RAPPORTO
INCREMENTALE E
DERIVATA PRIMA
Agg 2011 - Tutorial di Paola Barberis
RAPPORTO INCREMENTALE
IN UN PUNTO DI ASCISSA XO appartenente al Dominio di y=f(x)
Rapporto fra
incremento di ordinata
∆y= f(xo+h) - f(xo)
e incremento di ascissa f(x +h)
o
∆x = h
!y f (x 0 + h) " f (x 0 )
=
!x
h
f(xo)
α
+q
x
m
B
A
xo
y=
∆y
α
∆x
xo+h
SIGNIFICATO GEOMETRICO
- coefficiente angolare m della retta secante AB;
- tg goniometrica angolo α che la retta forma con asse x
DERIVATA PRIMA : y’(xo)
IN UN PUNTO DI ASCISSA XO appartenente al Dominio di y=f(x)
y=
m
x+
q
E’ il LIMITE ( se esiste )
per h che tende a zero
del Rapporto Incrementale
!y
f (x 0 + h) # f (x 0 )
lim = lim
!x"0 !x
h "0
h
y’(xo) calcolata in x0 è un numero
y’(x) è la “funzione derivata”
B
A
α
xo
xo+h
xo
SIGNIFICATO GEOMETRICO:
- coefficiente angolare m della retta TANGENTE in A
- tg goniometrica angolo α che la retta forma con asse x
Derivata della FUNZIONE COSTANTE
APPLICANDO LA DEFINIZIONE
y=k
Calcolo prima il Rapporto incrementale R.I.
f(x+h) vuol dire sostituire x+h al posto di x e in questo caso,
poiché non c’è la x, rimane uguale a k: f(x+h) = k
f(x) è uguale alla funzione stessa:
f(x) = k
f (x + h) ! f (x) k ! k 0
R.I. =
=
= =0
h
h
h
Ora calcolo il limite per h che tende a zero del Rapporto Incrementale
y’(x)=
lim 0 = 0
h !0
Derivata prima
D[k]=0
REGOLA : la derivata della funzione
costante y=k è sempre ZERO
DERIVATA DELLA FUNZIONE IDENTITA’
y=x
calcolo f(x+h) sostituendo x+h alla x: f(x+h)= x+h
f(x) è uguale alla funzione stessa : f(x) = x
R.I.=
f (x + h) ! f (x) (x + h) ! (x)
=
=
h
h
x+h!x h
=
= =1
h
h
Rapporto incrementale
Calcolo il limite per h che tende a zero del Rapporto Incrementale
y’(x)=
lim1 = 1
h !0
DERIVATA
PRIMA
D[x]=1
La Derivata di y=x è y’=1
DERIVATA DELLA FUNZIONE QUADRATICA y = x
2
f(x+h)= (x+h)2 = x2+2xh+h2
f (x) = x 2
f (x + h) ! f (x) (x 2 + 2xh + h 2 ) ! (x 2 )
R.I.=
=
=
h
h
2hx + h 2 h(2 x + h)
=
= 2x + h
h
h
y’(x)= lim 2 x + h = 2 x + 0 = 2 x
h !0
analogamente ricavo:
Rapporto Incrementale
Derivata prima
D[x2]=2x
D[x3]=3x2
e
D[x4]=4x3
REGOLA generale: DERIVATA DI UNA POTENZA
y=xn
y’=nxn-1
D[xn]=nxn-1
DERIVATA DELLA radice quadrata
f (x + h) ! f (x)
R.I.=
=
h
x+h "
y’(x)= lim
h !0
h
( x+h"
lim
h! 0
h
x
x+h! x
h
0
=
0
f (x) = x
Rapporto incrementale
La forma indeterminata si toglie
razionalizzando il numeratore
x) ( x + h +
#
( x+h+
x)
x+h"x
=
x ) h( x + h + x )
h
1
1
1
lim
= lim
=
=
h !0 h( x + h +
x ) h !0 ( x + h + x ) ( x + x ) 2 x
DERIVATA della
Radice quadrata
D[ x ] =
1
2!
x
=
2x
x
DERIVATE di funzioni ELEMENTARI
y=k
y’=0
Derivata della costante isolata
y=x
y’=1
Derivata della funzione identità
y=xn
y’=nxn-1
Derivata della potenza
y= x
y' =
1
Derivata della radice quadrata
2 x
1
y' =
x
Derivata[logaritmo a base e]:
inverso dell’argomento
y' = e x
Derivata[f.esponenziale]:se stessa
y = senx
y ' = cos x
Derivata [seno]= è il coseno
y = cos x
y ' = ! senx
Derivata [coseno]= meno il seno
y = ln x
y=e
x
Esercizi SVOLTI : DERIVATE
y ' = 12 x ! 10 x + 4 ! 0
y = 3x ! 5 x + 4 x ! 7
4
DI FUNZIONI ELEMENTARI
3
2
3 x
3 x !10x
y'=
!5 =
!5 =
2x
2x
2 x
3
y = 3 x ! 5x
x
y = 3 ln x ! 4e
3
y ' = ! 4e x
x
y = 2 cos x ! 8senx y' = !2senx ! 8 cos x
NB: Per derivare un radicale lo trasformo in potenza
y=4 x
3
2
y = 4x
2
3
2
y'= 4 ! x
3
2
"1
3
1
3
8
8
8
= x = 1= 3
3
3 x
3
3x
"
REGOLE DI DERIVAZIONE
Derivata della somma di due o più funzioni
y = f(x)+g(x)
y' = f'(x)+ g'(x)
Derivata del prodotto di una costante K per una funzione
y = k·f(x)
y' = k·f'(x)
Derivata del prodotto di due funzioni
y = f(x)·g(x)
y' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)
Derivata del quoziente di due funzioni
f(x)
y = -------g(x)
f'(x) · g(x) - f(x) · g'(x)
y' = ----------------------------[g(x)]2
Esercizi SVOLTI : DERIVATE
DI FUNZIONI ELEMENTARI
y = (3x ! 5x )i(x ! 3) y' = (12 x ! 10) " ( x ! 3) + (3x ! 5x ) " (1 ! 0)
4
4
2
y = x iln x
2
1
1
y' =
! ln x + x !
x
2 x
x ! 4x
y=
x+5
(2 x " 4) ! ( x + 5) " ( x " 4 x) ! (1 + 0)
y' =
( x + 5) 2
cos x
y=
senx
" senx ! senx " cos x ! cos x
y' =
2
( senx)
2
2
…proseguire svolgendo i calcoli
Derivata della Funzione COMPOSTA
y = f(g(x))
y' = f'(g(x))·g’(x)
1- Derivare la funzione f ESTERNA (ricopiando il contenuto g)
2- moltiplicare per la derivata del “CONTENUTO” g
Esempio:
y = (4 x ! 2)
Derivo la funzione
esterna POTENZA
3
Derivo il “CONTENUTO”
cioè la base
y' = 3(4x ! 2) • (4 ! 0) = 12 "(4x ! 2)
2
2
Esercizi svolti :
DERIVATA della FUNZIONE COMPOSTA
y = ( x ! 5x )
4
y=
2 4
y' = 4(x ! 5x ) • (4x ! 10x)
4
y' =
x + 5x
2
1
2 x 2 + 5x
2 3
• (2 x + 5) =
3
2x + 5
2 x 2 + 5x
y = ln( x ! 4 x + 6)
1
y' = 3
• (3x 2 ! 4 + 0)
x ! 4x + 6
y = cos( x ! 9 x)
y ' = ! sen( x ! 9 x) • (3 x ! 9)
3
3
3
2
proseguire svolgendo eventuali calcoli
