LE DISEQUAZIONI LINEARI

COMPITI PER IL RECUPERO DELLA CARENZA FORMATIVA
(E RIPASSO)
ANNO SCOLASTICO 2014-2015
MATEMATICA
II
1
LE DISEQUAZIONI LINEARI
x  3 x  5  7   x  4  2 3x  2 
x  3
2
x  22
impossibile
 2 x x  5  x  2 x  2   4 x
5

 x  2 
 2

  3  x  5
3
 1


x

 4
4 
5x  1x  2 3 x  1  2  x  6 x  2 2 x  3 2 1  2 x  
2
2
3x  2 x  5  0
1 
3

 2 x   2 x    0
2 
2

x 3
 0;
3x
2x
 0;
x2
3  x  3
x  0  x  2
La risoluzione dei problemi mediante le disequazioni lineari
Un triangolo ha due angoli acuti che misurano in gradi 4 x  1 e x  4. Quale valore
può avere x?
massimo
17
I lati di un triangolo misurano in centimetri rispettivamente 3x, 2 x  1 e x  3. Per quali valori di x
il triangolo ha il perimetro maggiore o uguale a 28 cm?
 x  4
LA RETTA
L’equazione di una retta passante per l’origine
Scrivi l’equazione della retta passante per l’origine e per il punto A. Verifica se il punto B
appartiene alla retta trovata. Disegna il grafico della retta, il punto A e il punto B.
A  3; 18 ,
1

B  ;  2 .
3

 y  6 x; sì
Scrivi l’equazione delle rette passanti per l’origine aventi i coefficienti angolari indicati e disegnale
nel piano cartesiano.
1
m ,
3
m  4.
1


 y  3 x; y  4 x 
2
Disegna i grafici delle rette rappresentate dalle seguenti equazioni.
y  2 x  5;
3
y .
5
Scrivi in forma esplicita le seguenti equazioni, specificando quali sono il coefficiente angolare e il
termine noto. Disegnane, infine, i grafici.
x  3 y  1  0,
 y  3  0,
2 x  y  1  0.
1
1


 y  3 x  3 ; y  3; y  2 x  1
Scrivi l’equazione della retta utilizzando le informazioni fornite dal grafico.
 y  2 x  4
I SISTEMI LINEARI
Risolvi il sistema usando il metodo di sostituzione.
1 2 y 2x  5 y 7
1

 2 x  12 
3
4

1 x  2 y   3
 5
7
35
1;  1 
Determina le coordinate del punto di intersezione della seguente coppia di rette.
2 x  y  5  0;
y   x  3.
[(2; 1)]
Risolvi il sistema usando il metodo di riduzione, dopo aver stabilito se è determinato, impossibile
o indeterminato.
 y  1  5  x  1   3  x 2    x  1 x  4   5 x  6

3x  y  11  0
 2; 5
3
Risolvi il sistema lineare, utilizzando il metodo che ritieni più opportuno.
x y 7
 6x  7
 2  3 10  10

 x  y  4  x  2y
 3
9
4
 x  y 1 3 x  y
 
 3
4
2

 1  x   4 y  1  x  3 y
14
8
7
 4  
 3 ; 2  


 3
1 
 5 ;  2  


Risolvi il sistema numerico fratto.
 x  3 3x  1

2

3y
x 3
3 y  3x  1

1
 y 1


6
 x 1
2  y  x   1  x  12

 3 4  
 5 ; 15  


 1  
 4; 2  


Risolvi il sistema nelle incognite x, y e z.
2 x  3 y  z  1

 x  5 y  3z  10
3x  4 y  1  0

 3;  2; 1
2 x  2 y  z  3

x  y  z  0
3x  y  2 z  13

 2; 3;  5
Sistemi lineari e problemi
3
della differenza tra il maggiore e il minore si
4
5
ottiene 17. Il rapporto tra il maggiore e il triplo del minore vale . Determina i due
numeri.
7
[15; 7]
Aggiungendo alla semisomma di due numeri i
1
1
della diagonale maggiore con
della
6
3
minore è di 14 cm e che la differenza fra il doppio della minore e la maggiore è di 12 cm.
Calcola l’area di un rombo sapendo che la somma di
4
 432 cm2 
Dal fruttivendolo ho acquistato, per un totale di € 6,45, tre diversi tipi di arance dal costo al
kilogrammo rispettivamente di € 1,30, € 2 e € 2,10.
2
La quantità acquistata del secondo tipo è i
della quantità acquistata del terzo tipo, mentre
la
3
5
somma delle quantità del secondo e del terzo tipo è i
della quantità del primo tipo. Determina
2
quanti kilogrammi di arance ho acquistato di ciascun tipo.
[1 kg; 1 kg; 1,5 kg]
I RADICALI
Completa, determinando il radicale equivalente.
 x 1  
3
3
5  9 ...;
5
ab4  20 ...;
4
y
16
2
a3mb  4 k ... .
...;
Semplifica i seguenti radicali
10
243;
6
x3 y12 ;
4
4 x2  24 xy  36 y 2 ;
3n
2n  x  y  .
 3;

2n
2 x  3y ;
xy 4 ;
3
2
2x  y  

Esegui la seguente moltiplicazione fra radicali e semplifica il risultato.
4
x 2  2 xy  y 2
x2 1
3
x 1
x y
12  x  y 2  x  14  x  1 


Trasporta fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili.
250;
2a 2  b 2  2ab
3x 2 y

5 10 ;

ab 2 

x
3y 
Semplifica l’espressione.
x2 3 x2 4
: 2
 x26 x2
x2
x 4
 4  x  2 3 


5
Trasporta i fattori dentro il segno di radice, supponendoli non negativi.
3 3
13
;
9
 39;
a3
;
a 3
 a  3
3
a2  9

Calcola la seguente somma algebrica di radicali
2 3  12  27  3 75  108
10 3 


3 2  18  2 8  3 50  98
10 2 


b  2
3
 b  3  b  2 


 4b  8  9b  18
Utilizzando anche le regole dei prodotti notevoli, semplifica l’espressione.
2

x y 
 
x y 
x y

2

 y 2 y x

 x  2 xy 


Razionalizza i denominatori delle seguenti frazioni.
3
;
6
x2
;
2 xy
a4
.
a 2
1
;
5 7
 6 x  xy
;
 ;
2y
 2
7 5
;
2

a  2

Risolvi l’equazione.

2
2 

2 

x2 x2
x 1


2 2 2
2 1
Scrivi sotto forma di radicale le seguenti potenze con esponente razionale.
3
4 12 16
81a b 

;
2
 27 x 6 y 3  9

 .
9
 c


c6 
3 9
 4 27 a b ; 3 4 2 
9 x y 

6
LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
Risolvi l’equazione.
 7;
x2  10 x  21  0
 3 
  2 ; 5
 3 2
  8 ; 3 
2 x2  7 x  15  0
x2 
7
1
x 0
24
4

5
 5;

3 

3x 2  4 5 x  5  0

 
2
2x  2 2x
 3

2
2
 x  x  1
  1  1  x  4
 2  2  4
2x  12  3xx  2
 2; 2 2 


impossibile
 1
Risolvi l’equazione fratta di secondo grado nell’incognita x.
 x  3  9  3 x  0
2
1  2 x  2 x  1
2
3x 2  4 x  1
1
x2


0
2
x 4
x2 x2
7x  5
3x  4
5
9 x 2  43x  8

3


:




x 2  x  2 x  1  x  2 x  3 4  x 2  4 x  3

9

0;  7 
1

 1; 2 
3, non accettabile; 7 
x 2  2x
x2 1
5


2
2
3x  3
x  x  2 1 x
1
[-2, ]
2
1
1
2
 2
 2
y  4 y y  4 y  4 3y  6 y
[-1,
x2
1
1

 2
2
x 1 1 x x 1
[2]
3
14
]
5
Considera l’equazione x 2  3x  k  0 determina per quali valori di k l’equazione ha:
a) Soluzioni reali distinte
9
9


b) Soluzioni reali coincidenti
 k  4 , k  4 , k  2


c) Una delle soluzione è 1
7
Considera l’equazione kx2  2 x  1  0 , con k  0
determina per quali valori di k l’equazione ha:
a) Le soluzioni sono reali e la somma è 4
b) Le soluzioni sono reali e il prodotto 4
1

k

,

2

k
1
4



Funzione quadratica
Data la funzione y  x 2  5x  6 traccia il grafico e determina le coordinate dei punti di intersezione
con gli assi cartesiani.
I problemi di secondo grado
Sommando al triplo di un numero intero il quadrato del suo consecutivo si ottiene 267. Qual
numero?
 19; 14
è il
Determina l’area di un rettangolo il cui perimetro è di 56 cm, sapendo che esso è inscritto in
192 cm2 
circonferenza di raggio 10 cm.
una
5
della sua
3
[120 cm]
In un triangolo rettangolo l’ipotenusa è 20 cm più lunga di un cateto e questo è
proiezione sull’ipotenusa stessa. Determina il perimetro del triangolo.
Un triangolo rettangolo ha un cateto lungo 7 cm più dell’altro e il perimetro di 30 cm. Calcolane
30 cm2 
l’area.
Le equazioni di grado superiore al secondo
8x3  10 x2  7 x  0
2 x3  7 x 2  4 x  4  0
1
 7
  4 ; 0; 2 
1

 2; 2;  2 
3x3  192  0
 4
x4  7 x2 18  0
 3
2 x4 19 x2  9  0
 2

;  3

 2

8
PROBABILITA’
Dato uno spazio campionario S la probabilità P(A) di un evento A è un numero reale tale che:
P(A)≥0
Lancio di una moneta qual è la probabilità che esca testa?
[0.5]
P(S ) =1
Lancio di un dado, qual è la probabilità che esca un numero minore di 7?
[1]
P(Ø) = 0
Lancio di un dado,qual è la probabilità che esca un numero maggiore di 6?
[0]
P(Ā) =1- P(A)
Lancio di un dado,qual è la probabilità che non esca un numero multiplo di 3?
[1-2/6]
P(A1 ∩ A2) significa la probabilità che si verifica A1 e A2, cioè che si verifichino entrambi gli
eventi
Lancio di un dado,qual è la probabilità che esca un numero minore di 4 e un multiplo di 3?
[1/6]
Se P(A1 ∩ A2)=0 gli eventi sono incompatibili (in caso contrario si dicono compatibili)
Lancio di un dado,qual è la probabilità che esca un numero minore e maggiore di 4?
[0]
P(A1 U A2) significa la probabilità che si verifica A1 o A2 , cioè che si verifichino o un evento o
l’altro o entrambi
Lancio di un dado,qual è la probabilità che esca un numero minore di 4 o un multiplo di 3? Gli
eventi favorevoli sono: 1,2,3,6
[2/3]
P(A1 U A2) = P(A1)+ P(A2 )- P(A1 ∩A2) se A1 A2 sono eventi compatibili
Lancio di un dado,qual è la probabilità che esca un numero minore di 4 o un multiplo di 3?
[3/6+2/6-1/6]
P(A1 U A2) = P(A1)+ P(A2 ) se A1 A2 sono eventi incompatibili
Lancio di un dado,qual è la probabilità che esca un numero minore di 4 o un maggiore di 4?
[3/6+2/6]
9
P(A1 ∩ A2) = P(A1)* P(A2) e A1 A2 sono eventi indipendenti
Un’urna contiene 2 palline rosse e 3 verdi. Estraggo una pallina e dopo aver rimesso la pallina
estratta nell’urna ne estraggo una seconda. Qual è la probabilità di estrarre la prima rossa e la
seconda verde?
[2/5*3/5]
Tre libri A, B, C vengono disposti in uno scaffale uno di fianco all’altro. Costruisci il diagramma ad
albero con tutti i possibili modi per disporre i libri. Qual è la probabilità che il libro B stia agli
estremi?
[2/3]
Un fiorista mette in svendita 200 fiori, in parte rose e in parte tulipani.
Sia le rose sia i tulipani sono di due tipi: o di colore rosso o di colore giallo.
Il 60% dei fiori in offerta sono rossi e il 35% sono tulipani. Inoltre le rose rosse sono 70.
Completa la tabella
colore
Rosso
Giallo
Rose
specie
Tulipani
200
Scegliendo a caso un fiore tra quelli in svendita, qual è la probabilità che sia un giacinto?
[0%]
Scegliendo a caso un fiore tra quelli in svendita, qual è la probabilità che sia una rosa?
[65%]
Scegliendo a caso un fiore tra quelli in svendita, qual è la probabilità che sia una rosa gialla?
[30%]
Scegliendo a caso un fiore tra quelli in svendita, qual è la probabilità che non sia una rosa gialla?
[70%]
Viene estratto casualmente un fiore, sapendo che è una rosa, quale è la probabilità che sia gialla?
[46%]
Un contadino decide di fare un impianto di more. E’ noto che il 5% delle piantine sono malate e
non sopravvivono oltre la prima settimana. La piantina malata ha la probabilità di essere identificata
e scartata pari al 70%. Scegliendo a caso una piantina qual è la probabilità che sia malata e che
venga scartata?
[3,5%]
10
GEOMETRIA
Le rette parallele
Osserva la figura e completa le frasi a lato.
L’angolo 3 è alterno interno dell’angolo … .
L’angolo 1 è ……………. dell’angolo 5.
L’angolo 7 è coniugato esterno dell’angolo …
L’angolo 1 è ……………. dell’angolo 8.
Completa esprimendo le ampiezze in gradi tenendo conto che le rette r e s sono parallele.
ACˆ B  ...
CDˆ A  ...
ADˆ B  ...
EAˆ D  ...
CEˆ A  EAˆ D  ADˆ C  DCˆ E  ...
[25°; 110°; 70°; 160°; 360°]
Il parallelogramma
Disegna un parallelogramma ABCD, la diagonale BD e i segmenti AK e CH, perpendicolari
BD. Dimostra che il quadrilatero AHCK è un parallelogramma.
a
Nella figura ABCD è un parallelogramma. Determina le ampiezze degli angoli α, β, γ e δ.
[111°; 69°; 111°; 42°]
11
La circonferenza e il cerchio
COMPLETA le
seguenti frasi.
Un arco è ……..……… compresa fra due ……….…….., detti ……………….. dell’arco.
Un semicerchio è ………………. compresa fra una …………….. e un …………………. .
I punti interni a una circonferenza hanno distanza dal centro …………………………. .
Un settore circolare è la parte di ………………….. compresa fra un ………………….. e i raggi
che hanno un estremo negli estremi …………………. .
COMPLETA le
seguenti frasi.
In una circonferenza, ogni diametro è maggiore di …………………… che non passa per
………………… .
Se in una circonferenza il diametro interseca una corda (non passante per ………………)
nel
suo punto medio, allora il diametro è …………………….. .
In una circonferenza, corde aventi la stessa distanza dal ……………… sono ……………. .
Se in una circonferenza due corde non sono congruenti, la corda maggiore ha distanza
……………… dal ……………………. .
Gli angoli alla circonferenza e i corrispondenti angoli al centro
Nelle seguenti figure per ogni angolo al centro disegna tre angoli alla circonferenza che insistono
sullo stesso arco. Uno degli angoli tracciati deve avere il vertice in B.
I poligoni inscritti e circoscritti
COMPLETA le
seguenti frasi.
Si dice che un poligono è inscritto in una circonferenza se ha …………………….. sulla
………………. .
Un poligono convesso è circoscrivibile a una circonferenza se ………………………. passano per
uno stesso punto.
12
La risoluzione algebrica di problemi geometrici
Determina le lunghezze dei tre segmenti sapendo che la loro somma è 60 cm, il quadruplo del primo
3
meno il secondo è uguale al terzo e che il secondo è del terzo.
5
[12 cm; 18 cm; 30 cm]
Determina le misure dei lati del triangolo in figura (le misure sono rispetto al centimetro).
 x  2
Il perimetro di un triangolo isoscele è 100a. La base è
triangolo.
16
del lato obliquo. Calcola l’area del
17
 480a 2 
5
. La
3
proiezione dell’altro cateto sull’ipotenusa è 32 cm. Calcola il perimetro e l’area del
triangolo.
120 cm; 600 cm2 
In un triangolo rettangolo il rapporto fra un cateto e la sua proiezione sull’ipotenusa è
In un trapezio isoscele le diagonali sono perpendicolari ai lati obliqui e il piede dell’altezza divide la
16
. Sapendo che l’altezza è 24 cm,
base maggiore in due segmenti il cui rapporto è
determina
9
124 cm; 768 cm2 
il perimetro e l’area del trapezio.


Il perimetro di un triangolo rettangolo isoscele è di 6 2  2 cm. Determina l’area del triangolo.
18 cm2 
Un trapezio scaleno ha gli angoli adiacenti alla base maggiore di 30° e di 60°. Sapendo che l’altezza
è di 12 cm e che la base maggiore è doppia della minore, determina il perimetro del
trapezio.
 24  56 3 cm 




L’area di un rombo è 480a 2 e il lato misura 26a. Calcola la misura delle diagonali del rombo.
[20a; 48a]
13
2
della maggiore. Sapendo che
3
l’angolo acuto adiacente alla base maggiore è 45°, calcola il perimetro e l’area del trapezio.
 72  12 2 a; 360a 2 


In un trapezio rettangolo l’altezza è 12a e la base minore è


In un parallelogramma i cui angoli acuti sono di 30° il lato maggiore è quadruplo del minore e
l’area misura 72m2 . Calcola la lunghezza della proiezione del lato minore su quello
maggiore e
3 3m; 3m; 12m
delle altezze del parallelogramma.


5
dell’altezza,
4
e la base maggiore è di 25 cm. Prolungando i lati obliqui si ottiene un triangolo isoscele avente per
base la base maggiore del trapezio. Calcola l’area del triangolo.
 625 2 
 3 cm 
In un trapezio isoscele le diagonali sono perpendicolari ai lati obliqui, che misurano
4
2
della base maggiore BC, AD
è
5
3
di BC e il perimetro è 50a. Prolunga l’altezza AB dalla parte di A e il lato obliquo CD dalla parte
di D fino a farli incontrare nel punto E. Da A conduci la perpendicolare a DE e indica con H il
piede di tale perpendicolare.
 720 
Calcola il perimetro del triangolo AHE.
 13 a 
Disegna un trapezio rettangolo ABCD in cui l’altezza AB è
14