Lezione 3 - Statistica

Lezione 3
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
Lezione 3
l’operatore
sommatoria
(Σ)
Statistica
Indici sintetici
Alfonso Iodice D’Enza
[email protected]
Indici di
tendenza
centrale
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
Università degli studi di Cassino
La media
aritmetica
ponderata
A. Iodice ()
Lezione 3
Statistica
1 / 27
Outline
Lezione 3
A. Iodice
1
Funzione di ripartizione empirica
2
l’operatore sommatoria (Σ)
3
Indici sintetici
4
Indici di tendenza centrale
5
la media aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
6
Proprietà della media aritmetica
La media
aritmetica
ponderata
7
La media aritmetica ponderata
Funzione di
ripartizione
empirica
l’operatore
sommatoria
(Σ)
Indici sintetici
Indici di
tendenza
centrale
la media
aritmetica
A. Iodice ()
Lezione 3
Statistica
2 / 27
Funzione di ripartizione
Lezione 3
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
l’operatore
sommatoria
(Σ)
Indici sintetici
Indici di
tendenza
centrale
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
aritmetica
ponderata
Si consideri il carattere X, carattere quantitativo discreto con
K + 1 modalità, tali che x0 ≤ x1 ≤ · · · ≤ xK oppure il
carattere X quantitativo continuo suddiviso in K classi
[x0 , x1 ], )x1 , x2 ], . . . , )xK−1 , xK ]; la distribuzione delle
frequenze relative cumulate può essere rappresentata tramite la
seguente funzione di ripartizione

0
per x ≤ x0


 F

per x0 < x ≤ x1

1


F2
per x1 < x ≤ x2
F (x) =
... ...
...





F
per
x
K−1 < x ≤ xK

 K
1
per x > xK
A. Iodice ()
Lezione 3
Statistica
3 / 27
Esempio di costruzione di una f. di ripartizione
Lezione 3
A. Iodice
Si consideri il carattere età, variabile continua suddivisa in
classi e rappresentata in tabella
Funzione di
ripartizione
empirica
l’operatore
sommatoria
(Σ)
Indici sintetici
Indici di
tendenza
centrale
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
aritmetica
ponderata
A. Iodice ()
Lezione 3
Statistica
4 / 27
Esempio di costruzione di una f. di ripartizione
Lezione 3
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
l’operatore
sommatoria
(Σ)
Indici sintetici
Indici di
tendenza
centrale
la media
aritmetica
la funzione di ripartizione corrispondente è...

0
per x ≤ 10




 0.25 per 10 < x ≤ 30
0.7
per 30 < x ≤ 50
F (x) =


0.9
per 50 < x ≤ 70



1
per 70 < x ≤ 90
Proprietà della
media
aritmetica
La media
aritmetica
ponderata
A. Iodice ()
Lezione 3
Statistica
4 / 27
Rappresentazione grafica di una f. di ripartizione:
caso discreto
Lezione 3
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
l’operatore
sommatoria
(Σ)
Indici sintetici
Indici di
tendenza
centrale
la media
aritmetica
variabile discreta
n.f igli
0
1
2
3
4
absF reqs
5
5
3
3
4
cum.F reqs
5
10
13
16
20
relF reqs
0.25
0.25
0.15
0.15
0.2
cum.relF r.
0.25
0.50
0.65
0.80
1.00
Proprietà della
media
aritmetica
La media
aritmetica
ponderata
A. Iodice ()
Lezione 3
Statistica
5 / 27
Rappresentazione grafica di una f. di ripartizione:
caso discreto
Lezione 3
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
Step function
la funzione di ripartizione ottenuta è rappresentabile graficamente
come segue:
l’operatore
sommatoria
(Σ)
Indici sintetici
Indici di
tendenza
centrale
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
aritmetica
ponderata
A. Iodice ()
Lezione 3
Statistica
6 / 27
Rappresentazione grafica di una f. di ripartizione:
caso continuo
Lezione 3
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
Si consideri la distribuzione di frequenze relativa alla variabile peso in
chilogrammi.
l’operatore
sommatoria
(Σ)
fino a 50
(50,55]
(55,60]
(60,65]
(65,70]
(70,75]
(75,80]
(80,85]
(85,90]
oltre 90
Indici sintetici
Indici di
tendenza
centrale
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
f.abs
4.00
3.00
2.00
2.00
2.00
3.00
1.00
0.00
2.00
1.00
f.rel
0.20
0.15
0.10
0.10
0.10
0.15
0.05
0.00
0.10
0.05
cum.f.abs
4.00
7.00
9.00
11.00
13.00
16.00
17.00
17.00
19.00
20.00
F(x)
0.20
0.35
0.45
0.55
0.65
0.80
0.85
0.85
0.95
1.00
La media
aritmetica
ponderata
A. Iodice ()
Lezione 3
Statistica
7 / 27
Rappresentazione grafica di una f. di ripartizione:
caso continuo
Lezione 3
A. Iodice
La funzione di ripartizione è rappresentata graficamente come
segue:
Funzione di
ripartizione
empirica
l’operatore
sommatoria
(Σ)
Indici sintetici
Indici di
tendenza
centrale
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
aritmetica
ponderata
A. Iodice ()
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8 / 27
Proprietà della funzione di ripartizione
Lezione 3
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
l’operatore
sommatoria
(Σ)
La funzione di ripartizione di una variabile X, o di una
mutabile rettilinea (ordinabile), e con campo di variazione
[x0 , xK ], gode delle seguenti proprietà:
Indici sintetici
Indici di
tendenza
centrale
la media
aritmetica
1
F (X) = 0 per x < x0
2
F (X) = 1 per x > xK
3
F (X) è una funzione non decrescente
Proprietà della
media
aritmetica
La media
aritmetica
ponderata
A. Iodice ()
Lezione 3
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9 / 27
...piccola digressione
Lezione 3
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
Si consideri di avere n elementi a1 , a2 , . . . , an . La loro somma
può essere espressa in questo modo:
l’operatore
sommatoria
(Σ)
a1 + a2 + . . . + an ≡
n
X
ai
i=1
Indici sintetici
Indici di
tendenza
centrale
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
aritmetica
ponderata
ovvero la sommatoria degli elementi ai , per i che varia da 1 ad
n.
P
P
data la costante C si ha che ni=1 Cai = C ni=1 ai
P
data la costante C si ha che ni=1 C = nC
Pn
Pn
Pn
i=1 (ai + bi ) =
i=1 ai +
i=1 bi
A. Iodice ()
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10 / 27
Gli indici sintetici
Lezione 3
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
l’operatore
sommatoria
(Σ)
Gli indici sintetici consentono di esprimere con un’unica misura
numerica l’intera distribuzione di un carattere su un collettivo
in base al tipo di informazione espressa dall’indice si distingue
tra
indici di tendenza centrale e posizione
indici di di variabilità
Indici sintetici
indici di forma
Indici di
tendenza
centrale
la media
aritmetica
quali vantaggi comporta l’utilizzo degli indici?
si possono confrontare distribuzioni di un carattere nel tempo,
nello spazio, in circostanze diverse
Proprietà della
media
aritmetica
è possibile verificare gli effetti (in termini di variazione, direzione
e intensità) di una determinata azione sulla distribuzione del
carattere considerato
La media
aritmetica
ponderata
A. Iodice ()
Lezione 3
Statistica
11 / 27
indici sintetici: tipologie
Lezione 3
A. Iodice
Una ulteriore classificazione degli indici sintetici rispetto alla loro
natura
indici assoluti: dipendono dalla unità di misura del carattere
oggetto di analisi
Funzione di
ripartizione
empirica
indici relativi: sono numeri puri e consentono il confronto tra
fenomeni omogenei. Un indice relativo può essere dato dal
rapporto tra indici assoluti oppure dal rapporto tra un indice
assoluto e il suo massimo (o minimo)
l’operatore
sommatoria
(Σ)
Indici sintetici
Indici di
tendenza
centrale
indici normalizzati: sono indici relativi che assumono valori negli
intervalli [0, 1] e [−1, 1]. Per normalizzare un indice I
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
I∗ =
La media
aritmetica
ponderata
I − Imin
Imax − Imin
dove I∗ rappresenta la versione normalizzata dell’indice I di
estremi Imin e Imax .
A. Iodice ()
Lezione 3
Statistica
12 / 27
la media
Lezione 3
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
Definizione di media
Data una variabile X, si definisce media il valore M tale che:
sia compreso tra il minimo ed il massimo della
distribuzione di frequenza della variabile considerata,
ovvero:
min(X) < M < max(X)
l’operatore
sommatoria
(Σ)
Indici sintetici
Indici di
tendenza
centrale
secondo il criterio di internalità (Cauchy)
rispetto ad una funzione f (.) delle osservazioni M risulta
essere
f (x1 , x2 , . . . , xn ) = f (M, M, . . . , M )
(1)
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
aritmetica
ponderata
secondo il principio della rappresentatività(Chisini)
A. Iodice ()
Lezione 3
Statistica
13 / 27
la media
Lezione 3
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
l’operatore
sommatoria
(Σ)
Indici sintetici
Indici di
tendenza
centrale
La scelta di f (.) - additiva, moltiplicativa, inversa ...- viene
fatta in funzione della natura della variabile. e determina
differenti tipi di medie
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
aritmetica
ponderata
A. Iodice ()
Lezione 3
Statistica
14 / 27
la media aritmetica
Lezione 3
Si consideri la funzione f (.) additiva, vale a dire
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
l’operatore
sommatoria
(Σ)
Indici sintetici
f (x1 , x2 , . . . , xn ) =
Proprietà della
media
aritmetica
xi
i=1
Ricordando il principio di rappresentatività (equazione 1) si ha
che
Indici di
tendenza
centrale
la media
aritmetica
n
X
f (x1 , x2 , . . . , xn ) = f (µ, µ, . . . , µ)
Poichè f (.) è di tipo additivo la precedente uguaglianza si può
riscrivere come
La media
aritmetica
ponderata
f (x1 , x2 , . . . , xn ) =
n
X
µ
i=1
A. Iodice ()
Lezione 3
Statistica
15 / 27
la media aritmetica
Lezione 3
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
l’operatore
sommatoria
(Σ)
quindi
n
X
Indici sintetici
Indici di
tendenza
centrale
i=1
xi =
n
X
i=1
µ ⇐⇒
n
X
i=1
n
xi = nµ ⇐⇒ µ =
1X
xi
n
i=1
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
aritmetica
ponderata
A. Iodice ()
Lezione 3
Statistica
16 / 27
la media aritmetica
Lezione 3
media semplice:
n
A. Iodice
µ=
Funzione di
ripartizione
empirica
1X
xi
n
i=1
media per dati organizzati in frequenze (k è il numero di
modalità):
l’operatore
sommatoria
(Σ)
Indici sintetici
Pk
Indici di
tendenza
centrale
µ=
la media
aritmetica
j=1 xj nj
Pk
j=1 nj
k
1X
=
xj nj
n
j=1
media per frequenze relative:
Proprietà della
media
aritmetica
La media
aritmetica
ponderata
µ=
k
X
j=1
A. Iodice ()
Lezione 3
k
X
nj
xj
=
xj fj
n
j=1
Statistica
17 / 27
Calcolo della media aritmetica semplice: un
esempio
Lezione 3
A. Iodice
La distribuzione unitaria della media voto di un collettivo di
n = 20 studenti
Funzione di
ripartizione
empirica
l’operatore
sommatoria
(Σ)
µ=
Indici sintetici
Indici di
tendenza
centrale
1
×(22.5 + 23 + 18.5 + 18.3+
20
+ 28 + 25.7 + 24.2 + 28.7+
+ 27.9 + 27 + 24.6 + 26.8+
+ 21.5 + 20.3 + 23.6 + 26.4+
la media
aritmetica
+ 18.9 + 19.4 + 19.3 + 26) =
470.6
=
= 23.53
20
Proprietà della
media
aritmetica
La media
aritmetica
ponderata
A. Iodice ()
Lezione 3
Statistica
18 / 27
Calcolo della media aritmetica semplice: un
esempio
Lezione 3
A. Iodice
La distribuzione unitaria della media voto di un collettivo di
n = 20 studenti
Funzione di
ripartizione
empirica
l’operatore
sommatoria
(Σ)
µ=
Indici sintetici
Indici di
tendenza
centrale
1
×(22.5 + 23 + 18.5 + 18.3+
20
+ 28 + 25.7 + 24.2 + 28.7+
+ 27.9 + 27 + 24.6 + 26.8+
+ 21.5 + 20.3 + 23.6 + 26.4+
la media
aritmetica
+ 18.9 + 19.4 + 19.3 + 26) =
470.6
=
= 23.53
20
Proprietà della
media
aritmetica
La media
aritmetica
ponderata
A. Iodice ()
Lezione 3
Statistica
18 / 27
Calcolo della media aritmetica semplice: un
esempio
Lezione 3
A. Iodice
La distribuzione unitaria della media voto di un collettivo di
n = 20 studenti
Funzione di
ripartizione
empirica
l’operatore
sommatoria
(Σ)
µ=
Indici sintetici
Indici di
tendenza
centrale
1
×(22.5 + 23 + 18.5 + 18.3+
20
+ 28 + 25.7 + 24.2 + 28.7+
+ 27.9 + 27 + 24.6 + 26.8+
+ 21.5 + 20.3 + 23.6 + 26.4+
la media
aritmetica
+ 18.9 + 19.4 + 19.3 + 26) =
470.6
=
= 23.53
20
Proprietà della
media
aritmetica
La media
aritmetica
ponderata
A. Iodice ()
Lezione 3
Statistica
18 / 27
Calcolo della media aritmetica per dati in frequenze
assolute: un esempio
Lezione 3
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
Considerando la distribuzione di frequenze rispetto K = 4
classi (intervalli) di voto: in questo caso si considerano i valori
centrali delle classi.
l’operatore
sommatoria
(Σ)
1
× (c1 × n1 + c2 × n2 +
20
+ c3 × n3 + c4 × n4 ) =
1
=
× (19.6 × 6 + 22.2 × 3+
20
+ (24.8 × 5 + 27.4 × 6) =
472.6
=
= 23.63
20
µ=
Indici sintetici
Indici di
tendenza
centrale
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
aritmetica
ponderata
A. Iodice ()
Lezione 3
Statistica
19 / 27
Calcolo della media aritmetica per dati in frequenze
assolute: un esempio
Lezione 3
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
Considerando la distribuzione di frequenze rispetto K = 4
classi (intervalli) di voto: in questo caso si considerano i valori
centrali delle classi.
l’operatore
sommatoria
(Σ)
1
× (c1 × n1 + c2 × n2 +
20
+ c3 × n3 + c4 × n4 ) =
1
=
× (19.6 × 6 + 22.2 × 3+
20
+ (24.8 × 5 + 27.4 × 6) =
472.6
=
= 23.63
20
µ=
Indici sintetici
Indici di
tendenza
centrale
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
aritmetica
ponderata
A. Iodice ()
Lezione 3
Statistica
19 / 27
Calcolo della media aritmetica per dati in frequenze
assolute: un esempio
Lezione 3
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
Considerando la distribuzione di frequenze rispetto K = 4
classi (intervalli) di voto: in questo caso si considerano i valori
centrali delle classi.
l’operatore
sommatoria
(Σ)
1
× (c1 × n1 + c2 × n2 +
20
+ c3 × n3 + c4 × n4 ) =
1
=
× (19.6 × 6 + 22.2 × 3+
20
+ (24.8 × 5 + 27.4 × 6) =
472.6
=
= 23.63
20
µ=
Indici sintetici
Indici di
tendenza
centrale
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
aritmetica
ponderata
A. Iodice ()
Lezione 3
Statistica
19 / 27
Calcolo della media aritmetica per dati in frequenze
relative: un esempio
Lezione 3
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
Considerando la distribuzione di frequenze relative rispetto
K = 4 classi (intervalli) di voto rispetto ai valori centrali delle
classi.
l’operatore
sommatoria
(Σ)
Indici sintetici
Indici di
tendenza
centrale
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
aritmetica
ponderata
A. Iodice ()
Lezione 3
Statistica
20 / 27
Calcolo della media aritmetica per dati in frequenze
relative: un esempio
Lezione 3
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
Considerando la distribuzione di frequenze relative rispetto
K = 4 classi (intervalli) di voto rispetto ai valori centrali delle
classi.
l’operatore
sommatoria
(Σ)
Indici sintetici
Indici di
tendenza
centrale
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
aritmetica
ponderata
A. Iodice ()
Lezione 3
Statistica
20 / 27
Calcolo della media aritmetica per dati in frequenze
relative: un esempio
Lezione 3
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
Considerando la distribuzione di frequenze relative rispetto
K = 4 classi (intervalli) di voto rispetto ai valori centrali delle
classi.
l’operatore
sommatoria
(Σ)
µ = (c1 × f1 + c2 × f2 +
Indici sintetici
+ c3 × f3 + c4 × f4 ) =
Indici di
tendenza
centrale
= (19.6 × 0.3 + 22.2 × 0.15+
la media
aritmetica
+ 24.8 × 0.25 + 27.4 × 0.3) =
Proprietà della
media
aritmetica
= (5.88 + 3.33 + 6.2 + 8.22) = 23.63
La media
aritmetica
ponderata
A. Iodice ()
Lezione 3
Statistica
20 / 27
Proprietà della media aritmetica
Lezione 3
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
l’operatore
sommatoria
(Σ)
1 criterio di internalità la media aritmetica è sempre
compresa tra il minimo e massimo della distribuzione
osservata:
n
X
Indici sintetici
x1 ≤
Indici di
tendenza
centrale
i=1
la media
aritmetica
⇔ x1 ≤
n
X
xi ≤
n
X
i=1
i=1
P
n
i=1 xi
n
xn ⇔ nx1 ≤
n
X
xi ≤ nxn ⇔
i=1
≤ xn ⇔ x1 ≤ µ ≤ xn
Proprietà della
media
aritmetica
La media
aritmetica
ponderata
A. Iodice ()
Lezione 3
Statistica
21 / 27
Proprietà della media aritmetica
Lezione 3
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
l’operatore
sommatoria
(Σ)
2 media come baricentro la somma degli scarti dalla media è
nulla:
n
X
Indici sintetici
(xi − µ) =
i=1
Indici di
tendenza
centrale
=
la media
aritmetica
n
X
i=1
xi − n(
n
X
xi −
i=1
Pn
i=1 xi
n
nµ =
)=
n
X
i=1
xi −
n
X
xi = 0
i=1
Proprietà della
media
aritmetica
La media
aritmetica
ponderata
A. Iodice ()
Lezione 3
Statistica
21 / 27
Proprietà della media aritmetica
Lezione 3
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
3 linearità della media aritmetica Sia X è una variabile con
media µ, allora la variabile Y = α + βX avrà media
l’operatore
sommatoria
(Σ)
n
M (Y ) =
Indici sintetici
Indici di
tendenza
centrale
i=1
=
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
n
n
i=1
i=1
1X
1X
1X
(α + βxi ) =
(α) +
(βxi ) =
n
n
n
1
1
(nα) + β(
n
n
n
X
(xi )) =
i=1
= α + βµ
La media
aritmetica
ponderata
A. Iodice ()
Lezione 3
Statistica
21 / 27
Proprietà della media aritmetica
Lezione 3
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
l’operatore
sommatoria
(Σ)
Si consideri che α = −18/12 e β =
1
12
utilizzando α e β per normalizzare i voti degli studenti
18
1
Y = α + X × β = − 12
+ X × 12
Indici sintetici
Indici di
tendenza
centrale
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
aritmetica
ponderata
A. Iodice ()
Lezione 3
Statistica
22 / 27
Proprietà della media aritmetica
Lezione 3
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
l’operatore
sommatoria
(Σ)
Indici sintetici
Indici di
tendenza
centrale
la media
aritmetica
4 proprietà associativa della media aritmetica
Sia X una variabile osservata su più gruppi: la media può
essere ottenuta come media delle medie calcolate in
ciascun gruppo - tenendo conto della differente numerosità
dei gruppi . Il collettivo è suddiviso in Kgruppi di
numerosità n1 , n2 , . . . , nK . La media del carattere X sul
collettivo è µ.
Per la proprietà associativa si avrà che
Proprietà della
media
aritmetica
µ = µ1 ×
n2
nK
n1
+ µ2 ×
+ . . . + µK ×
n
n
n
La media
aritmetica
ponderata
A. Iodice ()
Lezione 3
Statistica
23 / 27
Proprietà della media aritmetica
Lezione 3
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
l’operatore
sommatoria
(Σ)
Indici sintetici
Indici di
tendenza
centrale
5 minimizzazione dei quadrati degli scarti La media
aritmetica µ rende minima la somma dei quadrati degli
scarti X:
n
X
(xi − µ)2 = min
i=1
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
aritmetica
ponderata
A. Iodice ()
Lezione 3
Statistica
24 / 27
La media minimizza la somma dei quadrati degli
scarti
Lezione 3
A. Iodice
Tornando ai voti degli studenti...
Funzione di
ripartizione
empirica
l’operatore
sommatoria
(Σ)
Indici sintetici
Indici di
tendenza
centrale
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
aritmetica
ponderata
A. Iodice ()
Lezione 3
Statistica
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La media aritmetica ponderata
Lezione 3
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
Nel calcolo della media aritmetica tutte le modalità e le unità
statistiche hanno la stessa importanza: ciascuna modalità ha
un peso pari a n1 nel determinare il valore µ.
l’operatore
sommatoria
(Σ)
Indici sintetici
Indici di
tendenza
centrale
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
aritmetica
ponderata
A. Iodice ()
Lezione 3
Statistica
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La media aritmetica ponderata
Lezione 3
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
l’operatore
sommatoria
(Σ)
Indici sintetici
Indici di
tendenza
centrale
Nel calcolo della media aritmetica tutte le modalità e le unità
statistiche hanno la stessa importanza: ciascuna modalità ha
un peso pari a n1 nel determinare il valore µ.
media aritmetica ponderata
Le modalità di un carattere possono tuttavia avere
intrinsecamente una diversa importanza: in questi casi un
indice appropriato la media aritmetica ponderata.
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
aritmetica
ponderata
A. Iodice ()
Lezione 3
Statistica
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La media aritmetica ponderata
Lezione 3
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
l’operatore
sommatoria
(Σ)
Indici sintetici
Indici di
tendenza
centrale
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
aritmetica
ponderata
Nel calcolo della media aritmetica tutte le modalità e le unità
statistiche hanno la stessa importanza: ciascuna modalità ha
un peso pari a n1 nel determinare il valore µ.
media aritmetica ponderata
Le modalità di un carattere possono tuttavia avere
intrinsecamente una diversa importanza: in questi casi un
indice appropriato la media aritmetica ponderata.
Siano ωi i pesi di ciascuna modalità xi , la media ponderata µω
sar data da
PK
x i ωi
µω = Pi=1
K
i=1 ωi
A. Iodice ()
Lezione 3
Statistica
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La media aritmetica ponderata
Lezione 3
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
l’operatore
sommatoria
(Σ)
Indici sintetici
Indici di
tendenza
centrale
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
aritmetica
ponderata
Nel calcolo della media aritmetica tutte le modalità e le unità
statistiche hanno la stessa importanza: ciascuna modalità ha
un peso pari a n1 nel determinare il valore µ.
media aritmetica ponderata
Le modalità di un carattere possono tuttavia avere
intrinsecamente una diversa importanza: in questi casi un
indice appropriato la media aritmetica ponderata.
Siano ωi i pesi di ciascuna modalità xi , la media ponderata µω
sar data da
PK
x i ωi
µω = Pi=1
K
i=1 ωi
A. Iodice ()
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Statistica
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Calcolo della media aritmetica ponderata: un
esempio
Lezione 3
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
La distribuzione unitaria dei voti conseguiti da uno studente
universitario: agli esami associato un numero di crediti
proporzionali all’impegno richiesto.
l’operatore
sommatoria
(Σ)
Indici sintetici
Indici di
tendenza
centrale
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
aritmetica
ponderata
A. Iodice ()
Lezione 3
Statistica
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Calcolo della media aritmetica ponderata: un
esempio
Lezione 3
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
La distribuzione unitaria dei voti conseguiti da uno studente
universitario: agli esami associato un numero di crediti
proporzionali all’impegno richiesto.
l’operatore
sommatoria
(Σ)
Indici sintetici
Indici di
tendenza
centrale
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
aritmetica
ponderata
A. Iodice ()
Lezione 3
Statistica
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Calcolo della media aritmetica ponderata: un
esempio
Lezione 3
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
La distribuzione unitaria dei voti conseguiti da uno studente
universitario: agli esami associato un numero di crediti
proporzionali all’impegno richiesto.
l’operatore
sommatoria
(Σ)
media aritmetica semplice
Indici sintetici
Indici di
tendenza
centrale
26 + 24 + 24 + . . . + 23 + 30
=
18
479
=
= 26.61
18
µ=
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
aritmetica
ponderata
A. Iodice ()
Lezione 3
Statistica
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Calcolo della media aritmetica ponderata: un
esempio
Lezione 3
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
La distribuzione unitaria dei voti conseguiti da uno studente
universitario: agli esami associato un numero di crediti
proporzionali all’impegno richiesto.
l’operatore
sommatoria
(Σ)
media aritmetica ponderata studente A
Indici sintetici
Indici di
tendenza
centrale
(26 × 4) + (24 × 6) + (24 × 4) + . . .
4 + 6 + 4 + ...
. . . + (23 × 4) + (30 × 12)
3519
=
= 27.07
. . . + 4 + 12
130
µω =
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
aritmetica
ponderata
A. Iodice ()
Lezione 3
Statistica
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Calcolo della media aritmetica ponderata: un
esempio
Lezione 3
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
La distribuzione unitaria dei voti conseguiti da uno studente
universitario: agli esami associato un numero di crediti
proporzionali all’impegno richiesto.
l’operatore
sommatoria
(Σ)
media aritmetica ponderata studente B
Indici sintetici
Indici di
tendenza
centrale
(26 × 4) + (24 × 12) + (24 × 4) + . . .
4 + 12 + 4 + . . .
. . . + (23 × 12) + (30 × 4)
3397
=
= 26.14
. . . + 12 + 4
130
µω =
la media
aritmetica
Proprietà della
media
aritmetica
La media
aritmetica
ponderata
A. Iodice ()
Lezione 3
Statistica
27 / 27