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)
Integrali (di Paolo Urbani – febbraio 2011)
1


x3 x3
8
Area= ∫ 3 − x dx − ∫ ( x − 1)dx = 3x −
− + x =
3 3

 −1 3
−1
−1
1
2
1
2
Indice in ultima pagina
Integrale indefinito
Caso 2b: Area fra due funzioni continue segno diverso. Il procedimento
non cambia.
Esempio: Calcolare l’area compresa fra le funzioni
y = x − x − 2 nell’intervallo [− 1;2] .
y = x +1 e
Sia
F ( x) = ∫ f ( x)dx
F ( x ) viene detto integrale indefinito (o primitiva) della funzione f ( x ) .
Sia ha F ' ( x ) = f ( x ) .
2
L’operazione di integrazione è inversa rispetto a quella di derivazione.
Si ha dunque:
(∫ f ( x)dx ) = f (x ) e che ∫ f ' ( x)dx = f (x )
'
Una funzione integrabile ammette infinite primitive che differiscono per
una costante, ovvero
∫ f ( x)dx = F (x ) + c
questo in quanto nell’operazione inversa di calcolo di derivata la
costante si annulla (scompare).
2
Area =
∫
−1
=
2
x + 1dx − ∫ ( x − x − 2)dx = 
−1
3
2
2
2
2
 3

(x + 1) −  x − x − 2 x  =
 3 2
 −1
3
12
9 24 3 + 45
3+ =
5
2
10
Calcolo dell’integrale
Come per la derivata, esiste una tabella degli integrali fondamentali; si
tratta di integrali che seguono dalle derivate fondamentali.
Tabella integrali fondamentali (vedi tabella pagina successiva)
Teoremi sul calcolo integrale
Indice
Integrale indefinito ................................................................................................. 1
Calcolo dell’integrale ............................................................................................... 1
1.
Prodotto fra costante e funzione .................................................................. 1
2.
Somma/Differenza fra funzioni .................................................................... 1
3.
Integrazione per parti................................................................................. 1
Tabella integrali fondamentali .................................................................................. 2
4.
Integrazione per sostituzione....................................................................... 3
5.
Integrazione di funzioni razionali fratte ......................................................... 3
Esempi di calcolo di integrale indefinito ..................................................................... 4
Integrali fondamentali, teoremi 1 e 2.................................................................... 4
Integrazione per parti (teorema 3) ....................................................................... 5
Integrazione per sostituzione (teorema 4) ............................................................. 5
Integrali di funzioni razionali fratte ....................................................................... 6
Integrale definito.................................................................................................... 8
Integrale e derivata – Teorema di Torricelli-Barrow..................................................... 9
Proprietà degli integrali definiti............................................................................... 12
Calcolo di aree ..................................................................................................... 13
16
1. Prodotto fra costante e funzione
∫ k ⋅ f ( x)dx =k ⋅ ∫ f ( x)dx
dunque la costante può essere portata al di fuori dell’integrale
2. Somma/Differenza fra funzioni
∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx
dunque l’integrale di una somma/differenza è uguale alla
somma/differenza fra integrali
3. Integrazione per parti
∫ f ( x) ⋅ g ' ( x)dx =
f ( x) ⋅ g ( x) − ∫ f ' ( x) ⋅ g ( x)dx
tale teorema deriva da quello della derivata di un prodotto; per la
dimostrazione basta derivare le espressioni a sinistra e a destra
dell’uguale.
1
Tabella integrali fondamentali
Funzioni semplici
1.
∫ dx = x + c
2.
n
∫ x dx =
1.
x n+1
+ c con n ≠ −1
n +1
1
3. ∫ dx = ln x + c
x
dx
4. ∫
= 2 x + c (o regola 2)
x
5.
∫e
dx = e + c
x
Funzioni composte
2.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
6.
∫ cos xdx = sin x + c
∫ sin xdx = − cos x + c
7.
8.
dx
∫ cos 2 x = tan x + c
dx
∫ sin 2 x = − cot x + c
dx
∫ 1 − x 2 = arcsin x + c
dx
∫ 1 + x 2 = arctan x + c
dx
2
∫ x 2 + 1 = ln( x + x + 1) + c
∫
dx
x2 −1
= ln x + x − 1 + c
2
dx
1 1+ x
15. ∫
= ln
+c
2
2 1− x
1− x
9.
⋅ f ' ( x )dx =
f ' ( x)dx
f ( x)
∫e
f ( x)
∫a
f ( x)
(o n.2)
f ' ( x)dx = e
f (x)
+c
a f ( x)
f ' ( x)dx =
+c
ln a
∫ f ' ( x) ⋅ cos f ( x)dx = sin f ( x) + c
∫ f ' ( x) ⋅ sin f ( x)dx = − cos f ( x) + c
f ' ( x)dx
= tan f ( x) + c
2
f ( x)
∫ cos
f ' ( x)dx
= − cot f ( x) + c
2
f ( x)
11.
∫
12.
∫ 1 + [ f ( x) ]
13.
∫ [ f ( x )]
f ' ( x)dx
1 − [ f ( x) ]
2
f ' ( x)dx
2
f ' ( x )dx
2
+1
f ' ( x) dx
∫ [ f ( x )]
2
2
n ≠ −1
= 2 f ( x) + c
∫ sin
15.
n +1
∫
10.
14.
[ f ( x)]n +1 + c
f ' ( x)
dx = ln f ( x) + c
f ( x)
4.
5.
f ( x) + c
∫
3.
x
7.
∫ [ f ( x)]
n
x
ax
6. ∫ a dx =
+c
ln a
∫ f ' ( x)dx =
−1
f ' ( x)dx
∫ 1 − [ f ( x )]
2
= arcsin f ( x) + c
Occorre dunque suddividere il calcolo dell’area come segue:
1
3
x3
5
x3
5
2
Area= ∫ (
− x − x + 3)dx − ∫ ( − x 2 − x + 3)dx =
2
2
2
2
−1
1
1
3
 x4 x3 5 2

 x4 x3 5 2

16 8
= −
− x + 3x  −  −
− x + 3x =
+ =8
8
3
4
8
3
4
3
3

 −1 
1
Caso 2a: Area fra due funzioni continue con lo stesso segno.
Esempio: Calcolare l’area compresa fra le parabole
y = 3 − x2 e
y = x 2 + 1 nell’intervallo delimitato dai punti di intersezione.
Le due parabole si intersecano nei punti x1, 2 = ±1 ; l’intervallo in
questione è dunque
[− 1;1] e qui le parabole sono entrambe positive.
= arctan f ( x) + c
= ln( f ( x ) +
[ f ( x)]2 + 1) + c
= ln f ( x ) +
[ f ( x)]2 − 1 + c
=
1 1 + f ( x)
ln
+c
2 1 − f ( x)
Si sottraggono le aree fra le parabole e l’asse delle x come segue:
15
1
 x3 x2

1 1
 8 4
 9
+
+ x = + + 1 −  − + − 2  =
Area= ∫ ( x + x + 1) dx = 
2
 3 2
 2
3
 −2 3 2
−2
1
2
4. Integrazione per sostituzione
Talvolta nel calcolo integrale può essere utile effettuare
sostituzione di variabile, per esempio x = g (t ) ; in tal caso si ha:
∫ f ( x)dx = ∫ f [g (t )]⋅ g ' (t )dt
Caso 1b: Area fra una funzione continua negativa ed asse x
Esempio: Calcolare l’area compresa fra la parabola di equazione
y = x 2 + x − 6 e l’asse delle x nell’intervallo delimitato dai punti di
intersezione con l’asse x.
L’’intervallo in questione è
[− 3;2] e qui la parabola è negativa:
una
5. Integrazione di funzioni razionali fratte
Caso di funzioni date dal rapporto fra due polinomi di grado
(numeratore) ed m (denominatore)
n
Pn ( x)
a0 + a1 x + x 2 x 2 + ... + a n x n
∫ b0 + b1 x + b2 x 2 + ... + bm x m dx = ∫ Pm ( x) dx
l’integrale va cambiato di segno.
Per l’integrazione occorre distinguere i seguenti casi:
n>m
Si divide il polinomio del numeratore con quello del denominatore;
detto Q (x ) il quoziente e R (x ) il resto di tale divisione si ha:
Pn ( x) = P m ( x) ⋅ Q ( x) + R( x) ovvero, dividendo il tutto per Pm (x)
Pn ( x )
R( x)
= Q ( x) +
P m ( x)
P m ( x)
quindi, per il calcolo integrale, si ha:
Pn ( x)
R( x)
dx = ∫ Q( x)dx + ∫
dx
P m ( x)
m ( x)
∫P
2
 x3 x2

8 4
 27 9
 125
Area= − ∫ (x + x − 6)dx = − +
− 6x = − + −12−  − + +18 =
 3 2
 6
3 2
 −3 3 2
−3
2
2
n≤m
In tal caso occorre scomporre in fattori il polinomio del denominatore e
trasformare la frazione originaria come somma di frazioni più semplici
Caso 1c: Area fra una funzione continua positiva ed asse x in un
intervallo di cambio segno.
Esempio: Calcolare l’area compresa fra la parabola di equazione
x3
5
− x 2 − x + 3 e l’asse delle x nell’intervallo [− 1;3].
2
2
Nell’intervallo in questione la funzione cambia segno in x = 1
y=
14
3
Esempi di calcolo di integrale indefinito
Esempi di calcolo di integrali definiti
Integrali fondamentali, teoremi 1 e 2
1.
1.
x
+c
4
∫ x dx =
3
1
2.
4
2
3.
dx = −7 arctan x
∫x
(ln x )
1
(ln x )2 ⋅ 1 dx = 1 (ln x ) + c = (ln x ) + c
∫
2x
2
x
2 3
6
x+5
1
2x
1
1
9. ∫
dx + 5∫
dx = ln 1 + x 2 + 5 arctan x + c
dx = ∫
2
2
2
2 1+ x
2
1+ x
1+ x
2
8.
10.
∫
3
2
dx
3
x2
[ ]
= 33 x
8
1
= 3 ⋅ (2 − 1) = 3
Calcolo di aree
Si prenderanno in esame i seguenti casi
1) Area fra una funzione continua ed asse x
a) la funzione è positiva
b) la funzione è negativa
c) la funzione cambia segno
2) Area compresa fra due funzioni continue
a) le funzioni hanno lo stesso segno
b) le funzioni hanno segno diverso
Caso 1a: Area fra una funzione continua positiva ed asse x
Esempio: Calcolare l’area compresa fra la parabola di equazione
y = x 2 + x + 1 e l’asse delle x nell’intervallo [− 2;1] .
Si tratta di una parabola sicuramente positiva:
)
x3
x3 + x − x
x x2 +1 − x
1
2x
dx
=
dx
=
∫ x2 +1 ∫ x2 +1
∫ x 2 + 1 dx =∫ xdx − 2 ∫ x 2 + 1 dx =
x2 1
− ln x 2 + 1 + c
2 2
∫
11. sin 3 xdx =
− cos x +
12.
3
dx =
(
∫
1
2x + 1
dx = ln x 2 + x + c
2
+x
2
2
1
3
3 2
x 2 +1
6. ∫ 3 xe
dx = 3∫ 2 xe x +1 dx = ∫ 2 xe x +1 dx = e x +1 + c
2
2
2
4
5 4
4
5
4
7. ∫ sin xdx = ∫ sin xdx = − cos x + c
5
4 5
5
4
5
5.
3
2
x3
3
15
3. ∫ 5 ⋅ 3 x dx = 5∫ x dx = 5
= 5 ⋅ 3 x 4 = x3 x
43
4
4
7
)
1
1
1 9
9
3
1

∫1 2 x + 3 dx =  2 ln 2 x + 3  1 = 2 (ln 9 − ln 4) = 2 ln 4 = ln 4 = ln 2
8
1
3
∫ − 1+ x
2
3
x −3
1
1
−4
2. ∫ 4 dx = ∫ x dx =
+c =− 3 +c
−3
x
x
4.
∫(
4
 x3

64
1 
x + 1 dx =  + x  =
+ 4 −  + 1 = 24
3
3 
3
1
4
4
∫ (1 − cos x )sin xdx = ∫ sin xdx + ∫ cos
2
2
x ⋅ (− sin x )dx =
cos 3 x
+c
3
x2 + 4
x2 + 1 + 3
x2 + 1
1
dx
=
dx
=
∫ x2 + 1 ∫ x2 + 1
∫ x 2 + 1 dx + 3∫ x 2 + 1 dx =x + 3 arctan x + c
4
13
h ⋅ f ( x + h ) < S ( x + h) − S ( x) < h ⋅ f ( x ) dividendo per h
S ( x + h) − S ( x )
f (x + h ) <
< f ( x ) essendo la funzione continua in x si ha
h
lim f ( x + h ) = f ( x ) ; in base al teorema del confronto dei limiti1 si ha
h →0
S ( x + h) − S ( x )
= f ( x ) ; ricordando la definizione di derivata di ha
h
h→ 0
che S ' ( x ) = f ( x ) . Il teorema si può enunciare nel seguente modo:
Integrazione per parti (teorema 3)
1.
2.
lim
Se la funzione integranda è continua, la derivata della funzione
integrale è uguale alla funzione integranda calcolata nel limite
superiore d’integrazione.
Si può generalizzare quanto prima scritto nel seguente modo:
b
∫ f (x ) = S (b) − S (a) = [S (x )]
b
a
3.
a
4x
∫ x ⋅ e dx = x
e4x
e4x
e4x
e 4x e 4x
− ∫ e 4 x dx =x
−∫
dx = x
−
+c
4
4
4
4
16
x
x
x


⋅ sin dx = x 2  − 2 cos  − ∫ 2 x − 2 cos dx =
2
2
2


x
x
− 2 x 2 cos + 4 ∫ x cos dx continua *
2
2
x
x
x
x
x

∫ x cos 2 dx = x ⋅  2 sin 2  − ∫ 2 sin 2 dx = 2 x ⋅ sin 2 + 4 cos 2 + c
x
x
x
* − 2 x 2 cos + 8 x ⋅ sin + 16 cos + c
2
2
2
∫x
2
∫ sin
2
xdx = ∫ sin x sin xdx = − sin x cos x − ∫ cos x(− cos x )dx =
ovvero che l’integrale definito fra a e b di una funzione continua
f(x) è la differenza fra i valori assunti da una generica primitiva
di f nei punti b e a (formula di Newton-Leibniz)
− sin x cos x + ∫ cos 2 xdx = − sin x cos x + ∫ 1 − sin 2 xdx quindi
∫ sin
2
xdx = − sin x cos x + x − ∫ sin 2 xdx isolando l’integrale si ha
Proprietà degli integrali definiti
∫ sin
2
xdx =
b
1.
∫
b
2.
∫
a
a
Integrazione per sostituzione (teorema 4)
b
1.
f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx
a
− sin x cos x + x
+c
2
c
b
a
c
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
2.
ln x
dx sostituzione: ln x = t → x = e t → dx = e t dt
x
t t
(ln x )2 + c
t2
e
dt
=
+
c
quindi
∫ et
2
2
∫
e2x
1
x
∫ e x + 1 dx sostituzione: e = t → x = ln t → dx = t dt
t2 1
t
t +1−1
1 

∫ t + 1 ⋅ t dt = ∫ t + 1 dt = ∫ t + 1 dt = ∫ 1 − t + 1 dt = t − ln t + 1 + c
x
x
quindi e − ln e + 1 + c
(
)
f ( x ) , g ( x ) , h( x ) definite bello stesso
intervallo, se per ogni valore di x dell’intervallo di ha f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h( x ) o
f ( x ) ≥ g ( x ) ≥ h( x ) e se lim f ( x ) = lim h( x ) allora
lim f ( x ) = lim g ( x ) = lim h( x )
1
Teorema del confronto. Date 3 funzioni
12
5
1
∫1+
3.
x
dx sostituzione:
2t
∫ 1 + t dt = 2∫
quindi
4.
(
t +1−1
1


dt = 2 ∫ 1dt − ∫
dt  = 2(t − ln 1 + t ) + c
1+ t
1+ t 

x+ h
Osservando i grafici si ha, ovviamente:
∫ f ( x)dx = S ( x + h) − S ( x)
che
x
esprime l’area del trapezoide CEFD
)
2 x − ln 1 + x + c
x
∫
x = t → x = t 2 → dx = 2tdt
dx sostituzione: x − 1 = t → x = t 2 + 1 → dx = 2tdt
x −1
 t3

t 2 +1
2
 + t  + c
2
2
(
1
)
2
tdt
=
t
+
⋅
dt
=
∫ t
∫
3

 ( x − 1)3

quindi: 2
+ x −1 + c


3


Integrali di funzioni razionali fratte
Caso numeratore di grado superiore
x 3 − 3x 2 + 5 x + 2
dx Dividendo N e D si ha:
∫
x2 +1
1.
x 3 − 3x 2 + 5 x + 2
x3 + x
Ovviamente l’area del trapezoide CEFD è compresa fra quella dei
rettangoli CEGD e CLFD (vedi grafico seguente)
x2 +1
x−3
− 3x 2 + 4 x + 2
− 3x 2 − 3
∫
(x
2
)
4x + 5
+ 1 ( x − 3) + 4 x + 5
2x
1
dx = ∫ ( x − 3)dx + 2∫ 2
dx + 5∫
dx =
2
x +1
x +1
1+ x2
x2
− 3x + 2 ln x 2 + 1 + 5 arctan x + c
2
area rettangolo CLFD<area trapezoide CEFD<area rettangolo CEGD
ovvero
6
11
2.
x4 − x + 3
− x + 4
x3
1 2x
1
 2
dx
=
x
−
1
+
dx
=
−x− ∫ 2
dx + 4∫ 2
dx =


2
∫ x2 +1
∫
3
2 x +1
x +1 
x +1
x3
1
− x − ln(x 2 + 1) + 4 arctan x + c
3
2
Caso numeratore di grado inferiore
-
Sottocaso denominatore scomponibile
∫x
2
5x + 7
5x + 7
dx = ∫
dx bisogna trasformare la frazione:
(x + 3)(x − 1)
+ 2x − 3
A + B = 5
A = 2
5x + 7
A
B
x ⋅ ( A + B ) − A + 3B
=
+
=
⇒
⇒
(x + 3)(x − 1) x + 3 x − 1
(x + 3)(x − 1)
− A + 3 B = 7  B = 3
2
3
∫ x + 3 dx + ∫ x − 1 dx = 2 ln x + 3 + 3 ln x − 1 + c
Si indichi con S(x+h) l’area compresa fra la funzione e l’asse delle x
nell’intervallo (a,x+h), ovvero
S ( x + h) =
x+h
∫ f ( x)dx
-
Sottocaso denominatore non scomponibile
1.
∫x
2
1
dx Il denominatore ha ∆ < 0 e non si può scomporre.
+ 2x + 6
Bisogna trasformarlo come somma fra due quadrati, eliminando il
termine di 1° grado, in modo che il secondo sia=1
a
∫x
2
1
1
dx = ∫
dx = ∫
+ 2x + 1 + 5
(x + 1)2 + 5
1
(x + 1)2 + 5
5⋅
dx =
5
1
 x +1
1
1
5
5
5
dx =
dx =
arctan
 + c
2
2
∫
∫
5  x + 1
5  x + 1
5
 5 

 + 1

 + 1
 5 
 5 
1
1
1
2. ∫ 2
dx = ∫
dx = ∫
dx =…
2
1 3
x + x +1
 2
1
3


x + x + +
x +  +
4 4

2
4

e, con pazienza, si arriva alla soluzione
10
7
2 3
2 3
3
+c
arctan
x+
3
3 
 3
Integrale definito
Il calcolo integrale nasce dall’esigenza di calcolare l’area compresa fra
una funzione e l’asse delle x.
Prendiamo, per esempio, una funzione y=f(x) continua in un intervallo
a,b; supponiamo inoltre che sia anche positiva.
L’area che interessa
calcolare è quella del
trapezoide ABCD
Quindi le due aree, interna ed esterna, forniranno un’approssimazione,
per difetto e per eccesso, dell’area del trapezoide. L’approssimazione
migliorerà all’aumentare del numero dei piccoli intervalli, ovvero al
diminuire di ∆x
Nel caso limite, se n tende a infinito, ∆x tende a 0 le aree coincideranno
con l’area del trapezoide.
n
Area Trapezoide =
lim ∑ areeEsterne = lim ∑ areeInterne
∆ x → 0 i =1
∆ x →0
Si può osservare un’interessante animazione nella pagina internet
http://www.cuppari.an.it/matematica/lavoroGeoGebra.asp?id=76
L’integrale definito viene indicato nel seguente modo
b
∫ f (x ) dx = area trapezoide
a
Il simbolo, una specie di S, sta ad indicare una somma di infiniti
prodotti fra f(x) e dx nell’intervallo a,b
Osserviamo che questa area
sarà compresa fra l’area del
rettangolo ABCD e quella
del rettangolo ABC’D’
Integrale e derivata – Teorema di Torricelli-Barrow
Si vuole dimostrare che l’integrale è l’operazione inversa della derivata,
ovvero che
sia
l’integrale indefinito
F ( x) = ∫ f ( x)dx allora F ' ( x ) = f ( x )
F ( x ) viene detto anche primitiva della funzione
f ( x ) : dunque la primitiva è quella funzione la cui derivata è la funzione
assegnata
Per un calcolo approssimato
dell’area del trapezoide
potremmo suddividere
l’intervallo a,b in n intervalli
di ampiezza ∆x; l’area del
trapezoide sarà compresa
fra la somma delle aree dei
rettangoli inscritti nella
funzione (che stanno al di
sotto) e la somma dei
rettangoli circoscritti (che
stanno al di sopra).
Dimostrazione:
Sia f(x) una funzione continua in un intervallo (a,b). Si prenda un punto
intermedio di ascissa x e si indichi con S(x) la funzione che esprime
l’area compresa fra la funzione f(x) e l’asse delle x nell’intervallo (a,x),
x
ovvero l’integrale definito di f(x) fra a e x:
a
Area interna < Area trapezoide < Area esterna
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S ( x) = ∫ f ( x)dx
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