RAPPORTO INCREMENTALE E DERIVATA PRIMA Agg 2011 - Tutorial di Paola Barberis RAPPORTO INCREMENTALE IN UN PUNTO DI ASCISSA XO appartenente al Dominio di y=f(x) Rapporto fra incremento di ordinata ∆y= f(xo+h) - f(xo) e incremento di ascissa f(x +h) o ∆x = h !y f (x 0 + h) " f (x 0 ) = !x h f(xo) α +q x m B A xo y= ∆y α ∆x xo+h SIGNIFICATO GEOMETRICO - coefficiente angolare m della retta secante AB; - tg goniometrica angolo α che la retta forma con asse x DERIVATA PRIMA : y’(xo) IN UN PUNTO DI ASCISSA XO appartenente al Dominio di y=f(x) y= m x+ q E’ il LIMITE ( se esiste ) per h che tende a zero del Rapporto Incrementale !y f (x 0 + h) # f (x 0 ) lim = lim !x"0 !x h "0 h y’(xo) calcolata in x0 è un numero y’(x) è la “funzione derivata” B A α xo xo+h xo SIGNIFICATO GEOMETRICO: - coefficiente angolare m della retta TANGENTE in A - tg goniometrica angolo α che la retta forma con asse x Derivata della FUNZIONE COSTANTE APPLICANDO LA DEFINIZIONE y=k Calcolo prima il Rapporto incrementale R.I. f(x+h) vuol dire sostituire x+h al posto di x e in questo caso, poiché non c’è la x, rimane uguale a k: f(x+h) = k f(x) è uguale alla funzione stessa: f(x) = k f (x + h) ! f (x) k ! k 0 R.I. = = = =0 h h h Ora calcolo il limite per h che tende a zero del Rapporto Incrementale y’(x)= lim 0 = 0 h !0 Derivata prima D[k]=0 REGOLA : la derivata della funzione costante y=k è sempre ZERO DERIVATA DELLA FUNZIONE IDENTITA’ y=x calcolo f(x+h) sostituendo x+h alla x: f(x+h)= x+h f(x) è uguale alla funzione stessa : f(x) = x R.I.= f (x + h) ! f (x) (x + h) ! (x) = = h h x+h!x h = = =1 h h Rapporto incrementale Calcolo il limite per h che tende a zero del Rapporto Incrementale y’(x)= lim1 = 1 h !0 DERIVATA PRIMA D[x]=1 La Derivata di y=x è y’=1 DERIVATA DELLA FUNZIONE QUADRATICA y = x 2 f(x+h)= (x+h)2 = x2+2xh+h2 f (x) = x 2 f (x + h) ! f (x) (x 2 + 2xh + h 2 ) ! (x 2 ) R.I.= = = h h 2hx + h 2 h(2 x + h) = = 2x + h h h y’(x)= lim 2 x + h = 2 x + 0 = 2 x h !0 analogamente ricavo: Rapporto Incrementale Derivata prima D[x2]=2x D[x3]=3x2 e D[x4]=4x3 REGOLA generale: DERIVATA DI UNA POTENZA y=xn y’=nxn-1 D[xn]=nxn-1 DERIVATA DELLA radice quadrata f (x + h) ! f (x) R.I.= = h x+h " y’(x)= lim h !0 h ( x+h" lim h! 0 h x x+h! x h 0 = 0 f (x) = x Rapporto incrementale La forma indeterminata si toglie razionalizzando il numeratore x) ( x + h + # ( x+h+ x) x+h"x = x ) h( x + h + x ) h 1 1 1 lim = lim = = h !0 h( x + h + x ) h !0 ( x + h + x ) ( x + x ) 2 x DERIVATA della Radice quadrata D[ x ] = 1 2! x = 2x x DERIVATE di funzioni ELEMENTARI y=k y’=0 Derivata della costante isolata y=x y’=1 Derivata della funzione identità y=xn y’=nxn-1 Derivata della potenza y= x y' = 1 Derivata della radice quadrata 2 x 1 y' = x Derivata[logaritmo a base e]: inverso dell’argomento y' = e x Derivata[f.esponenziale]:se stessa y = senx y ' = cos x Derivata [seno]= è il coseno y = cos x y ' = ! senx Derivata [coseno]= meno il seno y = ln x y=e x Esercizi SVOLTI : DERIVATE y ' = 12 x ! 10 x + 4 ! 0 y = 3x ! 5 x + 4 x ! 7 4 DI FUNZIONI ELEMENTARI 3 2 3 x 3 x !10x y'= !5 = !5 = 2x 2x 2 x 3 y = 3 x ! 5x x y = 3 ln x ! 4e 3 y ' = ! 4e x x y = 2 cos x ! 8senx y' = !2senx ! 8 cos x NB: Per derivare un radicale lo trasformo in potenza y=4 x 3 2 y = 4x 2 3 2 y'= 4 ! x 3 2 "1 3 1 3 8 8 8 = x = 1= 3 3 3 x 3 3x " REGOLE DI DERIVAZIONE Derivata della somma di due o più funzioni y = f(x)+g(x) y' = f'(x)+ g'(x) Derivata del prodotto di una costante K per una funzione y = k·f(x) y' = k·f'(x) Derivata del prodotto di due funzioni y = f(x)·g(x) y' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x) Derivata del quoziente di due funzioni f(x) y = -------g(x) f'(x) · g(x) - f(x) · g'(x) y' = ----------------------------[g(x)]2 Esercizi SVOLTI : DERIVATE DI FUNZIONI ELEMENTARI y = (3x ! 5x )i(x ! 3) y' = (12 x ! 10) " ( x ! 3) + (3x ! 5x ) " (1 ! 0) 4 4 2 y = x iln x 2 1 1 y' = ! ln x + x ! x 2 x x ! 4x y= x+5 (2 x " 4) ! ( x + 5) " ( x " 4 x) ! (1 + 0) y' = ( x + 5) 2 cos x y= senx " senx ! senx " cos x ! cos x y' = 2 ( senx) 2 2 …proseguire svolgendo i calcoli Derivata della Funzione COMPOSTA y = f(g(x)) y' = f'(g(x))·g’(x) 1- Derivare la funzione f ESTERNA (ricopiando il contenuto g) 2- moltiplicare per la derivata del “CONTENUTO” g Esempio: y = (4 x ! 2) Derivo la funzione esterna POTENZA 3 Derivo il “CONTENUTO” cioè la base y' = 3(4x ! 2) • (4 ! 0) = 12 "(4x ! 2) 2 2 Esercizi svolti : DERIVATA della FUNZIONE COMPOSTA y = ( x ! 5x ) 4 y= 2 4 y' = 4(x ! 5x ) • (4x ! 10x) 4 y' = x + 5x 2 1 2 x 2 + 5x 2 3 • (2 x + 5) = 3 2x + 5 2 x 2 + 5x y = ln( x ! 4 x + 6) 1 y' = 3 • (3x 2 ! 4 + 0) x ! 4x + 6 y = cos( x ! 9 x) y ' = ! sen( x ! 9 x) • (3 x ! 9) 3 3 3 2 proseguire svolgendo eventuali calcoli