Lezione 3 - Statistica
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Lezione 3 A. Iodice Funzione di ripartizione empirica Lezione 3 l’operatore sommatoria (Σ) Statistica Indici sintetici Alfonso Iodice D’Enza [email protected] Indici di tendenza centrale la media aritmetica Proprietà della media aritmetica Università degli studi di Cassino La media aritmetica ponderata A. Iodice () Lezione 3 Statistica 1 / 27 Outline Lezione 3 A. Iodice 1 Funzione di ripartizione empirica 2 l’operatore sommatoria (Σ) 3 Indici sintetici 4 Indici di tendenza centrale 5 la media aritmetica Proprietà della media aritmetica 6 Proprietà della media aritmetica La media aritmetica ponderata 7 La media aritmetica ponderata Funzione di ripartizione empirica l’operatore sommatoria (Σ) Indici sintetici Indici di tendenza centrale la media aritmetica A. Iodice () Lezione 3 Statistica 2 / 27 Funzione di ripartizione Lezione 3 A. Iodice Funzione di ripartizione empirica l’operatore sommatoria (Σ) Indici sintetici Indici di tendenza centrale la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media aritmetica ponderata Si consideri il carattere X, carattere quantitativo discreto con K + 1 modalità, tali che x0 ≤ x1 ≤ · · · ≤ xK oppure il carattere X quantitativo continuo suddiviso in K classi [x0 , x1 ], )x1 , x2 ], . . . , )xK−1 , xK ]; la distribuzione delle frequenze relative cumulate può essere rappresentata tramite la seguente funzione di ripartizione 0 per x ≤ x0 F per x0 < x ≤ x1 1 F2 per x1 < x ≤ x2 F (x) = ... ... ... F per x K−1 < x ≤ xK K 1 per x > xK A. Iodice () Lezione 3 Statistica 3 / 27 Esempio di costruzione di una f. di ripartizione Lezione 3 A. Iodice Si consideri il carattere età, variabile continua suddivisa in classi e rappresentata in tabella Funzione di ripartizione empirica l’operatore sommatoria (Σ) Indici sintetici Indici di tendenza centrale la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media aritmetica ponderata A. Iodice () Lezione 3 Statistica 4 / 27 Esempio di costruzione di una f. di ripartizione Lezione 3 A. Iodice Funzione di ripartizione empirica l’operatore sommatoria (Σ) Indici sintetici Indici di tendenza centrale la media aritmetica la funzione di ripartizione corrispondente è... 0 per x ≤ 10 0.25 per 10 < x ≤ 30 0.7 per 30 < x ≤ 50 F (x) = 0.9 per 50 < x ≤ 70 1 per 70 < x ≤ 90 Proprietà della media aritmetica La media aritmetica ponderata A. Iodice () Lezione 3 Statistica 4 / 27 Rappresentazione grafica di una f. di ripartizione: caso discreto Lezione 3 A. Iodice Funzione di ripartizione empirica l’operatore sommatoria (Σ) Indici sintetici Indici di tendenza centrale la media aritmetica variabile discreta n.f igli 0 1 2 3 4 absF reqs 5 5 3 3 4 cum.F reqs 5 10 13 16 20 relF reqs 0.25 0.25 0.15 0.15 0.2 cum.relF r. 0.25 0.50 0.65 0.80 1.00 Proprietà della media aritmetica La media aritmetica ponderata A. Iodice () Lezione 3 Statistica 5 / 27 Rappresentazione grafica di una f. di ripartizione: caso discreto Lezione 3 A. Iodice Funzione di ripartizione empirica Step function la funzione di ripartizione ottenuta è rappresentabile graficamente come segue: l’operatore sommatoria (Σ) Indici sintetici Indici di tendenza centrale la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media aritmetica ponderata A. Iodice () Lezione 3 Statistica 6 / 27 Rappresentazione grafica di una f. di ripartizione: caso continuo Lezione 3 A. Iodice Funzione di ripartizione empirica Si consideri la distribuzione di frequenze relativa alla variabile peso in chilogrammi. l’operatore sommatoria (Σ) fino a 50 (50,55] (55,60] (60,65] (65,70] (70,75] (75,80] (80,85] (85,90] oltre 90 Indici sintetici Indici di tendenza centrale la media aritmetica Proprietà della media aritmetica f.abs 4.00 3.00 2.00 2.00 2.00 3.00 1.00 0.00 2.00 1.00 f.rel 0.20 0.15 0.10 0.10 0.10 0.15 0.05 0.00 0.10 0.05 cum.f.abs 4.00 7.00 9.00 11.00 13.00 16.00 17.00 17.00 19.00 20.00 F(x) 0.20 0.35 0.45 0.55 0.65 0.80 0.85 0.85 0.95 1.00 La media aritmetica ponderata A. Iodice () Lezione 3 Statistica 7 / 27 Rappresentazione grafica di una f. di ripartizione: caso continuo Lezione 3 A. Iodice La funzione di ripartizione è rappresentata graficamente come segue: Funzione di ripartizione empirica l’operatore sommatoria (Σ) Indici sintetici Indici di tendenza centrale la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media aritmetica ponderata A. Iodice () Lezione 3 Statistica 8 / 27 Proprietà della funzione di ripartizione Lezione 3 A. Iodice Funzione di ripartizione empirica l’operatore sommatoria (Σ) La funzione di ripartizione di una variabile X, o di una mutabile rettilinea (ordinabile), e con campo di variazione [x0 , xK ], gode delle seguenti proprietà: Indici sintetici Indici di tendenza centrale la media aritmetica 1 F (X) = 0 per x < x0 2 F (X) = 1 per x > xK 3 F (X) è una funzione non decrescente Proprietà della media aritmetica La media aritmetica ponderata A. Iodice () Lezione 3 Statistica 9 / 27 ...piccola digressione Lezione 3 A. Iodice Funzione di ripartizione empirica Si consideri di avere n elementi a1 , a2 , . . . , an . La loro somma può essere espressa in questo modo: l’operatore sommatoria (Σ) a1 + a2 + . . . + an ≡ n X ai i=1 Indici sintetici Indici di tendenza centrale la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media aritmetica ponderata ovvero la sommatoria degli elementi ai , per i che varia da 1 ad n. P P data la costante C si ha che ni=1 Cai = C ni=1 ai P data la costante C si ha che ni=1 C = nC Pn Pn Pn i=1 (ai + bi ) = i=1 ai + i=1 bi A. Iodice () Lezione 3 Statistica 10 / 27 Gli indici sintetici Lezione 3 A. Iodice Funzione di ripartizione empirica l’operatore sommatoria (Σ) Gli indici sintetici consentono di esprimere con un’unica misura numerica l’intera distribuzione di un carattere su un collettivo in base al tipo di informazione espressa dall’indice si distingue tra indici di tendenza centrale e posizione indici di di variabilità Indici sintetici indici di forma Indici di tendenza centrale la media aritmetica quali vantaggi comporta l’utilizzo degli indici? si possono confrontare distribuzioni di un carattere nel tempo, nello spazio, in circostanze diverse Proprietà della media aritmetica è possibile verificare gli effetti (in termini di variazione, direzione e intensità) di una determinata azione sulla distribuzione del carattere considerato La media aritmetica ponderata A. Iodice () Lezione 3 Statistica 11 / 27 indici sintetici: tipologie Lezione 3 A. Iodice Una ulteriore classificazione degli indici sintetici rispetto alla loro natura indici assoluti: dipendono dalla unità di misura del carattere oggetto di analisi Funzione di ripartizione empirica indici relativi: sono numeri puri e consentono il confronto tra fenomeni omogenei. Un indice relativo può essere dato dal rapporto tra indici assoluti oppure dal rapporto tra un indice assoluto e il suo massimo (o minimo) l’operatore sommatoria (Σ) Indici sintetici Indici di tendenza centrale indici normalizzati: sono indici relativi che assumono valori negli intervalli [0, 1] e [−1, 1]. Per normalizzare un indice I la media aritmetica Proprietà della media aritmetica I∗ = La media aritmetica ponderata I − Imin Imax − Imin dove I∗ rappresenta la versione normalizzata dell’indice I di estremi Imin e Imax . A. Iodice () Lezione 3 Statistica 12 / 27 la media Lezione 3 A. Iodice Funzione di ripartizione empirica Definizione di media Data una variabile X, si definisce media il valore M tale che: sia compreso tra il minimo ed il massimo della distribuzione di frequenza della variabile considerata, ovvero: min(X) < M < max(X) l’operatore sommatoria (Σ) Indici sintetici Indici di tendenza centrale secondo il criterio di internalità (Cauchy) rispetto ad una funzione f (.) delle osservazioni M risulta essere f (x1 , x2 , . . . , xn ) = f (M, M, . . . , M ) (1) la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media aritmetica ponderata secondo il principio della rappresentatività(Chisini) A. Iodice () Lezione 3 Statistica 13 / 27 la media Lezione 3 A. Iodice Funzione di ripartizione empirica l’operatore sommatoria (Σ) Indici sintetici Indici di tendenza centrale La scelta di f (.) - additiva, moltiplicativa, inversa ...- viene fatta in funzione della natura della variabile. e determina differenti tipi di medie la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media aritmetica ponderata A. Iodice () Lezione 3 Statistica 14 / 27 la media aritmetica Lezione 3 Si consideri la funzione f (.) additiva, vale a dire A. Iodice Funzione di ripartizione empirica l’operatore sommatoria (Σ) Indici sintetici f (x1 , x2 , . . . , xn ) = Proprietà della media aritmetica xi i=1 Ricordando il principio di rappresentatività (equazione 1) si ha che Indici di tendenza centrale la media aritmetica n X f (x1 , x2 , . . . , xn ) = f (µ, µ, . . . , µ) Poichè f (.) è di tipo additivo la precedente uguaglianza si può riscrivere come La media aritmetica ponderata f (x1 , x2 , . . . , xn ) = n X µ i=1 A. Iodice () Lezione 3 Statistica 15 / 27 la media aritmetica Lezione 3 A. Iodice Funzione di ripartizione empirica l’operatore sommatoria (Σ) quindi n X Indici sintetici Indici di tendenza centrale i=1 xi = n X i=1 µ ⇐⇒ n X i=1 n xi = nµ ⇐⇒ µ = 1X xi n i=1 la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media aritmetica ponderata A. Iodice () Lezione 3 Statistica 16 / 27 la media aritmetica Lezione 3 media semplice: n A. Iodice µ= Funzione di ripartizione empirica 1X xi n i=1 media per dati organizzati in frequenze (k è il numero di modalità): l’operatore sommatoria (Σ) Indici sintetici Pk Indici di tendenza centrale µ= la media aritmetica j=1 xj nj Pk j=1 nj k 1X = xj nj n j=1 media per frequenze relative: Proprietà della media aritmetica La media aritmetica ponderata µ= k X j=1 A. Iodice () Lezione 3 k X nj xj = xj fj n j=1 Statistica 17 / 27 Calcolo della media aritmetica semplice: un esempio Lezione 3 A. Iodice La distribuzione unitaria della media voto di un collettivo di n = 20 studenti Funzione di ripartizione empirica l’operatore sommatoria (Σ) µ= Indici sintetici Indici di tendenza centrale 1 ×(22.5 + 23 + 18.5 + 18.3+ 20 + 28 + 25.7 + 24.2 + 28.7+ + 27.9 + 27 + 24.6 + 26.8+ + 21.5 + 20.3 + 23.6 + 26.4+ la media aritmetica + 18.9 + 19.4 + 19.3 + 26) = 470.6 = = 23.53 20 Proprietà della media aritmetica La media aritmetica ponderata A. Iodice () Lezione 3 Statistica 18 / 27 Calcolo della media aritmetica semplice: un esempio Lezione 3 A. Iodice La distribuzione unitaria della media voto di un collettivo di n = 20 studenti Funzione di ripartizione empirica l’operatore sommatoria (Σ) µ= Indici sintetici Indici di tendenza centrale 1 ×(22.5 + 23 + 18.5 + 18.3+ 20 + 28 + 25.7 + 24.2 + 28.7+ + 27.9 + 27 + 24.6 + 26.8+ + 21.5 + 20.3 + 23.6 + 26.4+ la media aritmetica + 18.9 + 19.4 + 19.3 + 26) = 470.6 = = 23.53 20 Proprietà della media aritmetica La media aritmetica ponderata A. Iodice () Lezione 3 Statistica 18 / 27 Calcolo della media aritmetica semplice: un esempio Lezione 3 A. Iodice La distribuzione unitaria della media voto di un collettivo di n = 20 studenti Funzione di ripartizione empirica l’operatore sommatoria (Σ) µ= Indici sintetici Indici di tendenza centrale 1 ×(22.5 + 23 + 18.5 + 18.3+ 20 + 28 + 25.7 + 24.2 + 28.7+ + 27.9 + 27 + 24.6 + 26.8+ + 21.5 + 20.3 + 23.6 + 26.4+ la media aritmetica + 18.9 + 19.4 + 19.3 + 26) = 470.6 = = 23.53 20 Proprietà della media aritmetica La media aritmetica ponderata A. Iodice () Lezione 3 Statistica 18 / 27 Calcolo della media aritmetica per dati in frequenze assolute: un esempio Lezione 3 A. Iodice Funzione di ripartizione empirica Considerando la distribuzione di frequenze rispetto K = 4 classi (intervalli) di voto: in questo caso si considerano i valori centrali delle classi. l’operatore sommatoria (Σ) 1 × (c1 × n1 + c2 × n2 + 20 + c3 × n3 + c4 × n4 ) = 1 = × (19.6 × 6 + 22.2 × 3+ 20 + (24.8 × 5 + 27.4 × 6) = 472.6 = = 23.63 20 µ= Indici sintetici Indici di tendenza centrale la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media aritmetica ponderata A. Iodice () Lezione 3 Statistica 19 / 27 Calcolo della media aritmetica per dati in frequenze assolute: un esempio Lezione 3 A. Iodice Funzione di ripartizione empirica Considerando la distribuzione di frequenze rispetto K = 4 classi (intervalli) di voto: in questo caso si considerano i valori centrali delle classi. l’operatore sommatoria (Σ) 1 × (c1 × n1 + c2 × n2 + 20 + c3 × n3 + c4 × n4 ) = 1 = × (19.6 × 6 + 22.2 × 3+ 20 + (24.8 × 5 + 27.4 × 6) = 472.6 = = 23.63 20 µ= Indici sintetici Indici di tendenza centrale la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media aritmetica ponderata A. Iodice () Lezione 3 Statistica 19 / 27 Calcolo della media aritmetica per dati in frequenze assolute: un esempio Lezione 3 A. Iodice Funzione di ripartizione empirica Considerando la distribuzione di frequenze rispetto K = 4 classi (intervalli) di voto: in questo caso si considerano i valori centrali delle classi. l’operatore sommatoria (Σ) 1 × (c1 × n1 + c2 × n2 + 20 + c3 × n3 + c4 × n4 ) = 1 = × (19.6 × 6 + 22.2 × 3+ 20 + (24.8 × 5 + 27.4 × 6) = 472.6 = = 23.63 20 µ= Indici sintetici Indici di tendenza centrale la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media aritmetica ponderata A. Iodice () Lezione 3 Statistica 19 / 27 Calcolo della media aritmetica per dati in frequenze relative: un esempio Lezione 3 A. Iodice Funzione di ripartizione empirica Considerando la distribuzione di frequenze relative rispetto K = 4 classi (intervalli) di voto rispetto ai valori centrali delle classi. l’operatore sommatoria (Σ) Indici sintetici Indici di tendenza centrale la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media aritmetica ponderata A. Iodice () Lezione 3 Statistica 20 / 27 Calcolo della media aritmetica per dati in frequenze relative: un esempio Lezione 3 A. Iodice Funzione di ripartizione empirica Considerando la distribuzione di frequenze relative rispetto K = 4 classi (intervalli) di voto rispetto ai valori centrali delle classi. l’operatore sommatoria (Σ) Indici sintetici Indici di tendenza centrale la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media aritmetica ponderata A. Iodice () Lezione 3 Statistica 20 / 27 Calcolo della media aritmetica per dati in frequenze relative: un esempio Lezione 3 A. Iodice Funzione di ripartizione empirica Considerando la distribuzione di frequenze relative rispetto K = 4 classi (intervalli) di voto rispetto ai valori centrali delle classi. l’operatore sommatoria (Σ) µ = (c1 × f1 + c2 × f2 + Indici sintetici + c3 × f3 + c4 × f4 ) = Indici di tendenza centrale = (19.6 × 0.3 + 22.2 × 0.15+ la media aritmetica + 24.8 × 0.25 + 27.4 × 0.3) = Proprietà della media aritmetica = (5.88 + 3.33 + 6.2 + 8.22) = 23.63 La media aritmetica ponderata A. Iodice () Lezione 3 Statistica 20 / 27 Proprietà della media aritmetica Lezione 3 A. Iodice Funzione di ripartizione empirica l’operatore sommatoria (Σ) 1 criterio di internalità la media aritmetica è sempre compresa tra il minimo e massimo della distribuzione osservata: n X Indici sintetici x1 ≤ Indici di tendenza centrale i=1 la media aritmetica ⇔ x1 ≤ n X xi ≤ n X i=1 i=1 P n i=1 xi n xn ⇔ nx1 ≤ n X xi ≤ nxn ⇔ i=1 ≤ xn ⇔ x1 ≤ µ ≤ xn Proprietà della media aritmetica La media aritmetica ponderata A. Iodice () Lezione 3 Statistica 21 / 27 Proprietà della media aritmetica Lezione 3 A. Iodice Funzione di ripartizione empirica l’operatore sommatoria (Σ) 2 media come baricentro la somma degli scarti dalla media è nulla: n X Indici sintetici (xi − µ) = i=1 Indici di tendenza centrale = la media aritmetica n X i=1 xi − n( n X xi − i=1 Pn i=1 xi n nµ = )= n X i=1 xi − n X xi = 0 i=1 Proprietà della media aritmetica La media aritmetica ponderata A. Iodice () Lezione 3 Statistica 21 / 27 Proprietà della media aritmetica Lezione 3 A. Iodice Funzione di ripartizione empirica 3 linearità della media aritmetica Sia X è una variabile con media µ, allora la variabile Y = α + βX avrà media l’operatore sommatoria (Σ) n M (Y ) = Indici sintetici Indici di tendenza centrale i=1 = la media aritmetica Proprietà della media aritmetica n n i=1 i=1 1X 1X 1X (α + βxi ) = (α) + (βxi ) = n n n 1 1 (nα) + β( n n n X (xi )) = i=1 = α + βµ La media aritmetica ponderata A. Iodice () Lezione 3 Statistica 21 / 27 Proprietà della media aritmetica Lezione 3 A. Iodice Funzione di ripartizione empirica l’operatore sommatoria (Σ) Si consideri che α = −18/12 e β = 1 12 utilizzando α e β per normalizzare i voti degli studenti 18 1 Y = α + X × β = − 12 + X × 12 Indici sintetici Indici di tendenza centrale la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media aritmetica ponderata A. Iodice () Lezione 3 Statistica 22 / 27 Proprietà della media aritmetica Lezione 3 A. Iodice Funzione di ripartizione empirica l’operatore sommatoria (Σ) Indici sintetici Indici di tendenza centrale la media aritmetica 4 proprietà associativa della media aritmetica Sia X una variabile osservata su più gruppi: la media può essere ottenuta come media delle medie calcolate in ciascun gruppo - tenendo conto della differente numerosità dei gruppi . Il collettivo è suddiviso in Kgruppi di numerosità n1 , n2 , . . . , nK . La media del carattere X sul collettivo è µ. Per la proprietà associativa si avrà che Proprietà della media aritmetica µ = µ1 × n2 nK n1 + µ2 × + . . . + µK × n n n La media aritmetica ponderata A. Iodice () Lezione 3 Statistica 23 / 27 Proprietà della media aritmetica Lezione 3 A. Iodice Funzione di ripartizione empirica l’operatore sommatoria (Σ) Indici sintetici Indici di tendenza centrale 5 minimizzazione dei quadrati degli scarti La media aritmetica µ rende minima la somma dei quadrati degli scarti X: n X (xi − µ)2 = min i=1 la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media aritmetica ponderata A. Iodice () Lezione 3 Statistica 24 / 27 La media minimizza la somma dei quadrati degli scarti Lezione 3 A. Iodice Tornando ai voti degli studenti... Funzione di ripartizione empirica l’operatore sommatoria (Σ) Indici sintetici Indici di tendenza centrale la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media aritmetica ponderata A. Iodice () Lezione 3 Statistica 25 / 27 La media aritmetica ponderata Lezione 3 A. Iodice Funzione di ripartizione empirica Nel calcolo della media aritmetica tutte le modalità e le unità statistiche hanno la stessa importanza: ciascuna modalità ha un peso pari a n1 nel determinare il valore µ. l’operatore sommatoria (Σ) Indici sintetici Indici di tendenza centrale la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media aritmetica ponderata A. Iodice () Lezione 3 Statistica 26 / 27 La media aritmetica ponderata Lezione 3 A. Iodice Funzione di ripartizione empirica l’operatore sommatoria (Σ) Indici sintetici Indici di tendenza centrale Nel calcolo della media aritmetica tutte le modalità e le unità statistiche hanno la stessa importanza: ciascuna modalità ha un peso pari a n1 nel determinare il valore µ. media aritmetica ponderata Le modalità di un carattere possono tuttavia avere intrinsecamente una diversa importanza: in questi casi un indice appropriato la media aritmetica ponderata. la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media aritmetica ponderata A. Iodice () Lezione 3 Statistica 26 / 27 La media aritmetica ponderata Lezione 3 A. Iodice Funzione di ripartizione empirica l’operatore sommatoria (Σ) Indici sintetici Indici di tendenza centrale la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media aritmetica ponderata Nel calcolo della media aritmetica tutte le modalità e le unità statistiche hanno la stessa importanza: ciascuna modalità ha un peso pari a n1 nel determinare il valore µ. media aritmetica ponderata Le modalità di un carattere possono tuttavia avere intrinsecamente una diversa importanza: in questi casi un indice appropriato la media aritmetica ponderata. Siano ωi i pesi di ciascuna modalità xi , la media ponderata µω sar data da PK x i ωi µω = Pi=1 K i=1 ωi A. Iodice () Lezione 3 Statistica 26 / 27 La media aritmetica ponderata Lezione 3 A. Iodice Funzione di ripartizione empirica l’operatore sommatoria (Σ) Indici sintetici Indici di tendenza centrale la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media aritmetica ponderata Nel calcolo della media aritmetica tutte le modalità e le unità statistiche hanno la stessa importanza: ciascuna modalità ha un peso pari a n1 nel determinare il valore µ. media aritmetica ponderata Le modalità di un carattere possono tuttavia avere intrinsecamente una diversa importanza: in questi casi un indice appropriato la media aritmetica ponderata. Siano ωi i pesi di ciascuna modalità xi , la media ponderata µω sar data da PK x i ωi µω = Pi=1 K i=1 ωi A. Iodice () Lezione 3 Statistica 26 / 27 Calcolo della media aritmetica ponderata: un esempio Lezione 3 A. Iodice Funzione di ripartizione empirica La distribuzione unitaria dei voti conseguiti da uno studente universitario: agli esami associato un numero di crediti proporzionali all’impegno richiesto. l’operatore sommatoria (Σ) Indici sintetici Indici di tendenza centrale la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media aritmetica ponderata A. Iodice () Lezione 3 Statistica 27 / 27 Calcolo della media aritmetica ponderata: un esempio Lezione 3 A. Iodice Funzione di ripartizione empirica La distribuzione unitaria dei voti conseguiti da uno studente universitario: agli esami associato un numero di crediti proporzionali all’impegno richiesto. l’operatore sommatoria (Σ) Indici sintetici Indici di tendenza centrale la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media aritmetica ponderata A. Iodice () Lezione 3 Statistica 27 / 27 Calcolo della media aritmetica ponderata: un esempio Lezione 3 A. Iodice Funzione di ripartizione empirica La distribuzione unitaria dei voti conseguiti da uno studente universitario: agli esami associato un numero di crediti proporzionali all’impegno richiesto. l’operatore sommatoria (Σ) media aritmetica semplice Indici sintetici Indici di tendenza centrale 26 + 24 + 24 + . . . + 23 + 30 = 18 479 = = 26.61 18 µ= la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media aritmetica ponderata A. Iodice () Lezione 3 Statistica 27 / 27 Calcolo della media aritmetica ponderata: un esempio Lezione 3 A. Iodice Funzione di ripartizione empirica La distribuzione unitaria dei voti conseguiti da uno studente universitario: agli esami associato un numero di crediti proporzionali all’impegno richiesto. l’operatore sommatoria (Σ) media aritmetica ponderata studente A Indici sintetici Indici di tendenza centrale (26 × 4) + (24 × 6) + (24 × 4) + . . . 4 + 6 + 4 + ... . . . + (23 × 4) + (30 × 12) 3519 = = 27.07 . . . + 4 + 12 130 µω = la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media aritmetica ponderata A. Iodice () Lezione 3 Statistica 27 / 27 Calcolo della media aritmetica ponderata: un esempio Lezione 3 A. Iodice Funzione di ripartizione empirica La distribuzione unitaria dei voti conseguiti da uno studente universitario: agli esami associato un numero di crediti proporzionali all’impegno richiesto. l’operatore sommatoria (Σ) media aritmetica ponderata studente B Indici sintetici Indici di tendenza centrale (26 × 4) + (24 × 12) + (24 × 4) + . . . 4 + 12 + 4 + . . . . . . + (23 × 12) + (30 × 4) 3397 = = 26.14 . . . + 12 + 4 130 µω = la media aritmetica Proprietà della media aritmetica La media aritmetica ponderata A. Iodice () Lezione 3 Statistica 27 / 27
