x + 3 x + x − 6 x + 3 (x + 3)(x − 2)
x
5
x+3
2
+
=
+
x 2 − 2x +1 2x − 2 x 2 −1 x −1
x+9
x
+1
=
x2 − 9
x+2
16
9x 4 − = 0
25
2
8. 4x 2 (x 6 − 2) = 21x 4 +1− 2(3+ 4x 2 )
[−5 / 3,1 / 2]
[impossibile]
[±
5+2
]
6
[−1, 3]
[impossibile]
[0, −11 / 3]
2 15
]
15
2 4
[±
, ± 5]
2
[±
