1
CAPITOLO 7
ESPONENZIALI E LOGARITMI
La legge esponenziale
Crescita di una popolazione: il caso dei batteri
Vogliamo capire con quale legge cresce una popolazione di batteri.
Ricordiamo innanzitutto che i batteri sono organismi unicellulari della
lunghezza media di un micron (1µ =10−6 m ). Durante il processo di
riproduzione ogni batterio ne genera due nuovi, e così via. Nel caso in cui
si verifica una scissione ogni mezz’ora, il numero di batteri N è legato al
numero di scissioni dalla relazione:
N = 2s ,
dove all’esponente si trova il numero di duplicazioni s.
Una legge di questo tipo si dice legge esponenziale.
Di seguito riportiamo su un diagramma il numero di batteri ad intervalli di
tempo di mezz’ora:
La capitalizzazione dell’interesse composto
Un capitale di dieci milioni di euro è depositato in banca al tasso
d’interesse composto annuo del 10%(!). Questo significa che gli interessi
vengono calcolati sul totale progressivo al termine di ogni anno secondo lo
schema proposto nella seguente tabella.
2
ANNI
0
1
2
TOTALE (MILIONI)
C 0 =10
10
= C 0 (1+ 0,1)
100
10
C2 = C1 +C1 ⋅
= C 0 (1+ 0,1)2
100
10
C3 = C2 +C2 ⋅
= C 0 (1+ 0,1)3
100
C1 = C 0 +C 0 ⋅
3
n
C n = C n−1 +C n−1 ⋅
10
= C 0 (1+ 0,1)n
100
Possiamo formalizzare la legge di capitalizzazione dell’interesse composto
mediante la formula:
C n = C 0 (1+ r )n .
Verso le equazioni esponenziali: calcolo del tempo necessario
per raddoppiare il capitale iniziale
Vogliamo sapere dopo quanti anni dal versamento iniziale il capitale è
raddoppiato. Se poniamo C n = 2C 0 nella relazione C n = C 0 (1+ r )n , otteniamo:
2C 0 = C n = C 0 (1+ r )n ⇒ (1+ r )n = 2 .
Il valore di n tale che
(1+ r )n = 2 ,
è la soluzione del nostro problema. In generale, si chiama equazione
esponenziale un’espressione come (1+ r )n = 2 , in cui l’incognita si trova
all’esponente di una potenza.
La “capitalizzazione continua” ed il numero di Nepero
Consideriamo i casi in cui gli interessi vengono capitalizzati a periodi
inferiori all’anno (mesi, settimane, giorni…). La regola generale si ottiene a
partire dalla relazione C n = C 0 (1+ r )n dividendo il tasso di interesse annuo per
il numero di periodi contenuti nell’anno, e moltiplicando l’esponente per lo
stesso numero di periodi. Si hanno le seguenti situazioni con
capitalizzazione:
3
1) Mensile: C n⋅12 = C 0 (1+
r n⋅12
) ;
12
r n⋅52
) ;
52
r n⋅365
)
3) Giornaliera: C n⋅365 = C 0 (1+
365
2) Settimanale: C n⋅52 = C 0 (1+
Si possono analizzare i dati relativi ai vari modi di capitalizzazione degli
interessi utilizzando, per esempio, il foglio elettronico excel e redigendo
una tabella come segue.
r
tasso annuo
0,05
capitale iniziale
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
annuale
10,5
11,025
11,57625
12,1550625
12,76281563
13,40095641
14,07100423
14,77455444
15,51328216
16,28894627
17,10339358
17,95856326
18,85649142
19,79931599
20,78928179
21,82874588
22,92018318
24,06619234
25,26950195
26,53297705
mensile
10,51161898
11,04941336
11,61472231
12,20895355
12,83358679
13,49017744
14,18036052
14,90585468
15,66846649
16,47009498
17,31273629
18,19848874
19,12955796
20,10826245
21,13703932
22,21845037
23,35518846
24,55008423
25,80611313
27,12640285
10
CAPITALIZZAZIONE
settimanale giornaliera
10,51245842 10,51267496
11,0511782 11,05163349
11,61750513 11,61822307
12,21285396 12,21386028
12,83871195 12,84003432
13,49664255 13,49831074
14,18828936 14,19033533
14,9153802 14,9178383
15,67973141 15,68263852
16,48325245 16,48664814
17,3279506 17,33187731
18,21593602 18,22043927
19,14942699 19,15455558
20,1307555 20,13656169
21,16237302 21,16891279
22,24685664 22,25418996
23,38691554 23,39510656
24,58539771 24,5945151
25,84529712 25,85541432
27,16976113 27,18095668
oraria
ISTANTANEA
10,51270946
10,51271096
11,05170603
11,05170918
11,61833745
11,61834243
12,21402061
12,21402758
12,84024501
12,84025417
13,49857652
13,49858808
14,19066131
14,19067549
14,91822995
14,91824698
15,68310171
15,68312185
16,48718918
16,48721271
17,33250297
17,33253018
18,2211568
18,221188
19,15537276
19,15540829
20,13748685
20,13752707
21,16995485
21,17000017
22,25535847
22,25540928
23,39641176
23,39646852
24,59596794
24,59603111
25,85702649
25,85709659
27,18274071
27,18281828
4
montante
confronto tra capitalizzazioni
38
36
34
32
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
y = 10e0,05x
0
5
10
15
20
25
30
anni
Si osserva dal grafico (e soprattutto dalla “linea di tendenza” determinata
dal foglio elettronico), che se gli interessi fossero capitalizzati “con
continuità” (ovvero in ogni istante di tempo), la legge di crescita del
montante sarebbe una legge esponenziale con una base particolare: il
cosiddetto numero di Nepero, che rappresenta il valore (numero
irrazionale) e = 2,71828… a cui tende (senza mai raggiungerlo) la
successione
n
! 1$
#1+ & ,
" n%
all’aumentare indefinito di t , dove, nel nostro caso, tale valore rappresenta
il numero di periodi in un anno (12 mesi, 52 settimane, 365 giorni, ecc.)
nella relazione
n⋅r
t+
(
r
" r%
"
%
r *
C n⋅t = C 0 $1+ ' = C 0 *$1+ ' - 0t→∞
00
→C 0 e n⋅r .
t&
# t&
*)#
-,
n⋅t
5
(1+1/n)^n
2,72
2,718
2,716
an
2,714
2,712
2,71
2,708
2,706
2,704
0
1000
2000
3000
4000
5000
n
Le potenze ad esponente reale
Iniziamo ponendoci una domanda: qual è il significato di 3 2 ? E’ possibile
moltiplicare 3 per se stesso 2 volte? E’ chiaro che si tratta di una
provocazione. Per dare un significato a questo numero è doveroso
introdurre il concetto di potenza ad esponente razionale:
m
n
a = n am , a ≥ 0 ,
a
−
m
n
m
n
>0
.
m
#1&n
=% ( , a >0 ,
$a'
m
n
>0
Per dare un significato al numero 3 2 , l’idea di fondo è sostanzialmente
quella su cui poggia la “definizione costruttiva di un numero reale”,
secondo cui ogni numero reale può essere approssimato con una successione di
€
numeri razionali. Per esempio, 2 può essere “racchiuso” da due successioni
di numeri razionali i cui termini differiscono sempre meno da esso.
Un’approssimazione di 2
2
Scriviamo l’equazione algebrica x − 2 = 0 nella forma
x 2 −1=1 ⇒ x −1 x +1 =1 ⇒ x =1+
(
)(
)
successione definita per ricorrenza,
1
. A questa associamo la seguente
x +1
6
⎧
x0 =1
⎪
3 7 17 41 99 239 577
⇒1, , , , , ,
,
,... . Il grafico sotto
⎨
1
x
=1+
2
5
12
29
70
169
408
⎪ n+1
1+ xn
⎩
rappresenta l’andamento dei termini della successione comparato con
2.
Rimandiamo ad una trattazione più estesa del “sistema dei numeri reali”
per i dettagli con cui queste successioni approssimanti vengono scelte; per
adesso definiamo la potenza
ax
di un numero reale 0 < a <1, a >1 con esponente reale x > 0 ,con le
seguenti regole:
1.
1x =1 ∀x ∈ R
2. 0 x = 0 ∀x > 0,x ∈ R
3. a 0 =1 ∀a > 0,a ∈ R
NON DEFINIAMO:
0x , x ≤ 0
ax , a < 0
Infatti:
.
7
3
3
2
2
−125 = −5 = (−5) = (−5)6 = 56 =125
La funzione esponenziale
Si chiama esponenziale ogni funzione del tipo y = f (x) = a x con a ∈ R + .
f: R →
R+
!
ax
x
La funzione esponenziale è definita su tutto l’insieme dei numeri reali ed
ha come immagine l’insieme 0 < y < +∞ . Ci sono due possibili andamenti
grafici della funzione esponenziale, a seconda che la base sia compresa tra
0 e 1, oppure maggiore di 1. I grafici seguenti evidenziano queste due
possibilità.
1. a >1
Si osserva immediatamente che la funzione esponenziale con base
maggiore di 1 è monotona crescente:
x
x
x1 < x2 ⇔ 2 1 < 2 2
2. 0 < a <1
8
In questo caso la funzione esponenziale è monotona decrescente:
x
x
"1% 1 "1% 2
x1 < x2 ⇔ $ ' > $ ' .
#2& #2&
Esercizio
x
Si tracci il grafico della funzione f (x) = 2
!
##
x
In generale: f (x) = a = "
#
#$
ax
x>0
1
ax
x<0
Esercizio
Si tracci il grafico della funzione f (x) = k + a x+h , al variare dei valori di k e h.
Esercizio Si trovi il campo di esistenza della funzione f (x) =
(
2+ x
• La funzione data è del tipo f (x) g ( x ) , quindi occorre che
#% 2 + x > 0
⇒ −2 < x < −1∨−1< x <1∨ x >1 .
$
x
−1≠
0
%&
Le equazioni esponenziali
Un’equazione del tipo
ax = b , a > 0
,
dove l’incognita x si trova all’esponente di una potenza, è detta equazione
esponenziale.
)
1
x −1
.
9
Per esempio, risolvere l’equazione 3x = 729 significa trovare il valore di x tale
che 3x = 729 ⇒ x = 6 . Un’equazione esponenziale può essere:
1. Impossibile
b≤0
a)
b) a =1∧b ≠1
2. Indeterminata
a =1∧b =1
3. Determinata
a > 0∧b > 0∧ a ≠1
Nell’ultimo caso la funzione esponenziale ammette una sola soluzione.
Le equazioni esponenziali si risolvono, quando è possibile, scrivendo a e
b come potenze della stessa base ed uguagliando gli esponenti.
La giustificazione di questo passaggio sta nella proprietà di monotonia
della funzione esponenziale.
Esercizi
Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni:
3
1. 3x − 9 ⋅ 5 = 0 ,
9
2
x
3 −3
3
3
1
2
2
5
x
2
=0⇒3 =3
2. 8x−1 = 3 2x−3
3
3
1
2
2
5
1 2
2+ −
2 5
=3
x=
=3
20+5−4
10
3⋅ 9x
= 91+2x
x−1
81
5x
1
5. x − x =1
5 +1 25 −1
4.
3
,
4
#%
36 ⋅ 6 x− y = 62x
6. $
x
y
&% 49 ⋅ 7 =1
x = −3; x = −2 ,
x=
1
3
∅ ,
2
3
8
y=
3
x=−
,
x
21
10
=3 ⇒3 =3 ⇒ x=
2x
! 1 $ 12
3. # & − x + 32 = 0
2
"2%
21
10
21
10
10
3x
a)3 − + 3x = 35
9
x=2
b)9x + 2⋅ 3x+1 − 27 ≥ 0
x ≥1
x+1
7.
x+1
2
8. (4 x−1 ) = 8x −2
9.
x = 2; x = −2 ,
a)2⋅ 3x − 9x =1
x=0
4 x + 3⋅ 2x + 2 > 0
22x
2x
10.
=1− x
1+ 2x
2 +1
x
11. 3 − 3 > 6
12. 22x+2 − 3⋅ 2x −1= 0
x
−
( )
14. 3
,
∀x
x=0 .
x>2
x=0
1
13. 72 ⋅7 2 ⋅73 = 7 3 7
x−1
x
1−x
2
= 81
,
x=−
11
3
x =1; x = −2
La legge esponenziale è alla base di molti modelli matematici. Vediamone
qualcuno.
La legge del decadimento radioattivo
E’ noto dalla fisica che la maggior parte dei nuclei è instabile: essi
decadono spontaneamente emettendo delle radiazioni e trasformandosi in
altre sostanze (per esempio l’uranio dopo un certo numero di decadimenti
radioattivi si trasforma in piombo). Il decadimento radioattivo è un
processo casuale regolato dalle leggi della meccanica quantistica, la cui
complessità ci suggerisce di spostare lo studio sul piano statistico, attraverso
la legge del decadimento radioattivo. Secondo questa legge, se un campione
contiene N nuclei, il tasso al quale questi decadono (rapidità di
variazione…) −
ΔN
, è proporzionale ad N, dove il segno meno è
Δt
rappresentativo del decremento:
−
ΔN
= λN .
Δt
Il numero λ rappresenta la cosiddetta costante di disintegrazione ed è
caratteristica del tipo di nucleo considerato. Si chiama tempo di dimezzamento
T1 , quello impiegato dalla metà di un nucleo iniziale per decadere, cioè
2
11
1
N = N 0 quando t = T1 . Con la seguente tabella mettiamo in relazione il
2
2
numero di nuclei con il tempo secondo l’unità di misura del tempo di
dimezzamento:
TEMPO (in “tempi di
dimezzamento”)
0
1
2
3
…
n
NUMERO DI NUCLEI (in N 0 )
1
½
¼
1/8
…
!1$
# &
"2%
n
Per esempio, se vogliamo conoscere quanti “tempi di dimezzamento”
occorrono per ridurre il numero di nuclei ad 1/64 di quello iniziale, è
sufficiente risolvere l’equazione esponenziale
n
n
6
!1$
!1$ !1$
1
⇒# & =# & ⇒ n =6.
# & =
" 2 % 64 " 2 % " 2 %
Nello schema seguente diamo una giustificazione del modello di crescita
esponenziale nella sua generalità.
12
Verso il concetto di logaritmo
Resta aperto il problema di come si risolve un’equazione esponenziale
quando non è possibile scrivere tutti i termini come potenze aventi la
stessa base; per esempio
2x = 7 .
Se osserviamo il grafico della funzione ci accorgiamo dell’esistenza della
soluzione dell’equazione come controimmagine di 7 della funzione
f (x) = 2x .
Questo valore x, soluzione dell’equazione a x = b , si chiama il the
logaritmo in base a di b:
a x = b ⇒ x = log a b .
Il logaritmo naturale
Si definisce logaritmo naturale il logaritmo in base “e”.
Se consideriamo la funzione y = a x , in virtù della sua crescenza (o
decrescenza) è immediatamente definita la funzione inversa, la
cosiddetta funzione logaritmica:
y = a x ⇒ x = log a y
y = log a x .
Il campo di esistenza della funzione logaritmica è R + , mentre l’immagine
coincide con tutto l’insieme dei numeri reali. In definitiva:
f : R+
x
→
R
! log a x
I grafici seguenti illustrano quanto detto.
0 < a <1 ∨ a >1
13
I logaritmi: proprietà e regole
1.
y = a x , x = log a y ⇒ y = a
log a y
⇒a=a
2. log a (x ⋅ z) = log a (a log x ⋅ a log z ) = log a a log
a
a
a
log a a
x+log a z
⇒ log a a =1
= log a x + log a z
3. log a (x ÷ z) = log a (a log x ÷ a log z ) = log a a log x−log z = log a x − log a z
4. log a x n = log a (x ⋅...⋅ x) = log a x + ...+ log a x = n log a x
5. log a 1= log a x 0 = 0 log a x = 0
a
a
a
a
14
Cambiamento di base di un logaritmo
ax = b ⇒
#
x = log a b
%%
$
log c b
x
% log c a = log c b ⇒ x ⋅ log c a = log c b ⇒ x =
log c a
%&
Confrontando i termini all’interno della parentesi otteniamo la regola
(molto utile!)
log a b =
log c b
log c a .
Per esempio,
log 2 5 =
log10 5
ln5
, log 2 5 =
ln2
log10 2
e la funzione y = log a x è equivalente alla funzione y =
ln x
.
ln2
Le equazioni logaritmiche
Si dice logaritmica un’equazione del tipo log a x = b in cui l’incognita compare
nell’argomento del logaritmo. Le equazioni logaritmiche si risolvono
scrivendo tutti i termini come logaritmi aventi la stessa base,
utilizzando le regole di cui sopra.
Per esempio:
log 2 x = 3 ⇒ log 2 x = log 2 23 ⇒ x = 23 .
Esponenziali e logaritmi: esercizi vari
Risolvere le seguenti equazioni esponenziali e logaritmiche:
1. 2 − 2
4+2x
x+3
•
= 4 + 2⋅ 4
x
2
2x := t ⇒ 8t − 16t 2 = 4 + 2t ⇒ 2t = 4 ⇒ t = 2 ⇒ x =1
2.
•
log 3 x − 6 log 3 x = 0
&
&
& t ≥ 0 ⇒ x ≥1
( t ≥ 0 ⇒ x ≥1
( t ≥ 0 ⇒ x ≥1
(
x > 0; log 3 x := t ⇒ '
⇒'
⇒
'
1
1
2
( t −6⋅ t = 0
( t − 9t = 0
( t = 0∨t =
2
9
)
)
)
1
1
⇒ log 3 x = ⇒ x = 39 = 9 3 ∨ log 3 x = 0 ⇒ x =1
9
x+1
x
3. 2 − 2 + 2x−2 = 5
15
t
5
= 5 ⇒ t = 5 ⇒ t = 4 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2
4
4
log 2 (x + 1) + log 2 (x + 2) = 2 + log 2 3
•
4.
€
€
2 x := t ⇒ 2t − t +
!# x +1> 0
C.E. "
⇒ x > −1
$# x + 2 > 0
• log 2 '( x +1 x + 2 )* = log 2 12 ⇒ x 2 + 3x + 2 =12 ⇒ x 2 + 3x −10 = 0
( )(
x=
)
x = −5 non accettabile
−3 ± 7
⇒
2
x=2
accettabile
5. Risolvere la seguente disequazione: log 2 x > − log 1 x .
2
• Scriviamo il logaritmo in base un mezzo nel corrispondente
logaritmo in base due: − log 1 x = −
2
log 2 x
= log 2 x . Di
1
log 2
2
conseguenza la disequazione diventa
#% x > 0
#%
#
x>0
log 2 x > log 2 x ⇒ $
⇒ $ 2x > 0
⇒$
⇒ x >1.
%
& x < 0∨ x >1
& x −x>0
&% x > x
6. Si risolvano le seguenti disequazioni
a) log 2 log 1 (x − 6) < 0 ;
2
# log (x − 6) > 0
# 0 < x − 6 <1
1
%%
%
1
13
2
• 0 < log 1 (x − 6) <1 ⇒ $
⇒$
1 ⇒ < x − 6 <1 ⇒ < x < 7
2
2
% log 1 (x − 6) <1
% x −6 >
2
2
&
%&
2
b) 2x −1> 3⋅ 2x − 3 . Si ricordi che
$ B(x) ≥ 0
&
A(x) < B(x) ⇒ % A(x) ≥ 0 .
& A(x) < B(x) 2
[ ]
'
$
$
x
2 −1≥ 0
2x ≥1
&
$&
&&
$&
&
x
≥
0
x≥0
x
x
•%
3⋅ 2 − 3 ≥ 0
⇒%
⇒% x
⇒%
⇒ x>2
€2 ≥1
x
&' x < 0∨ x > 2
&
2
<1∨2
>
4
& 3⋅ 2x − 3 < (2x −1)2
& x 2
'
x
&'
&' 2 − 5⋅ 2 + 4 > 0
( )
Problema. La popolazione di expolandia decresce con modello esponenziale da
550.000 a 450.000 dal 2008 al 2010. Quanti abitanti avrà expolandia nel 2012?
16
Si scriva la legge esponenziale nella forma N(t) = N 0e , dove t è il numero di anni dal
2008 (cioè, t = 0 nel 2008, t = 1 nel 2009 etc..) .
kt
2008 : N 0 = N (0) = 550.000
€
450.000
⇒ k = −0,1
550.000
2012 : N 4 = N (4) = 550.000e −0,1⋅4 = 368676 ≅ 370.000
• 2010 : N 2 = N (2) = 450.000 = 550.000e k⋅2 ⇒ 2k = ln
Esercizi
1. log 5 (x +1) + log 5 4 = log 5 6x
x=2
2. log 22 x 2 + 4 log 2 x − 2 = 0
3.
x = 2; x =
1
2
x=
1
4
log 22 x + log 2 x − 2 = log 1 x − 2
2
1
2
4. log x − 2 + 2x − log(3x + 7) = 0
5.
x=−
5
6
log 1 (2x + 4) + log 3 x + log 3 (x −1)
3
x
log 3
2
=0
x=4
6. Risolvere il seguente
# log 12 =1
xy
%
sistema: $
6y
x−4
x−1
% 2 ⋅3 =
8
&
x−1
7.
a)
3
2 ⋅ 5
10
= 5x+1
x=4
y=3
x = −3
y = −4
7
3
ln5 + ln2
2
x= 6
ln2 − ln5
1
b) log(7 + 3x) = log(1− x + 2)
2
8.
x = −2
a) 2 2 = 41−x
x=
b)Log5 − Log(3 + x ) = Log(3 − x )
9.
a)
1
4 2
= 8x
b) log 3 (x 2 + x) − log 3 (x 2 − x) =1
.
x=−
5
8
x=4
5
6
.
x=2
17
10.
(
)
(
log 1 log y x > log y log y x
y
"
1
$ 0 < x < y ∨1< x < ; 0 < y <1
$
y
#
$ 0 < x < 1 ∨1< x < y;
y >1
$
y
%
)
a) y = 2−x
11.
Tracciare il grafico delle seguenti funzioni: b) y = 2−x +1 .
c) y =1− 2−x
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
12. Tracciare il grafico della funzione y = log 1 x , a partire da quello della
2
funzione y =
1
. Che relazione sussiste tra le due funzioni?
2x
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
1−x
!1$
13. Data la funzione f (x) = # &
"3%
determinare la funzione inversa f −1 ( x ) ,
tracciare i grafici delle due funzioni sullo stesso diagramma
cartesiano, e risolvere la disequazione f −1 ( x ) ≤ 1.
•
f −1 (x) = 1+ log3 x
0 < x ≤1
€
.
18
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
14. Determinare l’equazione cartesiana del luogo geometrico le cui
"$ x = log (1+ k)
2
equazioni parametriche sono: #
per valori di k > −1..
y
=
k
−1
$%
y = 2x − 2
•
15. Data la funzione f (x) =1+ 3x−2 determinare l’insieme di definizione,
l’immagine, la funzione inversa e tracciare i grafici della funzione e
dell’inversa.
•
{
D≡R
y = 2 + log 3 (x −1) .
}
I ≡ y ∈ R y >1
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
16. Date le funzioni f (x) = 2x e g(x) = log 2 (x −1) , determinare la funzione
composta f ( g(x)) e risolvere la disequazione g( f (x)) >1 .
• f ( g(x) = 2log 2 (x −1)
3
3
x < − ∨x > .
2
2
17. Risolvere la seguente disequazione : 25x −13⋅ 5x + 30 ≥ 0 .
• x ≤ log 5 3∨ x ≥ log 5 10 .
x
18. Tracciare il grafico della seguente funzione f (x) =1− 3 .
19
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
19. Il numero di nuclei presenti al tempo t, in una massa radioattiva, è
determinato dalla legge n(t ) = n0e −αt . Dopo quanto tempo la massa non
decaduta è un decimo della massa iniziale? Si assuma per α il valore
α =10−3 s −1 .
• n(t ) =
20.
1
n(0) ⇒ n0 e −αt = n010−1 ⇒ t =103 ln10 = 2303s = 38#22## .
10
Risolvere la seguente disequazione logaritmica:
log 1 (x 2 −1) ≤ log x−1 x 2 .
x−1
• 1< x <
21.
1+ 5
∨x > 2.
2
Si tracci il grafico della funzione f ( x ) =1+ log 1 1− x .
2
5
2,5
-10
-7,5
-5
-2,5
0
2,5
-2,5
-5
22. E’ data la funzione f ( x ) =1+ 1− e −x .
a) Si determini l’insieme di definizione;
• 1− e −x ≥ 0 ⇒ e x −1≥ 0 ⇒ x ≥ 0 ⇒ D ≡ {x ∈ R x ≥ 0}
5
7,5
10
20
b) Si determini la funzione inversa g ( x ) = f −1 ( x ) .
• f (a ) > f (b) ⇔1+ 1− e −a >1+ 1− e −b ⇔1− e −a >1− e −b ⇔ e −a < e −b ⇔ a > b . La
funzione è crescente, quindi possiamo determinare la funzione
inversa:
2
2
2&
#
y =1+ 1− e −x ⇒ y −1 =1− e −x ⇒ e −x =1− y −1 ⇒ x = − ln %1− y −1 ( .
$
'
(
)
(
)
(
)
c) Si tracci un grafico approssimativo delle due funzioni.
23. Risolvere la seguente disequazione logaritmica:
(
3
2
log 2 x − log 2 x + 4 ⋅ log 1 x + 4 < 0 .
) (
)
2
• log 2 x := t ⇒ t − t − 4t + 4 < 0 ⇒ (t 2 − 4) (t −1) < 0 ⇒ t < −2∨1< t < 2 , da cui
3
2
log 2 x < −2 ⇒ x <
1
4
segue (C.E. : x > 0) # log x >1 ⇒ x > 2
%
2
$
%& log 2 x < 2 ⇒ x < 4
1
⇒ 0 < x < ∨2 < x < 4 .
4
Approfondimento: il logaritmo e la crescita della popolazione
degli Stati Uniti d’America
Assumendo come modello di crescita della popolazione la legge
esponenziale, otteniamo la cosiddetta legge malthusiana:
ΔN
= λN .
Δt
L’espressione della legge esponenziale deve tener conto che, all’inizio della
rilevazione, la popolazione degli Stati Uniti d’America (1790) conta
3.929.000 abitanti:
N (t ) = 3.929.000e λt .
21
La determinazione del valore del coefficiente “di crescita” λ avviene
osservando che nel 1800 gli abitanti sono 5.308.000, e dunque
5.308.000 = 3.929.000e λ⋅1 .
Per calcolare il valore del coefficiente dobbiamo risolvere l’equazione
esponenziale
eλ =
5.308.000
=1,350979 .
3.929.000
Una comune calcolatrice scientifica restituisce il valore (approssimato)
λ = ln (1,350979) = 0,301 . La legge malthusiana di crescita è quindi:
N (t ) = 3.929.000e 0,301t .
Possiamo osservare un sostanziale accordo tra i dati reali e quelli calcolati
con la legge trovata fino a prima del 1950. Dopo quella data i valori
calcolati si discostano sensibilmente dai dati reali. Per esempio, il valore
calcolato della popolazione nel 1950 è
N (16) = 3.929.000e 0,301⋅16 ≈ 485.114.000
valore che differisce da quello reale (150.697.000) per più del doppio!
In conclusione, nel caso della popolazione umana la legge esponenziale
costituisce un buon modello di crescita solo per (relativamente) brevi
intervalli di tempo. Poi non va più bene. Questo fatto, a pensarci bene, è
assolutamente ragionevole: ci sono troppe cause, la storia insegna, che
costituiscono un freno alla crescita (guerre, epidemie, eventi di distruzione
di massa, ecc.), per non pensare poi alla limitatezza delle risorse su scala
planetaria.
Approfondimento: un’applicazione del concetto di logaritmo
alla dimensione dei “frattali”
Dimensioni frazionarie
E’ possibile dividere un quadrato in t 2 copie congruenti di un quadrato
minore, ed un cubo in t 3 copie congruenti di un cubo minore. In generale,
la potenza di t ci dà la dimensione della figura: una figura si dice d-dimensionale
€
se, contratta di un fattore 1 , la sua “capacità” si riduce di t d volte. Questa è
€
t
solo una delle molte definizioni di dimensione; la sua utilità è
rappresentata dall’idea di individuare una proprietà
€ (la composizione di
€ copie congruenti più piccole) in situazioni standard
una figura mediante
(quadrato, cubo,...) e di generalizzarla situazioni particolari come, per
esempio, la ricerca della dimensione della cura di Von Koch, il cosiddetto
“fiocco di neve di Koch”. Questa curva si ottiene a partire da un segmento
di lunghezza unitaria, dividendolo in tre parti ( t = 3) e costruendo un
€
22
triangolo equilatero con base il segmento centrale, che viene eliminato. La
seconda figura contiene 4 copie contratte di un fattore 3 del segmento di
partenza e così via.
Nella figura seguente sono riportati i primi 5 passaggi del processo di
costruzione della curva di Von Koch.
In base alla definizione di dimensione data in precedenza, la dimensione
della curva di Von Koch è data dalla relazione:
3d = 4 ,
da cui segue
d=
ln 4
ln3 .
23
Operativamente possiamo definire il logaritmo y = log a x come l’esponente da
dare alla base (a) per ottenere il numero dato (x):
y = log a x ⇒ a y = x .
Alcune applicazioni della legge esponenziale in Fisica
Un modello per esprimere la pressione in funzione della quota
Come sappiamo dalla fisica, la distribuzione delle molecole nell’atmosfera
varia considerevolmente con l’altezza rispetto alla superficie terrestre per
effetto della forza di gravità. Oltre alla variazione della pressione con la
quota h, consideriamo l’atmosfera un gas ideale, e la temperatura
approssimativamente costante tra la quota h e h + Δh . Possiamo scrivere
l’equazione di stato per i gas ideali:
P(h) =
N(h)
m ⋅ N(h)
ρ (h)
kT =
kT =
kT
V
V ⋅m
m
dove m è la massa di una molecola, N è il numero di molecole alla quota h,
ρ (h) è la densità alla quota h, e T è la temperatura dell’atmosfera, sempre
alla quota h.
La differenza di pressione tra h e h + Δh può essere dedotta dalla legge di
Stevino
P (h + Δh) − P (h) = −ρ gΔh .
Sostituendo questa espressione nell’equazione di stato dei gas ideali
otteniamo la relazione
ΔP = −ρ (h) gΔh = −
mgΔh ⋅ P (h)
ΔP
mg
⇒
=−
Δh .
kT
P
kT
Considerando, come detto, la temperatura costante, giungiamo al modello
che esprime la dipendenza della pressione dalla quota
P (h) = P0 e
−
mgh
kT
.
La datazione dei reperti con il metodo del 14C
Al momento della morte di un essere vivente, l’isotopo radioattivo
14
C presente nel suo organismo, comincia a decadere, con un tempo di
dimezzamento di circa 5730 anni. Supponendo che il 14C contenuto in un
frammento osseo della massa di 2g faccia registrare 22 decadimenti al
minuto, si stabilisca l’età del frammento, sapendo che un uomo in vita
produce 15 decadimenti al minuto per grammo di massa corporea.
24
• Indicato con n0 il numero di particelle presenti nell’organismo al
$
& n(0) − n(1) = 2⋅15 = 30 ⇒ n0 − n0 e − λ = 30
momento del decesso, si ha %
,
− λt
− λ (t+1)
= 22
&' n(t ) − n(t +1) = 22 ⇒ n0 e − n0 e
dove con t abbiamo indicato il tempo trascorso dalla morte al
momento della registrazione dei 22 decadimenti, e con t +1un minuto
dopo (così come n(1) indica il numero di particelle presenti un minuto
dopo il decesso). Quindi
#
#
−λ
n0 1− e − λ = 30
n
−
n
e
=
30
%
%
11
− λt
0
0
. Il tempo di
⇒
⇒
e
=
$
$
− λt
− λ (t+1)
− λt
−λ
15
n
e
−
n
e
=
22
% 0
% n0 e 1− e = 22
0
&
&
(
)
(
)
dimezzamento permette di determinare il parametro λ :
ln2
−
a −1t
1 − λ 5730
ln2 −1
=e
⇒λ=
a . Infine, e 5730
2
5730
#15 &
ln % (
11
$ 11 '
= ⇒ t = 5730
a = 2564a .
15
ln2
Il livello d’intensità sonora
L’intensità di un’onda sonora è data dal rapporto tra la potenza emessa e
la superficie attraversata dal passaggio dell’onda, e si misura in Wm −2 .
L’orecchio umano percepisce suoni con un’intensità variabile da
I 0 =10−12Wm −2 , a I =1Wm −2 , sufficiente per provocare lesioni serie
all’apparato uditivo. L’estensione dell’intensità per parecchi ordini di
grandezza, suggerisce l’adozione di una scala logaritmica. Per questo si
definisce livello di intensità sonora, e si misura in bel, la quantità
I bel = log10
I
I0 .
Esempio. Ogni componente di un coro di 30 persone può cantare con un
livello di intensità sonora di 70dB , dove 1dB = 0,1bel . Si determini il livello
d’intensità del coro.
• Ragionando sul concetto di potenza, possiamo affermare che
l’intensità totale è la somma delle singole intensità (non dei livelli di
intensità!). Quindi, il livello d’intensità del coro è
! I$
I
I coro = log10 # 30 & = log10 30 + log10 = log10 30 + 7 = 8, 47bel = 85dB .
I0
" I0 %
Magnitudine e luminosità apparente di una stella
Osservazioni che risalgono ai tempi di Ipparco di Nicea hanno portato alla
seguente relazione:
25
l’intensità luminosa apparente di una stella di magnitudine M , è k volte quella di
una stella di magnitudine M +1 . Inoltre, l’intensità luminosa apparente di
una stella di magnitudine 1 è 100 volte quella di una stella di magnitudine
6. Indicata con i1 l’intensità luminosa apparente di una stella di
magnitudine 6, si ha la seguente relazione:
M
in
log k in
6
k 0 i1 0 + log k i1
5
k1i1
4
k 2i1 2 + log k i1 ⇒ k 5i1 =100i1 ⇒ k = 5 100 ≅ 2,512 ⇒ 6 − M = log k in − log k i1
3
k 3i1
2
k 4 i1 4 + log k i1
1
k 5i1 5 + log k i1
1+ log k i1
3 + log k i1
Ad esempio, in corrispondenza di M = 4 risulta
log k i4 = 2 + log k i1 = 6 − 4 + log k i1 . In generale quindi
in
= k 6−M .
i1
Esempio. Si calcoli il rapporto tra le intensità luminose apparenti del
Sole, M = −26,8 e di Sirio, M = −1,6 .
Sole :
•
Sirio :
isole
= k 6+26,8
i1
isirio
= k 6+1,6
i1
⇒
isole
= k 25,2 ≈ 1,2⋅1010 .
isirio
Esempio. Le stelle che compongono un certo sistema binario hanno
magnitudine, rispettivamente 5,4 e 6,2. La grande vicinanza, fa apparire il
sistema binario come un’unica stella. Si calcoli la magnitudine di questa.
• Si sommano le luminosità apparenti i!, i!! : i = i! + i!! . Dalla
in
= k 6−M segue
i1
(
)
0,6
−0,2
ln
k
+
k
i i ! + i !! 6−5,4 6−6,2
=
=k
+k
⇒ 6 − M = log k k 0,6 + k −0,2 ⇒ M = 6 −
= 5,0
i1
i1
ln k
(
n
)
# 1&
lim
Approfondimento: n→∞ %$1+ n (' = e e questioni collegate
26
Studiamo la serie
1
∞
∑ n!
. Risulta n! =1⋅ 2⋅ 3⋅ 4 ⋅...⋅ (n −1) ⋅ n >1⋅ 2⋅ 2⋅...⋅ 2 = 2n−1 da 3
n=0
in poi. Sembra proprio che n! > 2n−1 per n ≥ 3 . Infatti:
Esercizio
Dimostrare per induzione la disuguaglianza n! > 2n per n ≥ 4 .
1 1
< , quindi
n! 2n
n
#1&
1− % (
1 1 n 1
1 1
1
1
$2'
2 =1+1= + < ∑ <1+1+ + 2 + ...+ n−1 =1+
<1+
= 3,
1
1
0! 1! k=0 k!
2 2
2
1−
1−
2
2
∞
1
da cui segue che 2 < ∑ < 3 . La somma della serie esponenziale è quindi
n=0 n!
In conseguenza della disuguaglianza si ha che
un numero compreso tra 2 e 3 e viene indicata con e, una quantità di
importanza fondamentale in matematica, che rappresenta la base dei
logaritmi naturali o neperiani ed è un numero irrazionale e trascendente (non è,
cioè, soluzione di alcuna equazione algebrica a coefficienti interi).
Un valore approssimato di e è dunque fornito dalla successione delle
somme parziali
n
1
.
k= 0 k!
sn = ∑
Come in tutti i processi di approssimazione, è importante controllare la
precisione. Per questo scopo osserviamo che
∞
' 1
1 n 1
1
1 $ 1
1
1
En = e − sn = ∑ − ∑ < ∑ k = n+1 &1+ + ...) < n+1 ⋅
= n
2 % 2
( 2 1− 1 2
k=0 k!
k=0 k!
k=n+1 2
2
Con il valore n =10 come riportato nel foglio elettronico, risulta
10
1
1
1
1
E10 < 10 =
< 3 . Si conclude che la somma parziale s10 = ∑
1024 10
2
k=0 k!
€
∞
approssima e con un errore minore di
1
.
1000
E’ possibile ottenere un’approssimazione migliore osservando che
∞
∞
1 €n 1
1
1
(n +1)!
En = e − sn = ∑ − ∑ = ∑ =
=
∑
k!
k!
k!
(n
+1)!
k!
k=0
k=0
k=n+1
k=n+1
$
1 ! (n +1)! (n +1)! (n +1)!
=
+
+
+ ...& =
#
(n +1)! " (n +1)! (n + 2)! (n + 3)!
%
∞
27
=
$
1 !
1
1
+
+ ...& <
#1+
(n +1)! " (n + 2) (n + 3)(n + 2)
%
$
1 !
1
1
+
+ ...& =
#1+
(n +1)! " (n +1) (n +1)(n +1)
%
$
'
&
)
1 ∞ 1
1 &
1
) = (n +1) = 1 .
=
∑
k
1 ) (n +1)!n n ⋅ n!
(n +1)! k=0 (n +1) (n +1)! &
&%1− (n +1) )(
<
Questa stima più accurata ci permette di valutare il resto
En = e − sn <
1
.
n ⋅ n!
Grazie a questa stima è possibile dimostrare la irrazionalità di e.
Infatti, supponiamo per assurdo che e sia razionale; posto e =
p
con p, q
q
interi primi tra loro, risulta
0<
$p
' 1
p
1
− sq <
⇒ q!& − sq ) < ,
q
q ⋅ q!
%q
( q
ma
"p
%
q!$ − sq ' = p(q −1)!− q!sq
#q
&
è un numero intero, quindi non può essere minore di
1
. Di conseguenza e
q
è irrazionale.
La disuguaglianza delle medie
Prendiamo in considerazione due risultati molto utili:
Proposizione. Siano a1,...,an numeri positivi con prodotto a1 ⋅ a2 ⋅...⋅ an =1 . Allora
a1 + a2 + ...+ an ≥ n .
Dimostrazione. Siano a1 ⋅ a2 ⋅...⋅ an ⋅ an+1 =1. Supponiamo che an ≤1 e an+1 ≥1:
essendo an −1≤ 0 e an+1 −1≥ 0 , allora (an −1)(an+1 −1) ≤ 0 ⇒ an an+1 +1≤ an + an+1 .
Consideriamo adesso a1 ⋅ a2 ⋅...⋅ (an ⋅ an+1 ) =1 . Avendo accorpato gli ultimi due
termini, abbiamo a che fare con n termini ai quali possiamo applicare
l’ipotesi induttiva ed ottenere: a1 + a2 + ...+ (an ⋅ an+1 ) ≥ n . Applicando la
28
an an+1 +1≤ an + an+1 otteniamo infine
a1 + a2 + ...+ an + an+1 ≥ a1 + ...+ an−1 + an ⋅ an+1 +1≥ n +1 .
Proposizione. Siano a1,...,an numeri positivi con a1 + a2 + ...+ an = n . Allora
a1 ⋅ a2 ⋅...⋅ an ≤1 .
Dimostrazione. Consideriamo a1 + a2 + ...+ an + an+1 = n +1 . Siano an ≤1 e an+1 ≥1.
Per quanto visto sopra, an an+1 +1≤ an + an+1 . Poiché
a1 + a2 + ...+ an−1 + (an + an+1 −1) = n , possiamo applicare l’ipotesi induttiva ed
ottenere: a1a2 ...an−1(an + an+1 −1) ≤1. In conclusione:
a1a2 ...an−1 (an an+1 ) ≤ a1a2 ...an−1 (an + an−1 −1) ≤1 .
Dalla seconda proposizione segue un’utile disuguaglianza, la cosiddetta
disuguaglianza delle medie: n a1 ⋅...⋅ an ≤
minore o uguale della media aritmetica).
a1 + ...+ an
(media geometrica
n
Abbiamo visto che il modello dell’interesse composto con capitalizzazione
“istantanea”, è legato al limite notevole:
n
# 1&
lim %1+ ( = e.
n→∞
$ n'
Dimostrazione. Dallo sviluppo del binomio di Newton risulta
n
n !
n
$1
! 1$
1 n(n −1)...(n − k +1)
n
=
& k =∑
#1+ & = ∑#
k
k!
n
" n % k=0 " k % n
k=0
n
n
1$
1
k −1 ' 1
1
∑ k! &%n ⋅ n(1− n ) ⋅...⋅ n ⋅ (1− n ))( n k < ∑ k! (1⋅...⋅1) < e .
k=0
k=0
Quindi la successione
" 1 %n
an = $1+ ' è
# n&
limitata. Con la disuguaglianza delle
medie, ad esempio, è possibile dimostrare che la successione è pure
!
1$
n%
crescente: si considerano
n termini del tipo #1+ & e un termine uguale a 1,
€
"
in modo tale che la loro somma risulti uguale a (n +1) +1 , per cui
da n a1 ⋅...⋅ an ≤
a1 + ...+ an
segue
n
n+1
! 1$
#1+ &
" n%
n
! 1$
n #1+ & +1
1
" n%
⋅1 ≤
=1+
. A questo
n +1
n +1
punto si elevano i membri della disuguaglianza alla
n +1
e la dimostrazione
29
n
n+1
! 1$ !
1 $
è completa: #1+ & ≤ #1+
& . Ora, poiché una successione monotona e
" n % " n +1%
limitata è convergente, il valore del limite sarà L ≤ e . Dimostriamo che
effettivamente L = e . Per ogni valore n > m risulta
n
n
$ 1 m n(n −1)...(n − k +1) 1
! 1$
1 m!
an = #1+ & = ∑ > ∑# n & = ∑
.
k
n
k!
k!
k!
n
k
"
% k=0
%
k=0 "
k=0
Passando al limite avremo
1
k −1
k
n
(1−
)...(1−
)
m
# 1&
n(n −1)...(n − k +1) 1
n
n 1 = 1.
L = lim %1+ ( > ∑ lim
=
lim
∑
∑
n→∞
k! k=0 n→∞
k! k=0 k!
nk
nk
$ n ' k=0 n→∞
n
m
m
n
m
# 1&
1
Questa relazione, L = lim %1+ ( > ∑ vale per qualsiasi valore di m, in
n→∞
$ n ' k=0 k!
n
∞
# 1&
1
particolare quando m → ∞ avremo L = lim %1+ ( > ∑ = e . Per il teorema
n→∞
$ n ' k=0 k!
del confronto, e < L ≤ e ⇒ L = e
Il limite notevole trovato si generalizza in modo naturale al caso:
a
# 1&n
lim %%1+ (( = e , se lim an = ∞ .
n→∞
n→∞
$ an '
Esercizi
Tracciare il grafico delle seguenti funzioni:
1. f (x) = e
•
−
1
x
h(x) = e x ; g(x) = −
€
2.
€
" 1 %−
f (x) = $ '
# 2&
x−1
1
⇒ f (x) = h(g(x))
x
30
1.
% y ≥0
'
h(x) = 2 ; g(x) = x −1 ⇒ & x ≥ 1 ⇒ f (x) = h(g(x))
'x = y2 + 1
(
x
€
3. E’ data la funzione f (x) =1− ln
1
x −2
.
a) Si studi il segno della funzione;
• Iniziamo con l’osservare che la funzione può essere scritta nella
forma f (x) =1− ln
1
x −2
=1+ ln
(
)
x − 2 e che, quindi, il campo di
esistenza è dato dalle soluzioni del sistema di disequazioni
#%
$
%&
x − 2 > 0 ⇒ x > 4 . Per quanto riguarda il segno della funzione
x≥0
f (x) ≥ 0 ⇔1+ ln
risulta
(
)
x − 2 ≥ 0 ⇔ ln
(
)
x − 2 ≥ −1= ln e −1 ⇔
2
$ 1'
x − 2 ≥ e −1 ⇔ x ≥ &2 + )
% e(
b) Si tracci un grafico approssimativo della funzione;
• Componiamo le funzioni h(x) =1+ ln x e g(x) = x − 2 , in modo tale che
risulti f (x) = h(g(x)) .Ora, la prima funzione ha per grafico quello della
funzione logaritmo naturale, traslato di uno verso l’alto, mentre la
seconda ha per grafico quello della parabola x = ( y + 2)2 limitato alla
€
#% x ≥ 0
parte di piano $
:
&% y ≥ −2
31
c) Si determini la funzione inversa f −1 (x) e se ne tracci il grafico.
• La funzione f (x) è monotona crescente nel suo intero campo di
esistenza, quindi è invertibile. La funzione inversa si determina
€
risolvendo l’equazione data dall’espressione
analitica della funzione
y= f€
(x) , rispetto alla variabile x, cioè
y =1+ ln
(
x −2 = e
)
x − 2 ⇒ ln
y−1
(
(
⇒ x = 2+ e
)
x − 2 = y −1 ⇒ ln
y−1
)
2
(
(
⇒ f (x) = 2 + e
−1
)
x − 2 = ln e y−1 ⇒
x−1
)
2
.
• Il grafico della funzione inversa si ottiene da quello della funzione
originaria per simmetria rispetto alla bisettrice del primo e del
terzo quadrante:
32
Approfondimento: la forma esponenziale di un numero
complesso
Richiamiamo la relazione che fornisce il prodotto di due numeri complessi,
espressi in forma trigonometrica: z1 ⋅ z2 = ρ1ρ2 (cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 )) .
Notiamo subito che l’argomento del numero complesso, prodotto di
z1 = ρ1 ( cosθ1 + isin θ1 ) e z2 = ρ2 cosθ 2 + i sinθ 2 , è la somma dei rispettivi
(
)
argomenti. Si ha quindi un’interessante analogia con ciò che accade nel
prodotto di due potenze aventi la stessa base, dove l’esponente del
a b
a+b
prodotto è uguale alla somma degli esponenti delle potenze: e e = e .
Questa profonda relazione tra le funzioni goniometriche e la funzione
esponenziale complessa, è formalizzata dalla cosiddetta formula di Eulero, di cui
forniremo in seguito una dimostrazione:
e iθ = cosθ + i sinθ .
n
! θ
θ $ ! iθ $
z = cosθ + i sinθ = # cos + i sin & ≈ #1+ &
n
n% " n %
"
(
)
n
! iθ $
z = lim #1+ & = e iθ
n→∞
" n%
n
