esercizio 1
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Economia Politica 2 - MICROECONOMIA
ESERCITAZIONE 1
Testi esercitazione 8 Ottobre 2003
SOLUZIONI
PRIMA PARTE
Si risponda alle seguenti domande:
(N.B. le risposte riportate rappresentano una traccia per lo studente, a cui è richiesto di argomentare
compiutamente)
1. Considerate un consumatore che consuma un paniere composto da due beni, x 0 e y0. Supponete
che il saggio marginale di sostituzione (in valore assoluto, Y / X ) sia pari a 1.5. Immaginate ora
che al consumatore vengano tolte 10 unità di x e che gliene vengano date 16 del bene y in più.
Descrivete in che condizioni è il consumatore rispetto a quando consumava le quantità x0 e y0.
Il consumatore è più soddisfatto che nella situazione iniziale, dal momento che ottiene più unità del
bene y di quelle necessarie per mantenerlo sulla stessa curva di indifferenza.
2. Supponete che esistano soltanto due beni, X e Y. Descrivete l’espressione per il saggio marginale
di sostituzione in corrispondenza del paniere ottimo.
In corrispondenza delle quantità ottime, il saggio marginale di sostituzione tra il bene Y e il bene X
è uguale al rapporto tra il prezzo di X e quello di Y.
3. Come sono considerati i panieri che giacciono al di sopra di una data curva di indifferenza di un
consumatore?
Sono considerati migliori rispetto a quelli che giacciono sulla curva stessa.
1
4. Assumete che il saggio marginale di sostituzione della Befana è MRS (=S/C)=4 dove S indica
il numero di scope e C i sacchi di carbone, e che, in un mercato dove gli scambi sono possibili, il
rapporto tra i prezzi di mercato dei due beni è pari a P C/PS=2. Spiegate se e perché la Befana è in
una situazione ottimale.
La Befana non sarebbe in una situazione ottimale: infatti le converrebbe consumare meno scope e
scambiarli con del carbone, stando così meglio. Infatti la Befana è disposta a rinunciare, in base al
suo MRS, ad una S in cambio di ¼ di C. Il mercato invece consente di scambiare una S con ½ di C,
che è maggiore di ¼ richiesto dalla Befana.
5. Considerate il paniere X, contenente 3 mele e 4 panini: trovate un esempio per un paniere
preferito e uno meno preferito a X.
Un paniere preferito a X è il paniere Y contenente 4 mele e 4 panini. Un paniere meno preferito è il
paniere Z contenente 2 mele e 3 panini.
6. Considerate una scelta tra due panieri in cui almeno la quantità di un bene è maggiore nel paniere
B rispetto ad A: cosa dice il postulato di non-sazietà?
B è preferito ad A.
7. Cosa succede a un bene inferiore se il suo prezzo diminuisce (discutete facendo riferimento agli
effetti di sostituzione e di reddito)?
L’effetto di sostituzione e quello di reddito non agiscono nella stessa direzione: quello di
sostituzione provoca un aumento della quantità domandata del bene, mentre quello di reddito
provoca una diminuzione della quantità domandata. Quindi, in conclusione la quantità domandata
può sia aumentare che diminuire.
8. Cosa significa se una curva di indifferenza è caratterizzata da Saggio Marginale di Sostituzione
decrescente?
Significa che tanto più possiedo di un certo bene, tanto più sono disposto a cederne per avere una
data quantità di un altro bene.
9. Considerate le preferenze rappresentate nel grafico sottostante:
2
Bene Y
Bene X
Dite se le preferenze sono, o non sono, regolari e perché.
Non sono preferenze regolari perché violano il principio di non-sazietà.
Tipicamente queste preferenze rappresentano il caso in cui il bene Y è un bene chiamato “male”
(ossia un bene dannoso che il consumatore non intende consumare).
3
SECONDA PARTE
ESERCIZIO 1
(Prova di Economia Politica II del 10 luglio 2002, Parte 2, Domanda 1)
Le preferenze di un consumatore sono espresse dalla funzione di utilità U (x,y) = xy.
1) Disegnare la mappa di indifferenza relativa alla funzione di utilità data.
La funzione di utilità data è una famiglia di iperbole.
2) Determinare l’insieme dei panieri che risultano indifferenti al paniere w (3,4) e si
rappresenti graficamente la curva di indifferenza passante per w.
L’insieme dei panieri indifferenti al paniere w è dato dall’insieme delle combinazioni di beni
(x,y) tali che xy = 12. In particolare, l’insieme A dei panieri composti da quantità intere di beni
risulta essere: A = { (1,12); (2,6); (3,4); (4,3); (6,2); (12,1) }. Tutte queste combinazioni di beni
giacciono sulla medesima curva di indifferenza rappresentata nel grafico.
y
4
w
3
x
3) Posto che l’insieme ammissibile di scelta sia costituito dai seguenti panieri: w1 (3,4);
w2 (7,9); w3 (5,6); w4 (2,1); w5 (3,2), stabilire l’ordinamento delle preferenze.
U ( w1 ) = 12; U ( w2 ) = 63; U ( w3 ) = 30; U ( w4 ) = 2; U ( w5 ) = 6.
L’ordinamento delle preferenze risulta essere: w2 > w3 > w1 > w5 > w4
dove il simbolo > sta per “preferito a”.
Graficamente abbiamo che w2 giace su una curva di indifferenza più a NE rispetto a w3 , che a sua
volta appartiene ad una curva più esterna rispetto a w1 e così via.
4) Determinare la scelta ottima del consumatore supponendo che il reddito sia M = 5, il prezzo
del bene x sia px = 2 ed il prezzo del bene y sia py =3.
4
Nell’espressione generica del vincolo di bilancio ( pxx + pyy = M ) sostituiamo gli specifici
valori dei prezzi e del reddito.
Otteniamo così il vincolo di bilancio in forma implicita: 2x+3y = 5.
Riscriviamo il vincolo in forma esplicita in modo da evidenziare pendenza (-2/3) ed intercetta
verticale (+5/3):
y = -2/3x +5/3.
Impostiamo quindi il sistema per la determinazione della scelta ottima:
Px
y 2
MRS
Py
x 3
V .diB.
y - 2/3x 5/3
Risolvendo per y la prima equazione e sostituendo nella seconda otteniamo il seguente paniere
di scelta ottima E(5/4; 5/6).
Graficamente:
y
E
5/6
5/4
x
ESERCIZIO 2
(Prova di Economia Politica II del 12 Settembre 2002, Parte 2, Domanda 1)
Data la funzione di utilità U (x,y) = xy + 3x + 6y, con reddito del consumatore pari a m=200,
prezzo del bene x pari a px = 4 e prezzo del bene y pari a py =2, calcolare:
a) La scelta ottima.
P
y3 4
y 2x 9
y 54,5
MRS X
PY
x6 2
200 4 x 4 x 18 x 22,75
200 4 x 2 y
VincoloBil ancio
5
b) Il valore dell’utilità nel punto di scelta ottima.
Il valore della funzione di utilità nel punto E (22,75;54,5) è dato da:
U(E) = 22,75*54,5+3*22,75+6*54,5 = 1635,125
c) La scelta ottima se il reddito diventa 220.
Procedo in modo analogo al punto a), inserendo nel sistema il vincolo di bilancio col reddito
variato ed ottengo il nuovo paniere E’ (25,25;59,5)
d) Il valore dell’utilità nel punto di scelta ottima con reddito pari a 220.
In modo analogo al punto b, calcolo anche U(E’)= 1935,125.
ESERCIZIO 3
(Prova di Economia Politica II del 30 gennaio 2002, Parte 2, Domanda 1)
Consideriamo 2 beni, x ed y. Siano i rispettivi prezzi pari a px=2 e pY=4:
1) Tracciare in un riferimento cartesiano il vincolo di bilancio di un consumatore il cui reddito è
pari a m=100; indicare le intercette ed il valore del coefficiente angolare.
Ricordando che l’equazione generica del vincolo di bilancio (in forma implicita) è la seguente:
px* x + py * y = m
sostituiamo il valore dei prezzi e del reddito:
2x + 4y = 100
Per disegnarlo, ne ricaviamo la forma esplicitando rispetto ad y:
y = (- 1/2) x + 25
Coefficiente angolare: - 1/2
Intercetta verticale:
x = 0 y = 25
Intercetta orizzontale: y = 0 x = 50
Rappresentazione grafica:
6
y
25
coeff. ang. = - 1/2
O
50
x
2) Come si modifica il vincolo di bilancio se il prezzo del bene y varia da 4 a 8?
py aumenta, quindi il rapporto px / py (che rappresenta l’inclinazione del vincolo di bilancio)
diminuisce ( passa da ½ a ¼): il vincolo diventa meno inclinato e ruota intorno all’intercetta
orizzontale che rimane invariata, a differenza dell’intercetta verticale che diventa 25/2.
Rappresentazione grafica:
y
25
25/2
coeff. ang. = - 1/4
O
50
x
3) Come si modifica il vincolo di bilancio se i prezzi dei due beni raddoppiano?
In questo caso, il rapporto tra i prezzi dei due beni non cambia, quindi il vincolo di bilancio
mantiene la stessa inclinazione iniziale; tuttavia, essendo m fisso, i beni possono essere
consumati nella stessa proporzione ma in quantità minore: il vincolo si sposta parallelamente
verso l’origine.
Rappresentazione grafica:
y
25
25/2
coeff. ang. = - 1/2
O
25
50 x
I beni x e y sono perfetti sostituti e la funzione di utilità è la seguente: U x, y 3x y
7
4) Disegnare la mappa della curve di indifferenza.
Riscriviamo la funzione di utilità in forma esplicita: y = U – 3x
e disegniamo la mappa di curve di indifferenza assegnando valori arbitrari ad U.
Rappresentazione grafica:
y
inclinazione delle curve
di indifferenza = - 3
O
x
5) Se px=2, pY=4, m=100 individuare la scelta ottima.
Calcoliamo il saggio marginale di sostituzione tra i due beni:
U
MU x x
MRS
3
MU y U
y
Nel caso dei perfetti sostituti, troviamo la scelta ottima confrontando il MRS con il rapporto tra
i prezzi.
Essendo MRS > px / py (perché 3 > ½ !), tutto il reddito viene speso nel consumo del bene x. La
scelta ottima sarà quindi (50, 0)
6) Rappresentare graficamente la scelta ottima.
Rappresentazione grafica:
y
O
50
x
8
ESERCIZIO 4
La funzione di utilità di Gaia, volenterosa studentessa di microeconomia, è U(x,y) = x2y, dove x
indica numero di eserciziari e y numero di penne a sfera. I prezzi di questi due beni sono,
rispettivamente, px = 1 e py = 3, mentre il reddito che Gaia vuole destinare quel mese ad eserciziari
e penne a sfera è I = 180.
a) Scrivete il vincolo di bilancio di Gaia e rappresentatelo nel grafico sottostante.
I px x p y y
180 x 3 y y 60 1 3x
Y
60
20
180
x
120
b) Calcolate il saggio marginale di sostituzione fra i due beni
MRS
U x MU x
y
2
U y MU y
x
c) Calcolate quanti eserciziari e quante penne a sfera Gaia consumerà quel mese e rappresentate il
paniere d’equilibrio nel grafico precedente
x
2y 1
y6
x 3
x
x
180 x 3 y 180 x
2
y
x
6
120
y
20
6
2
180 120
x 120
3
9
d) Calcolate la funzione di domanda relativa ad entrambi i beni
Procediamo con la derivazione della domanda relativa agli eserciziari, lasciando nel
precedente sistema implicito il prezzo del bene (px):
p x
p x
y x
px x
y x
2 y px
y
6
6
x
3
6
120
px x
180 p x x 3 y 180 p x x
3 / 2 p x x 180 x
px
2
In modo analogo, lasciando stavolta implicito py, ricaviamo la funzione di domanda perle penne
a sfera:
x
x 2 yp y
1
2y
x 2 yp y
2y
60
py
x
py
3 p y y 180; y
2
yp
p
y
180
y
y
180 x p y y 180 x p y y
py
e) Calcolate la spesa complessiva in ciascuno dei due beni
px x 1 120 120;
p y y 3 20 60
f) Ipotizzando che il prezzo degli eserciziari raddoppi (px = 2) come varierà la spesa complessiva
in penne a sfera?
x
x
60
y
2y 2
y
y
20
3
180
x 3
3
3
60
180 2 x 3 y
180 2 x x x
x 60
3
La spesa totale in y rimane invariata =60.
ESERCIZIO 5
Si consideri un consumatore che deve scegliere la quantità del bene x e del bene y da consumare. La
sua funzione di utilità è U(X,Y) = 2x + 2y, i prezzi sono rispettivamente P x =1, Py = 3 e il reddito
M = 9.
1) Si scriva il vincolo di bilancio del consumatore e lo si rappresenti graficamente, indicando il
valore delle intercette e dell’inclinazione.
10
x + 3y = 9
Intercette: (0,3) e (9,0); pendenza –1/3
Y
E2
V.
B.
(0,3)
E1
(9,0)
X
2) Di che genere di beni si tratta?
Beni perfetti sostituti
3) Si rappresentino graficamente almeno 3 curve di indifferenza.
(Linee tratteggiate nel grafico)
4) Quale sarà il punto di equilibrio?
E’ una soluzione d’angolo: poiché il vincolo di bilancio è meno pendente delle curve di indifferenza
(MRS> Px / Py) , il consumatore acquisterà solo 9 unità del bene x.
5) Si ipotizzi che il prezzo del bene x passi da Px =1 a P’x = 4. Come varierà il punto di equilibrio?
La pendenza del vincolo di bilancio diventerà maggiore di quella delle curve di indifferenza (MRS<
Px / Py) e quindi il consumatore acquisterà solo 3 unità del bene y.
ESERCIZIO 6
La funzione di utilità di Aldo è data da U(x,y) = x2 y2 dove x rappresenta lo yogurt e y la frutta. I
prezzi di questi due beni sono rispettivamente: px =2, py=5 mentre il reddito a disposizione di Aldo
è: I = 180 euro.
11
a) Scrivete l’equazione del vincolo di bilancio di Aldo e rappresentatelo nel grafico sottostante,
indicando anche le intercette.
2x + 5y = 180; intercette (90, 0) e (0, 36)
y
36
E1
18
45
90
b) Calcolate il saggio marginale di sostituzione tra i due beni.
MRS
dU
dx y
dU
x
dy
c) Calcolate il paniere di equilibrio di Aldo e rappresentatelo nel grafico precedente.
2 y
x 45
5 x
2 x 5 y 180 y 18
d) Calcolate la spesa di Aldo per i due beni.
S x 45 * 2 90
S y 18 * 5 90
e) Ipotizzando che nel supermercato siano disponibili soltanto 30 yogurt, si rappresenti il nuovo
vincolo di bilancio.
12
y
36
E2
24
30
x
ESERCIZIO 7
(Prova di Economia Politica II del 14 Novembre 2002, Parte 2, Domanda 1 a), b))
La funzione di utilità del consumatore Marco è data da: U(X; Z) = 3XZ3 dove X rappresenta i litri
consumati alla settimana del famoso vino “Schianti di Castellanza” e Z un altro bene. Se il reddito
settimanale di Marco è pari a M=48 e i prezzi sono pari a pX=4 e pZ=1:
a) Scrivete l’equazione del Vincolo di Bilancio del consumatore e rappresentatelo graficamente,
indicando chiaramente il valore delle intercette e dell’inclinazione.
4X+Z=48 cioè Z=48-4X
Z
M/ pZ=48
36
E
3
Inclinazione - 4
M/ pX=12
X
b) Determinate la scelta ottima di consumo di Marco e rappresentatela nel grafico precedente
indicandola col punto E.
13
MRS= pX/pZ
1Z
4
3X
X=3
4X+Z=48
Z=36
cioè
Vincolo di Bilancio
ESERCIZIO 8
(Prova di Economia Politica II del 27 Gennaio 2003, Parte 2, Domanda 1)
Per un certo consumatore, indicate con x e y le quantità di due generici beni, il saggio marginale di
sostituzione ha la seguente espressione:
U
x MRS y 2
U
x
y
a) Dite se i due beni sono perfetti sostituti e perché.
Non sono perfetti sostituti. Infatti il saggio marginale si sostituzione tra i due beni non è costante.
b) Supponete che il consumatore disponga di un reddito M e che i prezzi dei beni x e y siano Px e
Py . Scrivete il generico vincolo di bilancio del consumatore e rappresentatelo graficamente,
indicando con chiarezza le variabili sugli assi ed i valori di intercette e coefficiente angolare.
Px *x+ Py *y=M
y
M/ Py
inclinazione = - Px / Py
x
M/ Px
14
c) Quale condizione deve essere soddisfatta in corrispondenza del paniere ottimale?
La condizione di ottimo è data dalla condizione di tangenza tra il vincolo di bilancio e la più alta
curva di indifferenza del consumatore.
Analiticamente ciò si verifica quando:
MRS= Px / Py
d) Ponete ora M 100 e Py 10 . Esprimete la quantità domandata del bene x come funzione del
proprio prezzo Px
Vincolo di bilancio: Px *x+10*y=100
MRS: y=( Px /10)*x+2
Sostituendo:
Px *x+10*( Px /10)*x+2=100
da cui:
2 Px *x=80
ossia:
x=40 / Px
e) Dati i valori di M e di Py al punto precedente d), se il valore del prezzo del bene x fosse Px =20,
quale sarebbe la scelta ottima di x e y del consumatore?
Basta sostituire in x=40 / Px il valore di Px =20, ottenendo:
x*=2
Di conseguenza:
y*=6
15
