Studio di Funzione
Conoscenze richieste:
limite di funzione a una variabile, limite destro e sinistro, tipi di discontinuità, derivabilità di funzioni a una
variabile, punti di non derivabilità, derivata, flessi orizzontali, verticali, obliqui, asindoti, concavità.
NOTA SUI LIMITI: si esegue sempre il limite sinistro e quello destro, e se coincidono la funzione è
continua in quel punto, se sono finiti ma diversi allora c’è una discontinuità della 1° specie.
Campo di esistenza
Sistema con:
Se c’è un denominatore porre diverso da
Per ogni radice, porre il radicando
Per ogni logaritmo, porre l’argomento
Sono punti “notevoli”:
Punti singoli esclusi dal campo di esistenza
Estremi del campo di esistenza
NOTA: da ora in poi si intende che ogni equazione/sistema di equazioni venga risolto all’interno del campo di esistenza
Intersezioni con gli assi
Trovare le intersezioni con l’asse risolvendo
Trovare l’intersezione con l’asse ponendo
occorre fare il *limite per
(nel caso in cui
sia un punto “notevole”
Segno
Risolvere
Punti Notevoli e asindoti verticali
Eseguire i limiti in tutti i punti “notevoli”
Se il limite tende a infinito, il punto è asindoto verticale (discontinuità del 2° tipo)
Asindoti
Se il dominio è illimitato (per esempio i numeri reali) seguire il limite per
Se tale limite risulta finito e vale , è presente un asindoto verticale
Se tale limite risulta infinito, eseguire il limite per
Se tale limite risulta o
di
, non è presente neanche l’asindoto obliquo.
Se invece ha un valore finito diverso da 0, allora è presente un asindoto obliquo
e
, con
Derivata prima
Calcolare la derivata prima di
, che chiamiamo
Punti Critici
Risolvere
Segno della derivata prima
Risolvere
Flessi verticali, punti non derivabili
Calcolare i limiti di
nei punti notevoli in cui la funzione è continua;
Se il limite risulta calcolare limite destro e sinistro, se hanno lo stesso segno si tratta di un flesso
verticale, se hanno segni discordi di una cuspide. Se almeno uno fra limite destro e sinistro è finito e sono
diversi, è un punto angoloso.
Derivata seconda
Calcolare la derivata seconda di
, che chiameremo
Segno della derivata seconda
Risolvere
Minimi, massimi, flessi orizzontali
Calcolare
nei punti critici che chiamiamo . Se
, è punto di minimo; se
è punto di massimo. Se
per stabilire che tipo di punto è occorre guardare il segno di
Se
Se
Se
Se
per
per
per
per
e
e
e
e
per
per
per
per
, allora
, allora
, allora
, allora
è punto di minimo
è punto di massimo
è un flesso discendente
è un flesso ascendente
Flessi Obliqui
Risolvere
. Chiamiamo
, dove
tali punti. In tali punti si hanno flessi obliqui di equazione
e
.
,
:
Disegnare la funzione
Preparare il piano cartesiano
Eliminare dal piano x-y le zone non appartenenti al campo di esistenza (tipicamente strisce o
semipiani)
Disegnare i punti di intersezioni con gli assi
Disegnare le rette parallele all’asse y nei punti in cui la funziona cambia di segno, e cancellare dal
piano le aree di segno diverso da quello della funzione
Disegnare le rette di asindoto verticale, orizzontale e obliquo
Disegnare i punti di minimo, massimo, e di flesso
Disegnare i punti di cuspide, angolosi, non derivabili
Disegnare la funzione negli intorni dei punti
Disegnare la funzione negli intorni dei punti disegnati, in questo modo:
Disegnare la funzione
Finire il disegno facendo attenzione
Che la funzione sia crescente o decrescente dove il segno di
Che la concavità guardi verso l’alto/il basso dove il segno di
è rispettivamente positivo/negativo
è rispettivamente negativo/positivo
