APPUNTI SULLA TEORIA DEGLI ERRORI

APPUNTI SULLA TEORIA DEGLI ERRORI
Come abbiamo notato nelle prime esperienze di laboratorio, il risultato di una misura dovrà sempre
essere dato come intervallo di valori possibili, vale a dire:
R = ( R ± ER) u
ove
R
ER
u
è il valore medio della grandezza in esame
è l'errore assoluto
è l’unità di misura
Vediamo ora alcuni metodi per ricavare il valore medio e l'errore assoluto.
Numero misure
Se è possibile fare una
sola misura o se
effettuando le misure si
ottiene
sempre
lo
stesso risultato
Nel caso che siano
state
effettuate
N
misure
della
grandezza in esame
Valore medio
si può assumere come valor medio il
valore letto
Errore assoluto
e come errore assoluto il valore
della divisione dello strumento
stesso (errore strumentale).
si assume come valore medio, la
media aritmetica dei valori ottenuti
Mentre si assumerà come errore
assoluto
la
semidispersione
massima:
R
R1  R2  R3  ........  Rn
N
ER 
Rmax  Rmin
2
L'errore assoluto deve sempre presentare una sola cifra (due in casi eccezionali ) diversa da zero ,
la cui posizione ha il significato di esprimere in quale punto inizia l'incertezza della misura.
Per ridurre l'errore assoluto ad una sola cifra, nel caso ne possedesse di più, si procede con la
tecnica dell'arrotondamento in base al seguente criterio : se l'ultima cifra e' 5,6,7,8,9 si aumenta la
penultima di un'unita', se invece e' 0,1,2,3,4 la si elimina.
Nel calcolo del valor medio il risultato della divisione può avere molte cifre dopo la virgola, quante
è lecito tenerne? Nel caso che il risultato della grandezza sia ottenuto per via indiretta il
numero di cifre da dare nel risultato, cioè le cifre significative, è legato all'errore assoluto: l'ultima
cifra significativa deve trovarsi allo stesso posto decimale dell'ultima cifra dell'errore assoluto ( se
la misura ha meno cifre decimali dell’errore assoluto si aggiungono degli zeri, se ne ha di più si
approssima)
E’ inoltre necessario ricordare che vi è un altro tipo di errore più significativo dell'errore assoluto, che
è detto errore relativo e che fornisce il grado di precisione di una misura. L'errore relativo è il
rapporto tra l'errore assoluto della misura e il valore medio della misura stessa.
R 
ER
R
Si noti che mentre l'errore assoluto ha la stessa unità di misura del valore medio, l'errore relativo è
un numero puro.
CALCOLO DELL'ERRORE NELLE MISURE INDIRETTE.
In laboratorio spesso si determina il valore di una grandezza fisica mediante la misura di altre
grandezze, che sono legate alla prima da una relazione matematica.
La relazione che esprime l'errore sul risultato, in funzione degli errori sulle grandezze iniziali è detta
legge di propagazione degli errori.
E’ fondamentale ricordare che GLI ERRORI SI SOMMANO SEMPRE. Non esistono altre operazioni
possibili con gli errori.
SOMMA (O DIFFERENZA)
Dunque date due o più grandezze A = (Ā ± EA) e B = (B ±EB) di cui se ne debba determinare la
somma (o la differenza)
S=A+B
oppure
D=A-B
potremo calcolare i valori medi su S ( o su D) sommando (o sottraendo) i valori medi delle grandezze
di partenza, mentre l’errore assoluto in entrambi i casi si ottiene dalla somma degli errori assoluti di
AeB
Riassumendo

con
e


S  S  ES u

D  D  ED u
S  A B
ES  E A  EB
D  A B
ED  E A  EB
PRODOTTO (o QUOZIENTE)
Date due o più grandezze A = (A ± EA) e B = (B ±EB) si debba calcolare il loro prodotto o il loro
quoziente:
P=A∙B
oppure
Q=A/B
Si procederà in questo modo:
a) calcolo del valor medio di P o di Q, moltiplicando ( o dividendo) i valori medi di A e B:
b) calcolo degli errori relativi ad A ed a B εA = E A / Ā e
εB = E B / B
P  Q   A  B
c) calcolo dell’errore relativo su P (o Q) sommando gli errori relativi ad A ed a B:
d) calcolo dell'errore assoluto sul prodotto ( o sul quoziente), moltiplicando P ( o Q) per la somma
degli errori relativi sopra calcolati:
EP   P  P
EQ   Q  Q
Riassumendo



con

Q  Q  EQ u
P  P  EP u
P  A B
Q  A:B
I punti b) c) e d) possono essere riassunti nella
seguente formula
I punti b) c) e d) possono essere riassunti nella
seguente formula
E 
E
EP   A  B   P
B 
 A
E 
E
EQ   A  B   Q
B 
 A
ELEVAMENTO A POTENZA ( o ESTRAZIONE DI RADICE)
Date la grandezza A = (Ā ± EA)
si debba calcolare:
1
Y = An
oppure
R=
n
A  An
Poiché elevare un numero all’ennesima potenza è equivalente a moltiplicarlo per se stesso n volte
valgono le stesse regole indicate precedentemente per il prodotto
Riassumendo


Y  Y  EY u
Y A
con
e
n
E
E 
E
E 
EY   A  A  ...  A   Y  n A   Y
A
A
 A
 A
n volte


R  R  ER u
R
n
1
n
AA
1E 
ER   A   R
n A 